Finden Sie mithilfe des Gauß-Verfahrens eine Basis des Zeilenraums der Matrix
|
|
- Frida Mann
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Lösungen u Mathematik II Elementare Lineare Algebra Blatt Nathan Bowler A: Präsenaufgaben. Basis des Zeilenraums Finden Sie mithilfe des Gauß-Verfahrens eine Basis des Zeilenraums der Matri. Lösung: Wir subtrahieren das Zweifache der ersten Zeile von der Zweiten, und addieren die erste Zeile u der Dritte. Wir teilen die weite Zeile durch, dann addieren das Dreifache davon u der Dritten. Wir multipliieren die dritte Zeile mit -. Diese Matri ist in Zeilenstufenform, also bilden die von Null verschiedenen Zeilen eine Basis des Zeilenraums: {,,,,,,,, }.. Basis des Spaltenraums Finden Sie mithilfe des Gauß-Verfahrens eine Basis des Spaltenraums der Matri 4. Lösung: Der Spaltenraum der matri ist gleich der Zeilenraum der transponierten Matri 4 Diesen Zeilenraum finden wir wie in Aufgabe. Wir vertauschen die erste wei Zeilen, dann subtrahieren das Vierfache der ersten Zeile von der Dritten. 9 4
2 Wir teilen die weite Zeile durch -, dann subtrahieren das Neunfache davon von der Dritten. 4 Wir teilen die dritte Zeile durch 4. Diese Matri ist in Zeilenstufenform. Die gesuchte Basis ist deshalb {,,,,,,,, }.. Basis des Kerns Finden Sie mithilfe des Gauß-Jordan Verfahrens eine Basis des Kerns der Matri 4. Lösung: Wir teilen die erste Zeile durch und subtrahieren sie von der Zweiten. Wir multipliieren die weite Zeile durch und subtrahieren die Hälfte davon von der Ersten. Für jedes Element B: Aufgaben =. Basis des Zeilenraums des Kerns gilt deshalb = und =, woraus folgt. Deshalb ist eine Basis des Kerns. Finden Sie mithilfe des Gauß-Verfahrens eine Basis des Zeilenraums der Matri =. Lösung: Wir subtrahieren das Zweifache der ersten Zeile von der Zweiten und addieren die erste Zeile u der Dritten. 4 Wir teilen die wiete Zeile durch, dann subtrahieren das Vierfache davon von der Dritten.
3 Wir teilen die dritte Zeile durch. Diese Matri ist in Zeilenstufenform, also bilden die von Null verschiedenen Zeilen eine Basis des Zeilenraums: {,,,,,,,, }.. Basis des Spaltenraums Finden Sie mithilfe des Gauß-Verfahrens eine Basis des Spaltenraums der Matri. Lösung: Der Spaltenraum der matri ist gleich der Zeilenraum der transponierten Matri Diesen Zeilenraum finden wir wie in Aufgabe. Wir teilen die erste Zeile durch und addieren passende Vielfäche davon u den Anderen. Wir teilen die weite Zeile durch Wir teilen die weite Zeile durch und die Dritte durch und addieren passende Vielfäche davon u den anderen. Diese Matri ist in Zeilenstufenform. Die gesuchte Basis ist deshalb {,,,,,,,. Basis des Kerns Finden Sie mithilfe des Gauß-Jordan Verfahrens eine Basis des Kerns der Matri.,,,,,,,, } Lösung: Wir subtrahieren passende Vielfäche der ersten Zeile von den Anderen.
4 Wir teilen die weite Zeile durch - und addieren das Zweifache davon u der Dritten. Wir subtrahieren die weite Zeile von der Ersten. Für ein Element = des Kerns gilt deshalb = und =. Es folgt, dass. Deshalb ist eine Basis des Kerns. = 4. Basis des Zeilenraums Finden Sie mithilfe des Gauß-Verfahrens eine Basis der linearen Hülle der Vektoren,,,,, und,, in R. Wir wenden das Gauß-Verfahren an für die Matri, deren Zeilen die gegebenen Vektoren sind: Wir vertauschen die ersten wei Zeilen. Wir teilen die erste Zeile durch und addieren das Dreifache davon u der Dritten. 4 4 Wir addieren das Vierfache der weiten Zeile u der Dritten und das Zweifache der weiten Zeile u der Ersten. Die gesuchte Basis ist also {,,,,, }.. Rang und die Dimension des Kerns Was ist der Rang der Matri A = Was ist die Dimension des Kerns von A T? ? Was ist die Dimension des Kerns von A?
5 Lösung: Der Rang ist, weil der Zeilenraum von 4,, 6 ereugt wird. Die Dimension des Kerns ist die Anahl von Spalten minus die Dimension: - =. Die Dimension des Kerns der transponierten Matri ist die Anahl von Zeilen minus die Dimension: - =.
