Inhaltsverzeichnis Partielle Differentialgleichungen und ihre T ypeneinteilung B eispiele...
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- Jürgen Kästner
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1 Inhaltsverzeichnis 1 Partielle Differentialgleichungen und ihre Typeneinteilung Beispiele Typeneinteilungen bei Gleichungen zweiter Ordnung Typeneinteilungen bei Systemen erster Ordnung Unterschiedliche Eigenschaften der verschiedenen Typen Literatur Die Potentialgleichung Problemstellung Singularitätenfunktion Mittelwerteigenschaft und Maximumprinzip Stetige Abhängigkeit von den Randdaten Die Poisson-Gleichung Problemstellung Green sche Funktion und Lösungsdarstellung Existenz einer Lösung Die Green sche Funktion für die Kugel Die Neumann-Randwertaufgabe Die Integralgleichungsmethode Differenzenmethode für die Poisson-G leichung Einführung: Der eindimensionale F a ll Fünfpunktformel M-Matrizen, Matrixnormen und positiv definite M atrizen Eigenschaften der Matrix Lh Konvergenz Differenzenverfahren höherer Ordnung Die Diskretisierung der Neumann-Randwertaufgabe Einseitige Differenz für du/du Symmetrische Differenz für du/du Symmetrische Differenz für du/dn im verschobenen G itter Beweis des Stabilitätsatzes Diskretisierung der Poisson-Gleichung im beliebigen G eb iet... 78
2 4.8.1 Shortley-Weller-Approximation Interpolation in randnahen Punkten Allgemeine Randw ertaufgaben Dirichlet-RandWertaufgaben für lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung Problemstellung Maximumprinzip Eindeutigkeit der Lösung und stetige Abhängigkeit Differenzenverfahren für die allgemeine Differentialgleichung zweiter Ordnung Green sche Funktion Allgemeine Randbedingungen Formulierung der Randwertaufgabe Differenzenverfahren bei allgemeinen Randbedingungen Randwertaufgaben höherer Ordnung Die biharmonische Differentialgleichung Allgemeine lineare Differentialgleichung der Ordnung 2m Diskretisierung der biharmonischen Differentialgleichung Exkurs über Funktionalanalysis Banach-Räume und Hilbert-Räume Normierte Räume Operatoren Banach-Räume Hilbert-Räume Sobolev-Räume Der Raum L2(Ü) Die Räume Hk( 2) und H^{Ü) Fourier-Transformation und Hk(Rn) Hs(f2) für reelles s > Spur- und Fortsetzungssätze Dualräume Dualraum eines normierten Raumes Adjungierte Operatoren Skalen von Hilbert-Räumen Kompakte Operatoren Bilinearformen Variationsformulierung Historische Bemerkungen zum Dirichlet-Prinzip Gleichungen mit homogenen Dirichlet-Randbedingungen Dirichlet-Randbedingung Schwache Formulierung H (i?)-elliptizität ffß1(i?)-koerzivität Inhomogene Dirichlet-Randbedingung Natürliche Randbedingungen
3 7.4.1 Variation in Hm(Q)... : Konormale Randbedingung Schiefe Randbedingungen Randbedingungen bei m > Weitere Randbedingungen Pseudodifferentialgleichungen Die Methode der finiten E lem ente Historische Bemerkungen Das Ritz-Galerkin-Verfahren Grundlagen Analyse der diskreten G leichung Lösbarkeit des diskreten Problems B eisp iele Fehlerabschätzungen Quasioptimalität Konvergenz der Ritz-Galerkin-Lösungen Ritz-Projektion Weitere Stabilitäts- und Fehlerabschätzungen Finite Elem ente Einführung: Lineare Elemente für Q = (a, b) Lineare Elemente für Q C R Bilineare Elemente für 12 C R Quadratische Elemente für!? C R Elemente für 12 C R Behandlung von Nebenbedingungen Fehlerabschätzungen bei Finite-Element-Verfahren Vorbereitungen Eigenschaften von Folgen von Finite-Element-Räumen H1 - Abschätzungen für lineare Elemente L2-Abschätzungen für lineare Elem ente Verallgemeinerungen Fehlerabschätzungen für andere Elemente Finite Elemente für Gleichungen höherer Ordnung Finite Elemente für Nichtpolygon-Gebiete A-posteriori-Fehlerabschätzungen, Adaptivität A-posteriori-Fehlerabschätzungen Effizienz der Finite-Element-Methode Adaptive Finite-Element-Methode Eigenschaften der Systemmatrix Zusammenhang von L und Lh Normäquivalenzen und Massematrix Inverse Abschätzung und Kondition von L Elementmatrizen Positivität, Maximumprinzip Weitere Hinweise Gemischte bzw. hybride finite Elem ente Nichtkonforme Elemente...219
