Krümmung in der Mathematik und Physik

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1 Krümmung in der Mathematik und Physik Kählersche Geometrie auf komplexen Mannigfaltigkeiten Dr. rer. nat. Frank Morherr Justus Liebig Universität Gießen

2 Was ist Krümmung? Gerade soll Krümmung Null haben. Prototyp Kreis - großer Radius, kleine Krümmung: - kleiner Radius, große Krümmung: Daher liegt nahe zu definieren: Krümmung k = 1/R

3 Wie passt die Gerade hier rein? Erdoberfläche ist gekrümmt, trotzdem hielt sich hartnäckig bis ins 15.Jh. die Ansicht einer Scheibe. Grund: Erdradius so groß, dass man Krümmung auf 1. Blick nicht sieht. Gerade ist Kreis mit großem Radius.

4 Krümmung anderer Kurven der Gestalt Differentialrechnung: y 3.75 Steigung Kurve = Steigung Tangente = Krümmung Kurve = Krümmung des Krümmungskreises x Maß hierfür: Was ist der Krümmungskreis? ghghg Annäherung von P und P auf P ergibt Krümmungskreis mit Radius

5 Krümmung mit Vorzeichen Mathematisch positive Richtung ist entgegen dem Urzeigersinn, daher Positiv = Linkskrümmung Steigung der Ableitung wächst Negativ = Rechtskrümmung Steigung der Ableitung fällt

6 Krümmung von Kurven in anderen Darstellungen Für Kurven der Gestalt Beispiel Ellipse mit Parameter t gilt für die Krümmung

7 Schnittkrümmung von Flächen Schnitt von Flächen mit Ebenen ergibt Schnittkurven mit Krümmung Hauptkrümmungen = minimale und maximale Krümmung Satz von Meusnier: Hauptkrümmungsrichtungen stehen senkrecht aufeinander.

8 Gaußsche Krümmung K Theorema Egregium: Gaußkrümmung K hängt nur von der Inneren Geometrie der Fläche ab, nicht von dem umgebenden Raum

9 Mittlere Krümmung H Bei Minimalflächen = Flächen minimaler Oberfläche bei vorgegebenem Rand Beispiel: H = 0 Seifenhautgebilde Oberflächenenergie ist minimal

10 Bilder verschiedener Minimalflächen Enneperfläche Scherksche Fläche Katenoid Hennebergfläche

11 Geodäte ist lokal kürzeste Verbindung zweier Punkte auf einer Fläche Teile von Geraden auf Ebenen Teile von Großkreisen auf Kugeln - Fluglinien Allgemein: Lösungen der Geodätengleichung Geodäten

12 Eulersche Polyederformel und Eulercharakteristik Gegeben Polyeder (Vielflach) e : Anzahl der Ecken k : Anzahl der Kanten f : Anzahl der Flächen Dann gilt Platonsche Körper Eulercharakteristik:

13 Flächen unterschiedlicher Eulercharakteristik Kugel Torus Brezelfläche

14 Satz von Gauß-Bonnet K : Gaußkrümmung M : Fläche : Rand der Fläche : geodätische Krümmung der Randkurve von M : Eulercharakteristik von M Verbindung der topologischen Größe Eulercharakteristik mit der geometrischen Größe Krümmung

15 Anwendung des Satzes von Gauß-Bonnet Aus dem Satz von Gauß-Bonnet folgt: Die Innenwinkelsumme in einem Dreieck, dessen Randkurven aus Geodäten bestehen, ist

16 Die hyperbolische Kreisscheibe Modell einer Geometrie mit unendlich vielen Parallelen durch einen Punkt zu einer vorgegebenen Geraden. Konstruktion Geodäten Poincaré-Metrik (Längenelement):

17 Kunst von M. C. Escher

18 Der Riemannsche Krümmungstensor Auf gekrümmten Flächen ändern Vektoren nach Paralleltransport ihre Richtung. Einführung des Symbols als Ableitung des Vektorfeldes Y in Richtung des Vektorfeldes X Riemannscher Krümmungstensor:

