Skriptum zur Analysis I. I. Logik und Mengenlehre. Karl Hermann Neeb. I.1 Quantoren und Aussagenlogik. SS TU Darmstadt

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1 I.1 Quatore ud Aussagelogik 1 Skriptum zur Aalysis I SS TU Darmstadt Karl Herma Neeb I. Logik ud Megelehre Gegestad der Aalysis I ist die Mege R der reelle Zahle ud die Fuktioe f: R R. Um mit diese Begriffe systematisch ud präzise umgehe zu köe, beötige wir eie Sprache. Die Sprache der Mathematik ist die Megelehre. Wie ma mit mathematische Sachverhalte umgeht, lehrt us die Logik. Sie spielt die Rolle der Grammatik der Mathematik. I.1 Quatore ud Aussagelogik Die Logik hadelt vo Aussage, die ach gewisse Regel aus bestimmte Zeiche aufgebaut werde. Wir betrachte eie Aussage als wohlgeformt, we sich etscheide lässt, ob sie wahr oder falsch ist. Wohlgeformte Aussage sid beispielsweise 1) 0 ist eie gaze Zahl. 2) = 5. 3) a + a = 2a gilt für jede gaze Zahl a. Keie wohlgeformte Aussage higege ist etwa?!a = x +. Vorsicht: Wir stelle us hiermit auf eie aive Stadpukt. Die Wahrheit eier Aussage ka ämlich vo gewisse Grudaahme abhäge, die ma Axiome et. We im folgede vo Aussage die Rede ist, sid damit immer wohlgeformte Aussage gemeit. Defiitio I.1.1. Seie p ud q Aussage. Wir bilde:

2 2 I. Logik ud Megelehre 12. April 2007 (i) Negatio: p (icht p) ist geau da wahr, we p falsch ist. (ii) Kojuktio: p q (p ud q ) ist geau da wahr, we p ud q wahr sid. (iii) Disjuktio: p q (p oder q ) ist geau da wahr, we p oder q wahr ist (dies ist kei ausschließliches oder ). (iv) Implikatio: p q (p impliziert q ; aus p folgt q ) ist defiiert als ( p) q. Die Wahrheit dieser Aussage ist gleichbedeuted mit We p wahr ist, da ist auch q wahr (Nachweis!) (v) Äquivalez: p q (p ist äquivalet zu q ) geau da, we beide wahr oder beide falsch sid. Die Wahrheitswerte der obe defiierte verküpfte Aussage sid i der folgede Wahrheitstafel zusammegefasst: p q p p q p q p q p q W W F W W W W W F F F W F F F W W F W W F F F W F F W W Die folgede Merkregel verifiziert ma direkt durch Aufstelle der jeweilige Wahrheitstafel. Merkregel für de Umgag mit logische Operatore Bemerkug I.1.2. (a) Doppelte Vereiug bejaht: ( p) p. Diese Aussage ist uabhägig vo p wahr. Solche Aussage et ma allgemeigültig. (b) Negatio vertauscht ud : (de Morgasche Regel): (p q) p q ud (p q) p q. (c) Wir schreibe W bzw. F für die Aussage, die immer wahr bzw. immer falsch ist. Da gilt für jede Aussage p: p F F, p F p ud p W p, p W W. Dies sid also 4 allgemeigültige Aussage. (d) Logische Distributivgesetze: Für Aussage p, q, r gelte: p (q r) (p q) (p r) ud p (q r) (p q) (p r). Bemerkug I.1.3. (Regel für logisches Schließe)

3 (1) Direkter Schluss: I.1 Quatore ud Aussagelogik 3 (p (p q)) = q Ist p wahr ud impliziert p die Aussage q (d.h. folgt aus der Wahrheit vo p die Wahrheit der Aussage q ), so ist q wahr. Die Allgemeigültigkeit dieser Aussage verifiziert ma direkt ahad der Tabelle. Beispiel: Es ist sehr istruktiv, sich diese Schluß a eiem Beispiel klarzumache: p: Es ist Motag. q : Es reget heute. p q : Es reget a jedem Motag. Die Schlussweise besagt also: We heute Motag ist ud We es jede Motag reget, da reget es heute. (2) ( q (p q)) = p Im Beispiel: We es heute icht reget ud we es jede Motag reget, da ist heute icht Motag. (3) Kotrapositio: (p q) ( q p). Im Beispiel: Es reget jede Motag We es icht reget, ist es icht Motag. (4) Schlusskette: I der Notatio logischer Schlüsse verwede wir zwei Type vo Schlusskette: I eier Schlusskette des Typs p 1 p 2... p verstehe wir das Zeiche als ei Symbol, das us sigalisiert, dass alle Aussage p 1 p 2, p 2 p 3 usw. wahr sid. Ma sagt auch, dass die Aussage durch Äquivalezumformuge auseiader hervorgehe. Isbesodere gilt da p 1 p. Zum Beispiel folgt die Gültigkeit vo (3) uter Verwedug der doppelte Vereiug (I.1.2(a)) aus folgeder Kette vo Äquivaleze: (p q) ( p) q q ( p) ( q p). Etspreched verwede wir das Symbol. Typs p 1 p 2... p I eier Schlusskette des bedeutet es, dass alle Aussage p 1 p 2, p 2 p 3 usw. wahr sid. Isbesodere gilt dies da für p 1 p. Bemerkug I.1.4. (Formale Struktur mathematischer Sätze bzw. Beweise) Typischerweise habe mathematische Sätze die Gestalt: p = q. I eiem Beweis geht es also um die Verifikatio eier solche Aussage. Es gibt mehrere Möglichkeite des Vorgehes:

4 4 I. Logik ud Megelehre 12. April 2007 (1) direkter Beweis: Ma immt a, die Voraussetzug p sei wahr ud schließt hieraus, dass q wahr ist (siehe I.1.1(iv)). (2) Für de idirekte Beweis gibt es zwei Variate, die auf de Äquivaleze (p q) Def. ( q p) (p q) beruhe. (a) Ma immt a, dass q falsch ist ud leitet daraus ab, dass p falsch ist. (b) Die adere Variate besteht dari azuehme, dass p wahr ist ud q falsch ud daraus eie Widerspruch herzuleite. Hiermit ist die Wahrheit der Aussage (p q) bewiese ud damit p q. Die Mege der atürliche Zahle sei mit N: = {1, 2, 3,...} bezeichet. ( := bedeutet hier defiierte Gleichheit, obe wird also die Mege N defiert.) Wir betrachte ei erstes Beispiel für eie idirekte Beweis. Satz I.1.5. Quadratzahl. Ist eie durch 4 teilbare atürliche Zahl, so ist + 3 keie Beweis. (Idirekter Beweis) Wir ehme a, + 3 sei eie Quadratzahl, d.h., es gibt eie atürliche Zahl k mit + 3 = k Fall: k ist gerade, d.h., es gibt eie atürliche Zahl m mit k = 2m. Da ist k 2 = 4m 2 durch 4 teilbar ud folglich = k 2 3 icht durch 4 teilbar. 2. Fall: k ist ugerade, d.h., es gibt eie atürliche Zahl m mit k = 2m + 1. Da ist k 2 = 4m 2 + 4m + 1, d.h. k 2 1 ist durch 4 teilbar, also = k 2 3 = (k 2 1) 2 icht. Defiitio I.1.6. (Quatore) (1) Der Allquator: Sei J eie Mege (vgl. hierzu de ächste Abschitt) ud (p j ) j J eie Familie vo Aussage, d.h., für jedes j J ist p j eie Aussage. Da ist ( j J) p j die Aussage, die geau da wahr ist, we p j für alle j J wahr ist. Beispiele: (a) ( N) ist gerade ist falsch, da 3 icht gerade ist. }{{} p (b) ( N) 2 ist wahr. (2) Der Existezquator: Ist (p j ) j J eie Familie vo Aussage, so ist ( j J) p j

5 I.2 Megelehre 5 die Aussage, die geau da wahr ist, we ei j 0 J so existiert, dass p j0 wahr ist. Beispiele: (a) ( N) ist gerade ist wahr. (b) ( N) ist Primzahl ist ebefalls wahr. (3) Verschärfter Existezquator: Die Aussage (!j J) p j bedeutet: Es existiert geau ei j 0 J, so dass p j0 Beispiele: (a) (! N) ist gerade ist falsch. (b) (! N) 3 = 27 ist wahr. wahr ist. Bemerkug I.1.7. (Merkregel für de Umgag mit Quatore) (a) Die Etsprechuge der de Morgasche Regel für Quatore sid ) (( j J) p j ) ( j J) p j ud (( j J) p j ( j J) p j. (b) Ma darf Existez- ud Allquator im allgemeie icht vertausche: ( N)( k N) k }{{} W ( k N)( N) k. }{{} F I.2 Megelehre Dem Begriff der Mege stelle wir us aiv gegeüber, d.h., wir stelle us auf de Stadpukt, dass wir eie Mege kee, we us gesagt wird, welche Elemete sie ethält. Wie ka das aussehe? Ist M eie Mege, so schreibe wir x M für die Aussage, die geau da wahr ist, we x Elemet der Mege M ist, ud x / M: (x M). Hierbei verwede wir das Symbol : für defiierte Zeile wird die Bedeutug des Symbols defiiert. Äquivalez. Durch obige

