Hauptprüfung Abiturprüfung 2016 (ohne CAS) Baden-Württemberg

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Carin Maurer
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1 Baden-Württemberg: Abitur 06 Wahlteil B Hauptprüfung Abiturprüfung 06 (ohne CAS) Baden-Württemberg Wahlteil Analytische Geometrie / Stochastik Hilfsmittel: GTR und Formelsammlung allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz April 06

2 Baden-Württemberg: Abitur 06 Wahlteil B Aufgabe B.: Die Punkte A(0/-6/0), B(6/0/0), C(0/6/0) und S(0/0/5) sind die Eckpunkte der Pyramide ABCS. Der Punkt M ist der Mittelpunkt der Kante AS und M ist der Mittelpunkt der Kante CS. Die Ebene E verläuft durch M, M und B. a) Die Ebene E schneidet die Pyramide in einer Schnittfläche. Stellen Sie Pyramide und Schnittfläche in einem Koordinatensystem dar. Berechnen Sie den Umfang der Schnittfläche. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von E. (Teilergebnis: E: 5x + x3 = 30 ) (4 VP) b) Der Punkt Q liegt auf der Kante BS und bildet mit M und M ein rechtwinkliges Dreieck. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes Q. (3 VP) c) Der Punkt Z liegt in der xx3 -Ebene und im Innern der Pyramide ABCS. Er hat von der Grundfläche ABC, der Seitenfläche ACS und von E den gleichen Abstand. Bestimmen Sie die Koordinaten von Z. (3 VP) Aufgabe B. Eine Tanzgruppe besteht aus 8 Anfängerpaaren und 4 Fortgeschrittenenpaaren. Aus der Erfahrung vergangener Jahre weiß man, dass Anfängerpaare mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% bei den abendlichen Tanzstunden anwesend sind, Fortgeschrittenenpaare mit einer Wahrscheinlichkeit von 75%. Man geht davon aus, dass die Entscheidungen der Tanzpaare über die Teilnahme an der Tanzstunde voneinander unabhängig sind. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an einem Abend mindestens 6 Anfängerpaare und höchstens 3 Fortgeschrittenenpaare anwesend sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an einem Abend mindestens Paare anwesend sind? (5 VP)

3 Baden-Württemberg: Abitur 06 Wahlteil B Aufgabe B.: a) Berechnung der beiden Mittelpunkte: Lösungen M ( / / ) M (0 / 3 /,5) M ( / / ) M (0 / 3 /,5) Darstellung der Pyramide und Schnittfläche im Koordinatensystem: Umfang der Schnittfläche: U = MM + BM + BM = = , ,5 0,5,5 U = 6 + 5,5 = 0,3 LE Gleichung der Ebene E: Parametergleichung der Ebene durch die Punkte M, M und B: E: x = 0 + r 3 + s 3 0,5,5 Normalenvektor von N: n = 3 3 = 0,5,5 36 3

4 Baden-Württemberg: Abitur 06 Wahlteil B Vereinfachung des Normalenvektors zu 5 n * = 0 Ansatz für die Koordinatengleichung von E: 5x + x3 = d Einsetzen von B(6/0/0) ergibt sich d = 30. Koordinatengleichung von E: 5x + x3 = b) Gleichung der Gerade durch B und S: g: x = 0 + t Der gesuchte Punkt Q, der auf g liegt, besitzt die allgemeinen Koordinaten Q(6 6t / 0 / 5t). Man kann rein anschaulich erkennen, dass bei einem rechtwinkligen Dreieck der rechte Winkel nur im Punkt Q liegen kann. Daher muss gelten: MQ MQ = 0 6 6t 6 6t = + = 5t,5 5t,5 3 3 (6 6t) 9 (5t,5) 0 Lösung der Gleichung mit dem GTR ergibt t = 0,5 oder t =,09. Für t = 0,5 ergibt sich der Punkt Q(3/0/,5). Für t =,09 ergibt sich der Punkt Q(-0,54/0/5,45). Dieser liegt jedoch nicht auf der Kante BS, da der x-wert negativ ist. Daher ist der gesuchte Punkt Q(3/0/,5). c) Der Punkt Z liegt in der xx3 -Ebene, also ist die x -Koordinate 0. Da er von der Grundfläche ABC und der Seitenfläche ACS den gleichen Abstand besitzt muss seine x- und x3 -Koordinate gleich groß sein Somit hat Z die allgemeinen Koordinaten Z(a/0/a), wobei der Abstand zu der Seitenfläche und der Grundfläche jeweils a beträgt. Daher muss der Abstand von Z zur Ebene E ebenfalls gleich a sein. Hesse'sche Normalenform von E: Bedingung: d(z,e) = a 5x + x = 0 4

5 Baden-Württemberg: Abitur 06 Wahlteil B Einsetzen von Z in die HNF: 5a + a 30 = a 7a 30 = a.fall: 7a 30 = a 7a 30 = a a = 7,5.Fall: 7a 30 = a 7a 30 = a a = Für a = 7,5 ergäbe sich der Punkt Z(7,5/0/7,5). Für a = ergäbe sich der Punkt Z(/0/). Da der Punkt Z(7,5/0/7,5) außerhalb der Pyramide ABCS liegt, kommt als Punkt nur Z(/0/) in Frage. Aufgabe B.: Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der anwesenden Fortgeschrittenenpaare an. X ist binomialverteilt mit n = 4 und p = 0,75. Die Zufallsvariable Y gibt die Anzahl der anwesenden Anfängerpaare an, Y ist binomialverteilt mit n = 8 und p = 0,90. P(alle 4 Fortgeschrittenenpaare sind anwesend) = 4 P(X = 4) = 0,75 = 0,36 P(mindestens 6 Anfängerpaare und höchstens 3 Fortgeschrittenenpaare) = P(Y 6) P(X 3) = ( P(Y 5)) P(X 3) = 0,96 0,684 = 0,658 (GTR) Mindestens Paare sind anwesend wenn: 8 Anfängerpaare und 4 Fortgeschrittenenpaare anwesend sind oder 8 Anfängerpaare und 3 Fortgeschrittenenpaare anwesend sind oder 7 Anfängerpaare und 4 Fortgeschrittenenpaare anwesend sind P(Y = 8) P(X = 4) + P(Y = 8) P(X = 3) + P(Y = 7) P(X = 4) = 0,43 0,36 + 0,43 0,4 + 0,383 0,36 = 0,438 Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens Paare anwesend sind, beträgt ca. 44%. 5

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