19 Einsteinsche Feldgleichung Ric : Riccitensor R : Skalarkrümmung, Spur von Ric, R = 2K, K G.-Krümmung T : Energie-Impuls-Tensor g : Metrik (Abstandsfunktion) Spezielle Lösung: Schwarzschildmetrik eines schwarzen Loches:

20 Spezielle Relativitätstheorie Raum + Zeit = Raumzeit Zeitdehnung Längenkontraktion Massenzuwachs

21 Nachweise der speziellen Relativitätstheorie

22 Allgemeine Relativitätstheorie Massen krümmen die Raumzeit, wodurch umlaufende Körper wie auf einer schiefen Ebene eine Kraft nach innen erfahren. Albert Einstein ( ) Beschrieb Verhalten von Körpern unter Schwerkraft, doch Grund für deren Existenz fand er nicht. Isaac Newton ( )

23 Allgemeine Relativitätstheorie In großen Schwerefeldern vergeht die Zeit langsamer. Auf Neutronensternen könnte man seinen Hinterkopf sehen, da Licht um den Stern herumläuft.

24 Nachweise der allgemeinen Relativitätstheorie Periheldrehung des Merkur Schwarze Löcher als Gravitationslinse Scheinbare Positionsänderung von Sternen bei totaler Sonnenfinsternis

25 Zukunft des Universums

26 Relativitätstheorie im Alltag Was Navigationssysteme mit Einstein zu tun haben Global Position System (GPS)

27 Komplexe Mannigfaltigkeiten Topologische Mannigfaltigkeit mit biholomorphen Kartenwechselhomöomorphismen U offen, Karte (U,φ) Atlas biholomorphe Kartenwechsel

28 De Rham- und Dolbeault-Kohomologie Differenzierbaren n-dim reelle Mannigfaltigkeit M: Basis eines lokalen Tangentialraums Basis des lokalen Cotangentialraumes De Rham-Kohomologiegruppe

29 M komplexe n-dim Mannigfaltigkeit. Basis des lokalen Tangentialraumes Basis des lokalen Cotangentialraumes Zerlegung der n-differentialformen liefert Mit den Operatoren Bekommt man die Dolbeault-Kohomologie-Gruppen

30 Kählermetriken Sei M eine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit. Eine hermitesche ( ) Metrik auf M mit zugehöriger Differentialform heißt Kählermetrik, falls ( also ) Eine Kählermetrik heißt Ricci-flach, wenn der Ricci-Krümmungstensor verschwindet, der im Kählerfall folgende Gestalt hat Eigenschaft Kähler-Einstein-Metrik:

31 Kählermetriken und Kohomologie Für Kähler-Metriken mit zugehörigen Kählerformen gilt: d.h. zwei Kähler-Metriken liefern dieselbe Kohomologieklasse in genau dann, wenn Kählerformen sich um Potential Unterscheiden löste S.T. Yau das Calabi-Problem für den Fall trivialer erster Chern-Klasse: M kompakte holomorphe Mannigfaltigkeit mit trivialem kanonischen Bündel In jeder Kähler-Klasse existiert ein Ricci-flacher Repräsentant.

32 Beispiele für Mannigfaltigkeiten mit trivialem kanonischen Bündel Tori, d.h. wobei ein Gitter ist. Von euklidischer Metrik induzierte Metrik liefert ricci-flache Kählerform. glatte Hyperflächen M im projektiven Raum vom Grad n+1, allgemeiner von vollständigen Durchschnitten mit geeigneten Graden. Adjunktionsformel kanonisches Bündel trivial. Hyperflächen mit Lefschetz). Kähler-Kegel wird erzeugt von der Einschränkung der Fubini-Study-Metrik. (Satz von

33 Calabi-Yau-Varietäten, speziell: K3-Flächen M: trivial und es existieren keine globalen holomorphen 1-Formen: Suche nach Ricci-flachen Kähler-Metriken motiviert durch Resultat von Y.-T. Siu, 1983: jede K3-Fläche ist kählersch, spezielle K3-Flächen: desingularisierte Kummerflächen.