6 6 I. Logik ud Megelehre 12. April 2007 Defiitio I.2.1. (Beschreibug vo Mege) (1) (Aufzählug der Elemete) Eie Mege ka durch Aufzählug ihrer Elemete beschriebe werde: M = {4, 6, }, N = {+,, 8}. N = {1, 2, 3,...} Die Mege der atürliche Zahle N 0 = {0, 1, 2, 3,...} Z = {0, 1, 1, 2, 2, 3, 3,...} Die Mege der gaze Zahle Beachte: {1, 2, 3, 2} = {1, 2, 3}. Eie adere Möglichkeit besteht i der Beschreibug durch adere Mege: Q = { p q : p Z, q N} Die Mege der ratioale Zahle (2) (Aussoderug) Die Elemete eier Mege köe durch eie Aussageform spezifiziert werde: Zu jedem Elemet x eier Mege M sei us eie Aussage p(x) gegebe. Wir ee das Symbol p(x) da eie Aussageform ud x die freie Variable i p(x). Wir köe hiermit die Mege N: = {x M: p(x)}: = {x M: p(x) ist wahr} bilde. Sie ethält geau die Elemete x vo M, für die die Aussage p(x) wahr ist. Geau wie bei der Defiitio der Quatore, ka ma (p(x)) x M auch als eie Familie vo Aussage auffasse. Beispiele: a) Die Mege der gerade Zahle G = { N: ( m N) = 2m} = { N: ist gerade} Hier ist p() die Aussage ( m N) = 2m bzw. ist gerade. b) Die Mege aller Primzahle P = { N: ist Primzahl}. Hier ist p() die Aussage ist Primzahl. Bemerkug I.2.2. Die Eischräkug x M i Defiitio I.2.1(2) ist wesetlich, da sie uerlaubte Kostruktioe wie die folgede ausschließt: R: = {x: x / x} die sogeate Russelsche Umege. Diese Defiitio führt zu eiem Widerspruch (der Russelsche Atiomie 1 ), we ma fragt, ob die Mege R selbst Elemet vo R ist: Ist R R, so folgt aus der defiierede Eigeschaft der Mege R, dass R / R ist Widerspruch; ud 1 Bertrad Russel ( ), eglischer Mathematiker, Logiker ud Philosoph.

7 I.2 Megelehre 7 ist R / R, so gilt die defiierede Eigeschaft der Mege R für R, so dass R R gilt Widerspruch! Diese Art vo Kostruktio weist auf Probleme hi, die ma erhält, we ma Mege vo Mege betrachtet. Isbesodere gilt: Es gibt keie Mege aller Mege! Defiitio I.2.3. (1) A B (A ist Teilmege vo B ) bedeutet x A x B. (2) A = B: ( (x A) (x B) ), d.h., zwei Mege sid geau da gleich, we sie dieselbe Elemete ethalte. Ma beachte A = B (A B) (B A). (3) Ø: Die leere Mege. Sie ethält keie Elemete; die Aussage x Ø ist immer falsch bzw. x Ø F. I der folgede Defiitio stelle wir zusamme, wie wir aus Mege eue Mege kostruiere dürfe. Dass hierbei Vorsicht gebote ist, zeigt die Russelsche Atiomie. Defiitio I.2.4. (Kostruktio euer Mege) Seie X ud Y Mege. (i) Das Komplemet vo Y i X beschreibe wir durch Aussoderug: X \ Y : = {x X: x / Y } (ii) Die Vereiigug zweier Mege X Y : = {x: x X x Y } lässt sich icht durch Aussoderug beschreibe. (iii) De Durchschitt zweier Mege beschreibe wir wieder durch Aussoderug: X Y : = {x X: x Y } = {x: x X x Y } (iv) Beliebige Durchschitte ud Vereiiguge: Mege vo Mege, so defiiere wir A j : = {x: ( j J) x A j } j J Ist {A j : j J} eie Da ist x j J A j ( j J) x A j. Ist J = Ø, so ist diese Aussage immer falsch ud daher j J A j = Ø. Aalog defiiere wir für eie ichtleere (Idex-)Mege J : A j : = {x: ( j J) x A j }. j J

8 8 I. Logik ud Megelehre 12. April 2007 Für edliche Mege J = {1, 2, 3,..., } schreibt ma auch A j = A j = A 1 A 2... A j=1 j J bzw. j=1 A j = j J A j = A 1 A 2... A. (v) Die Produktmege: Für x X ud y Y et ma eie geordete Auflistug (x, y) ei Paar. Die Mege X Y : = {(x, y): x X y Y } heißt Produktmege (kartesisches Produkt) vo X ud Y. Folgede Kostruktio ist etwas allgemeier. Sid A 1,..., A Mege ud a 1 A 1,..., a A, so heißt die geordete Liste (a 1, a 2,..., a ) ei -Tupel (2-Tupel sid Paare; 3-Tupel werde Tripel geat). Ma defiiert da A 1... A : = {(a 1,..., a ): a 1 A 1... a A }. Für A 1 = A 2 =... = A schreibt ma auch A : = A 1... A = A... A. }{{} Faktore Beispiele: a) Z 3 : = {(, m, k):, m, k, Z} b) Die Mege A: = {, } ud B: = {, 1} liefer A B = {(, ), (, 1), (, ), (, 1)}. (vi) Die Potezmege: Ist A eie Mege, so heißt P(A): = {B: B A} die Potezmege vo A. Sie ethält alle Teilmege vo A. Beispiel: Für A = {0, 1} ist P(A) = {Ø, {0}, {1}, {0, 1}}. Beachte: Für jede Mege A gilt Ø A.

9 I.3 Fuktioe 9 I.3 Fuktioe Seie X ud Y Mege. Eie aive Defiitio eier Fuktio bzw. Abbildug f: X Y köte beispielsweise so aussehe: Eie Fuktio f: X Y ist eie Vorschrift, die jedem Elemet vo X geau ei Elemet vo Y zuordet. Hierbei habe wir zuerst zu kläre, was ma uter eier Vorschrift versteht. Defiitio I.3.1. Es seie X ud Y Mege. Eie Fuktio (Abbildug) f ist ei Tripel (X, Y, Γ f ), bestehed aus de Mege X, Y ud eier Teilmege Γ f X Y, für die gilt: ( x X)(!y Y ) (x, y) Γ f. Bezeichuge: 1) Ist (x, y) Γ f, so heißt f(x) := y Fuktioswert a der Stelle x; ma schreibt auch x f(x), womit suggeriert wird, dass dem Elemet x X das Elemet f(x) aus Y zugeordet wird. 2) X heißt Defiitiosbereich. 3) Y heißt Werte- oder Bildbereich. 4) Γ f heißt Graph der Fuktio. Zwei Fuktioe sid also geau da gleich, we ihre Defiitiosbereiche, Wertebereiche ud Graphe übereistimme. 5) Ma schreibt f: X Y für Fuktioe der Gestalt (X, Y, Γ f ), d.h. mit Defiitiosbereich X ud Bildbereich Y. 6) Die Mege f(x): = {y Y : ( x X) y = f(x)} heißt Bild vo f. Für eie Teilmege A X heißt f(a): = {y Y : ( x A) y = f(x)} das Bild vo A uter f. Für B Y heißt f 1 (B): = {x X: f(x) B} das Urbild vo B. Für B = {y} Y schreibe wir kürzer f 1 (y): = f 1 ({y}). Beispiel I.3.2. Sei X = Y = Z. (a) f(x) = x hat de Graphe Γ f = {(x, y) Z 2 : y = x 2 + 5}. (b) f(x) = x + 1 hat de Graphe Γ f = {(x, y): y = x + 1}. (c) Es gibt keie Fuktio f: Z Z, dere Graph die Mege Γ = {(x, y) Z 2 : y 2 = x} ist (Skizze!).

