I Funktionen und ihre Graphen

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1 Schülerbuchseite 7 Erkundung Seite 7 Autrag Die Aussage au Kärtchen Nr. ist als achsensmmetrisch zur -Achse zu verstehen, Kärtchen Nr. 6 als punktsmmetrisch zum Ursprung und Kärtchen Nr. als ür beliebige negative -Werte bzw. ür alle negativen -Werte. Fasst man die genannten Aussagen allgemeiner au, treen die Kärtchen Nr., und 6 auch au Funktionen zu, denen sie im Folgenden nicht zugeordnet werden. () = gehört zum Graphen von Fig. ; es treen die Aussagen, 6, 7, 0 und zu. () = 0, gehört zum Graphen von Fig. 9; es treen die Aussagen,, 7 und 9 zu. () = gehört zum Graphen von Fig. 0; es treen die Aussagen,,, 6, 0 und zu. () = 0, + gehört zum Graphen von Fig. 8; es treen die Aussagen,, und 9 zu. _ () = gehört zum Graphen von Fig. ; es treen die Aussagen,,,, 8 und zu. 6 () = 0, gehört zum Graphen von Fig. ; es treen die Aussagen,, 7 und 9 zu. 7 () = gehört zum Graphen von Fig. 7; es treen die Aussagen,,, 6, 0 und zu. 8 () = 0, gehört zum Graphen von Fig. ; es treen die Aussagen,,,, 7, 0 und zu. 9 () = 0, + gehört zum Graphen von Fig. ; es treen die Aussagen,, und 9 zu. 0 () = gehört zum Graphen von Fig. ; es treen die Aussagen, 6, 7, 0 und zu. () = _ gehört zum Graphen von Fig. ; es treen die Aussagen, 6, 8 und zu. () = gehört zum Graphen von Fig. 6; es treen die Aussagen,, und zu. Autrag. Alle Graphen sind entweder achsensmmetrisch zur Achse oder punktsmmetrisch zum Ursprung. (a). Achsensmmetrisch zur -Achse sind die Graphen aller Funktionsgleichungen, die nur -Potenzen mit geraden Eponenten und gg. einen Teilterm ohne enthalten. (b). Punktsmmetrisch zum Ursprung sind die Graphen aller Funktionsgleichungen, die nur -Potenzen mit ungeraden Eponenten enthalten.. Funktionen wie und sind ür = 0 nicht deiniert, weil im Nenner nur eine Potenz von steht. Für sehr kleine und sehr große -Werte nähern sich die Graphen der -Achse, die Funktionen besitzen jedoch keine Nullstelle.. Für Graphen von Funktionen, deren höchste Potenz von einen geraden Eponenten besitzt, gilt: (a). Ist der Voraktor der höchsten Potenz von positiv, verlauen sie von links oben nach rechts oben, d. h. dass die Funktionswerte ür sehr kleine wie auch ür sehr große -Werte sehr groß werden. (b). Ist der Voraktor der höchsten Potenz von negativ, verlauen sie von links unten nach rechts unten, d. h. dass die Funktionswerte ür sehr kleine wie auch ür sehr große -Werte sehr klein werden. (An dieser Stelle sei au die Verwechslungsgeahr mit betragsmäßig sehr klein in der Schülersprache hingewiesen: Intuitiv kann sehr klein älschlicherweise mit nahe null verwechselt werden.). Für Graphen von Funktionen, deren höchste Potenz von einen ungeraden Eponenten besitzt, gilt: (a). Ist der Voraktor der höchsten Potenz von positiv, verlauen sie von links unten nach rechts oben, d. h. dass die Funktionswerte ür sehr kleine -Werte sehr klein und ür sehr große -Werte sehr groß werden. (b). Ist der Voraktor der höchsten Potenz von negativ, verlauen sie von links oben nach rechts unten, d. h. dass die Funktionswerte ür sehr kleine -Werte sehr groß und ür sehr große -Werte sehr klein werden.. Ein Summand ohne in der Funktionsgleichung verschiebt den Graphen in Richtung der -Achse. 6. Haben zwei Funktionsgleichungen betragsmäßig identische Summanden, in allen einander entsprechenden Summanden jedoch unterschiedliche Vorzeichen, gehen die Graphen durch Spiegelung an der -Achse auseinander hervor. Autrag Individuelle Lösungen; mögliche Aspekte: zu () = n : Wenn n gerade ist, gelten die Regeln (a) und (a). Ist n ungerade, gelten die Regeln (b) und (a). zu g () = a n : Für a > 0 gelten ebenalls (a) und (a) bzw. (b) und (a). Für a < 0 gelten (a) und (b) bzw. (b) und (b). Den Zusammenhang zwischen a und a beschreibt u. a. Regel Nr. 6. zu h () = a n + b m : geeignet zur Bestätigung der Regeln bis zu k () = a n + b m + c: geeignet zur Bestätigung der Regeln bis zu j () = m + n : Regeln (a) und (nur gerade Eponenten) zu l () = m + n : Regeln (b) und (nur ungerade Eponenten) L

