Regelsysteme Übung: Reglerentwurf nach Spezifikation im Zeitbereich. Damian Frick. Herbstsemester Institut für Automatik ETH Zürich

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1 Regelsysteme 6. Übung: Reglerentwurf nach Spezifikation im Zeitbereich Damian Frick Institut für Automatik ETH Zürich Herbstsemester 205 Damian Frick Regelsysteme Herbstsemester 205

2 6. Übung: Reglerentwurf nach Spezifikation im Zeitbereich Gliederung 6.. Allgemeine Vorgehensweise Reglerentwurf 6.2. Dynamische Kompensatoren 6.3. Gain- und Phase-margin 6.4. Reglergüte: Einfluss Pol-Lage 6.5. Tools in MATLAB 6.6. Ankündigung Kurztest und Control Challenge Damian Frick Regelsysteme Herbstsemester 205

3 Allgemeine Vorgehensweise Reglerentwurf Vorgehensweise Reglerentwurf Ziele: Stabilität (des geschlossenen Systems) Reglergüte (Kriterien im Zeit- und Frequenz-Bereich) Überschwingen, Anstiegszeit, Dämpfung,... Bleibender Regelfehler, Störgrössenunterdrückung,... Robustheit Phase- und Gain-margin,... Damian Frick Regelsysteme Herbstsemester

4 Allgemeine Vorgehensweise Reglerentwurf Vorgehensweise Reglerentwurf: Stabilität Wahl Reglerstruktur (z.b. P, PI, PID, Lead/Lag Kompensator) z.b. PI-Regler: K ( + ) T I s Kriterien aus folgenden Stabilitätsbedingungen herleiten: Nyquist, Bode (siehe letzte Woche) 2 Routh-Tableau (siehe letzte Woche) 3 Betrachtung von Gain- und Phase-margin (folgt) Parameterbereich für Stabilität (oder ggf. andere Reglerstruktur) Damian Frick Regelsysteme Herbstsemester

5 Allgemeine Vorgehensweise Reglerentwurf Vorgehensweise Reglerentwurf (Reglergüte) Herleitung von (mathematischen) Kriterien aus der Spezifikation im Zeit-/Frequenzbereich: Zulässige Pol-Lagen in der imaginären Ebene (Pole-Placement) Modifikation von T und S (Loop-Shaping) Spezialfall: System 2. Ordnung (mit zusätzlicher Nullstelle) Heuristiken (siehe Vorlesung 7): Ziegler-Nichols Åström und Hägglund Damian Frick Regelsysteme Herbstsemester

6 Übung: Reglerentwurf nach Spezifikation im Zeitbereich Der geschlossene Kreis Allgemeine Vorgehensweise Reglerentwurf W R Controller D u Plant G Y V S(s) = +G(s)D(s), T(s) = Tracking: y r T Störunterdrückung: SG, T G(s)D(s) +G(s)D(s), S + T = Können nicht alle erfüllt werden! Aber Signale sind in verschiedenen Frequenzbereichen. Also: Niedrige Frequenzen: T, S, SG, hohe Frequenzen: T Damian Frick Regelsysteme Herbstsemester

8 Dynamische Kompensatoren Dynamische Kompensatoren Lead-Kompensator (wie PD): D(s) = K Ts + αts +, α < Bietet Phasenvoreilung, z.b. Verbesserung der Phasenreserve Lag-Komensator (wie PI): D(s) = α Ts + αts +, α > Bietet zusätzlich Verstärkung, z.b. bleibender Regelfehler Lead-Lag-Komensator (wie PID): D(s) = D lead (s)d lag (s) Damian Frick Regelsysteme Herbstsemester

9 Dynamische Kompensatoren Lead-Kompensation v at D(s) = K Ts + αts + α < D(s) v T 0 db v max T 0 00 vt 20 ω max ist in der Mitte zwischen T und ω max = αt : T αt = T α D(s) f max 0. v max T 0 00 vt Frequenzgang des Lead-Kompensators mit /α = 0 [FrPE06] Damian Frick Regelsysteme Herbstsemester

10 Dynamische Kompensatoren φ max ist eine Funktion von α: Maximum phase lead a Maximale Phasenanhebung für Lead-Kompensation ([FrPE0], Abb. 6.54) 00 sin φ max = α + α α = sin φ max + sin φ max Entwurf: Gegeben ω max (wo Lead gebraucht wird), φ max die gewünschte Phasenverstärkung Wähle α = T = ω max α sin φmax +sin φ max (typisch α 0. ) Damian Frick Regelsysteme Herbstsemester

11 Lag-Kompensation Dynamische Kompensatoren 0 5 a 0 20 D(s) = α Ts + αts + ; α > 2 D(s) v at 0. 0 vt v T 0 20 db Zusätzliche Verstärkung um α im niedrigen Frequenzbereich Man wählt T weit kleiner als ω c um Phasenreserve nicht zu beeinflussen 0 30 D(s) vt Frequenzgang des Lag-Kompensators mit α = 0 [FrPE06] Damian Frick Regelsysteme Herbstsemester