10 10 I. Logik ud Megelehre 12. April 2007 (d) Fuktioe müsse icht immer auf Zahlemege defiiert sei; eie durchaus sivolle Fuktio ist etwa: f: {Mesche} N 0, x Alter vo x. Defiitio I.3.3. (1) Die idetische Fuktio auf der Mege X : id X = (X, X, Γ idx ), wobei der Graph Γ idx = {(x, y) X X: x = y} die Diagoale ist. Wir habe also id X (x) = x für alle x X. (2) Die kostate Abbildug auf y 0 Y ist durch f: X Y, f(x) = y 0 für alle x X defiiert. Ihr Graph ist die Mege Γ f = {(x, y 0 ): x X} (Skizze!). (3) Eie Möglichkeit, aus eier scho vorhadee Abbildug eie eue zu gewie, ist die Restriktio oder Eischräkug eier Abbildug auf eie Teilmege ihres Defiitiosbereichs: Ist f: X Y eie Abbildug ud A X, so wird durch f A : A Y, x f(x) die Eischräkug vo f auf A defiiert. Der Graph dieser Fuktio ist Γ f A = Γ f (A Y ) = {(x, y) A Y : y = f(x)} Γ f. Bei eier Fuktio f: X Y wird jedem x X geau ei f(x) Y zugeordet. Für ei y Y ka es aber mehrere Urbilder gebe. Ma uterscheidet daher mehrere Type vo Fuktioe: Defiitio I.3.4. Eie Fuktio f: X Y heißt (a) ijektiv, we jedes y Y höchstes ei Urbild hat, d.h. ( x X)( x X) f(x) = f(x ) = x = x. (b) surjektiv, we jedes y Y midestes ei Urbild hat, d.h. d.h. f(x) = Y. ( y Y )( x X) y = f(x), (c) bijektiv, we jedes y Y geau ei Urbild hat, d.h. we f ijektiv ud surjektiv ist. Die Surjektivität vo f besagt, dass die Gleichug f(x) = y für jedes y Y lösbar ist, wohigege die Ijektivität die Eideutigkeit der Lösug bedeutet (sofer sie existiert).

11 Beispiel I.3.5. (a) Die Fuktio ist ijektiv, aber icht surjektiv. (b) Die Fuktio I.3 Fuktioe 11 f: N N, f: N N, + 1 { 1, falls 2 1, falls = 1 ist surjektiv, aber icht ijektiv (de f(2) = f(1) = 1). (c) Die Fuktio f: Z Z, 2 ist weder ijektiv och surjektiv. Umkehrfuktioe Sid X ud Y zwei Mege ud ist R X Y, so setze wir R 1 : = {(y, x) Y X: (x, y) R}. Eie Teilmege R X Y et ma eie Relatio (zwische X ud Y ). Satz I.3.6. Für eie Fuktio f: X Y sid die folgede Aussage äquivalet: (1) f ist bijektiv. (2) Die Relatio (Γ f ) 1 ist der Graph eier Fuktio g: Y X, d.h. das Tripel ( Y, X, (Γ f ) 1) ist eie Fuktio. Beweis. Das Tripel (Y, X, (Γ f ) 1 ) ist geau da eie Fuktio, we es zu jedem y Y geau ei x X mit (y, x) (Γ f ) 1 gibt. Dies ist ach der Defiitio vo (Γ f ) 1 geau da der Fall, we es zu jedem y Y geau ei x X mit (x, y) Γ f gibt. Dies wiederum ist äquivalet zur Existez geau eies x X mit y = f(x) für jedes y Y, was heißt, dass f bijektiv ist. Defiitio I.3.7. Erfüllt f: X Y die Bediguge vo Satz I.3.6, so schreibe wir f 1 : = (Y, X, (Γ f ) 1 ) (bzw. f 1 : Y X ) für die Fuktio mit dem Graphe Γ f 1 = (Γ f ) 1. Sie heißt Umkehrfuktio vo f. Für x X ud y Y ist (x, y) Γ f äquivalet zu f(x) = y ud f 1 (y) = x. Isbesodere gilt f 1 (f(x)) = x ud f(f 1 (y)) = y. Beachte: Für jede Fuktio f: X Y ud jede Teilmege B Y ist die Urbildmege f 1 (B) immer defiiert; ob f bijektiv ist oder icht. I diesem Sie verwede wir das Symbol f 1 also auch, we keie Umkehrfuktio zu f existiert.

12 12 I. Logik ud Megelehre 12. April 2007 Beispiel I.3.8. Für die Fuktio f: Q Q, f(x) = 3x+2 ist die Umkehrfuktio f 1 gegebe durch f 1 : Q Q, f 1 (y) = y 2 3. Defiitio I.3.9. Sid f: X Y ud g: Y Z Fuktioe, so wird durch g f: X Z, x g(f(x)) eie Fuktio defiiert (Nachweis!). Sie heißt die Kompositio (Verküpfug) der Fuktioe f ud g. Bemerkug I (a) Ist eie Fuktio f: X Y bijektiv, so gilt f f 1 = id Y ud f 1 f = id X. Das folgt sofort aus de beide Formel i Defiitio I.3.7. (b) Für f: Q Q, x 3x + 1 ud g: Q Q, x x 2 1 ist g f: Q Q, x (3x + 1) 2 1 = 9x 2 + 6x ud f g: Q Q, x 3(x 2 1) + 1 = 3x 2 2. Isbesodere erket ma a diesem Beispiel, dass für zwei Fuktioe f, g: Q Q im allgemeie f g g f gilt. Aufgabe I.3.1. (a) Sid f: X Y ud g: Y Z ijektive (surjektive) Abbilduge, so ist auch dere Kompositio g f: X Z ijektiv (surjektiv). (b) Ist f: X Ø eie Fuktio, so ist X = Ø. (c) Für jede Mege Y ist f = (Ø, Y, Ø) eie Fuktio. Ihr Graph Γ f ist die leere Mege. Ma beachte, dass auch die Mege Ø Y leer ist. Aufgabe I.3.2. Seie X ud Y Mege sowie f: X Y eie Fuktio ud f : P(Y ) P(X), A f 1 (A) die Abbildug, die jeder Teilmege vo Y ihr Urbild i X zuordet. Zeige Sie: (1) f ist geau da ijektiv, we f surjektiv ist. (2) f ist geau da surjektiv, we f ijektiv ist.

13 I.3 Fuktioe 13 Aufgabe I.3.3. (a) Zeige: Sei X eie ichtleere Mege. Eie Fuktio f: X Y ist geau da ijektiv, we eie Fuktio g: Y X so existiert, dass g f = id X. (b) Zeige: Eie Fuktio f: X Y ist geau da surjektiv, we eie Fuktio g: Y X existiert, so dass f g = id Y. (c) Zeige: Eie Fuktio f: X Y Fuktio g: Y X existiert, so dass ist geau da bijektiv, we eie f g = id Y ud g f = id X. Aufgabe I.3.4. (Kompositio vo Fuktioe ist assoziativ) Zeige: Sid f: X Y, g: Y Z ud h: Z U Fuktioe, so gilt (h g) f = h (g f). Mächtigkeit vo Mege Defiitio I (a) Zwei Mege X ud Y heiße gleichmächtig, we es eie bijektive Abbildug F : X Y gibt. Zwei Mege X ud Y sid also geau da gleichmächtig, we es möglich ist, jedem Elemet x X geau ei Elemet y Y derart zuzuorde, dass jedes Elemet vo Y geau eiem Elemet vo x zugeordet ist. Ma stellt sich vor, dass die beide Mege X ud Y da gleichviele Elemete ethalte, wieviele es auch sei möge. (b) Eie Mege X heißt edlich, we sie leer ist oder ei N existiert, so dass M gleichmächtig is zu {1,..., }, d.h., es existiert eie bijektive Abbildug f: {1, 2,..., } X. Für x i := f(i) ist da X = {x 1,..., x }. I diesem Fall schreibe wir M = ud ee diese Zahl die Kardialität vo M. Um eizusehe, dass die Defiitio der Kardialität sivoll ist, hat ma zu zeige, dass durch die Mege X eideutig bestimmt ist, also dass aus der Existez vo Bijektioe {1, 2,..., } X {1, 2,..., m} scho = m folgt (Nachweis als Übug! Hiweis: Ma argumetiere, dass m ud m gelte). (c) Eie Mege X heißt abzählbar, we sie leer ist, oder es eie surjektive Abbildug f: N X gibt, d.h. we ma die Elemete vo X abzähle ka: X = {f(1), f(2),...} bzw. X = {x 1, x 2, x 3,...}. We X icht abzählbar ist, so ee wir X überabzählbar.

14 14 I. Logik ud Megelehre 12. April 2007 Bemerkug I (a) Jede edliche Mege M ist gleichmächtig zu geau eier Mege der Gestalt {1, 2,..., }, N 0. I diesem Fall schreibe wir M =. Die Mege M hat verschiedee Elemete (Nachweis!). (b) Ist X eie abzählbare Mege ud f: X Y eie surjektive Fuktio, so ist auch Y abzählbar. (Ist g: N X surjektiv, so ist f g: N Y surjektiv. (Aufg. I.3.1(a))) (c) Jede edliche Mege ist abzählbar (Nachweis!). (d) Jede uedliche abzählbare Mege ist gleichmächtig zu N. Hierzu muss ma zeige, dass aus der Existez eier surjektive Fuktio f: N M die eier bijektive Fuktio g: N M folgt. Hierzu defiiert ma h() := mi{m N: {f(1),..., f(m)} = }. Da ist h() für alle N ud ma ka zeige, dass h: N N eie ijektive Fuktio ist, für die g := f h : N M bijektiv ist. (Details als Übug!) Satz I Beweis. Die Mege N ud N N sid gleichmächtig. Wir defiiere eie Abbildug f: N N N durch f(p, q) = (p + q 1)(p + q 2) 2 + p. Übug; hierbei ist eie Skizze hilf- Diese Abbildug ist bijektiv (Nachweis als reich). Folgerug I Jede abzählbare Vereiigug abzählbarer Mege ist abzählbar, d.h. ist M = N M ud sid alle Mege M abzählbar, so auch M. Beweis. Seie die Mege M für jedes N abzählbar, d.h., wir köe sie beschreibe als M = {x,1, x,2,...}. Da existiert für die Mege N M = {x,m : (, m) N N} eie surjektive Abbildug N N N M, (, m) x,m, sie ist also abzählbar (Bemerkug I.3.12(b)). Folgerug I Die Mege Q der ratioale Zahle ist abzählbar. Beweis. Da die Mege Z abzählbar ist, ist für jedes N die Mege 1 Z := { p : p Z} abzählbar. Wege Q = N 1 Z folgt die Abzählbarkeit vo Q daher aus Folgerug I.3.14.