(c) x 2 + 3x 3 = 1 3x 1 + 6x 2 3x 3 = 2 6x 1 + 6x x 3 = 5
Musterlösungen zu Mathematik II (Elementare Lineare Algebra) Blatt Nathan Bowler A: Präsenzaufgaben. Zeilenstufenform und reduzierte Zeilenstufenform erkennen Welche der folgenden Matrizen sind in Zeilenstufenform?
MehrRepetition: Schreibweisen
: : Ausgeschrieben : Ausgeschrieben a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2... =... a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n = b m : Ausgeschrieben a 11 x 1 + a 12
MehrTutorium: Analysis und Lineare Algebra
Tutorium: Analysis und Lineare Algebra Vorbereitung der Bonusklausur am 14.5.218 (Teil 2) 9. Mai 218 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 218 Steven Köhler 9. Mai 218 3 c 218
MehrDer Kern einer Matrix
Die elementaren Zeilenoperationen p. 1 Der Kern einer Matrix Multipliziert man eine Matrix mit den Spaltenvektoren s 1,..., s m von rechts mit einem Spaltenvektor v := (λ 1,..., λ m ) T, dann ist das Ergebnis
MehrMathematik II für Studierende der Informatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2018
(Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2018 15. April 2018 1/46 Die Dimension eines Vektorraums Satz 2.27 (Basisergänzungssatz) Sei V ein Vektorraum über einem Körper K. Weiter seien v 1,...,
MehrMischungsverhältnisse: Nehmen wir an, es stehen zwei Substanzen (zum Beispiel Flüssigkeiten) mit spezifischen Gewicht a = 2 kg/l bzw.
Kapitel 5 Lineare Algebra 51 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Man begegnet Systemen von linearen Gleichungen in sehr vielen verschiedenen Zusammenhängen, etwa bei Mischungsverhältnissen von Substanzen
MehrLineare Algebra, Prüfung mit Lösungen
Lineare Algebra, Prüfung mit Lösungen M. Gruber.Juli, 8:{:, R.8 (5), R.9 (5), R. (), R. (); Code. . Sei A eine Matrix, die durch die ublichen Zeilenoperationen in die Form gebracht werden kann. R = 5 a)
Mehra i j (B + C ) j k = n (a i j b j k + a i j b j k ) =
Lösungen Lineare Algebra für Physiker, Serie 2 Abgabe am 25.10.2007 1. Es seien A K m n, B,C K n p und D K p q gegeben. 9 P (a) Beweisen Sie das Distributivgesetz A(B + C ) = A B + AC. (b) Beweisen Sie
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FERIENKURS. Lineare Algebra FLORIAN NIEDERREITER & AILEEN WOLF
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FERIENKURS Lineare Algebra FLORIAN NIEDERREITER & AILEEN WOLF 07.03.2016-11.03.2016 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Rechnen mit Matrizen 2 1.1 Matrixmultiplikation............................................
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 18. April 2016 Übersicht über die Methoden Seien v 1,..., v r Vektoren in K n. 1. Um zu prüfen, ob die Vektoren v 1,...,
MehrTutorium: Diskrete Mathematik. Matrizen
Tutorium: Diskrete Mathematik Matrizen Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de Definition I Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung (Tabelle) von Elementen, mit denen man in bestimmter
MehrDefinition Für n, k 2 N sei. R n k := R n R n R n =(R n ) k. die Menge der (n k)-matrizen. Ein Element M 2 R n k heißt (n k)-matrix.
.5 Matrizen 39 / Definition.8 Für n, k 2 N sei R n k := R n R n R n =(R n ) k die Menge der (n k)-matrizen. Ein Element M 2 R n k heißt (n k)-matrix. 40 / Bemerkung Eine (n k)-matrix hat n Zeilen und k
MehrAllgemeines Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen. Der erste Index bezeichnet die Nummer der Zeile, der zweite die der Spalte.