2 Schülerbuchseiten 9 Abhängigkeiten darstellen und interpretieren Seite 9 Einstiegsaugabe individuelle Lösung, eine Möglichkeit: Geht man von einem quadratischen Zusammenhang zwischen Gewicht und Spannweite aus und bildet den Mittelwert der Quotienten (gg. ohne die Werte des Blesshuhns zu berücksichtigen, denn dabei könnte es sich um einen Messehler handeln), erhält man näherungsweise 0,8. Somit ergibt sich ür die Spannweite w die Gleichung w = 0, m, wobei m die Masse in kg ist. Einsetzen von ergibt: w () =,86. Der Uhu mit kg Körpergewicht hat also eine Spannweite von ca., m; eine genauere Angabe ist nicht möglich. (Bei dieser Gelegenheit kann auch sinnvolles Runden thematisiert werden.) a) Die Körpertemperatur ist am nie drigs ten zwischen :00 Uhr und :00 Uhr. Sie liegt dann bei ca. 6,77 C. b) Höchste Körpertemperatur zwischen :00 und :00 Uhr und gegen 8:00 Uhr. Sie beträgt ca. 7, C. c) Die Körpertemperatur steigt am stärksten etwa um 7:00 Uhr und um die Mittagszeit (:00 Uhr). d) 7 C liegen etwa um 07:0 Uhr und kurz nach :00 Uhr vor. a) Tiee (in m) Temperatur (in C) 8, 7,9 9, 0, b) Die Zuordnung ist nicht eindeutig. c) Ab rund m Tiee unterscheiden sich die Temperaturen im Sommer und im Winter nur wenig. Seite 0 a) Beim ersten Anstieg sind 0 m zu überwinden. b) Es sind ca. 80 Höhenmeter. _ 00 m c) 800 m = _ 9 0, =, %; tan (α) 0,, also α 6,. Das Geälle beträgt ca., %, der Winkel ca. 6,. d) Der Graph ist ein Stück weit achsensmmetrisch zu der Parallelen zur Hochachse im Abstand 9. Die Länge der Sackgasse (einach) beträgt etwa km (von Streckenkilometer 6 bis 9). Eine weitere Sackgasse kann zwischen Streckenkilometer und 7, liegen. a) b) Der Term beschreibt die Seitenlänge, also die Länge der anderen Seite des Rechtecks: = 0, (0 ) c) d = + d = + ( 0, (0 ) ) d = ( 0, (0 ) ) d) A = ( 0, (0 ) ) = 0 6 a) Die Fahrt dauerte von ca. : Uhr bis ca. : Uhr, also etwa 6, Stunden. b) Der Fahrer hat die Bestimmung nicht eingehalten. Er hat erst nach ca. Stunden eine nur 0-minütige Pause eingelegt. c) Die maimale Geschwindigkeit betrug ca. 00 km_ h. d) Die Geschwindigkeit ist relativ hoch und konstant, was au eine Autobahnstrecke schließen lässt. e) Der Graph schwankt zwischen 0 und 0 km_ h. Vermutlich uhr der mnibus in diesem Zeitraum durch eine Stadt/ rtschat, was sowohl die Geschwindigkeit von 0 km_ h (Tempolimit innerorts) als auch die Zeiten mit 0 km_ h (Halt an Kreuzungen und Ampeln) erklärt. ) Gehen wir von einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von ca. 7 km_ h aus, beträgt die zurückgelegte Strecke s etwa 0 km: Strecke = Geschwindigkeit Zeit km_ s = 7 h _ h = 0 km Seite 8 a) Temperatur (in C) Jan. Febr. Mrz. Apr. Mai Juni Juli Aug. Sept. kt. Nov. Dez. Buenos Aires Berlin b) Monat Niederschlag (in mm) Berlin Buenos Aires Januar 0 Februar 8 März 6 April 90 Mai 6 79 Juni Juli 0 6 August 6 68 September 8 80 ktober 6 00 November 7 90 Dezember 8 c) Da sich Buenos Aires au der Südhalbkugel beindet, herrschen dort die höchsten Temperaturen im Zeitraum von Dezember bis Februar, während in Deutschland (Berlin) au der Nordhalbkugel in dieser Zeit die niedrigsten Temperaturen zu messen sind. Zudem liegt Buenos Aires einige Breitengrade näher am Äquator als Berlin, weswegen die Durchschnittstemperatur dort deutlich höher ist. L

3 Schülerbuchseiten 6 9 a) 9 a) Falsch. Jedem -Wert wird hier nur ein -Wert zugewiesen, also handelt es sich um eine Funktion. (Funktionsterm: () = a, wobei a * R) b) Richtig, denn bei einer Parallelen zur -Achse werden einem -Wert unendlich viele -Werte zugewiesen. Dies steht im Widerspruch zur Deinition einer Funktion. c) Falsch. So schneidet beispielsweise die Parallele mit dem Funktionsterm () = den Graphen der Funktion g mit g () = an zwei Stellen, nämlich an = und =. d) Richtig. Da eine Funktion einen bestimmten -Wert höchstens einmal annehmen kann, kann ihr Graph eine Parallele zur -Achse auch nur maimal einmal schneiden. Dehnung (in mm) Temperaturerhöhung (in C) 0 m 0 m 0 m Brücke Brücke Brücke 0,,,6 0,,8 7, 0,6 7, 0,8 0,8 9,6, 0 6,0,0 8,0 b) 7 (0 m 0,000) = 0,06 m =,6 cm Der Brückenabschnitt dehnt sich um ca., cm. c) Temperaturdierenz 70 C, Länge in Metern wird mit bezeichnet: 7 0,000 0,0 m 0,0 m 7 0,000 7_ m,8 m Der Brückenabschnitt dar höchstens m lang sein. c) () g () h () 0,000,000 7,000,000,000 6,000,000,000 8,000,000 0,000,000,000,000,000,000,000,000,,000 6,000,7 7,000,000,000 0,000,000,6 h g Funktionen Seite Einstiegsaugabe 69 könnte ein Pauschaltari oder Sonderangebot sein. Also kann man nicht daraus schließen, dass beide in Gießen zugestiegen sind. Die Graphen b), c), e), g) gehören zu einer Funktion. Bei den anderen Graphen sind -Werten mehrere -Werte zugeordnet. a) () = 0 b) g () = + c) D = { } oder D = R \{} oder = ] ; D [ ± ]; [ d) () = g () Individuelle Lösungen a) Die Funktion hat an der Stelle den Wert 6. b) Die Deinitionsmenge der Funktion umasst alle reellen Zahlen außer 0. c) Die Funktionen und g haben an der Stelle a denselben Wert. d) Die Funktion h ordnet jeder Zahl weniger ihr Vieraches zu. a) () =, g () =, h () = () g () h () D = R D g = R D = [0; [ h Wertemengen: W = R W g = { } = ] ; ] = { } = [; [ W h d) () = = (0) = 0 = g () = = g (0) = 0 = h () = + = h (0) = + 0 = Punkt zu zu g zu h P ( ) ja ja nein Q ( 0 ) nein ja ja Seite 6 b) () g () h () ,0,97,9999, a) D = R; W = R; () =,; ( ) = 9, b) D = R; W = R; () = ; ( ) = c) D = R; W = ] ;,]; () =,; ( ) = 6, d) D = R; W = [,; [; () = 0; ( ) = 0 e) D = [; [; W = [; [; () = ; ( ) = nicht deiniert, da R L