15 I.4. Das Prizip der vollstädige Iduktio 15 Satz I (Cator 1 -Russel) Sei X eie Mege. Da existiert keie surjektive Fuktio f: X P(X), isbesodere auch keie bijektive. Beweis. Sei f: X P(X) eie Fuktio. Wir zeige, dass f icht surjektiv ist, idem wir zeige, dass die Mege A: = {x X: x / f(x)} icht i f(x) liegt. Wir führe eie idirekte Beweis; dazu ehme wir a, dass A = f(y) für ei y X gilt. 1. Fall: y f(y). Da ist y A, also y / f(y); Widerspruch! 2. Fall: y / f(y). Da ist y A = f(y); Widerspruch! Die Aahme ist also falsch, d. h. es gilt A / f(x). Eie wichtige Folgerug aus Satz I.3.16 ist, dass es keie größte Mege gibt, de für jede Mege X ist die Potezmege P(X) echt größer. Folgerug I ist icht abzählbar. Die Mege P(N) aller Teilmege der atürliche Zahle I.4. Das Prizip der vollstädige Iduktio I diesem Abschitt werde wir die atürliche Zahle etwas geauer betrachte. Hierbei werde wir das zetrale Beweisprizip der vollstädige Iduktio keelere. Wir stelle us hier auf de Stadpukt, dass wir die atürliche Zahle N = {1, 2, 3,...} bzw. N 0 = {0, 1, 2, 3,...}, die gaze Zahle Z = {0, ±1, ±2, ±3,...} ud die ratioale Zahle (Brüche) { p } Q = q : p Z, q N kee. Wir habe damit folgede Iklusioe vo Mege: N Z Q. Am Afag userer Überleguge steht das: Wohlordugsprizip Jede ichtleere Teilmege M N besitzt ei kleistes Elemet. 1 Georg Cator ( ), deutscher Math. i Halle, Begrüder der Megelehre; besuchte die Höhere Gewerbeschule i Darmstadt, studierte i Berli.

16 16 I. Logik ud Megelehre 12. April 2007 Wir werde dieses Prizip als ei Axiom über die Mege N der atürliche Zahle betrachte. Ma sollte sich a dieser Stelle och eimal bewusst mache, dass wir icht axiomatisch präzisiert habe, was die atürliche Zahle sid, soder vo eier aive Vorstellug der Mege N mit ihre arithmetische Operatioe ausgehe. Präzisiert ma die Eigeschafte vo (N, +, ) axiomatisch (Peao-Axiome 1 ), so ist das Wohlordugsprizip letztedlich i die Axiomatik eigebaut. Aus dem Wohlordugsprizip leite wir sogleich eie wichtige Folgerug ab: Satz I.4.1. (Das Prizip der vollstädige Iduktio) Sei (p ) N eie Familie vo Aussage. Gilt (A) p 1 ud (S) p p +1 für alle N, so gilt: ( N) p. Beweis. (Idirekter Beweis) Wir betrachte die Mege M := { N: p }. Ist M icht leer, so besitzt M ach dem Wohlordugsprizip ei kleistes Elemet m. Wege (A) ist m 1. Daher ist m 1 eie atürliche Zahl mit m 1 M, d.h., p m 1 ist wahr. Wege (S) ist da auch p m wahr; ei Widerspruch. Möchte ma für jede atürliche Zahl eie Aussage p beweise, so ka ma also wie folgt vorgehe: Iduktiosafag (A) Zeige die Aussage p 1. Iduktiosschritt (S) Zeige: ( N) p p +1, d.h., aus der Iduktiosaahme p wird die Aussage p +1 hergeleitet. Aschaulich: p 1 p 2 p 3 p 4... W W W W (Domioprizip!) Ma ka das Iduktiosprizip auch verwede, um mathematische Objekte rekursiv zu defiiere. Defiitio I.4.2. Ist N ud sid x 1,..., x Q, so setze wir x 1 + x x := (x 1 + x x 1 ) + x für > 1. dass ma hiermit jede mögliche Azahl vo Summade erfasst, folgt sofort aus dem Iduktiosprizip. Weiter defiiert ma x j := j=1 j {1,2,...,} x j := x 1 + x x 1 Guiseppe Peao ( ), italieischer Mathematiker i Torio, formulierte 1892 das Peaosche Axiomesystem für die atürliche Zahle.

17 I.4. Das Prizip der vollstädige Iduktio 17 ud 0 j=1 x j := j Ø x j := 0 (die leere Summe). Aalog defiiert ma Mehrfachprodukte x 1 x 2... x := (x 1 x 2... x 1 ) x für > 1 ud weiter x j := x j := x 1 x 2... x. j=1 j {1,2,...,} Hier setze wir 0 j=1 x j := j Ø x j := 1 (das leere Produkt). Speziell defiiere wir für N 0 die -te Potez vo x durch x := x = x } {{ x }. mal j=1 Ist x 0 ud Z, < 0, so setze wir x := 1 x. Wir schaue us jetzt a eiige Beispiele a, wie das Iduktiosprizip für Beweise verwedet werde ka. Satz I.4.3. (a) Für alle N gilt k=1 k = (+1) 2. (b) Für alle, m N ud q Q gilt q m q = q +m. (c) Für alle, m N ud q Q gilt (q m ) = q m. Beweis. (a) (A) ( = 1) 1 k=1 k = 1 = 1 (1+1) 2 ist richtig. (S) Es gelte k=1 k = (+1) 2. Da ist +1 k = k=1 k=1 k + ( + 1) = (+1) = ( + 1)( 2 + 1) = ( + 1) (b) (A) ( = 1) q m q 1 = q m+1 folgt für alle m N aus der Defiitio. (S) Es gelte q m q 1 = q m+( 1) für alle m N. Da ist q m q = q m (q 1 q) = (q m q 1 )q = q m+( 1) q = q m+( 1)+1 = q m+. (c) (A) ( = 1) (q m ) 1 = q m gilt trivialerweise.

18 18 I. Logik ud Megelehre 12. April 2007 (S) Es gelte (q m ) 1 = q ( 1)m für alle m N. Da ist wege (b) (q m ) = (q m ) 1 q m = q ( 1)m q m (b) = q ( 1)m+m = q m. Ma beachte, dass der Iduktiosafag (A) sehr wesetlich ist, de z.b. lässt sich für die Aussage p : k=1 k = ( + 1) zeige, dass p p +1 für alle N gilt. Der Iduktiosschluss wie im Beweis vo Satz I.4.3(a) lässt sich also problemlos durchführe, obwohl keie der Aussage p wahr ist. Mit der Formel aus Satz I.4.3(a) verbidet sich eie berühmte Aekdote um Carl Friedrich Gauß 1. Dieser bekam im Alter vo siebe Jahre vo seiem Lehrer die Aufgabe gestellt, alle Zahle vo 1 bis 100 aufzusummiere. Carl Friedrich fig dies etwas aders a als seie Klassekamerade, ud zwar so: = = = 5050 Dieser Asatz steckt auch implizit i der soebe bewiesee Formel: 100 k=1 k = = Satz I.4.4. Seie M ud N ichtleere Mege mit Elemete. Da existiere geau! := (-Fakultät) bijektive Abbilduge vo M ach N. Beweis. (Iduktio ach ). (A) = 1: Da gilt M = N = 1 ud es gibt geau eie Bijektio. (S) Sei M = {x 1,..., x +1 } ud N = {y 1,..., y +1 }, wobei alle x j bzw. y k jeweils paarweise verschiede seie. Ist f: M N eie Bijektio, so gibt es für f(x +1 ) geau + 1 Möglichkeite. Ist f(x +1 ) gegebe, so ist die eigeschräkte Abbildug f {x1,...,x } N \ {f(x +1 )} eie Bijektio. Hierfür gibt es ach Iduktiosaahme! Möglichkeite, da {x 1,..., x } = ud N \ {f(x +1 )} = gilt. Isgesamt ergebe sich so ( + 1)! = ( + 1)! Möglichkeite. 1 Carl Friedrich Gauß ( ), Mathematiker ud Physiker i Göttige, leistete etscheidede Beiträge i viele Bereiche der Mathematik.