Lineare Gleichungssysteme. Einleitung Lineare Gleichungssysteme sind in der Theorie und in den Anwendungen ein wichtiges Thema. Theoretisch werden sie in der Linearen Algebra untersucht. Die Numerische
MehrLösung Serie 10: Elementare Zeilenumformungen & Elementarmatrizen, Rang & Inverse einer Matrix
D-MATH/D-PHYS Lineare Algebra I HS 26 Dr. Meike Akveld Lösung Serie : Elementare Zeilenumformungen & Elementarmatrizen, Rang & Inverse einer Matrix. a) Sei w ImT + T 2 ), dann existiert ein v V, so dass
MehrSerie 11: Lineare Gleichungssysteme, Gauss-Elimination & LR-Zerlegung
D-MATH/D-PHYS Lineare Algebra I HS 2017 Dr. Meike Akveld Serie 11: Lineare Gleichungssysteme, Gauss-Elimination & LR-Zerlegung 1. In dieser Aufgabe beweisen wir die Existenz der LR-Zerlegung einer quadratischen
MehrLineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG
R Käppeli L Herrmann W Wu Herbstsemester 26 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 2 Aufgabe 2 Welche der folgenden Aussagen sind korrekt? (i) Jedes
Mehrm 2 m 3 m 5, m m 2
Musterlösung zum 8. Blatt 7. Aufgabe: Seien die folgenden Vektoren im R 4 gegeben: 2m 5 + 2 2m 2 2m 7 + m 2 m 3 m 5 v = m 5, v 2 = m 2, v 3 = m 7 m 2 m 3 m 5 m 2 m 3 m 5, m 5 + m 2 m 7 2m + m 2 m 4 2m
Mehr3. Übungsblatt zur Lineare Algebra I für Physiker
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Mirjam Dür Dipl. Math. Stefan Bundfuss. Übungsblatt zur Lineare Algebra I für Physiker WS 5/6 6. Dezember 5 Gruppenübung Aufgabe G (Basis und Erzeugendensystem) Betrachte
MehrLineare Gleichungssysteme
Technische Universität München Christoph Niehoff Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker Vorlesung Mittwoch WS 009/00 Die beiden Hauptthemen von diesem Teil des Ferienkurses sind Lineare Gleichungssysteme
MehrLineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG
P. Grohs T. Welti F. Weber Herbstsemester 2 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Mittsemesterprüfung HS, Typ A Name a a Note Vorname Leginummer Datum 29..2 2 4 6 Total
MehrMischungsverhältnisse: Nehmen wir an, es stehen zwei Substanzen (zum Beispiel Flüssigkeiten) mit spezifischen Gewicht a = 2 kg/l bzw.
Kapitel 5 Lineare Algebra 5 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Man begegnet Systemen von linearen Gleichungen in sehr vielen verschiedenen Zusammenhängen, etwa bei Mischungsverhältnissen von Substanzen
MehrKlausur zur Mathematik I (Modul: Lineare Algebra I)
Technische Universität Hamburg-Harburg Institut für Mathematik Prof. Dr. Anusch Taraz Sommersemester 215 Klausur zur Mathematik I (Modul: Lineare Algebra I) 28.8.215 Sie haben 6 Minuten Zeit zum Bearbeiten
Mehr3 Lineare Algebra (Teil 1): Lineare Unabhängigkeit
3 Lineare Algebra (Teil : Lineare Unabhängigkeit 3. Der Vektorraum R n Die Menge R n aller n-dimensionalen Spalten a reeller Zahlen a,..., a n R bildet bezüglich der Addition a b a + b a + b. +. :=. (53
MehrSerie 8: Online-Test
D-MAVT Lineare Algebra I HS 017 Prof Dr N Hungerbühler Serie 8: Online-Test Einsendeschluss: Freitag, der 4 November um 14:00 Uhr Diese Serie besteht nur aus Multiple-Choice-Aufgaben und wird nicht vorbesprochen
Mehr10 B Verpackte Zahlen. Terme vereinfachen. 401 Vereinfache die Terme. 402 Bilde das Produkt und schreibe den Term als Summe.
Verpackte Zahlen 10 1 3 Arbeitsheft+ weitere Aufgaben «Zusatzanforderungen» Terme vereinfachen 401 Vereinfache die Terme. a b b 5c 3a = 30a b c A 3x 5y z y = B 4z 0,5x 0,5z = C x y x 3y = D a 4b 3a 5b
MehrLineare Gleichungssysteme - Grundlagen
Lineare Gleichungssysteme - Grundlagen Betrachtet wird ein System linearer Gleichungen (im deutschen Sprachraum: lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen für n Unbekannte, m, n N. Gegeben sind m n Elemente
MehrZeilenstufenform. Wir beweisen nun den schon früher angekündigten Satz.
