Numerische Berechnung der elektronischen Subbandstruktur in Quantum-Wells bei der Simulation von Laserdioden

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1 Numerische Berechnung der elektronischen Subbandstruktur in Quantum-Wells bei der Simulation von Laserdioden Diplomarbeit (einschließlich Belegarbeit) Kersten Schmidt Gaststudent an der ETH Zürich Student der Technischen Physik der TU Ilmenau Betreuer: Prof. Jürgen Schäfer, Dr. Vladimir Polyakov (TU Ilmenau) Michael Pfeiffer, Andreas Witzig (ETH Zürich) Ilmenau, 8.Dezember 1

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3 Inhaltsverzeichnis Einleitung 5 1 Der Halbleiterlaser Eigenschaften der Laserstrahlung Anwendungen von Halbleiterlasern Funktionsprinzip Laserstrukturen Halbleitermaterialien p-n-laserdiode Doppel-Heterostruktur-Laser Quantum-Well-Laser Simulationswerkzeug LASER-DESSIS Der Festkörper 19.1 Ladungsträger im Festkörper Ladungsdichten im homogenen Halbleiter Ladungsdichten im Quantengraben Die Bandstruktur im homogenen Halbleiter Störungstheoretischer Ansatz Matrixformulierung der Schrödingergleichung LÖWDIN s Methode der Störungstheorie k p -Methode k p -Hamiltonian mit Spin-Bahn-Wechselwirkung Das Kane sche Modell Das Luttinger-Kohn-Modell Materialparameter für die k p -Methode Die Bandstruktur in QW-Strukturen Envelopenfunktionsformalismus (EFA) Die Idee des Envelopenfunktionsformalismus Grenzbedingungen Behandlung von äußeren elektrischen Potentialen Pikus-Bir-Hamiltonian mit Verspannung Band-Hamiltonian ohne SO-Band Blockdiagonalform Axiale Approximation Band-Hamiltonian Das Leitungsband Simple Valenzbandmodelle Lösungsmethoden Anwendungsbereich des EFA

4 4 INHALTSVERZEICHNIS 5 Berechnung der Bandstruktur im QW Der Lösungsalgorithmus Grenzbedingungen Verschwinden der Wellenfunktion im Unendlichen Die Übertragungsfunktion Ermittlung der Wellenfunktionen Berechnung der Einbandschrödingergleichung Berechnung der Zweibandschrödingergleichung Die Kopplung der HH- und LH-Bänder HH- und LH-Bänder in axialer Näherung Koppelung der LH- und SO-Bänder bei k ρ = Berechnung der Dreibandschrödingergleichung Ergebnisse der Bandstrukturberechnungen Die Bandstrukturmodelle Löcher: Vernachlässigung des SO-Bandes Löcher: Vernachlässigung der HH-LH-Kopplung Löcher: Verwendung effektiver Bulkmassen Elektronen: parabolische und nichtparabolische Berechnung Elektronen: Verwendung effektiver Bulkmassen Die Verspannung Einfluß von Materialparametern Optoelektronik Die optische Verstärkung Das optische Impulsmatrixelement Die Linienverbreiterung Vorhersagen für die optoelektronischen Eigenschaften Optische Verstärkung Simulation eines Quantum-Well-Lasers Zusammenfassung und Ausblick 119 Anhang 11 A. Zur Bandstrukturberechnung B. Die Software Literatur 15 Danksagung 133