19 I.4. Das Prizip der vollstädige Iduktio 19 Bemerkug I.4.5. (a) Eie Bijektio f : M M der Mege M auf sich et ma eie Permutatio. Es gibt also! Permutatioe eier -elemetige Mege. (b) Für de Spezialfall M = {1, 2,..., } ist eie Bijektio f: M N eie Aufzählug der Mege N als N = {f(1),..., f()}. Es gibt ach Satz I.4.4 also geau! verschiede Aorduge der Mege N. Kokret ka ma dies folgedermaße iterpretiere: Hat ma eie Mege N vo Bücher, so gibt es! Möglichkeite, diese Bücher i eiem Regal ebeeiader aufzustelle. (c) Der Satz I.4.4 bleibt für M = N = Ø richtig, we wir setze. 0! := 1 Defiitio I.4.6. Für α Q ud N defiiere wir die Biomialkoeffiziete ( ) ( ) α α(α 1) (α + 1) α :=, := 1.! 0 Ist α N 0, so ist de α!!(α )! ( ) { α = α!!(α )! für 0 α 0 für > α, α(α 1) (α + 1) =! α(α 1) (α + 1) =! (α ) 2 1 (α ) 2 1 Satz I.4.7. N gilt Beweis. (Additiostheorem für Biomialkoeffiziete) Für α Q ud ( ) α = ( ) α ( α 1 ). ( ) α ( ) α 1 = = = = = (α 1) (α 1 ( 1) + 1) ( 1)! (α 1) (α + 1) ( 1)! (α 1) (α + 1) ( 1)! (α 1) (α + 1) ( 1)! α(α 1) (α + 1)! + (α 1) (α )! (α 1) (α ) +! ( α ) 1 + α = ( ) α

20 20 I. Logik ud Megelehre 12. April 2007 Eie leicht eigägige Möglichkeit, sich kleie Werte der Biomialkoeffiziete schell zu besorge, stellt das Pascalsche Dreieck dar. I ihm ergebe sich die Eiträge ach der gerade bewiesee Formel als Summe der diagoal darüberstehede: ( 0) ( 1) ( 2) Ma sieht, wie die Biomialkoeffiziete ageordet sid: ) ( 1 ) ( 1 k 1 + ( k) Satz I.4.8. Eie Mege M mit m Elemete hat ( m ) Teilmege mit Elemete. Isbesodere ist ( m ) N0 für alle m, N 0. Beweis. (Durch Iduktio ach m). (A) Ist m = 0, so ist ( ) { m 1, falls = 0; = 0, sost. Die Behauptug ist also richtig, da M = Ø ur eie Teilmege mit 0 Elemete besitzt. (S) Wir ehme u a, dass die Behauptug für Mege mit m Elemete gilt (Iduktiosaahme). Sei jetzt M = m + 1 ud x 0 M. Da ist M = {x 0 } (M \ {x 0 }) ud M \ {x 0 } = m. Für eie -elemetige Teilmege N M gibt es zwei Fälle: (1) x 0 N. Da ist N (M \{x 0 }) eie ( 1)-elemetige Teilmege. Nach Iduktiosaahme gibt es hierfür ( m 1) Möglichkeite. (2) x 0 / N. Da ist N M \ {x 0 }. Hierfür gibt es ( m ) Möglichkeite. Isgesamt gibt es also ( ) m + 1 ( ) m = k ( ) m + 1

21 I.4. Das Prizip der vollstädige Iduktio 21 Möglichkeite. Ma ka de gerade bewiesee Sachverhalt auch kombiatorisch iterpretiere: Ma betrachtet die verschiedee Möglichkeite, die Elemete eier Mege M = {x 1,..., x m } azuorde. Das geht auf m! Weise. Ist die Mege der erste Elemete N := {x 1,..., x } festgelegt, so gibt es!(m )! Möglichkeite der Aordug, die auf die vorgegebee Mege N führt. Isgesamt ergebe sich also ( ) m = m!!(m )! Möglichkeite, Elemete aus M herauszuehme, da jeweils!(m )! Aorduge die gleiche Teilmege N liefer. Satz I.4.9. (Biomischer Lehrsatz) Für x, y Q ud N 0 gilt (x + y) = k=0 ( ) x k y k. k Beweis. (durch vollstädige Iduktio ach m) (A) Für = 0: (x + y) = 1 = 0 k=0 ( k) x 0 y 0 ist wahr. Für de Iduktiosschluss (S) reche wir: (x + y) +1 = (x + y)(x + y) ( ( ) A. = (x + y) )x k y k k = k=0 ( k k=0 ) x k+1 y k + k=0 ( ) x k y +1 k k ( ) 1 ( ) = x +1 y 0 + x k+1 y k + k k=0 ( ) = x +1 + x k y +1 k + k 1 k=1 k=1 (( ) = x k 1 k=1 ( ) + 1 ( + 1 = x +1 y k k=1 +1 ( ) + 1 = x k y +1 k. k k=0 ( k ( k k=1 ( )) x k y +1 k + y +1 k ) x k y +1 k + ) x k y +1 k + ) x k y +1 k + y +1 ( ) x 0 y +1 ( ) x 0 y +1 0

22 22 I. Logik ud Megelehre 12. April 2007 Auch hier ka ma eie kombiatorische Iterpretatio fide. I der Summe (x + y) = (x + y)(x + y) (x + y) ( Faktore) = x + x 1 y +... kommt der Term x k y k geau ( ( k) -mal vor, da es geau k) Möglichkeite gibt, aus der -elemetige Mege der Faktore eie k -elemetige auszuwähle. Aufgabe I.4.1. Zeige Sie: Für eie Selbstabbildug f: M M eier edliche Mege M sid folgede Aussage äquivalet: (1) f ist bijektiv. (2) f ist ijektiv. (3) f ist surjektiv. Aufgabe I.4.2. Sei M eie k -elemetige Mege ud N eie -elemetige Mege. Zeige Sie: (1) Es gibt k 1 ( j) = ( 1)( 2) ( k + 1) j=0 ijektive Abbilduge f: M N. Was passiert für k >? (2) Es gibt k Abbilduge f: M N.

23 I.4. Das Prizip der vollstädige Iduktio 23 II. Die reelle Zahle I diesem Kapitel wede wir us dem Hauptgegestad der Aalysis, der Mege R der reelle Zahle, zu. Wir stelle us die reelle Zahle als eie kotiuierliche Zahlegerade vor, mit der wir messe ud Geometrie treibe wolle. Die ratioale Zahle sid dafür icht ausreiched, de mit ihe lässt sich icht eimal die Diagoale eies Eiheitsquadrats messe, die bekatlich die Läge 2 besitzt, ud diese Zahl ist irratioal. Wir werde im Verlauf der Vorlesug och viele Grüde dafür keelere, dass die reelle Zahle eie miimale Zahlbereich bilde, der de Aforderuge der Aalysis gerecht wird. Es gibt durchaus größere Zahlbereiche, mit dee ma Aalysis treibe ka (Nostadard Aalysis), ud adere Zahlbereiche ( p-adische Zahle), die zwar alle metrische Aforderuge geüge, aber icht zum Messe geeiget sid. Diese Zahlbereiche sid Gegestad der p-adische Aalysis bzw. der Algebra. Was sid die reelle Zahle ud welche Struktur trage sie? Um dies zu verstehe, betrachte wir zuächst die bekate Strukture auf der Mege Q der ratioale Zahle. Die Mege Q der ratioale Zahle trägt mehrere Strukture: (1) Die Additio: ( a Q Q Q, b d), c ad + bc bd (2) Die Multiplikatio: Q Q Q, ( a b, c d) ac bd (3) Eie dritte Struktur ist durch die Ordugsrelatio < auf Q gegebe: a b < c d bc ad N (beachte: b, d N). Gegestad dieses Abschitts sid diese drei Strukture, ihre Eigeschafte, ud wie ma sie auf die reelle Zahle übertrage ka. Hierbei werde wir der axiomatische Methode folge, d.h., wir werde Eigeschafte bzw. Recheregel als Axiome formuliere, die i dem Bereich, de wir jeweils betrachte, gelte solle. Dies führt us zu viele Strukture, die i der Mathematik eie zetrale Rolle spiele. Die reelle Zahle samt der drei Strukture (Additio,

24 24 II. Die reelle Zahle 12. April 2007 Multiplikatio ud Ordug) werde schließlich durch eie Liste vo Axiome, die sich auf diese Strukture beziehe, (eideutig) als vollstädig ageordeter Körper charakterisiert. II.1 Axiome der Arithmetik Axiome der Additio Wir betrachte zuerst die Axiome der Additio bzw. de Begriff der abelsche Gruppe. Defiitio II.1.1. Ei Paar (G, ) aus eier Mege G ud eier Abbildug : G G G, (x, y) x y heißt Gruppe, we folgede Axiome erfüllt sid: (A) Assoziativgesetz: ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z. (N) Neutrales Elemet:( e G)( x G) x e = e x = x. (I) Existez eies Iverse: ( x G)( y G) x y = y x = e. Ma sagt da auch, dass die (biäre) Operatio auf G die Struktur eier Gruppe defiiert. Gilt zusätzlich das (K) Kommutativgesetz: ( x, y G) x y = y x, so spricht ma vo eier abelsche Gruppe. I diesem Fall schreibe wir i der Regel + statt für die Gruppeoperatio ud 0 statt e für das eutrale Elemet, das ma da auch Nullelemet et. Beispiel II.1.2. (a) Eifache Beispiele für abelsche Gruppe sid (Z, +) ud (Q, +). Warum ist (N, +) keie abelsche Gruppe? Welche Axiome sid verletzt? Ei weiteres Beispiel ist (Q, ), wobei Q := Q \ {0} ist. (b) Wir betrachte die zweielemetige Mege F := {0, 1} mit der Additio modulo 2: := := 0 ud := := 1. Da ist (F, +) eie abelsche Gruppe. Aus de 4 Axiome (A),(N),(I) ud (K) eier abelsche Gruppe lasse sich weitere Eigeschafte ableite, die wir us u aschaue. Ma ka sich überlege, dass keies der 4 Axiome aus de drei adere folgt. I diesem Si bilde sie ei miimales System.