Zeilenstufenform Wir beweisen nun den schon früher angekündigten Satz. Satz. Jede m n-matrix A lässt sich durch elementare Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform und analog durch elementare Spaltenumformungen
MehrMathematik II für Studierende der Informatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2018
(Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2018 5. April 2018 Zu der Vorlesung wird ein Skript erstellt, welches auf meiner Homepage veröffentlicht wird: http://www.math.uni-hamburg.de/home/geschke/lehre.html
MehrSerie 8: Fakultativer Online-Test
Prof Norbert Hungerbühler Lineare Algebra I Serie 8: Fakultativer Online-Test ETH Zürich - D-MAVT HS 215 1 Diese Serie besteht nur aus Multiple-Choice-Aufgaben und wird nicht vorbesprochen Die Nachbesprechung
MehrTutorium: Analysis und Lineare Algebra. Vorbereitung der Bonusklausur am (Teil 1, Lösungen)
Tutorium: Analysis und Lineare Algebra Vorbereitung der Bonusklausur am 22.5.217 (Teil 1, Lösungen) 1. Mai 217 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 217 Steven Köhler 1. Mai 217
MehrKapitel 3 Lineare Algebra
Kapitel 3 Lineare Algebra Inhaltsverzeichnis VEKTOREN... 3 VEKTORRÄUME... 3 LINEARE UNABHÄNGIGKEIT UND BASEN... 4 MATRIZEN... 6 RECHNEN MIT MATRIZEN... 6 INVERTIERBARE MATRIZEN... 6 RANG EINER MATRIX UND
MehrMATHEMATIK II FÜR STUDIERENDE DER INFORMATIK UND WIRTSCHAFTSINFORMATIK (ANALYSIS UND LINEARE ALGEBRA) IM SOMMERSEMESTER Inhaltsverzeichnis
MATHEMATIK II FÜR STUDIERENDE DER INFORMATIK UND WIRTSCHAFTSINFORMATIK (ANALYSIS UND LINEARE ALGEBRA) IM SOMMERSEMESTER 206 STEFAN GESCHKE Inhaltsverzeichnis Einleitung 3 Literatur 3. Lineare Gleichungssysteme
MehrMATHEMATIK II FÜR STUDIERENDE DER INFORMATIK UND WIRTSCHAFTSINFORMATIK (ANALYSIS UND LINEARE ALGEBRA) IM SOMMERSEMESTER Inhaltsverzeichnis
MATHEMATIK II FÜR STUDIERENDE DER INFORMATIK UND WIRTSCHAFTSINFORMATIK (ANALYSIS UND LINEARE ALGEBRA) IM SOMMERSEMESTER 208 STEFAN GESCHKE Inhaltsverzeichnis Einleitung 3 Literatur 3. Lineare Gleichungssysteme
MehrTutorium: Analysis und Lineare Algebra
Tutorium: Analysis und Lineare Algebra Vorbereitung der Bonusklausur am 14052018 (Teil 1) 7 Mai 2018 Steven Köhler mathe@stevenkoehlerde mathestevenkoehlerde 2 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018 Matrizen
MehrLineare Algebra 2013 Lösungen für Test und Zusatzfragen
Lineare Algebra 3 Lösungen für Test und Zusatzfragen Test Multiple Choice. Seien Für die Lösung x x x x 3 A, b des Systems Ax b gilt x 3 5 x 3 x 3 3 x 3 / Mit elementaren Zeilenoperationen erhalten wir
Mehr4.4. Rang und Inversion einer Matrix
44 Rang und Inversion einer Matrix Der Rang einer Matrix ist die Dimension ihres Zeilenraumes also die Maximalzahl linear unabhängiger Zeilen Daß der Rang sich bei elementaren Zeilenumformungen nicht ändert
MehrHM II Tutorium 5. Lucas Kunz. 22. Mai 2018
HM II Tutorium 5 Lucas Kunz 22. Mai 2018 Inhaltsverzeichnis 1 Theorie 2 1.1 Wiederholung Lineare Gleichungsysteme................... 2 1.2 Wiederholung: Kern einer Abbildung..................... 3 1.3
MehrTutorium: Analysis und lineare Algebra
Tutorium: Analysis und lineare Algebra Vorbereitung der ersten Bonusklausur Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 Matrizen 3 Matrizen Definition I Eine Matrix ist eine rechteckige
MehrTutorium: Analysis und lineare Algebra. Vorbereitung der ersten Bonusklausur
Tutorium: Analysis und lineare Algebra Vorbereitung der ersten Bonusklausur Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 Matrizen 3 Matrizen Definition I Eine Matrix ist eine rechteckige
MehrLösung Semesterendprüfung
MLAE Mathematik: Lineare Algebra für Ingenieure Herbstsemester Dr. Christoph Kirsch ZHAW Winterthur Lösung Semesterendprüfung Aufgabe : a Mit dem Distributivgesetz multiplizieren wir aus: und lösen nach