5 Einleitung Die in den letzten Jahren breitgestreute Anwendung von optischen Bauelementen und Halbleiterlasern wurde durch intensive Forschungen, Entwicklungen und fortgeschrittene Prozesstechnologien mit verschiedenem Bauelemente- und Systemaufbau und unterschiedlichen Materialien möglich. Verwendung finden sie in der Unterhaltungselektronik, im Druck- und Kopierbereich, in der Datenübertragung und -speicherung, in der Medizin- und der Waffentechnik, in Messapparaturen und in der Produktion. Die Optoelektronikindustrie nutzt zur Vorhersage der Eigenschaften optischer Bauelemente und Systeme mit grösser werdendem Interesse Simulationswerkzeuge, die auf physikalischen Modellen beruhen. Verschiedene Programme können quantitativ die Frequenz, die räumliche Verteilung und die Intensität der Lichtmoden, die zum Betrieb nötigen Ströme und die örtliche Erwärmung vorhersagen. Die Bandbreite der oft in der Forschung entwickelten Simulatoren geht von einfachen Ratengleichungsmodellen bis zu einer voll gekoppelten Lösung von Poisson-, Drift- Diffusion-, Wärmetransport-, Quantentransport- und den Maxwellschen Gleichungen, wie das im Institut für Integrierte Systeme der ETH Zürich erarbeitete Simulationswerkzeug LASER- DESSIS. Für Laserdioden eignen sich hervorragend die direkten III-V-Halbleiter, wie zum Beispiel GaAs, AlAs, InAs und InP und ihre Legierungen. Durch Einschränkung des optisch-aktiven Bereiches durch eine dünne Schicht eines anderen Materials innerhalb des Substrates konnte der Schwellstrom, der zum Lasen notwendig ist, verkleinert werden. Eine Verkleinerung der Schichtdicke auf wenige Nanometer bis einzelne Monolagen sperrt die Ladungsträger so stark ein, daß ihre Energien quantisiert sind. Wegen ihrer besseren Betriebseigenschaften werden diese sogenannten Quantum-Well-Laser heutzutage verwendet. Um die elektronischen und optischen Eigenschaften von Quantum-Wells (QW) beschreiben zu können, ist das Wissen über ihre elektronische Bandstruktur wichtig. Gängiges Verfahren zur Berechnung der Bandstruktur ist der Envelopenfunktionsformalismus (EFA). Er wendet die k p -Methode des homogenen Halbleiters auf QW- Strukturen an. Komplexe Modelle berücksichtigen die Beeinflussung der Zustände mehrerer Bänder. Einfache Modelle vernachlässigen diese Bandkoppelung. In dieser Arbeit wird untersucht, welchen Einfluß die Verwendung des Quantum- Well-Bandstrukturmodelles auf die simulierten optoelektronischen Verstärkung hat. Dazu wurden die Energien und Wellenfunktionen der Elektronen und Löcher im Quantengraben analytisch gelöst. Die Algorithmen wurden in einem Programmpaket in MATLAB r umgesetzt. Im 1. Kapitel wird der Halbleiterlaser, die Eigenschaften seiner Strahlung, seine Anwendung, die Wirkungsweise, die verwendeten Materialien, unterschiedliche Laserstrukturen und seine Simulation behandelt. Die Beschreibung von kristallinen Festkörpern und ihren Ladungsträgern schließt sich an (Kapitel ). Die Bandstruktur im homogenen Halbleiter wird durch einen störungstheoretischen Ansatz der Schrödingergleichung die k p -Methode berechnet, die in 5

6 6 INHALTSVERZEICHNIS Kapitel 3 behandelt wird. Diese wird im 4. Kapitel mit dem Envelopenfunktionsformalismus auf Quantum- Well-Strukturen erweitert. Die komplexen und einfachen Bandstrukturmodelle und ein Modell zur Berechnung von Gitterverspannungen werden vorgestellt. Die verwendete analytische Lösungsmethode wird im 5. Kapitel allgemein und für verschieden komplexe Modelle einschließlich des verspannten 6 6-Hamiltonian beschrieben. In Kapitel 6 werden die Bandstrukturen für verschiedene Modelle, mit und ohne Verspannung sowie bei Variation der Materialparameter für unterschiedliche Quantum-Wells berechnet und verglichen. Die Ermittlung der lokalen optischen Verstärkung wird in Kapitel 7 vorgestellt und für verschiedene Bandstrukturmodelle in Kapitel 8 gegenübergestellt. Das Kapitel zeigt im weiteren die Ergebnisse einer Laserdiodensimulation unter Verwendung einer mit dem 4 4-Hamiltonian berechneten Bandstruktur. Das 9. Kapitel gibt eine Zusammenfassung der Arbeit und einen Ausblick.