34 Kummerflächen und Singularitätenauflösung Konstruktion von Kummerflächen mithilfe von prinzipal polarisierten abelschen Flächen, d.h. algebraische Tori mit amplem Geradenbündel und eindimensionalem Linearsystem. -Involution operiert auf X durch mit 16 verschiedenen Fixpunkten welche 16 Singularitäten vom Typ liefern. heißt dann singuläre Kummerfläche. Diese hängt noch von der Wahl des Gitters ab. Minimale Auflösung Jede singuläre algebraische Fläche besitzt minimales glattes Modell. Hier: Exzeptioneller Divisor aus rat. Kurven mit Selbstschnittzahl -2.

35 Auflösung im Fall (lokale Beschreibung) Cartan: Quotient einer algebraischen Varietät nach endlicher Gruppe ist algebraisch, wird durch invariante Polynome gegeben. Algebra der invarianten Polynome endlich erzeugt. V ist singulär in (0,0,0). Einmaliges Aufblasen in, Übergang zur eigentlich Transformierten liefert lokale Auflösung X X kann mit Totalraum des zweifach tautologischen Geradenbündels auf

36 Ricci-flache Kählermetrik auf der Singularität Kartenwechsel des Bündels ergeben sich zu Wobei reicht,erhält man mittels ist invariant unter Kartenwechseln des Bündels. Lösen von liefert die ricci-flache Kähler-(Einstein)-Metrik Potential: (1)

37 Verallgemeinerung der Metrik Potential auf Metrikkoeffizienten Konstruktion über Automorphismen von Die Automorphismen von Faserbündel X durch operieren auf dem Als einzige vollständige Ricci-flache Metrik, welche unter Φ invariant bleibt, ergibt sich Metrik (1)

38 Verallgemeinerung der Automorphismen Auf operieren Dabei: + im Fall - im Fall Es ergibt sich eine Ricci-flache Metrik auf mit Potential Auf diese Weise lässt sich auch für und die eindeutig bestimmte vollständige Kähler-Einstein-Metrik auf Kugel ohne Nullschnitt mit konstanter negativer Ricci-Krümmung bestimmen.

39 Kummerflächen und Thetafunktionen Einbettung der abelschen Fläche, invariant unter Involution Thetafunktion Für mit zeigt langwierige Rechnung mit wobei

40 Dabei gilt in klassischer Notation für die Koeffizienten Mit den Thetanullwerten Kummerfläche invariant unter folgenden -Automorphismen

41 Sei Einparameterspezialfall von Kummerflächen wobei Kummergleichung wird zu Mit den Tetraederkoordinaten p,q,r,s. 16 Singularitäten entstehen aus unter den Automorphismen.

42 4 reelle Punkte

43 Konstruktion der Kähler-Einstein-Metrik auf der Kummerfläche aus Metrik in den Singularitäten Perioden der Thetafunktionen bestimmen sich aus abelschen Integralen wobei mit 1-Parameter Kummerfl. hat Gestalt Damit lässt sich Metrik in Thetafunktionen ausdrücken.

44 Kummerflächen bzw. Calabi-Yau in der Physik Stringtheorie: Teilchen keine Punkte, sondern vibrierende eindimensionale Objekte. Teilchen: eindimensionale Weltlinie String: zwei dimensionale Weltlinie Es überträgt sich auch der Prozess der Desingulierung (Aufblasung) der Kummerfläche Kompaktifizierung (Einrollen) der Extradimensionen zu den beobachtbaren 4 Dimensionen: Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten Literatur: Paul Aspinwall: K3 Surfaces and String Duality