MehrLösung Semesterendprüfung (Nachprüfung)
MLAE Mathematik: Lineare Algebra für Ingenieure Frühlingssemester 6 Dr. Christoph Kirsch ZHAW Winterthur Lösung Semesterendprüfung (Nachprüfung Aufgabe : Aufgabe : a Gemäss Def. der Vorlesung müssen wir
MehrSerie 11: Lineare Gleichungssysteme, Gauss-Elimination & LR-Zerlegung
D-MATH/D-PHYS Lineare Algebra I HS 06 Dr. Meike Akveld Serie : Lineare Gleichungssysteme, Gauss-Elimination & LR-Zerlegung. Gegeben seien die folgenden geordneten Basen B = (v, v, v, v ) und C = (w, w,
MehrLineare Algebra, Prüfung mit Lösungen
Lineare Algebra, Prüfung mit Lösungen M. Gruber.Januar, 8:{:, R. (), R. (), R. (); Codes IB8, IC8, IF8. . ( Punkte) Gegeben sei das Gleichungssystem Ax = b mit A = a) Geben Sie eine Basis des Nullraums
MehrMathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS 2013/14 Lösungen zu den Übungsaufgaben (Vortragsübung) Blatt 7
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS 203/4 Lösungen zu den Übungsaufgaben (Vortragsübung) Blatt 7 Aufgabe 27 Sei eine lineare Abbildung f : R 4 R 3 gegeben durch f(x, x 2, x 3 ) = (2 x 3 x 2
MehrAufgabe 4 Bestimmen Sie je eine Basis des Zeilen- und des Spaltenraums der Matrix
Mathematik I für Naturwissenschaften Dr. Christine Zehrt 3..8 Übung 3 (für alle Uni Basel Besprechung der Lösungen: 7./8 Dezember 8 in den Übungsstunden Die Geo-Übungsstunde von Gioia findet am 7. Dezember
MehrMatrizen - I. Sei K ein Körper. Ein rechteckiges Schema A = wobei a ij K heißt Matrix bzw. eine m n Matrix (mit Elementen aus K).
Matrizen - I Definition. Sei K ein Körper. Ein rechteckiges Schema A = a 11 a 12...... a 1n a 21 a 22...... a 2n............ a m1 a m2...... a mn wobei j K heißt Matrix bzw. eine m n Matrix (mit Elementen
MehrTutorium: Analysis und lineare Algebra
Tutorium: Analysis und lineare Algebra Vorbereitung der ersten Bonusklausur Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de Matrizen 3 Matrizen Definition I Eine Matrix ist eine rechteckige
MehrLineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW. Beispiellösung für Serie 6. Aufgabe 6.1. Dr. V. Gradinaru K. Imeri. Herbstsemester 2018.
Dr. V. Gradinaru K. Imeri Herbstsemester 8 Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 6 Aufgabe 6. Multiple Choice: Online abzugeben. 6.a) (i) Welche der folgenden
MehrLINEARE ALGEBRA II. FÜR PHYSIKER
LINEARE ALGEBRA II FÜR PHYSIKER BÁLINT FARKAS 4 Rechnen mit Matrizen In diesem Kapitel werden wir zunächst die so genannten elementaren Umformungen studieren, die es ermöglichen eine Matrix auf besonders
Mehr5.2 Rechnen mit Matrizen
52 Rechnen mit Matrizen 52 Rechnen mit Matrizen 95 Für Matrizen desselben Typs ist eine Addition erklärt, und zwar durch Addition jeweils entsprechender Einträge Sind genauer A = (a ij ) und B = (b ij
MehrMatrixoperationen. Einige spezielle Matrizen: Nullmatrix: n-te Einheitsmatrix: E n := 0 d. TU Dresden, WS 2013/14 Mathematik für Informatiker Folie 1
Matrixoperationen Einige spezielle Matrizen: 0 0... 0 Nullmatrix:....... 0 0... 0 1 0... 0 0 1... 0 n-te Einheitsmatrix: E n :=....... 0 0... 1 d 1 0... 0 0 d 2... 0 Diagonalmatrix: diag(d 1,..., d n)
MehrBeispiele 1. Gegeben ist das lineare System. x+4y +3z = 1 2x+5y +9z = 14 x 3y 2z = 5. Die erweiterte Matrix ist
127 Die Schritte des Gauß-Algorithmus sind nun die Folgenden: 1. Wir bestimmen die am weitesten links stehende Spalte, die Einträge 0 enthält. 2. Ist die oberste Zahl der in Schritt 1 gefundenen Spalte
Mehr1.) Matrix einer linearen Abbildung
1.) Matrix einer linearen Abbildung Aufgaben: 7 restart; with(linearalgebra): Definitionen MATH: Seien und Vektorräume über dem Körper mit Basen und. Wir wollen eine bequeme Art finden, eine lineare Abbildung
MehrWiederhole die obigen Themen! Wir stellen Fragen im Testat!