7 Kapitel 1 Der Halbleiterlaser 1.1 Eigenschaften der Laserstrahlung Halbleiterlaserdioden fanden in den letzten Jahren vielfältige Anwendung als günstige Lichtquelle und wegen ihrer besonderen Eigenschaften: 1. sehr hohe Bestrahlungsstärke (GW/cm ) ist möglich,. Monochromasie, 3. große zeitliche und räumliche Kohärenz, die Interferenz von Strahlen möglich machen, 4. hohe Frequenz- und Amplitudenstabilität, 5. kurze Laserimpulse von unter 1 fs Dauer. Der Begriff Laser ist die Abkürzung für Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation (Lichtverstärkung durch stimulierte Strahlungsemission), wird jedoch nicht nur für die optischen Verstärker von sichtbarem Licht, sondern auch von Infrarot- und ultravioletter Strahlung benutzt. Halbleiterlaser, die ersten wurden 196 gebaut [], sind aufgrund ihrer kleinen Abmessungen (1 1µm), ihrem hohen Wirkungsgrad (bis 5 % []) der elektrische Strom wird direkt in Laserlicht umgewandelt und den günstigen Produktionskosten heute vor den Gaslasern die am meisten eingesetzten Laser. 1. Anwendungen von Halbleiterlasern Laserdioden in Compact-Disc-Geräten, Laserpointern, Laserdruckern und Barcodelesern sind in den letzten Jahren eine alltägliche Technik geworden. Laserdioden, Photodetektoren, optische Verstärker (engl. semiconductor optical amplifier (SOA)) und Modulatoren ermöglichen eine neue Entwicklung in der Übertragung von Daten und Kommunikation durch das Einspeisen, Auslesen und Verstärken von Signalen in Glasfaserkabel. Durch Frequenzmodulation wird die Bandbreite einer Glasfaser auf über 4 Gbit/s erhöht. Fokussiertes Laserlicht ist eine ideale Quelle für kontaktloses Messen in Umweltund anderen materialsensitiven Sensoren, der Längen- (z.b. interferometrisch) und Geschwindigkeitsmessung (z.b. Dopplereffekt). In den Produktionsabläufen werden vermehrt Halbleiterlaser zur thermischen Bearbeitung, zum Reinigen von Wafern, für die Prozessoptimierung (Lichtschranken und Musterkennung) u.a. eingesetzt. 7

8 8 KAPITEL 1. DER HALBLEITERLASER Bedeutende Nutzer von Lasern, auch Halbleiterlasern, sind die Krankenhäuser geworden. Präzisere Operationen und neue Untersuchungen sind durch sie möglich geworden. Dagegen schweben durch die Entwicklung von lasergesteuerten Angriffsund Verteidigungswaffen den Militärs präzise, saubere Kriege vor. Abbildung 1.1 zeigt eine Übersicht über Bereiche, in denen optoelektronische Halbleiterbauelemente, also Laserdioden, LEDs (light emitting diodes), optische Verstärker (semiconductor optical amplifier (SOA)), optische Modulatoren und Photodetektoren, eingesetzt werden. Abbildung 1.1: Anwendungen von Halbleiterlasern [3]. 1.3 Funktionsprinzip Die Besonderheit der Strahlung des Lasers beruht auf der stimulierten Emission identischer Photonen, die sich in Wellenlänge und Phase nicht unterscheiden. Jedes erzeugte Photon erhält die Energie, die beim Übergang eines angeregten Elektrons in einen niedrigeren Energiezustand frei wird. Die Elektronen können sich nur in

9 1.3. FUNKTIONSPRINZIP 9 Abbildung 1.: (a) Bei T = K befinden sich alle Elektronen im Valenzband. (b) Bei höheren Temperaturen liegen auch Elektronen oberhalb des Ferminiveaus im Leitungsband. bestimmten Energiezuständen befinden. Für Halbleiter sind vor allem die Zustände in dem untersten Leitungsband und den obersten Valenzbändern von Bedeutung, die eine fundamentale Bandlücke (band gap) E g, in der keine Eigenzustände liegen, trennt. Die Elektronen unterliegen der Fermistatistik, d.h. nach dem Prinzip von Pauli dürfen sich keine zwei Elektronen im selben Zustand, der durch die Quantenzahlen festgelegt ist, befinden. Nahe des absoluten Temperaturnullpunktes befinden sich alle Elektronen in möglichst niederenergetischen Eigenzuständen (siehe Abbildung 1.(a)). Die Energie des energiereichsten Elektrons nennt man Fermienergie. Bei höherer Temperatur können sich Elektronen oberhalb der Fermienergie befinden. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit gibt die Fermifunktion f(e) mit der Energie E an (siehe Gleichung (1.1), [4]). In ihr ist k B die Boltzmannkonstante. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist temperaturabhängig, bei T K geht f(e) in die Stufenfunktion über. Bei Halbleitern liegt das Ferminiveau inmitten der Bandlücke, so daß der Anteil der Elektronen im Leitungsbänd sehr klein ist (siehe Abbildung 1.(b)). f(e) = exp E E F k B T (1.1) Die unbesetzten Zustände im Valenzband werden Löcher genannt, die sich wie Teilchen durch den Festkörper bewegen und eine eigene effektive Masse haben. Die Häufigkeit, in einem Zustand ein Loch anzutreffen, ist 1 f(e). Durch optisches Pumpen oder Injektion von Ladungsträgern können Elektronen ins Leitungsband und Löcher ins Valenzband gepumpt werden. Diese angeregten Zustände können mit der Einführung von zwei Ferminiveaus, E F c für die Elektronen und E F v < E F c für die Löcher, beschrieben werden. In Abbildung 1.3 ist dies im Elektron- Löcher-Modell illustriert. Aus diesen angeregten Zuständen fallen sie nach ca s in einen unbesetz-