25 II.1 Axiome der Arithmetik 25 Bemerkug II.1.3. Sei (A, +) eie abelsche Gruppe. Wir halte eiige Folgeruge aus de Axiome fest: (1) Eideutigkeit des Nullelemets: Sid 0 ud 0 Nullelemete vo A, so gilt 0 = = 0 ud folglich 0 = 0. (2) Eideutigkeit des Iverse: Sid y ud y ivers zu x, so gilt y (N) = y + 0 (I) = y + (x + y ) (A) = (y + x) + y (I) = 0 + y (N) = y. Da das Iverse des Elemets x A eideutig bestimmt ist, ist es sivoll, dieses Elemet mit x zu bezeiche. Weiter defiiere wir x y := x + ( y). (3) 0 = 0: Dies folgt wege = 0 aus (2). (4) Für alle x A gilt ( x) = x aufgrud der Symmetrie vo (I). (5) Für alle x, y A gilt (x + y) = y x: (x + y) + ( y x) (A) = x + (y + ( y x)) (A) = x + ((y y) x) (I) = x + (0 x) (N) = x x (I) = 0. Aus (2) folgt somit y x = (x + y). (6) (Subtraktio bei Gleichuge) Es gilt x + a = b x = b a: (N) : Es gilt x = x + 0 (I) = x + (a a) (A) = (x + a) a = b a. (A) : Aus x = b a folgt x + a = (b a) + a = b + ( a + a) (I) = b + 0 (N) = b. Axiome der Multiplikatio Defiitio II.1.4. Ist K eie Mege mit zwei Verküpfuge (Abbilduge) K K K, (x, y) x + y ud K K K, (x, y) x y, so heißt K bzw. das Tripel (K, +, ) Körper, falls (K, +) eie abelsche Gruppe ist ud für die Multiplikatio folgede Axiome gelte (MA) Assoziativgesetz: ( x, y, z K) x (y z) = (x y) z (MK) Kommutativgesetz: ( x, y K) x y = y x (E) Eiselemet:( 1 K) ( (1 0) ( x K) x 1 = 1 x = x ) (MI) Existez eies Iverse: ( x K \ {0}) ( y K) x y = y x = 1. Weiter seie Additio ud Multiplikatio verbude durch das (D) Distributivgesetz: ( x, y, z K) x (y + z) = x y + x z. Ma lässt bei der Multiplikatio aus Bequemlichkeitsgrüde üblicherweise de Pukt weg ud schreibt xy astatt x y.

26 26 II. Die reelle Zahle 12. April 2007 Bemerkug II.1.5. Wir halte wieder eiige Folgeruge aus de Körperaxiome fest: (7) Es gilt 0 x = 0 = x 0 für alle x K : x 0 (N) = x (0 + 0) (D) = x 0 + x 0 (6) = x 0 = x 0 x 0 = 0. (8) Wir schreibe K := K \ {0}. Da ist (K, ) eie abelsche Gruppe: Zuerst müsse wir zeige, dass die Multiplikatio die Mege K K ach K abbildet. Sid x, y K ud x bzw. y jeweils multiplikative Iverse vo x bzw. y, so erhalte wir wie i (6) zuächst (xy)(y x ) (MA) = x ( y(y x ) ) (MA) = x ( (yy )x ) (MI) = x ( 1x ) (E) = xx (MI) = 1. Wege (7) ud 0 1 ist daher xy 0. Also ist die Multiplikatiosabbildug : K K K, (x, y) x y defiiert, da für x, y K das Produkt xy wieder i K liegt. Die Axiome (MA), (MK) ud (E) liefer Assoziativität, Kommutativität ud das eutrale Elemet (Nullelemet), das i diesem Fall das Elemet 1 ist. Zur Existez des Iverse: Ist x K ud y K mit xy = 1, so ist y 0 wege (7), da sost 1 = x y = x 0 = 0 gelte würde. Damit ist y K, d.h., i K ist die Existez eies Iverse gesichert. Aus (1) bis (6) folgt jetzt: (9) Eideutigkeit des Eiselemets (wege (1)). (10) Eideutigkeit des multiplikative Iverse. Ma bezeichet das multiplikative Iverse vo x 0 mit x 1 oder 1 x. Weiter defiiere wir für y 0 x y := xy 1. (11) 1 = 1 1 (wege (3)). (12) Für alle x 0 gilt (x 1 ) 1 = x (wege (4)). (13) Für x, y K ist (xy) 1 = y 1 x 1 : Das habe wir scho uter (8) gezeigt. Es folgt aber auch mit (8) aus (5). (14) Für a 0 gilt xa = b x = b a : : Aus xa = b folgt b a = ba 1 = (xa)a 1(MA) = x(aa 1 ) (MI) = x1 (E) = x, also x = b a. : Aus x = b a folgt umgekehrt xa = (ba 1 )a (MA) = b(a 1 a) (MI) = b1 (E) = b, also xa = b. (15) Für alle x, y K gilt ( x)y = (xy): also ( x)y = (xy). xy + ( x)y (D) = (x + ( x))y (N) = 0 y (7) = 0,

27 II.1 Axiome der Arithmetik 27 (16) Für alle x, y K gilt ( x) ( y) = x y : Wege (15) gilt ( x)( y) (15) = (x ( y)) (MK) = (( y) x) (15) = ( (yx)) (5) = yx (MK) = xy. Aufgabe II.1.1. Sei K ei Körper ud L := K 2 = {(a, b): a, b K}. Auf L defiiere wir Additio ud Multiplikatio durch (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d), ud (a, b) (c, d) := (ac bd, bc + ad). Weiter defiiere wir eie Fuktio Zeige Sie: (1) N(xy) = N(x)N(y) für x, y L. (2) (L, +) ist eie abelsche Gruppe. (3) Für x = (a, b) mit N(x) 0 ist N: L K, (a, b) a 2 + b 2. ( a x 1 := N(x), b ) N(x) ei multiplikatives Iverses vo x, d.h. xx 1 = x 1 x = 1. (4) (L, +, ) ist geau da ei Körper, we N(x) 0 für alle x (0, 0) i L gilt. (5) (L, +, ) ist geau da ei Körper, we a 2 1 für alle a K gilt, d.h. we 1 i K kei Quadrat ist. Aufgabe II.1.2. Wir betrachte die vier Axiome (A), (N), (I) ud (K) für abelsche Gruppe. Fide Paare (M, ), wobei eie Abbildug M M M, (x, y) x y ist, die jeweils folgede Bediguge geüge: (1) (A), (N), (I), (K). (2) (A), (N), (K), (I). (3) (N), (K), (I), (A). I diesem Si sid diese Bediguge voeiader uabhägig, aber atürlich macht (I) ur Si, we (N) erfüllt ist.

28 28 II. Die reelle Zahle 12. April 2007 II.2 Aordug Nachdem wir die Axiome für Additio ud Multiplikatio keegelert habe, wede wir us u Aorduge auf Körper zu. Hierbei habe wir zu kläre, i welchem Sie diese Aorduge mit Additio ud Multiplikatio verträglich sei solle. Defiitio II.2.1. Ei Paar (K, K + ) aus eiem Körper K ud eier Teilmege K + heißt ageordeter Körper, we folgede Axiome gelte: (O1) Für alle x K gilt geau eie der Aussage x K +, x K + oder x = 0. (O2) Für alle x, y K + ist x + y K +. (O3) Für alle x, y K + ist x y K +. Die Elemete i K + heiße positiv. Wir schreibe für x K + auch x > 0. Weiter defiiere wir folgede Relatioe auf K : x > y : x y > 0, x y : (x > y) (x = y), x < y : y > x ud x y : y x. Dekt ma dara, dass K eigetlich ur die Mege ist, die dem Körper (K, +, ) uterliegt, so sollte ma ausführlicher eie ageordete Körper ausführlicher als Quadrupel (K, +,, K + ) schreibe. Ei solcher Bezeichugsmissbrauch ist oft bequem ud daher i der Mathematik sehr gebräuchlich. Beispiel II.2.2. Für Q + := {x Q: x > 0} ist das Paar (Q, Q + ) ei ageordeter Körper (Nachweis!). Vo u a steht K bzw. (K, K + ) immer für eie ageordete Körper. Satz II.2.3. (Aordugseigeschafte) (Ver) Vergleichbarkeit: Es gilt geau eie der Aussage x < y, x = y oder x > y. (Tr) Trasitivität der Ordug: Gilt x < y ud y < z, so auch x < z. (Ad) Verträglichkeit mit der Additio: (x < y) (z w) x + z < y + w. (Mul) + Verträglichkeit mit der Multiplikatio: (x < y) (z > 0) zx < zy.