1.) Wiederholung: Stetigkeit: Definition und elementare Eigenschaften, Anwendungen von Stetigkeit: Zwischenwertsatz, Intervallschachtelung, Extrema, Grenzwerte und Stetigkeit, Beispiele und erste Theorie
Mehr) sind keine Terme. Setzt man für die Variable eines Terms eine Zahl ein, so erhält man als Ergebnis wieder eine Zahl. y = 2 3 y = 11
Wert eines Terms berechnen sind sinnvolle Rechenausdrücke, die aus Zahlen, Variablen, Rechenzeichen und Klammern bestehen können. Setzt man für die Variablen Zahlen ein, so erhält man als Ergebnis wieder
MehrAufgabe 1 (a) Vorgehen wie im Beispiel auf Seite 151 des Skripts. Für die Anzahl möglicher Linearkombinationen
Mathe I für Naturwissenschaften Dr. Christine Zehrt 14.12.17 Hinweise und Ergebnisse zur Übung 13 Uni Basel Lösungshinweise Aufgabe 1 (a Vorgehen wie im Beispiel auf Seite 151 des Skripts. Für die Anzahl
MehrLösung Serie 11: Lineare Gleichungssysteme, Gauss-Elimination & LR-Zerlegung
D-MATH/D-PHYS Lineare Algebra I HS 06 Dr. Meike Akveld Lösung Serie : Lineare Gleichungssysteme, Gauss-Elimination & LR-Zerlegung. Um zu zeigen, dass es sich bei den gegebenen Vektoren um Basen handelt,
Mehr1 Lineare Unabhängigkeit Äquivalente Definition Geometrische Interpretation Vektorräume und Basen 6
Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik Dr. Thomas Zehrt Vektorräume und Rang einer Matrix Inhaltsverzeichnis Lineare Unabhängigkeit. Äquivalente Definition.............................
MehrLineare Algebra. Wintersemester 2018/19. Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen mit Einträgen in R: 4 2 = = 18.
Goethe-Universität Frankfurt Institut für Mathematik Lineare Algebra Wintersemester 218/19 Prof Dr Jakob Stix Martin Lüdtke Übungsblatt 11 15 Januar 219 Aufgabe 1 (5=1+1+1,5+1,5 Punkte) Berechnen Sie die
MehrLineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG
P Grohs T Welti F Weber Herbstsemester 25 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 8 Aufgabe 8 Basen für Bild und Kern Gegeben sind die beiden 2 Matrizen:
Mehr5.2 Rechnen mit Matrizen
52 Rechnen mit Matrizen 52 Rechnen mit Matrizen 97 Für Matrizen desselben Typs ist eine Addition erklärt, und zwar durch Addition jeweils entsprechender Einträge Sind genauer A = (a ij ) und B = (b ij
MehrD-CHAB Frühlingssemester 2018 A I = 1 2 A.
D-CHAB Frühlingssemester 08 Grundlagen der Mathematik II Dr. Marcel Dettling Lösung 5 ) Das Invertierungsverfahren für die Matrix A ergibt A I 0 0 0 0 0 0 0 0 und damit Für die Matrix B erhalten wir A
MehrD-INFK Lineare Algebra HS 2017 Özlem Imamoglu Olga Sorkine-Hornung. Musterlösung 8
D-INFK Lineare Algebra HS 27 Özlem Imamoglu Olga Sorkine-Hornung Musterlösung 8. Kern von A: Die Spalten der Matrix A sind Vielfache voneinander, also sind sie linear abhängig und A hat Rang. Somit hat
Mehr1 Linearkombinationen
Matthias Tischler Karolina Stoiber Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker WS 14/15 A 1 Linearkombinationen Unter einer Linearkombination versteht man in der linearen Algebra einen Vektor, der sich durch
MehrDas Lösen linearer Gleichungssysteme
Das Lösen linearer Gleichungssysteme Lineare Gleichungen Die Gleichung a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b ist eine lineare Gleichung in den n Variablen x 1, x 2,..., x n. Die Zahlen a 1, a 2,..., a n
MehrSerie 5. Lineare Algebra D-MATH, HS Prof. Richard Pink. 1. [Aufgabe] Invertieren Sie folgende Matrizen über Q:
Lineare Algebra D-MATH, HS 214 Prof Richard Pink Serie 5 1 [Aufgabe] Invertieren Sie folgende Matrizen über Q: 1 a) 1 1 1 1 1 2 1 1 1 b) 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 3 1 c) 1 3 3 2 2 1 5 3 1 2 6 1 [Lösung]
MehrLineare Algebra für Ingenieure
TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN SS 4 Fakultät II - Mathematik J Liesen/F Lutz/R Seiler Lineare Algebra für Ingenieure Lösungen zur Juli-Klausur Stand: 4 September 4 Rechenteil Aufgabe (8 Punkte Berechnen
Mehr10.2 Linearkombinationen
147 Vektorräume in R 3 Die Vektorräume in R 3 sind { } Geraden durch den Ursprung Ebenen durch den Ursprung R 3 Analog zu reellen Vektorräumen kann man komplexe Vektorräume definieren. In der Definition
MehrLineare Algebra I. Probeklausur - Lösungshinweise
Institut für Mathematik Wintersemester 2012/13 Universität Würzburg 19. Dezember 2012 Prof. Dr. Jörn Steuding Dr. Anna von Heusinger Frederike Rüppel Lineare Algebra I Probeklausur - Lösungshinweise Aufgabe
MehrIV.3. RANG VON MATRIZEN 81
IV3 RANG VON MATRIZEN 8 Ist b,,b n eine Basis des reellen Vektorraums V, dann bildet b,,b n auch eine Basis des komplexen Vektorraums V C Mit V ist daher auch V C endlichdimensional und es gilt dim C V
MehrUnterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Lineare Algebra: Lineare Gleichungssysteme und Matrizen
Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Lineare Algebra: Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Das komplette Material finden Sie hier: School-Scout.de Thema: Lineare Algebra:
MehrLineare Gleichungssysteme. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya
Lineare Gleichungssysteme 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya Systeme linearer Funktionen und Gleichungen y = a 1 a 2... a n lineare Funktion Funktion ersten Grades,,..., unabhängige Variablen y abhängige Variable
Mehr2.2 Lineare Gleichungssysteme (LGS)
2.2 Lineare Gleichungssysteme (LGS) Definition 2.2.. Ein LGS über einem Körper K von m Gleichungen in n Unbekannten x,..., x n ist ein Gleichungssystem der Form a x + a 2 x 2 +... + a n x n = b a 2 x +
Mehr, v 3 = und v 4 =, v 2 = V 1 = { c v 1 c R }.
154 e Gegeben sind die Vektoren v 1 = ( 10 1, v = ( 10 1. Sei V 1 = v 1 der von v 1 aufgespannte Vektorraum in R 3. 1 Dann besteht V 1 aus allen Vielfachen von v 1, V 1 = { c v 1 c R }. ( 0 ( 01, v 3 =
MehrVektorräume. 1. v + w = w + v (Kommutativität der Vektoraddition)
Vektorräume In vielen physikalischen Betrachtungen treten Größen auf, die nicht nur durch ihren Zahlenwert charakterisiert werden, sondern auch durch ihre Richtung Man nennt sie vektorielle Größen im Gegensatz
MehrProf. Dr. Markus Reineke Dr. Anna-Louise Grensing. Musterlösung zur Klausur zur Linearen Algebra I
Prof. Dr. Markus Reineke Dr. Anna-Louise Grensing Musterlösung zur Klausur zur Linearen Algebra I 1 Aufgabe 1: (8 Punkte) Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind: Aussage wahr
MehrKlassenarbeit - Abschlussarbeit
Klassenarbeit - Abschlussarbeit Größen; Schriftlich addieren; Schriftlich subtrahieren; Vielfache; Grundrechenarten; Rechenrätsel; Teilbarkeit; Runden; Flächen 3. Klasse / Mathematik Aufgabe 1 Der Preis
MehrÜbungen zum Ferienkurs Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker WiSe 2017/18 Blatt 3 - Lösung
Technische Universität München Physik Department Pablo Cova Fariña, Claudia Nagel Übungen zum Ferienkurs Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker WiSe 207/8 Blatt 3 - Aufgabe : Darstellungsmatrizen Sei
MehrLineare Algebra I 3. Tutorium Inverse Matrizen und Gruppen
Lineare Algebra I Tutorium Inverse Matrizen und Gruppen Fachbereich Mathematik WS / Prof Dr Kollross November Dr Le Roux Dipl-Math Susanne Kürsten Aufgaben Aufgabe G (Die zweite Variante des Gauß-Algorithmus)
Mehr5.7 Lineare Abhängigkeit, Basis und Dimension
8 Kapitel 5. Lineare Algebra 5.7 Lineare Abhängigkeit, Basis und Dimension Seien v,...,v n Vektoren auseinemvektorraumv über einem KörperK. DieMenge aller Linearkombinationen von v,...,v n, nämlich { n
Mehr1 Zum Aufwärmen. 1.1 Notationen. 1.2 Lineare Abbildungen und Matrizen. 1.3 Darstellungsmatrizen
1 Zum Aufwärmen 1.1 Notationen In diesem Teil der Vorlesung bezeichnen wir Körper mit K, Matrizen mit Buchstaben A,B,..., Vektoren mit u,v,w,... und Skalare mit λ,µ,... Die Menge der m n Matrizen bezeichnen
MehrD-MAVT Lineare Algebra I HS 2017 Prof. Dr. N. Hungerbühler. Lösungen Serie 14: Ferienserie
D-MAVT Lineare Algebra I HS 7 Prof. Dr. N. Hungerbühler Lösungen Serie 4: Ferienserie . Finden Sie ein Erzeugendensystem des Lösungsraums L R 5 des Systems x + x x 3 + 3x 4 x 5 = 3x x + 4x 3 x 4 + 5x 5
MehrEs wurde in der Vorlesung gezeigt, daß man die Matrixgleichung Ax=b auch in der Form
Gaußscher Algorithmus zur Lösung linearer Gleichungssysteme Wir gehen aus vom Gleichungssystem A=b. Dabei ist A M m n K, b K m. Gesucht werden ein oder alle Elemente K n, so daß obige Gleichung erfüllt
MehrGrundlegende Definitionen aus HM I
Grundlegende Definitionen aus HM I Lucas Kunz. März 206 Inhaltsverzeichnis Vektorraum 2 2 Untervektorraum 2 Lineare Abhängigkeit 2 4 Lineare Hülle und Basis 5 Skalarprodukt 6 Norm 7 Lineare Abbildungen
Mehr6.2 Rechnen mit Matrizen
62 Rechnen mit Matrizen 62 Rechnen mit Matrizen 103 Für Matrizen desselben Typs ist eine Addition erklärt, und zwar durch Addition jeweils entsprechender Einträge Sind genauer A = (a ij ) und B = (b ij
MehrLineare Gleichungssysteme (Teschl/Teschl 11.1)
Lineare Gleichungssysteme (Teschl/Teschl.) Ein Lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus m Gleichungen mit n Unbekannten x,...,x n und hat die Form a x + a 2 x 2 +... + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 +...