10 1 KAPITEL 1. DER HALBLEITERLASER Abbildung 1.3: Elektronen und Löcher wurden in angeregte Zustände gepumpt. Spontan oder durch ein Photon können angeregte Elektron-Loch- Paare unter Erzeugung eines Photons rekombinieren. ten Zustand des Valenzbandes. Bei der spontanen Emission geschieht dies zeitlich zufällig, also stochastisch. Die dabei ausgesendeten elektromagnetischen Wellen haben zufällige Ausbreitungs- und Polarisationsrichtungen; die spontane Emission liefert keine kohärente Strahlung. Durch das elektromagnetische Feld eines Photons mit E = hω kann ein angeregtes Elektron mit der Energie E 1 zu einem Übergang in einen unbesetzten Zustand der Energie E = E 1 hω im Valenzband stimuliert werden, wobei ein neues (zweites) Photon mit E = hω, mit gleicher Richtung, Polarisation und Phase erzeugt wird; man spricht von der stimulierten Emission. Die stimuliert emittierte Strahlung ist kohärent. Ebenso kann durch ein Photon mit E = hω ein Elektron aus dem Valenzband mit E ins Leitungsband in einen Zustand mit E 1 = E + hω gelangen. Dieser Prozeß wird als Absorption bezeichnet. Die Differenz von stimulierter Emission und Absorption ist die Verstärkung (engl. Gain) mit dem Verstärkungskoeffizienten g( hω) (siehe Abschnitt 7.1). Abbildung 1.4: (a) Spontane Emission. (b) Absorption. (c) Stimulierte Emission. Die Emission, spontane oder stimulierte, ist in dieser Beschreibung die Vernichtung eines Elektron-Loch-Paares mit der Erzeugung eines Photons. Bei Absorption eines Lichtteilchens wird im Leitungsband ein Elektron und im Valenzband ein Loch

11 1.3. FUNKTIONSPRINZIP 11 erzeugt. Im aktiven Laser gehen durch die Spiegel oder durch Streuung ins Substrat Photonen verloren. Eine notwendige Bedingung für die Laseraktivität ist deshalb, daß genügend neue Photonen in der aktiven Zone erzeugt werden, also die Rekombination der Absorption überwiegt. Für einen Übergang E 1 E ist die Rekombination durch das Produkt aus der Besetzungswahrscheinlichkeit der Elektronen im Leitungsband f C (E 1 ) und der Wahrscheinlichkeit der Nichtbesetzung (1 f V (E )) der Elektronen im Valenzband, d.h. aus der Besetzungswahrscheinlichkeit der Löcher, bestimmt; die Absorption dagegen durch f V (E ) (1 f C (E 1 )). Die Bedingung der Laseraktivität ist also ( ) ( ) f C (E 1 ) 1 f V (E ) f V (E ) 1 f C (E 1 ) > (1.) Setzt man die Definition der Fermifunktion (1.1) in (1.) ein, erhält man E FC E FV > E 1 E = hω (1.3) Da die Temperatur in (1.3) nicht enthalten ist, gilt die Bedingung für alle Temperaturen. Abbildung 1.5: Nur direkte Übergänge tragen zur Laseraktivität bei. Bedingung für einen Übergang E 1 E ist die Erhaltung des Gesamtimpulses. Es muß also für die Wellenvektoren des Elektrons (bzw. Loches) im Valenzband k V, des Elektrons im Leitungsband k C und des Photons k P h k V + h k P = h k C gelten. Da der Impuls der Elektronen viel größer als der der Photonen ist, muß der Übergang E 1 E vertikal, d.h. unter konstantem Wellenvektor, stattfinden (siehe Abbildung 1.5). kv = k C (1.4) Diese Forderung des direkten Übergangs wird k-selection-rule [5] genannt. Bei indirekten Halbleitern haben die Minima von Leitungs- und Valenzband verschiedene k-vektoren. Für einen solchen indirekten Übergang ist ein Gitterphonon nötig, das den fehlenden Impuls aufnimmt. Indirekte Übergänge sind zwar möglich, jedoch viel schwächer als direkte. Dies ist auch ein Grund, warum für kristallines Silizium keine Laseraktivität beobachtet wurde.