4 8.9.3 Nichtzulässige Triangulationen Trefftz-Verfahren Finite-Element-Verfahren für singuläre Lösungen Hierarchische Basen Superkonvergenz Die Mörtelmethode ( mortar finite elements ) Verwandte Diskretisierungen R egularität Lösungen der Randwertaufgabe in HS(Ü), s > m Das Regularitätsproblem Regularitätssätze für Q = Rn Regularitätssätze für Q = R Regularitätssätze für allgemeines Q C Rn Regularität bei konvexem Gebiet und Gebieten mit E ck en Innere Regularität Regularitätsabschätzung Verhalten der Singularitätenfunktion und der Green schen Funktion Regularitätseigenschaften der Differenzengleichungen Diskrete Ff1-Regularität Konsistenz Optimale Fehlerabschätzungen # 0?/^ -Regularität für - 1 / 2 < 0 < 1 / H%-Regularität Innere Regularität Spezielle Differentialgleichungen Differentialgleichungen mit unstetigen Koeffizienten Formulierung Finite-Element-Diskretisierung Diskretisierung mittels Differenzenverfahren Unstetige Koeffizienten der ersten oder nullten A bleitungen Ein singulär gestörtes Problem Die Konvektionsdiffusionsgleichung Stabile Differenzenschemata Finite Elemente Eigenwertprobleme elliptischer O peratoren Formulierung der Eigenwertprobleme Finite-Element-Diskretisierung Diskretisierung Qualitative Konvergenzresultate Quantitative Konvergenzresultate Konsistente Probleme Diskretisierung durch Differenzenverfahren Weitere Anmerkungen
5 12 Stokes-G leichungen Elliptische Differentialgleichungssysteme Variationsformulierung Schwache Formulierung der Stokes-Gleichungen Sattelpunktprobleme Existenz und Eindeutigkeit der Lösung eines Sattelpunktproblems Lösbarkeit und Regularitat des Stokes-Problems Eine Vb-elliptische Variationsformulierung der Stokes-Gleichung Finite-Element-Methode für das Stokes-Problem Finite-Element-Diskretisierung des Sattelpunktproblems Stabilitätsbedingungen Stabile Finite-Element-Räume für das Stokes-Problem Divergenzfreie A nsätze A Lösungen der Übungsaufgaben Lösungen zu Kapitel Lösungen zu Kapitel Lösungen zu Kapitel Lösungen zu Kapitel Lösungen zu Kapitel Lösungen zu Kapitel Lösungen zu Kapitel Lösungen zu Kapitel Lösungen zu Kapitel Lösungen zu Kapitel Lösungen zu Kapitel Lösungen zu Kapitel Literaturverzeichnis Sachverzeichnis...393
4.8.1 Shortley Weller-Approximation Interpolation in randnahen Punkten... 81
Inhaltsverzeichnis 1 Partielle Differentialgleichungen und ihre Typeneinteilung... 1 1.1 Beispiele... 1 1.2 Typeneinteilungen bei Gleichungen zweiter Ordnung.................. 5 1.3 Typeneinteilungen bei
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Inhaltsverzeichnis Benutzerhinweise...XIII Teil I Analysis in einer reellen Variablen 1 Reelle und komplexe Zahlen... 3 A. Mengen,Funktionen,Körper... 3 B. Anordnung, Betrag, Induktion............................
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Mathematik für Fachhochschule, Duale Hochschule und Berufsakademie mit ausführlichen Erläuterungen und zahlreichen Beispielen Bearbeitet von Prof. Dr. Guido Walz 1. Auflage 2010. Taschenbuch. xi, 580 S.