MehrLösung Test 1 (Nachprüfung)
MLAE Mathematik: Lineare Algebra für Ingenieure Frühlingssemester 6 Dr. Christoph Kirsch ZHAW Winterthur Lösung Test (Nachprüfung Aufgabe : a Gemäss den Algorithmen im Kap.. der Vorlesung bringen wir die
MehrLineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus
Beispiel: Lineares Gleichungssystem Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus Winter 6/7 + 9y + 7 = 4 +y = Albert Schneider Elimination von aus Gleichungen und Gleichung wird unverändert übernommen.
MehrBonusmaterial Matrizen und Determinanten. Reihen und Spalten Elementarmatrizen
Bonusmaterial Matrizen und Determinanten Zahlen in Reihen und Spalten 6 6 Elementarmatrizen 3 3 3 Wir betrachten die Matrix A = 3 3 3 R 3 3 3 3 3 Die folgende Multiplikation reeller Matrizen 0 0 3 3 3
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 25. April 2016 Die Dimensionsformel Definition 3.9 Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen. Der Kern
Mehr3 Lineare Gleichungssysteme
3 Lineare Gleichungssysteme 3 Fortsetzung des Matrizenkalküls Als erstes beweisen wir einen einfachen Satz über den Rang von Matrizenprodukten Satz 3 (a) Für Matrizen A : Ã l m, B : Ã m n gilt rang AB
MehrMathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie
Einführung I Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Dominik Schillo Universität des Saarlandes 007 (Stand: 007, 4:9 Uhr) Wie viel Kilogramm Salzsäure der Konzentration % muss
MehrLösungen Serie 2 (Lineare Gleichungssysteme, Matrizen)
Fachhochschule Nordwestschwei (FHNW Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Naturwissenschaft Lösungen Serie 2 (Lineare Gleichungsssteme, Matrien Doent: Roger Burkhardt Klasse: Studiengang ST
Mehr1 Einführung Gleichungen und 2 Unbekannte Gleichungen und 3 Unbekannte... 4
Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 3 Universität Basel Mathematik 2 Dr Thomas Zehrt Lineare Gleichungssysteme Inhaltsverzeichnis Einführung 2 2 Gleichungen und 2 Unbekannte 2 2 3 Gleichungen und 3 Unbekannte
MehrInverse Matrix. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya
Inverse Matrix -E Ma Lubov Vassilevskaya Inverse Matrix: Beispiel 0 2 3 0 Um die inverse der Matrix A mit Gauß-Jordan-Algorithmus zu bestimmen, wird eine Folge von elementaren Zeilenoperationen durchgeführt.
Mehr37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme
37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme 37 Motivation Lineare Gleichungssysteme treten in einer Vielzahl von Anwendungen auf und müssen gelöst werden In Abschnitt 355 haben wir gesehen, dass
MehrZeilenstufenform eines Gleichungssystems
Zeilenstufenform eines Gleichungssystems Ein lineares Gleichungssystem mit einer m n-koeffizientenmatrix lässt sich mit Gauß-Transformationen auf Zeilenstufenform (Echelon-Form) transformieren: Ax = b...
MehrLineare Algebra 1. Roger Burkhardt
Lineare Algebra 1 Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Fachhochschule Nordwestschweiz Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Naturwissenschaft HS 2010/11 1 Einführung Lineare Gleichungen Definition
Mehr8.2 Invertierbare Matrizen
38 8.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen
Mehr