12 1 KAPITEL 1. DER HALBLEITERLASER 1.4 Laserstrukturen Halbleitermaterialien Das erste Halbleitermaterial mit Lasereigenschaften war GaAs - und zwar im nahen Infrarotbereich. Heute gibt es Erfahrungen für eine Vielzahl von Materialien, vor allem für III-V-Halbleiter (siehe Tabelle 1.1), jedoch existieren weiterhin enorme Anstrengungen in der Forschung an Halbleitermaterialien. Die wichtigsten Materialsysteme sind Al x Ga 1 x As (siehe z.b. [6, 7, 8, 9, 1, 11]) sowie Ga x In 1 x As y P 1 y (siehe z.b. [1, 13, 14]), die Licht der Wellenlängen im sichtbaren und nahen Infrarotbereich emittieren. Sie haben die Zinkblende- Gitterstruktur (kubisch), sind direkte Halbleiter, und die Extrempunkte liegen im Zentrum der Brillouinzone, dem Γ-Punkt (siehe Kapitel ). Die in dieser Arbeit untersuchten Bandstrukturmodelle beziehungsweise ihre Hamiltonianmatrizen (siehe z.b. (3.57)) sind für Bandstrukturberechnungen dieser Systeme geeignet. Tabelle 1.1: Al Ga In N AlN GaN InN P AlP GaP InP As AlAs GaAs InAs Sb AlSb GaSb InSb Wegen ihrer optoelektronischen Eigenschaften sind von den III-V- Halbleitern die binären, ternären und quaternären Verbindungen mit Al, Ga und In interessant. Von diesen kommen die Phosphide, Arsenide und Antimonide im (kubisches) Zinkblendegitter vor. GaN existiert im Wurtzit- und im Zinkblendegitter. Wegen ihrer breiten Bandlücke und somit einer Emission von blauem und violettem Licht sind GaN, AlN, InN und ihre entsprechenden ternären und quaternären Verbindungen interessant (siehe z.b. [15, 16, 17, 18]). Sie haben fast ausschließlich eine Wurtzitgitterstruktur und sind nicht Gegenstand dieser Arbeit p-n-laserdiode In Abbildung 1.6 ist der schematische Aufbau einer p-n-laserdiode dargestellt. Sie ist nichts anderes als eine p-n-diode kombiniert mit einem optischen Resonator. Die Diode wird in Durchlaßrichtung betrieben, Ladungsträger werden injiziert und rekombinieren am p-n-übergang in der aktiven Zone. Die beiden planparallelen Seitenflächen meist Spaltkanten entlang von Kristallebenen bilden einen Fabry-Perot-Resonanzraum. Die anderen Seitenflächen werden rauh belassen, damit Laseroszillationen in andere als die Hauptrichtung unterdrückt werden. Überschreitet die Ladungsträgerdichte am p-n-übergang einen gewissen Wert, wird das erzeugte Licht verstärkt, die stimulierte Emission dominiert und die Lichtleistung steigt stark mit dem Injektionsstrom das Lasen ist gestartet (siehe Abbildung 1.7). Der Strom an der Laserschwelle wird als Schwellstrom (threshold) I th bezeichnet. Unterhalb der Laserschwelle überwiegt die spontane Emission großer spektraler Breite ähnlich einer Licht-emittierenden Diode (LED). Der Schwellstrom steigt stark bei steigender Temperatur und liegt bei Raumtemperatur sehr hoch, für GaAs bei etwa 5 1 ka/cm [, 5]. Ein kontinuierlicher Betrieb ist bei Raumtemperatur daher nicht möglich.