29 II.2 Aordug 29 (Neg) Ist x < y, so ist x > y. Ma erhält die gleiche Regel für ud statt < ud > mit Ausahme vo (Ver); diese wird zu (Verg) Es gilt x y oder y x; gilt beides, so folgt daraus x = y. Beweis. (Ver) wird durch Eisetze der Defiitioe zu y x > 0 oder y x = 0 oder y x < 0; dies ist gerade (O1). (Tr): Aus y x > 0 ud z y > 0 folgt wege (O2) z x = (z y)+(y x) > 0, also x < z. (Ad): Wir habe y + w (x + z) = (y x) + (w z) > 0. (Mul) + : Aus y x > 0 ud z > 0 folgt wege (O3) z(y x) = zy zx > 0, also zx < zy. (Neg) folgt aus (Ad) Ist x < y, d.h. y x > 0, so ist auch ( x) ( y) = x + y = y x > 0, also x > y. (Verg) ist klar. y x 0 x y > K Satz II.2.4. (Multiplikative Regel) Es gelte für alle x, y, z K : (i) x < y, z < 0 zx > zy. (ii) Für 0 x K ist x 2 > 0. Isbesodere ist 1 > 0. (iii) x > 0 x 1 > 0. (iv) xy > 0 (x < y 1 x > 1 y ). Beweis. (i) Wege (Neg) ist z > 0, also ( z)x < ( z)y wege (Mul) +, d.h. zx < zy, also zy < zx wege (Neg). (ii) Ist x > 0, so ist x 2 > 0. Aderfalls ist x < 0 ud x 2 = ( x) 2 > 0 wege Bemerkug II.1.5(16). (iii) Wege (x 1 ) 2 > 0 ist x 1 = x(x 1 ) 2 > 0 wege (O3). (iv) Multiplikatio mit (xy) 1 > 0 liefert x < y x (xy) 1 < y (xy) 1 1 y < 1 x Bemerkug II.2.5. Die Aordug eies Körpers K hat auch arithmetische Kosequeze. Isbesodere lässt sich icht jeder Körper aorde: Wege 1 > 0 ud (Neg) ist 1 < 0. Also ist x 2 1für alle x K ud somit 1 kei Quadrat i K. Hieraus schließe wir isbesodere, dass die Kostruktio aus Aufgabe II.1 für jede ageordete Körper K eie Körper L liefert, desse zugrudeliegede Mege K 2 ist. Für N 0 ud x K setze wir x := x = x x. }{{} j {1,2,...,} mal Für Z mit < 0 setze wir x := ( x).

30 30 II. Die reelle Zahle 12. April 2007 Bemerkug II.2.6. (Eibettug vo Q i ageordete Körper) Ist K ei ageordeter Körper ud N, so ist 1 = ( mal) positiv ud daher ie 0. Weiter gilt (m) 1 = ( 1)(m 1) ( + m) 1 = für alle, m Z (Nachweis durch vollstädige Iduktio für N, m Z ud da Berücksichtigug der Vorzeiche!). Sid a, c Z ud b, d N mit a b = c d, d.h. ad = bc, so ist (a 1)(d 1) = (ad) 1 = (bc) 1 = (b 1)(c 1) ud daher (a 1) (b 1) 1 = (c 1) (d 1) 1. Wir erhalte daher eie Abbildug ϕ: Q K, a b (a 1) (b 1) 1, de die rechte Seite hägt icht vo der Darstellug des Bruches a b rechet leicht ach, dass (2.1) ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y), ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) für x, y Q ab. Ma gelte. Ist ϕ( a b ) = 0, so ist a 1 = 0 ud daher a = 0, de für a > 0 ist a 1 > 0 ud für a < 0 ist (a 1) = ( a) 1 > 0. Hieraus schließe wir, dass ϕ ijektiv ist, de aus ϕ( a b ) = ϕ( c d ) folgt 0 = ϕ( a b c ad bc d ) = ϕ( cd ) ud daher ad = bc, a d.h. b = c d. Eie ijektive Abbildug ϕ: Q K für die (2.1) gilt, et ma eie Körpereibettug oder eie Homomorphismus vo Körper. Wir habe also de Körper Q durch ϕ i K eigebettet ud dürfe ih us i diesem Si als eie Uterkörper vo K vorstelle, d.h. als eie Teilmege vo K, die uter Additio ud Multiplikatio abgeschlosse ist ud diesbezüglich eie Körper bildet. I diesem Si schreibe wir auch kurz a b Obige Argumete zeige also, dass jeder ageordeete Körper K de Körper Q der ratioale Zahle als Uterkörper ethält. für a 1 b 1. Defiitio II.2.7. Wir wolle eiige der i diesem Paragraphe eigeführte Operatioe ud Relatioe auf Mege erweiter. (a) Zu diesem Zweck defiiere wir für Mege M, N K ud Zahle x K : (1) M + N := {m + : m M, N} (2) M N := {m : m M, N} ud M := ( 1) M = { m: m M}. (3) x M : ( m M) x m (4) x M, x < M ud x > M (aalog) Eiige Eigeschafte der Additio ud Multiplikatio vo Elemete vo K übertrage sich auf die etsprechede Operatioe für Mege; so gilt beispielsweise M + N = N + M ud (M + N) + U = M + (N + U). Ethält M mehr als ei Elemet, so gibt es keie Mege N, für die M +N = {0} gilt (Nachweis!). (b) Ei x K mit x M heißt utere Schrake vo M ud ei x K mit M x obere Schrake vo M (vgl. Defiitio II.2.11). Die Mege M heißt ach obe bzw. ach ute beschräkt, falls M eie obere bzw. utere Schrake hat. Ist M ach obe ud ach ute beschräkt, so heißt M beschräkt.

31 II.2 Aordug 31 Maximum ud Miimum I diesem Abschitt sei K ei ageordeter Körper. Defiitio II.2.8. Sei M K. Ei Elemet x M heißt Maximum, we M x gilt. Sid x, y M Maxima, so gilt x y x, also x = y. I diesem Si sid Maxima eideutig bestimmt. Wir schreibe daher x = max(m), we x ei Maximum der Mege M ist. Aalog bezeichet ma ei Elemet y M als Miimum, we y M ist ud schreibt y = mi(m). { x für x y Beispiel II.2.9. (a) Sid x, y K, so gilt max{x, y} = y für x y. Isbesodere existiert das Maximum jeder zweielemetige Teilmege vo K. (b) Nicht jede Teilmege vo K mit eier obere Schrake besitzt ei Maximum. Wir betrachte hierzu die Mege M := {x K: x < 0}. Für jedes x M ist 2x < x < 0, also x < x 2 < 0. Wir schließe hieraus, dass M kei Maximum besitzt, obwohl 0 eie obere Schrake ist. Satz II Seie M, N K Teilmege für die max M ud max N existiere. Da gilt: (1) M N = max(m) max(n) (2) max(m + N) = max(m) + max(n) (3) M, N 0 max(m N) = max(m) max(n). (4) max(m N) = max{max(m), max(n)}. (5) mi(m) = max( M), falls max( M) existiert. (6) mi(m N) = mi{mi(m), mi(n)}, falls mi(m) ud mi(n) existiere. Beweis. (1) Wege M max(n) ist auch max(m) max(n). (2) Sei m := max(m) ud := max(n). Für a M ud b N ist da a m ud b, also a+b m+, d.h. M +N m+. Aus m+ M +N folgt somit m + = max(m + N). (3) Aalog zu (2). (4) Seie wieder m := max(m) ud := max(n). Da ist max{m, } M N ud für a M, b N gilt a, b max{m, }; daher ist max{m, } = max(m N).