4 Schülerbuchseiten 6 7 ) D = R; W = [; [; () = 0; ( ) = g) D = R\{0}; W = R \{}; () =,; ( ) = _ h) D = ] ; 0]; W = [0; [ () = nicht deiniert; da R; ( ) = a) : a _ 0 a b) Drei beliebige Funktionswerte: () = 0; () = ; (0) = 0, c) D = R + ; W = R + d) a) (0) 0, () 0, (,) b),,,7,, c) Der kleinste -Wert ist ca.,6. Er wird an der Stelle,7 angenommen. a) Wegen r = U_ π ist A = π r = π ( π ) = _ Damit: () = π _ b) () = π = _ π U_ U _ π Der Flächeninhalt eines Kreises des Umangs ist _ π. _( π) _ ( π) = π = π π = π Der Flächeninhalt eines Kreises des Umangs π ist π, also halb so groß. _ c) (U) = A =, also ist = U π U = π = π 7,7 _ d) Wegen A = U π ist π A = U und weiter U = π A. Seite 7 6 A gehört zu B gehört zu C: zu ergänzendes Kärtchen: = R \{} W D gehört zu E: zu ergänzendes Kärtchen: () > g () ür * Ø. : zu ergänzendes Kärtchen: Die Deinitionsmenge von besteht aus allen Zahlen außer. : zu ergänzendes Kärtchen: hat an den Stellen und den gleichen Funktionswert. 7 a) Jedem Wert der Höhe kann genau ein Wert ür die Temperatur zugeordnet werden, also ist die Temperatur eine Funktion der Höhe. b) Höhe (in km) Temperatur (in C) Temperatur (in C) Höhe (in km) c) Jeder Tiee kann genau eine Temperatur zugeordnet werden, also ist die Temperatur eine Funktion der Seetiee Temperatur (in C) Tiee (in m) 8 a) V = ø = dm, r = 0, dm = 0, dm dm = π 0, dm h dm π 0, dm = h h = _ π dm 0,67 dm Der Eichstrich muss bei einer Höhe von etwa 6, cm angebracht werden. b) h = (d) = V_ π r = π (0, d) = _ π d Deinitionsmenge ist beispielsweise D = [0,; ]. Negative Werte oder 0 ür den Durchmesser einzusetzen ührt zu einem logischen Widerspruch mit den allgemeingültigen Naturgesetzen. Bei positiven Werten, die kleiner als 0, sind, wird die Höhe des Eichstrichs enorm groß. Bei zu großen positiven Werten geht die Höhe des Eichstrichs gegen 0, weswegen die bergrenze nicht zu hoch gewählt werden sollte. L

5 Schülerbuchseiten 7 0 c) An der beispielhaten Lösung von b): 9 a) (d) d (d) d 0,,6,0,7, 0,89,0 0,67, 0,09,0 0,, 0,6,0 0,8 n Anzahl h 0 n Anzahl h h 0 0 b) h (n) = ür die Zahlen,,,, und 6. 0 a) n 0 (n) 8 6 b) () =, D = N Lineare Funktionen Seite 0 Einstiegsaugabe Dass die Bahn die beste Energiebilanz hat, ist oensichtlich. Des Weiteren ist, die Lösung der Gleichung 0, + 9, = 0,8. Ein Alleinreisender hätte also bei einem Flug ab km eine bessere Energiebilanz im Vergleich zur Autoahrt (eigentlich schon rüher, weil das Auto nicht Lutlinie ahren kann). In der wörtlichen Rede heißt es aber wir, also sind mindestens Insassen im Auto, das ergibt ma. 0, kwh/km/insasse. Somit hat das Flugzeug wahrscheinlich die schlechteste Energiebilanz. Da Angaben über Start- und Zielort ehlen, kann man das jedoch nicht sicher sagen. Bei einer Fernreise könnte das Flugzeug besser abschneiden (kürzere Strecke durch Lutlinie); dabei bleibt oen, ob man eine so weite Strecke mit dem Auto ahren will oder kann. n a) N 6 6 g: = _ + _ ; N ( 0) b) A g N 6 6 g: = + ; N ( 0 ) c) g A 6 6 g: = _ + 7_ ; N _ ( 0 ) d) A g 6 6 g: = 6_ + 9 ; N ( 0 ) g () = _ +, h () = +, i () = _ 0, j () = _ + k () = 9 A B B B B g L

