Algorithmen & Datenstrukturen Blatt 0 HS 17

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1 Eidgenössische Technische Hochschule Zürich Ecole polytechnique fédérale de Zurich Politecnico federale di Zurigo Federal Institute of Technology at Zurich Departement Informatik 25. September 2017 Markus Püschel David Steurer Peter Widmayer Chih-Hung Liu Algorithmen & Datenstrukturen Blatt 0 HS 17 Lösung 0.1 a) Runde 1: Algorithmus von Gale und Shapley ausführen. m 1 macht f 3 einen Heiratsantrag, m 2 macht f 5 einen Heiratsantrag, m 3 macht f 4 einen Heiratsantrag, m 4 macht f 3 einen Heiratsantrag, und m 5 macht f 2 einen Heiratsantrag. Da f 3 lieber mit m 4 als mit m 1 verheiratet ist, verloben sich m 4 und f 3. Weiterhin verloben sich m 2 und f 5, m 3 und f 4 sowie m 5 und f 2. Nicht verlobt sind m 1 sowie f 1. Runde 2: m 1 macht f 4 einen Heiratsantrag. f 4 ist derzeit mit m 3 verlobt und findet m 1 weniger attraktiv, folglich ändert sich an den Verlobungen nichts. Runde 3: m 1 macht f 1 einen Heiratsantrag. Da beide Partner bislang nicht verlobt sind, verloben sich m 1 und f 1. Hochzeiten: Am Ende heiraten jeweils m 1 und f 1, m 2 und f 5, m 3 und f 4, m 4 und f 3 sowie m 5 und f 2. b) Runde 1:

2 f 1 macht m 3 einen Heiratsantrag, f 2 macht m 1 einen Heiratsantrag, f 3 macht m 4 einen Heiratsantrag, f 4 macht m 4 einen Heiratsantrag, und f 5 macht m 4 einen Heiratsantrag. Da m 4 von allen Frauen f 3 am attraktivsten findet, verloben sich f 3 und m 4. Weiterhin verloben sich f 1 und m 3 sowie f 2 und m 1. Nicht verlobt sind f 4, f 5, m 2 sowie m 5. Runde 2: f 4 macht m 3 einen Heiratsantrag, und f 5 macht m 1 einen Heiratsantrag. Da m 3 lieber mit f 4 als mit f 1 verheiratet ist, löst m 3 die Verlobung mit f 1 auf und verlobt sich neu mit f 4. Ausserdem ist m 1 lieber mit f 5 als mit f 2 verheiratet, also löst m 1 die Verlobung mit f 2 auf und verlobt sich neu mit f 5. Die übrige Verlobung zwischen f 3 und m 4 bleibt bestehen. Nicht (mehr) verlobt sind f 1, f 2, m 2 sowie m 5. Runde 3: f 1 macht m 2 einen Heiratsantrag, und f 2 macht m 3 einen Heiratsantrag. Da f 1 und m 2 derzeit nicht verlobt sind, verloben sie sich. m 3 dagegen bevorzugt f 4 vor allen anderen Frauen, also bleibt diese Verlobung bestehen. Nicht verlobt sind f 2 und m 5. Runde 4: f 2 macht m 5 einen Heiratsantrag. Da beide derzeit nicht verlobt sind, verloben sie sich. 2

3 Hochzeiten: Am Ende heiraten jeweils f 1 und m 2, f 2 und m 5, f 3 und m 4, f 4 und m 3 sowie f 5 und m 1. c) In dem konkreten Beispiel heiraten f 2, f 3 und f 4 die gleichen Partner, egal ob die Männer oder die Frauen die Heiratsanträge machen. Unterschiedliche Partner bekommen nur f 1 und f 5. Wenn die Männer die Heiratsanträge machen, heiratet f 1 Mann m 1 (ihre vierte Präferenz), und f 5 heiratet m 2 (ebenfalls ihre vierte Präferenz). Machen stattdessen die Frauen die Heiratsanträge, dann heiratet f 1 Mann m 2 (ihre zweite Präferenz), und f 5 heiratet m 1 (ebenfalls ihre zweite Präferenz). Für die Frauen ist es daher also besser, wenn sie statt der Männer die Heiratsanträge machen. Lösung 0.2 Lokale Suche. a) Sei m ein Mann, der mit Frau f verlobt ist, und sei weiterhin f eine Frau, die mit Mann m verlobt ist. Wenn nun sowohl m als auch f ihre jeweiligen Verlobungen lösen und sich stattdessen untereinander verloben, dann ist weder f die höchste Präferenz für m, noch ist m die höchste Präferenz für f. Wenn also umgekehrt f die höchste Präferenz von m oder m die höchste Präferenz für f ist (oder sogar beides erfüllt ist), dann werden sich m und f niemals freiwillig dazu entschliessen, sich zu verloben. Eine Verlobung zwischen m und f könnte nur dadurch entstehen, dass sich m und f untereinander verloben. Seien nun die Männer M = {m 1, m 2 } und die Frauen F = {f 1, f 2 } gegeben. Angenommen, es gibt einen Mann m i und eine Frau f j, die in der initialen Zuordnung nicht verlobt sind, und die nun ihre aktuellen Verlobungen mit f und m lösen und sich untereinander verloben. Da f und m nur die zweiten Präferenzen von m i bzw. f j waren, sind also f j und m i die höchsten Präferenzen. Sind aber m i und f j erst einmal miteinander verlobt, dann wollen weder m i noch f j die Verlobung lösen, da beide bereits mit dem am höchsten präferierten Partner verlobt sind. Damit ist der Algorithmus fertig. Wenn es kein solches Paar (m i, f j ) wie oben beschrieben gibt, dann ist der Algorithmus ebenfalls fertig. b) Es ergibt sich die folgende Tabelle: 3

4 c) Ein möglicher Ablauf des Algorithmus ist der Folgende: O.B.d.A. sei die initiale Zuordnung die in der obigen Abbildung am weitesten links stehende Zuordnung, in der m i und f i (für i = 1, 2, 3) verlobt sind. Wir überlegen jetzt, wie aus diesem Ablauf mögliche Präferenzlisten der Männer und der Frauen abgeleitet werden können. 4

5 Angenommen, m 1 und f 2 haben ihre jeweiligen Verlobungen gelöst und sich untereinander verlobt. Für m 1 hat dann f 2 eine höhere Präferenz als f 1. Analog hat für f 2 m 1 eine höhere Präferenz als m 2. Als nächstes nehmen wir an, dass f 2 und m 3 ihre jeweiligen Verlobungen gelöst und sich untereinander verlobt haben. Für f 2 hat dann m 3 eine höhere Präferenz als m 1, und für m 3 hat f 2 eine höhere Präferenz als f 3. Nun haben sich m 3 und f 1 miteinander verlobt. Für m 3 hat dann f 1 eine höhere Präferenz als f 2, und für f 1 hat m 3 eine höhere Präferenz als m 2. Als letztes nehmen wir an, dass sich f 1 und m 1 miteinander verlobt haben. Für f 1 hat dann m 1 eine höhere Präferenz als m 3, und für m 1 hat f 1 eine höhere Präferenz als f 3. Aus den Überlegungen ergeben sich die folgenden Präferenzen (ein Stern bedeutet, dass die Reihenfolge der Präferenzen beliebig gewählt werden darf): m 1 f 2 f 1 f 3 m 2 m 3 f 1 f 2 f 3 f 1 m 1 m 3 m 2 f 2 m 3 m 1 m 2 f 3 Man kann nun leicht nachprüfen, dass alle oben genannten Anforderungen an die Präferenzen erfüllt sind. 5