32 32 II. Die reelle Zahle 12. April 2007 (5) Es gilt max( M) ( M) = M. Zu zeige ist och max( M) M. Sei also M. Da ist M, also max( M). Also ist max( M). (6) zeigt ma aalog zu (4). Satz II Jede edliche Teilmege M K besitzt ei Maximum. Beweis. Wir beweise diese Behauptug über vollstädige Iduktio ach der Azahl der Elemete vo M. (A) Iduktiosafag: M = 1, d.h. M = {x}. Da ist max M = x. (S) Iduktiosaahme: Die Behauptug gelte für Mege N mit Elemete ud M habe + 1 Elemete. Da ist M Ø ud folglich gibt es ei x M. Sei M := M \{x}. Da ist M =, so dass ach der Iduktiosaahme das Maximum max(m ) existiert. Da existiert auch max(m) = max(m {x}) = max{max(m ), x} (Satz II.2.10(4)). Wedet ma Satz II.2.11 auf die edliche Mege M a, so sieht ma atürlich auch, dass jede edliche Mege M ei Miimum besitzt (Satz II.2.10(5)). Im folgede schreibe wir daher max(x 1,..., x ) := max{x 1,..., x }, mi(x 1,..., x ) := max{x 1,..., x }. Satz II (Beroullische 1 Ugleichug) Für x K mit x 1 ud N gilt 1 + x (1 + x). Beweis. Wir zeige die Behauptug über Iduktio ach. (A) Für = 1 gilt 1 + x = (1 + x) 1. (S) (1 + x) +1 = (1 + x)(1 + x) A. (1 + x)(1 + x) wege 1 + x 0 = 1 + x + x + x 2 = 1 + ( + 1)x + x ( + 1)x. Für x 0 erhalte wir direkter ( ) ( (1 + x) = x k = 1 + k 1 k=0 ) x + ( ) x x ( ) x = 1 + x. 1 Aufgabe II.2.1. (a) Zeige Sie die Ugleichug vom arithmetische Mittel: Für Elemete x, y eies ageordete Körpers K gilt x < y x < x + y 2 < y. 1 Jacob Beroulli ( ), Schweizer Mathematiker ud Physiker i Basel.

33 II.2 Aordug 33 Hiweis: Zeige, dass für 2 := die Beziehug 1 > 1 2 > 0 gilt. (b) Für 0 < x < y ud alle k N gilt 0 < x k < y k. Hiweis: Vollstädige Iduktio. Aufgabe II.2.2. (a) Zeige Sie: Für N ud a, b K mit a 0 ud a + b 0 gilt (a + b) a + a 1 b. (b) Aus a, b 0 ud N folgt (a + b) a + b. Das Vollstädigkeitsaxiom Das folgede Kozept liefert eie Ersatz für fehlede Maxima ud Miima vo Mege. Defiitio II (a) Für eie ach obe beschräkte Teilmege M K defiiere wir ihr Supremum (obere Greze, kleiste obere Schrake) sup(m) := mi{x: M x}, falls es existiert. Für ach ute beschräkte Teilmege M K defiiere wir ihr Ifimum (utere Greze, größte utere Schrake) if(m) := max{x: x M}, falls es existiert. Existiert max(m) ud ist M x, so ist auch max(m) x ud daher sup(m) = max(m), d.h., das Maximum eier Mege ist eie kleiste obere Schrake, falls es existiert. (b) Eie Mege, die keie obere Schrake besitzt, heißt ach obe ubeschräkt; wir schreibe da sup(m) :=. Aalog setzt ma if(m) :=, we M ach ute ubeschräkt ist. Für die leere Mege setzt ma sup(ø) = ud if(ø) = (jedes Elemet ist obere ud utere Schrake vo Ø). Lemma II Sei Ø M K ach obe beschräkt ud s K. Da ist s = sup(m) geau da, we M s ud ( ε > 0)( m M) m > s ε. 1 Zur Termiologie: Mathematische Sachverhalte werde typischerweise i Sätze formuliert. Sätze, die vorbereiteder Natur sid, werde Lemma geat. Das Wort Lemma (Pural: Lemmata) ist griechisch ud bedeuetet Hor (weist i eie Richtug; vgl. Dilemma). Dagege heiße Sätze, die mehr oder mider Kosequeze eies vorausgegagee Satzes sid, oft Folgerug oder Korollar. Besoders wichtige Sätze heiße Theorem.

34 34 II. Die reelle Zahle 12. April 2007 Beweis. : Sei zuächst s = sup(m). Da gilt trivialerweise M s. Ist ε > 0, so ist s ε keie obere Schrake vo M. Also existiert ei m M mit m > s ε. : Erfüllt s die agegebee Bediguge, so ist s eie obere Schrake vo M ud für kei ε > 0 ist s ε eie obere Schrake. Ist x < s, so ist ε := s x ud x = s ε, also ist x keie obere Schrake vo M. Folglich ist s die kleiste obere Schrake vo M, d.h. s = sup(m). Aufgabe II.2.3. Verallgemeier Sie Satz II.2.10, idem Sie die etsprechede Aussage für Suprema bzw. Ifima zeige. Z.B. gilt falls alle Suprema existiere. sup(m + N) = sup(m) + sup(n), Defiitio II (Vollstädigkeitsaxiom) Ei ageordeter Körper (K, +,, K + ) heißt (ordugs-)vollstädig oder vollstädig ageordet, we für jede ichtleere ach obe beschräkte Mege M K das Supremum existiert. Defiitio II Eie Teilmege I K heißt Itervall, we x, z I, x y z y I gilt, d.h., mit zwei Elemete x ud z ethält I auch alle Elemete dazwische. Für a, b K erhält ma spezielle Beispiele vo Itervalle wie folgt: [a, b]: = {x K: a x b} (abgeschlosseees Itervall) [a, b[: = {x K: a x < b} (rechtsoffees Itervall) ]a, b]: = {x K: a < x b} (liksoffees Itervall) ]a, b[: = {x K: a < x < b} (offees Itervall). Die Itervalleigeschaft dieser Mege ergibt sich sofort aus der Trasitivität der Ordug (Satz II.2.3). Ma beachte, dass diese Itervalle für b < a alle leer sid. Für b = a ist lediglich das abgeschlossee Itervall [a, b] = {a} icht leer. Weitere Beispiele für Itervalle sid ]a, [: = {x K: a < x}. [a, [: = {x K: a x}. ], b]: = {x K: x b}. ], b[: = {x K: x < b}. Bemerkug II Sei a < b i K. Alle Itervalle [a, b], [a, b[, ]a, b], ]a, b[ sid durch b ach obe beschräkt, d.h., b ist eie obere Schrake. Weiter ist max([a, b]) = max(]a, b]) = b, aber max([a, b[) ud max(]a, b[) existiere icht. I der Tat habe wir für x ]a, b[ wege der Ugleichug vom arithmetische Mittel: x < x + b 2 < b,

35 so dass kei Elemet maximal ist. Allerdigs ist II.2 Aordug 35 sup([a, b[) = sup(]a, b[) = b, de b ist die kleiste obere Schrake dieser Itervalle. Aalog gilt mi([a, b]) = mi([a, b[) = a = if(]a, b[) = if(]a, b[). Im weitere werde wir eiige Eigeschafte vollstädig ageordeter Körper studiere. I folgede steht K daher immer für eie vollstädig ageordete Körper. Bemerkug II (a) Ist die ichtleere Mege M ach ute beschräkt, so existiert if(m): Ist M ach ute beschräkt, so ist M ach obe beschräkt ud x M ist äquivalet zu M x. Wege dem Vollstädigkeitsaxiom existiert sup( M). Die Behauptug folgt u aus sup( M) = mi{a: a M} II.2.10 = max{ a: a M} = max{b: b M} = if(m). (b) Wir erier us dara, dass wir Z mit der Teilmege Z 1 K idetifiziere (Bemerkug II.2.6). Ist eie ichtleere Teilmege M Z ach obe bzw. ach ute beschräkt, so besitzt sie ei Maximum bzw. ei Miimum: Zuächst existiert m := sup(m). Gemäß Lemma II.2.14 existiert ei x M mit x > m 1. Für y M ist u y m < x + 1 ud daher y x, wege x, y Z. Somit ist x = max(m) = m. Aalog zeigt ma, dass eie ach ute beschräkte Teilmege vo Z ei Miimum besitzt. Satz vo Archimedes Satz II Ist K ei vollstädig ageordeter Körper ud a, b, K mit b > 0, so existiert ei N mit b > a. Beweis. Sei M := {b: N}. Wir führe eie idirekte Beweis. Ist die Behauptug falsch, so ist M a, die Mege M hat also ach dem Vollstädigkeitsaxiom ei Supremum s = sup(m). Wege Lemma II.2.14 existiert ei N mit b > s b. Da ist ( + 1)b > s, was der Aahme widerspricht. Eie Körper, i dem der Satz vo Archimedes gilt, et ma archimedisch geordet, z.b. ist der geordete Körper (Q, Q + ) archimedisch geordet. Obiger Satz wird oft Axiom des Archimedes geat, da er als Axiom i der Geometrie der Grieche eie zetrale Rolle spielte. Bei us folgt er aus dem Vollstädigkeitsaxiom. Dekt ma sich a ud b als die Läge vo Streckestücke, so besagt er, dass ma durch Aeiaderlege eier ausreiched große Zahl vo Strecke der Läge b eie Strecke erhält, die läger als a ist. Da sich die Grieche positive Zahle als etwas vorstellte, womit ma Strecke messe ka, ist das Archimedische Axiom eie sehr atürliche Aforderug a diese Meßzahle. Ma ka zeige, dass vollstädig ageordete Körper i eiem gewisse Si maximal archimedisch ageordet sid. Ma ka sich das so vorstelle, dass sie die größtmögliche Körper sid, dere positive Elemete Streckeläge etspreche.