6 Schülerbuchseiten 0 a) g und h schneiden sich, sind aber nicht orthogonal. Gleichsetzen der Funktionsterme ergibt: = + _ = Schnittpunkt ( _ _ ) b) g und h schneiden sich, sind aber nicht orthogonal. Gleichsetzen der Funktionstherme ergibt: _ 0,6 + = + _ = 6 Schnittpunkt ( _ 6 _ 7 6 ) c) g und h sind orthogonal. Schnittpunkt ( ). a) () = 7 und () = m () = _ 7 = 9_ Lösung durch Einsetzen: (0) = 9_ 0 = 8 A liegt au. b) Steigung m von g ist _ m (m ist die Steigung der orthogonal zu g liegenden Gerade = ) m = _ Jetzt Punkt Q ( 0 ) einsetzen in g () = m + c: g () = _ + c = 0 c = Also ist g () = _ +. c). Geradengleichung: = 7_ + _ Da m = 7 = 7_ = _ erüllt ist, sind die beiden Geraden orthogonal m zueinander. a) () = + 7 Wegen () = m + b und m = ergibt sich beim Einsetzen des Punktes P ( ) : + b =, also ist b = 7. b) () = Da der Graph parallel zu = + verläut, ist die Steigung dieselbe. Durch Einsetzen von Q ( ) ergibt sich b =. c) () = _ Wegen m = tan (α) und α = 0 ergibt sich ür _ m = = _ 0, d) () = 7, (,) = 6, also ist m,, = 6. Damit ist m = 7. e) () = _ +, I. m + b =, II. m ( 9) + b = 8, Aulösen des LGS ergibt m = _ und b =. Seite 8 a) = + =. Schnittpunkt ist S ( 7 ). b) + = + = _. Der Schnittpunkt ist S ( _ c) g () = _ 7 _ und h () = 8. _ ). _ Also ist g () = h () _ 7 _ = 8 = _ =. Der Schnittpunkt ist S ( ). 9 a) () = (9 ) 000 = b) Gewinn (in ) G Stühle (000) = = Bei 000 verkauten Stühlen wird ein Gewinn von gemacht. c) () = = 0 = 6 + _ Der Betrieb macht ab 7 verkauten Stühlen Gewinn. 0 a) = Anzahl der Gesprächsminuten T () = ; T () = 0,08 + b) 0 0 T c) 0, Ab mehr als 0 Gesprächsminuten im Monat lohnt sich die Flatrate von T, bei weniger als 0 Minuten ist T günstiger. a) Ein Arbeitstag hat in der Regel 8 Stunden: Arbeitszeit Kosten 9,0 60,6 6,0 9, 7,00 6, 7 87,90 8, b) () =,9 ( + ) = 6, + 9,7 T L 6

7 Schülerbuchseiten c) () 00 6, + 9,7 00 6, 70,, Ab einer Arbeitszeit von ca., Stunden lohnt sich ein Pauschalangebot von 00 ür den Kunden. Quadratische Funktionen Seite Einstiegsaugabe Die Schüleraussage ist streng genommen alsch ( immer, Scheitelpunkte ), obwohl das Richtige gemeint ist. Die drei Funktionen besitzen jeweils die maimal möglichen Null- und Etremstellen. In diesem Fall ist die Aussage richtig, wenn man davon absieht, dass ein Hochbzw. Tiepunkt nur dann ein Scheitelpunkt ist, wenn durch ihn eine vertikale Smmetrieachse verläut. Durch Verschiebung (z. B. des roten oder des grünen Graphen um Einheiten nach oben) kann man zeigen, dass die Aussage im Allgemeinen nicht zutrit. b) Die Normalparabel wird mit dem Faktor _ gestaucht, an der -Achse gespiegelt und anschließend um eine Einheit nach unten verschoben. Skizze: () = _ c) Die Normalparabel wird um drei Einheiten nach links verschoben. Skizze: () = ( + ) a) S ( ) b) S ( ) c) S ( ) d) S ( 0,,) e) S ( 0,, ) ) S ( 0,, ) g) S (,) h) S ( _ _ ) i) S ( 0, ) a) S (0 6); P ( ) ; P ( ) b) S (, 6, ) ; P ( 0 ) ; P ( 0 0 ) c) S ( 9 ) ; P ( 9 0 ) ; P ( 0 ) d) S (,8 ) ; P ( ) ; P ( ) e) S (, 0, ) ; P ( 0 ) ; P ( 7 0 ) ) S ( 8 ) ; P ( 0 0 ) ; P ( 0 ) g) S ( 6 ) ; P ( h) S ( ) ; P ( i) S ( _ Seite 0 ) ; P ( ) 0 ) ; P ( ) _ 6 6 ) ; die Parabel schneidet die -Achse nicht. a) Die Normalparabel wird an der -Achse gespiegelt und um drei Einheiten nach oben verschoben. Skizze: () = + d) Die Normalparabel wird mit dem Faktor _ gestreckt, an der -Achse gespiegelt und anschließend um eine Einheit nach rechts verschoben. Skizze: () = _ ( ) e) Die Normalparabel wird an der -Achse gespiegelt und um, Einheiten nach rechts verschoben. Skizze: () = (,) L 7