13 Gain- und Phase-margin Definition Stabilitätsmasse im Nyquist-Diagram Amplitudenreserve (Gain Margin GM): Faktor, um den die Verstärkung der Strecke vergrössert werden muss, damit der Regelkreis grenzstabil wird, d.h. Faktor, um den der Betrag KG(jω u ) kleiner als ist, wenn G(jω u ) = 80 PM /GM Im[KG(s)] Re[KG(s)] Phasenreserve (Phase Margin PM): Betrag, um den die Phase der Strecke reduziert werden muss, damit der Regelkreis neutral stabil wird, d.h. Betrag, um den die Phase grösser ist als 80 wenn KG(jω c ) = (ω c = crossover frequency) KG( jv) Definition von GM und PM im Nyquist- Diagramm [FrPE06] Damian Frick Regelsysteme Herbstsemester

14 Bode-Stabilität Gain- und Phase-margin Bode-Stabilitätskriterium: Nimm an, der offene Regelkreis sei stabil und seine Amplitude und Phase seien stetig abnehmend. Der geschlossene Regelkreis ist dann und nur dann stabil wenn KG(iω) < wo G(iω) = 80. Damian Frick Regelsysteme Herbstsemester

15 Beispiel [FrPE06] Gain- und Phase-margin Magnitude, KG( jv) K 0 K 2 K 0. /GM db Betrachte KG(s) = K s(s+) 2 K = 0. GM = 20 PM = 80 stabil Phase, G( jv) v (rad/sec) v (rad/sec) K = 2 GM = PM = 0 grenzstabil K = 0 GM = 0.25 PM = 35 instabil Damian Frick Regelsysteme Herbstsemester

17 Reglergüte: Einfluss Pol-Lage Stabiles System 2. Ordnung: ω 2 n G(s) = s 2 + 2ζω n s + ωn 2 Polstellenlage: s,2 = ω n ζ ± ω n ζ 2 Wichtige Zusammenhänge: Re{s,2 } = σ = ω n ζ Reglergüte: Einfluss Pol-Lage u sin z v n s Im(s) v d Re(s) s,2 = ω n sin θ = Re{s,2} = ζ s,2 Aus den Spezifikationen im Zeitbereich können also Bedingungen an die Pol-Lage hergeleitet werden. Damian Frick Regelsysteme Herbstsemester

18 Reglergüte: Einfluss Pol-Lage Abklingverhalten Abklingen bestimmt durch σ = ω n ζ: e s t 0.2 h(t) e st Time (sec) Exponentiell abklingende Impulsantwort eines Systems 2. Ordnung ([FrPE0], Abb. 3.20) Damian Frick Regelsysteme Herbstsemester

19 Reglergüte: Einfluss Pol-Lage Reglergüte: Spezialfall System 2. Ordnung Sprungantwort eines gedämpften Systems 2. Ordnung ([FrPE0], Abb. 3.22): ζ < : y(t) = ( ζt t e τ sin ζ 2 ζ 2 ζ 2 τ + tan ζ ) t p M p % t r t t s Anstiegszeit (rise time) t r =.8 ω n π (Anregelzeit) (peak time) t p = ω n ζ 2 Überschwingen (overshoot) M p = e πζ ζ 2, 0 ζ < Ausregelzeit (settling time) t s = 4.6 ζω n = 4.6 σ Damian Frick Regelsysteme Herbstsemester

20 Reglergüte: Einfluss Pol-Lage Reglergüte: Spezialfall System 2. Ordnung + NS in LHE ([FrPE0], Abb & 3.27) s/(αζω n ) + G(s) = (s/ω n ) 2 + 2ζ (s/ω n ) + Step response of H(s) a v n t M p.0 z a Sprungantworten von Systemen 2. Ordnung mit einer Nullstelle in Abhängigkeit der normierten Nullstellenlage α (ζ = 0.5) Überschwingen als Funktion der normierten Nullstellenlage α. Für α = stimmt der Realteil von Null- und Polstellen überein Damian Frick Regelsysteme Herbstsemester

22 Tools in MATLAB Tools in MATLAB bode, plot Bode Diagramm GM und PM anzeigen mit Rechtsklick, Minimum Stabilitymargins sisotool, design von Rückführungen (SISO) Grafisches Designinterface Pole, Nulstellen und Verstärkung können verschoben werden pidtune, design von PID-Reglern Grafisches Designinterface (MATLAB 204 pidtool) Langsamer vs. schneller, agressiver vs. robuster Damian Frick Regelsysteme Herbstsemester

24 Ankündigung Kurztest und Control Challenge Ankündigung Kurztest und Control Challenge Nicht vergessen: Nächste Woche findet der zweite Kurztest statt! Wann? Dienstag den 0.. von 0:5 Uhr bis :5 Uhr Wo? CHN C 4 (normaler Übungsraum) Was? Vorlesung 6-8 (Stabilität, Reglerentwurf im Zeit- und Frequenzbereich) Hilfsmittel: Taschenrechner + Unterlagen auf Papier Je bestandener Kurztest (0/30 Punkte) zwei Extrapunkte zur Endprüfung Musterlösung wird im Anschluss präsentiert (:5-2:00) Deadline für die nächste Aufgabe der Control Challenge: Montag den 09.. Alle Informationen sind auch auf der Kursseite zu finden. Damian Frick Regelsysteme Herbstsemester