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1 Lösungen u Mathematik II Elementare Lineare Algebra Blatt Nathan Bowler A: Präsenaufgaben. Basis des Zeilenraums Finden Sie mithilfe des Gauß-Verfahrens eine Basis des Zeilenraums der Matri. Lösung: Wir subtrahieren das Zweifache der ersten Zeile von der Zweiten, und addieren die erste Zeile u der Dritte. Wir teilen die weite Zeile durch, dann addieren das Dreifache davon u der Dritten. Wir multipliieren die dritte Zeile mit -. Diese Matri ist in Zeilenstufenform, also bilden die von Null verschiedenen Zeilen eine Basis des Zeilenraums: {,,,,,,,, }.. Basis des Spaltenraums Finden Sie mithilfe des Gauß-Verfahrens eine Basis des Spaltenraums der Matri 4. Lösung: Der Spaltenraum der matri ist gleich der Zeilenraum der transponierten Matri 4 Diesen Zeilenraum finden wir wie in Aufgabe. Wir vertauschen die erste wei Zeilen, dann subtrahieren das Vierfache der ersten Zeile von der Dritten. 9 4

2 Wir teilen die weite Zeile durch -, dann subtrahieren das Neunfache davon von der Dritten. 4 Wir teilen die dritte Zeile durch 4. Diese Matri ist in Zeilenstufenform. Die gesuchte Basis ist deshalb {,,,,,,,, }.. Basis des Kerns Finden Sie mithilfe des Gauß-Jordan Verfahrens eine Basis des Kerns der Matri 4. Lösung: Wir teilen die erste Zeile durch und subtrahieren sie von der Zweiten. Wir multipliieren die weite Zeile durch und subtrahieren die Hälfte davon von der Ersten. Für jedes Element B: Aufgaben =. Basis des Zeilenraums des Kerns gilt deshalb = und =, woraus folgt. Deshalb ist eine Basis des Kerns. Finden Sie mithilfe des Gauß-Verfahrens eine Basis des Zeilenraums der Matri =. Lösung: Wir subtrahieren das Zweifache der ersten Zeile von der Zweiten und addieren die erste Zeile u der Dritten. 4 Wir teilen die wiete Zeile durch, dann subtrahieren das Vierfache davon von der Dritten.

3 Wir teilen die dritte Zeile durch. Diese Matri ist in Zeilenstufenform, also bilden die von Null verschiedenen Zeilen eine Basis des Zeilenraums: {,,,,,,,, }.. Basis des Spaltenraums Finden Sie mithilfe des Gauß-Verfahrens eine Basis des Spaltenraums der Matri. Lösung: Der Spaltenraum der matri ist gleich der Zeilenraum der transponierten Matri Diesen Zeilenraum finden wir wie in Aufgabe. Wir teilen die erste Zeile durch und addieren passende Vielfäche davon u den Anderen. Wir teilen die weite Zeile durch Wir teilen die weite Zeile durch und die Dritte durch und addieren passende Vielfäche davon u den anderen. Diese Matri ist in Zeilenstufenform. Die gesuchte Basis ist deshalb {,,,,,,,. Basis des Kerns Finden Sie mithilfe des Gauß-Jordan Verfahrens eine Basis des Kerns der Matri.,,,,,,,, } Lösung: Wir subtrahieren passende Vielfäche der ersten Zeile von den Anderen.

4 Wir teilen die weite Zeile durch - und addieren das Zweifache davon u der Dritten. Wir subtrahieren die weite Zeile von der Ersten. Für ein Element = des Kerns gilt deshalb = und =. Es folgt, dass. Deshalb ist eine Basis des Kerns. = 4. Basis des Zeilenraums Finden Sie mithilfe des Gauß-Verfahrens eine Basis der linearen Hülle der Vektoren,,,,, und,, in R. Wir wenden das Gauß-Verfahren an für die Matri, deren Zeilen die gegebenen Vektoren sind: Wir vertauschen die ersten wei Zeilen. Wir teilen die erste Zeile durch und addieren das Dreifache davon u der Dritten. 4 4 Wir addieren das Vierfache der weiten Zeile u der Dritten und das Zweifache der weiten Zeile u der Ersten. Die gesuchte Basis ist also {,,,,, }.. Rang und die Dimension des Kerns Was ist der Rang der Matri A = Was ist die Dimension des Kerns von A T? ? Was ist die Dimension des Kerns von A?

5 Lösung: Der Rang ist, weil der Zeilenraum von 4,, 6 ereugt wird. Die Dimension des Kerns ist die Anahl von Spalten minus die Dimension: - =. Die Dimension des Kerns der transponierten Matri ist die Anahl von Zeilen minus die Dimension: - =.

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