8 Schülerbuchseiten 6 ) Die Normalparabel wird an der -Achse gespiegelt, um eine Einheit nach links und anschließend um eine Einheit nach unten verschoben. Skizze: () = ( + ) g) Die Normalparabel wird mit dem Faktor _ gestreckt, an der -Achse gespiegelt, um eine Einheit nach rechts verschoben und anschließend um eine Einheit nach oben verschoben. Skizze: () = _ ( ) + h) Die Normalparabel wird mit dem Faktor _ gestreckt, an der -Achse gespiegelt, um eine halbe Einheit nach links verschoben und anschließend um eine Drittel Einheit nach unten verschoben. Skizze: () = _ ( + _ ) _ i) Die Normalparabel wird an der -Achse gespiegelt, um die Einheit nach links und anschließend um die Einheit nach unten verschoben. Skizze: () = ( ) a) () = ( ) b) () = 0, ( ) + c) () = 0, ( + ) g () = ( ) h () = ( + ) + k () = ( + ) p () = ( 6) + r () = ( + ) u () = ( ) + 6 a) S ( ) ; S ( ) b) S ( ) ; S ( ) c) Parabel und Gerade schneiden sich nicht. d) S ( 8 ) ; S ( ) e) S ( _ 7 _ ) ; S ( _ 7 _ ) _ ) S ( ) ; S ( _ 8 ) 9 Lila (A): () = ( ) +, Grün (C): h () = ( + ) Blau (B): g () = 0, ( ) 0 a) () = a ( ) + ; = () = a + ; a = () = ( ) + = + b) () = a ( + ) +,; = (0) = 9 a +,; a = 0, () = 0, ( + ) +, = 0, + c) () = a ( ) 8; 6 = () = a 8; a = () = ( ) 8 = + 0 Seite 6 () = ( + ) g () = h () = 0, ( + ) + 6 k () = ( ) t () = _ ( + ) a) Scheitelpunkt: S ( ) Schnittpunkte mit der -Achse: P ( 0 ) ; P ( 6 0 ) Schnittpunkt mit der -Achse: P ( 0 ) b) Verschiebt man die Parabel um vier Einheiten parallel zur -Achse nach oben, so hat diese nur einen Schnittpunkt mit der -Achse. Die Gleichung der verschobenen Parabel ist dann () = ( ). Verschiebt man die Parabel um mehr als vier Einheiten parallel zur -Achse nach oben, so hat diese keinen Schnitt punkt mit der -Achse. Die Gleichung einer solchen Parabel wäre z. B. () = ( ) +. c) Zwei Schnittpunkte: z. B. () = 6, nur einen Schnittpunkt: () =, keinen Schnittpunkt: z. B. () =. () = 0,06 + = 0,06 ( 6,) Nullstellen: = 0 und = 6, Nach 6, m trit der Ball nach dem Abstoß wieder au dem Boden au. In der Mitte beindet sich der Scheitel, also bei =, m. (,) =,6 ist der höchste Punkt. L 8

9 Schülerbuchseiten Die höchste Stelle der Brücke über der Wasseroberläche liegt im Scheitelpunkt der Parabel: _ () = + + = _ ( 6 6) _ = ( ) = _ ( ( ) ) _ = ( ) + Sie beträgt m. Seite 7 7 Hinweis: Das Zeichnen der Parabeln ist in der Augabe nicht verlangt. Zu (): 0 () = ; () = ( ) ; () = ( ) ; () = ( ) ; Scheitelpunkt: S ( ) Die Lage des Scheitelpunktes der letzten Parabel wird verändert, wenn man die Reihenolge der Abbildungen Spiegeln an der -Achse und Verschieben in -Richtung vertauscht, also bei den Reihenolgen VVSp, VVSp und VSpV. Zu (): 0 () = ; () = ; () = ; () = ( ) ; Scheitelpunkt: S ( ) Die Lage des Scheitelpunktes der letzten Parabel wird verändert, wenn man die Reihenolge der Abbildungen Strecken und Verschieben in -Richtung vertauscht, also bei den Reihenolgen VVSt, VStV und VVSt. Zu (): 0 () = ; () = ; () = ( ) ; () = ( ) ; Scheitelpunkt: S ( 0 ) ) Die Abbildungen können in beliebiger Reihenolge ausgeührt werden, die Lage des Scheitelpunktes der letzten Parabel ändert sich nicht. Zu (): 0 () = ; () = ; () = ( ); () = ( ) = + ; Scheitelpunkt: S ( 0 ) Die Lage des Scheitelpunktes ändert sich immer dann, wenn zuerst gestreckt oder gespiegelt wird, also bei den Reihenolgen StSpV, StVSp, SpStV und SpVSt. Nur dann, wenn als erste Abbildung die Verschiebung in -Richtung durchgeührt wird, bleibt die Lage des Scheitelpunktes gleich. 8 a) Der Graph der Funktion g entsteht aus dem Graphen von durch Verschiebung um Einheiten in Richtung. b) Der Graph der Funktion g entsteht aus dem Graphen von durch Verschiebung um eine Einheit in -Richtung. L 9

10 Schülerbuchseiten 7 0 c) Der Graph der Funktion g entsteht aus dem Graphen von durch Verschiebung um Einheiten in -Richtung und um Einheit in -Richtung. d) Der Graph der Funktion g entsteht aus dem Graphen von durch Streckung um Einheiten in -Richtung und anschließende Verschiebung um Einheit in -Richtung. _ 9 a) () = b) () = c) () = ( + ) Ganzrationale Funktionen Seite 9 ( ) a) ganzrational, Grad, a = ; a = 0; a = ; a 0 = 7 a = ; a = 9; a = ; a 0 = 7 b) ganzrational, Grad (linear), a = ; a 0 = c) nicht ganzrational d) nicht ganzrational e) ganzrational, Grad, a = ; a = _ ; a 0 = 0 ) nicht ganzrational a) Für ± verhält sich der Graph von wie der Graph der Funktion g mit g () =. Damit strebt der Graph von ür gegen minus unendlich und ür gegen unendlich. Für nahe 0 verhält sich der Graph von wie der Graph der Funktion h mit h () = +. b) Für ± verhält sich der Graph von wie der Graph der Funktion g mit g () =. Damit strebt der Graph von ür gegen plus unendlich und ür gegen minus unendlich. Für nahe 0 verhält sich der Graph von wie der Graph der Funktion h mit h () =. c) () = ( + ) ( + ) = 6 + 8; ür ± verhält sich der Graph von wie der Graph der Funktion g mit g () =. Damit strebt der Graph von ür gegen minus unendlich und ür gegen unendlich. Für nahe 0 verhält sich der Graph von wie der Graph der Funktion h mit h () = d) Für ± verhält sich der Graph von wie der Graph der Funktion g mit g () = 0, 7. Damit strebt der Graph von ür gegen unendlich und ür gegen minus unendlich. Für nahe 0 verhält sich der Graph von wie der Graph der Funktion h mit h () = 0. a) g() = b) g () = 9 c) g () = d) g () = 8 e) g () = 6 ) g () = 6 Seite 0 a) Für ± verhält sich der Graph von wie der Graph der Funktion g mit g () =. Damit strebt der Graph von ür gegen minus unendlich und ür gegen unendlich. Zeichnung der Graphen von und g: () g (), 0, 0,, b) Für ± verhält sich der Graph von wie der Graph der Funktion g mit g () = 0,. Damit strebt der Graph von ür ± gegen unendlich. Zeichnung der Graphen von und g: g () () c) Für ± verhält sich der Graph von wie der Graph der Funktion g mit g () = 0,. Damit strebt der Graph von ür gegen minus unendlich und ür gegen unendlich. Zeichnung der Graphen von und g: () g () 6 A: Graph der Funktion (); B: Graph der Funktion (); C: Graph der Funktion (); D: Graph der Funktion (); der Graph der Funktion () = ( ) ( + ) ( ) + = ( ) ( ) + = + 6 schneidet die -Achse bei 6 und gehört somit zu keinem der gezeigten Graphen. 7 a) Für n = muss a < 6 sein. Für n > muss a < 0 sein. b) Wählt man n = oder n = 0, so kann a beliebig sein. Für n = muss a > 6 sein; ür n > muss a positiv sein und n gerade. L 0

11 Schülerbuchseiten 0 6 c) Für n = muss a < 6 sein. Für n > muss n gerade und a < 0 sein. 9 Individuelle Lösungen, z. B. a) () = b) () = c) Es gibt keine Funktion. () = a + a + a + a + a 0 mit Vorzahlen ; ; 0; ; und () =, wenn alle Vorzahlen verwendet werden müssen, weil () = a + a + a + a + a = 0 ist. hne diese Einschränkung ist () = eine 0 Lösung. d) () = Smmetrie Seite Die Funktionen in a), c) und d) haben einen zur -Achse smmetrischen Graphen, weil in den Funktionstermen nur Potenzen mit gerader Hochzahl vorkommen. Die Funktionen in b) und e) haben einen zum Ursprung punktsmmetrischen Graphen, weil in den Funktionstermen nur Potenzen mit ungerader Hochzahl vorkommen. Der Graph der Funktion unter ) ist weder achsensmmetrisch zur -Achse noch punktsmmetrisch zum Ursprung; er entsteht durch Verschiebung des punktsmmetrischen Graphen von () = um Einheiten in Richtung der Achse. Die Graphen zu den Funktionen a), c) und ) sind smmetrisch zur -Achse, die Graphen zu den Funktionen b) und g) sind smmetrisch zum Ursprung. Die Graphen zu den Funktionen d), e) und h) weisen keine dieser beiden Smmetriearten au. Zur Beurteilung, ob im Funktionsterm Potenzen mit nur geraden, nur ungeraden oder mit gemischten Hochzahlen vorkommen, sind olgende Umormungen notwendig: a) () = b) () = c) () = ( 9) = 9 Die Funktion in a) hat einen zum Ursprung punktsmmetrischen Graphen, weil im Funktionsterm nur Potenzen mit ungeraden Hochzahlen vorkommen. Die Funktionen in b) und c) haben einen zur -Achse smmetrischen Graphen, weil im Funktionsterm nur Potenzen mit geraden Hochzahlen vorkommen. Au trit zu: a) und ). Au g trit zu: c), d), e) und ). Seite 6 Es kommen die Funktionsgleichungen inrage, die ür nahe 0 wie h mit h () = + verlauen ( nach unten geönete Parabel mit dem Scheitelpunkt S ( 0 ) ). Dies sind die Funktionen,, und 6. 7 Individuelle Lösung a) zum Beispiel: () = + und () = b) zum Beispiel: () = + und () = 9 a) Der Graph von ist punktsmmetrisch zum Ursprung ür t = 0, eine Achsensmmetrie ist nicht möglich. b) Für jedes beliebige t * R ist der Graph von achsensmmetrisch zur -Achse. c) Der Graph von ist achsensmmetrisch zur -Achse ür t = 0, eine Punktsmmetrie ist nicht möglich. d) Für jedes beliebige t * R ist der Graph von punktsmmetrisch zum Ursprung. e) Für t = ist der Graph von achsensmmetrisch zur -Achse, eine Punktsmmetrie ist nicht möglich. ) Für t * N und t ungerade ist der Graph von punktsmmetrisch zum Ursprung. 0 a) Ist der Graph einer ganzrationalen Funktion punktsmmetrisch zum Ursprung, so verläut er in jedem Fall durch den Punkt ( 0 0 ). Enthält der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion einen konstanten Summanden, so lässt sich der Term dieser Funktion darstellen als () = g () + a mit a * R, a 0. Der Graph dieser Funktion verläut durch den Punkt ( 0 a ), da in diesem Fall (0) = a ist. Der Graph ist daher nicht punktsmmetrisch zum Ursprung. Der Graph einer solchen Funktion ist achsen smmetrisch, wenn der Funktionsterm außer dem konstanten Summanden nur Summanden mit geraden Eponenten der Funktionsvariablen enthält. b) Der Graph der Funktion mit () = 0 ist sowohl achsen- als auch punktsmmetrisch. Für die Funktion g () = ( c) gilt: g (c h) = (c h c) = ( h) und g (c + h) = (c + h c) = (h). Da ( h) = (h) gilt, gilt also g (c h) = g (c + h). Damit ist der Graph von g smmetrisch zur Geraden = c. = c g (c h) h h c h c + h g g (c + h) 7 Nullstellen ganzrationaler Funktionen Seite 6 a) () = = 0; ist eine Nullstelle von. b) () = () + 8 = 0; ist eine Nullstelle von. c) () = = 0; ist eine Nullstelle von. L

12 Schülerbuchseiten 6 8 _ d) ( 6_ ) = + _ 9 _,7 = _ 0,86; ist keine Nullstelle von. Seite 7 Für die Berechnung der Nullstellen ist die Gleichung () = 0 zu lösen: a) 0 = ( 6) = ( ) ( + ); =, = 0 und = b) 0 = ( 9) = ( ) ( + ); =, = 0 und = c) 0 = ( + ); = 0 d) 0 = ( + 6) = ( ) ( + ); =, = 0 und = e) 0 = ( 0 + ) = ( ) ; = 0, = ) 0 = ( 8 + 9); = 0,, und 6,6 a) Substitution z = : z 0 z + 6 = 0; z = und z = 6; Nullstellen: = ; = ; = ; = b) Substitution z = : = 0; z z = 0; z = und = 9; z Nullstellen: = ; = c) Substitution z = : + = 0; z + z = 0; z = 9 und = 6; z Nullstellen: = ; = d) Substitution z = : z + _ 9 z _ 9 = 0; z = _ 9 und z = ; Nullstellen: = ; = e) Substitution z = : z 7 z + 6 = 0; z = und z = 6; Nullstellen: = ; = ; = ; = ) Substitution z = : z 0 z + 9 = 0; z = und z = 9; Nullstellen: = und = _ a) =, = und = b) = ; =,; = 0; =, c) = 0 d) besitzt keine Nullstellen. e) =,, = und = 0, ) =, = und = Jede Nullstelle von ist auch eine Nullstelle von oder von oder anderen Vielachen, sodass es reicht, jeweils ein Beispiel anzugeben. Die Umkehrung des Satzes vom Nullprodukt hilt bei der Suche nach einer geeigneten Funktion: a) () = ( + ) ( ) ( ) b) () = ( + 7) ( + ) ( ) ( 7) = ( 9) ( 6) c) () = ( ) ( 9) d) () = ( + 8) ( 8) = ( 6) = 6 e) () = ( ) ( ) ) () = ( ) oder () = ( + ) ( ) 8 A: Es ist der Graph der Funktion dargestellt. Von den angegebenen Funktionen ist die einzige, die ihre Nullstellen bei,, und hat. B: Es ist der Graph der Funktion h dargestellt. Von den angegebenen Funktionen ist h die einzige, ür die an der Stelle 0 der Funktionswert 0 angenommen wird, deren Graph also durch den Ursprung verläut. C: Es ist der Graph der Funktion g dargestellt. Von den angegebenen Funktionen ist g die einzige, die genau zwei Nullstellen hat. D: Es ist der Graph der Funktion i dargestellt. Von den angegebenen Funktionen ist i die einzige, deren Graph die rdinatenachse bei schneidet. Seite 8 9 a) g () = () ; durch die Multiplikation mit einem Faktor wird der Graph von in -Richtung gestreckt. Die Nullstellen ändern sich dabei nicht. b) () = Der Ansatz () = a ( ) ( + ) ( ) ührt au = a, also a =. Wird der Faktor a bei der Lösung nicht berücksichtigt, erhält man das richtige Ergebnis nur zuällig. 0 a) Wahr, da der Graph entweder von nach + oder von + nach verläut. b) Falsch. Die Aussage stimmt, wenn bei = 0 keine Nullstelle liegt. Die Aussage gilt nicht, wenn bei = 0 eine Nullstelle liegt (etwa bei der Normalparabel) oder wenn die Funktion gar keine Nullstelle hat (etwa bei mit () = + ). (Hier werden die Nullstellen bei = 0 nicht als doppelte Nullstellen gewertet.) c) Falsch. Es gibt auch Funktionen, die weniger als ün Nullstellen haben (etwa mit () = hat nur die Nullstelle = 0). Die Funktionen ünten Grades können aber höchstens ün Nullstellen haben. d) Wahr, dies olgt unmittelbar aus der Achsensmmetrie. Der Ansatz ür die Bestimmung der Funktionsterme ist jeweils der Satz vom Nullprodukt. Ein weiterer Punkt mit ganzzahligen Koordinaten in der Regel der Schnittpunkt mit der -Achse dient dazu, durch Punktprobe den Funktionsterm vollständig zu bestimmen. a) () = a ( + ) ( ) ( ); P ( 0 ) ; = a; a = ; () = ( + ) ( ) ( ) b) () = a ( + ) ( ) ( ); P ( 0 ) ; = 6 a; a = _ ; () = _ ( + ) ( ) ( ) c) () = a ( + ) (,) ( ); P ( 0 ) ; = 6 a; a = _ ; () = _ ( + ) (,) ( ) d) () = a ( + ) ( ); P ( ) ; = a; a = _ ; () = _ ( + ) ( ) a) () = _ ( + ) ( ) b) () = a ( _ ) ( + 9 _ ) und a < 0 c) () = ( + ) ( ) a) Die Lage der Nullstellen wird nicht verändert. Denn ür eine Stelle gilt () = 0 genau dann, wenn a () = 0. b) Die Nullstellen werden verändert, z. B. bei () = sind die Nullstellen und, während bei g () = () + die Nullstellen 9 _ und 9 _ sind. c) Die Lage der Nullstellen wird nicht verändert. Denn ür eine Stelle gilt () = 0 genau dann, wenn ( () ) = 0. L

13 Schülerbuchseiten 9 0 Ekursion Seite 9 a) In der zweiten Multiplikation sind die Zahlen und in Hunderter, Zehner und Einer augeteilt und jeweils als Produkte geschrieben (00 als 00 = 0 usw.). In der dritten Multiplikation werden die Zehnerpotenzen durch eine Variablenschreibweise ersetzt. 0 durch usw. b) Mithile des Distributivgesetzes (Ausmultiplizieren): ( ) ( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = = = Nach der Methode im Buch: ( ) ( ) Beide Methoden ühren zum selben Ergebnis. a) In der zweiten Division sind die Zahlen 6 und in Tausender, Hunderter, Zehner und Einer augeteilt und jeweils als Produkte geschrieben (6000 als = 6 0 usw.). In der dritten Division werden die Zehnerpotenzen durch eine Variablenschreibweise ersetzt. 0 durch usw. b) Wie bei der ersten Division wird bei der zweiten und dritten Division stellenweise vorgegangen. Nur dass die Stellen nicht ziernweise gelesen werden, sondern in der Stellenschreibweise mit den Potenzen 6 0 bzw. 6. a) + +, denn ( + + ) ( + ) = b) +, denn ( + ) ( + + ) = c) +, denn ( + ) ( + + ) = d) + +, denn ( + + ) ( + ) = Seite 0 a) ( + + ) : ( + ) = + b) ( ) : ( ) = + c) ( ) : ( ) = + + d) ( ) : ( + ) = + Alle Funktionen in den Teilaugaben haben den Grad. Sie können also höchstens drei Nullstellen haben. a) = ; = und = 9 () = ( ) ( + ) ( + 9) b) = ; = und = 7 () = ( ) ( + ) ( + 7) c) = ; = _ 6 und = 9 _ 6 () = ( ) ( 9 _ 6 ) ( + 9 _ 6 ) d) = ; = 0, und = 0, () = ( + ) ( + 0,) ( 0,) e) = _ ; = und = () = ( + _ ) ( + ) ( ) ) = 0,; = und = () = ( 0,) ( ) ( + ) 6 a) Durch gezieltes Probieren indet man zum Beispiel heraus, dass () = 0 ist. Polnomdivision: ( ) : ( ) = + 6 Lösungen der Gleichung + 6 = 0: und Nullstellen von :, und Linearaktorzerlegung: () = ( ) ( ) ( ) b) Durch gezieltes Probieren indet man zum Beispiel heraus, dass () = 0 ist. Polnomdivision: ( + ) : ( () ) = Lösungen der Gleichung = 0: und Nullstellen von :, und Linearaktorzerlegung: () = ( + ) ( + ) ( ) c) Durch gezieltes Probieren indet man zum Beispiel heraus, dass () = 0 ist. Polnomdivision: ( 8 ) : ( ) = + + Lösung der Gleichung + + = 0: 0, Die Nullstellen von : und 0, Linearaktorzerlegung: () = ( ) ( + 0,) d) Durch gezieltes Probieren indet man zum Beispiel heraus, dass () = 0 ist. Polnomdivision: ( ) : ( () ) = 0 + Lösung der Gleichung 0 + = 0: 0, Nullstellen von : und 0, Linearaktorzerlegung: () = ( + ) ( 0,) 7 a) = a; = b und = c sind die Nullstellen. b) () = a b c + a b + a c + b c a b c = (a + b + c) + (a b + b c + a c) a b c c) Das absolute Glied ist hier der Teilterm a b c. Er setzt sich aus den drei Parametern aus der Linearaktorzerlegung zusammen. Alle drei Zahlen a, b und c sind Nullstellen des Funktionsterms und gleichzeitig auch Teiler vom Produkt a b c. 8 Zur Erläuterung wird ein Beispiel aus Augabe betrachtet. () = ist ein Polnom vom Grad. Die Gleichung = 0 hat die angegebene Lösung =. Mithile der Polnomdivision erhält man: ( ) : ( ) = L

14 Schülerbuchseite 0 Man kann das Polnom demnach auch als Produkt schreiben: = ( + + 8) ( ), wobei der erste Faktor ein Polnom vom Grad ist. Au diese Weise kann man die Nullstellen der Funktion bestimmen. L

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