13 ? : LASERSTRUKTUREN 13 Abbildung 1.6: Schematischer Aufbau einer p-n-laserdiode mit Fabry-Perot- Resonator. Die aktive Zone ist schraffiert gezeichnet [5]. >= ; < 4 56!"#! $ % &' (%)*+,-+./13 ((%3 *+ Abbildung 1.7: Unterhalb des Schwellstromes dominiert die spontane Emission die Lichtleistung. Durch die stimulierte Emission, die ab I th überwiegt, steigt die Lichtausbeute sehr stark mit wachsendem Injektionsstrom Doppel-Heterostruktur-Laser Durch Molekularstrahlepitaxie (molecular beam epitaxy (MBE)) und Chemische Gasphasenabscheidung (chemical vapor deposition (CVD)) können verschiedene Materialien aufeinander gewachsen werden. Solche Strukturen werden als Heterostrukturen bezeichnet. Laserdioden mit einfacher oder doppelter Heterostruktur mit Breiten kleiner als 1 µm haben erheblich kleinere Schwellströme von 1 ka/cm [] (siehe Abbildung 1.8), da sie durch einen Wechsel des Brechungsindexes das Licht auf einen kleinen Bereich um die aktive Zone beschränken Quantum-Well-Laser Verringert man die Breite von Doppel-Heterostrukturen auf die Größenordnung der de-broglie-wellenlänge λ = h/p der Elektronen, werden diese in einem Potentialtopf eingesperrt und die Energien, die sie einnehmen können, werden quantisiert (siehe Abbildung 1.1). In die Wachstumsrichtung und somit die Richtung der Einschränkung wird o.e.d.a. die z-achse gelegt. Es entstehen diskrete Energiebänder in k z -Richtung. In der QW-Ebene bewegen sich die Ladungsträger frei (Abbildung 1.9), und es ergibt sich für jedes Subband eine Energiedispersion in k -Richtung (Abbildung 1.1). In Gleichung (1.5) ist diese

14 14 KAPITEL 1. DER HALBLEITERLASER Abbildung 1.8: Der Schwellstrom ist gegenüber der Temperatur für drei Laserstrukturen dargestellt [19]. Abbildung 1.9: In der Quantum-Well-Ebene können sich die Ladungsträger frei bewegen. Senkrecht zu ihr sind sie gebunden. Dispersion in parabolischer Näherung angegeben. E = E ± h m k (1.5) Diese dünnen Heterostrukturen werden als quantum well (QW) und die Laser als Quantum-Well-Laser bezeichnet. Vorteil der QW-Halbleiterlaser ist die weitere Senkung der Schwellstromdichte um einen Faktor von bis 3 gegenüber konventionellen Doppel-Heterostruktur-Lasern. Die Temperaturabhängigkeit des Schwellstromes ist wesentlich schwächer. Dies und ihre hohe Zuverlässigkeit und hohe, geschätzte Lebensdauer von > 1 5 h haben den QW-Laser zur bevorzugten Laserdiode gemacht. Dingle et al [6] berechnete erstmals die diskreten Zustände in einer 14 Å bzw. 1 Å dicken GaAs-Schicht in einem Al, Ga,8 As-Substrat anhand der gemessenen Übergangsenergien des Absorptionsspektrums. Zur Berechnung benutzten sie das simple particle in a box -Modell. Mit dem Envelopenfunktionsformalismus (siehe

15 1.5. SIMULATIONSWERKZEUG LASER-DESSIS 15 Abbildung 1.1: Potential eines Al x Ga 1 x As-Quantum-Wells. Es bilden sich diskrete Energiezustände der Elektronen (CB) und der Löcher (VB). In k -Richtung entstehen Subbänder mit einer Dispersion E( k ). 4.1) ist es möglich geworden, bei der Berechnung der Quantum-Well-Zustände die störungstheoretischen Modelle von Volumenhalbleitern zu verwenden. In den vorgestellten Modellen werden die Wechselwirkung der Bänder, die Spin-Bahn-Kopplung und Verspannungen durch Gitteranpassung oder äussere Kräfte eingeschlossen. In neuen Messungen wurde stimulierte Emission bei ultradünnen (< 1 Å) Quantum-Well-Strukturen beobacht. Kolbas et. al. [] konnten einen 8, 5 Å-(3 Monolagen)-dicken AlGaAs-GaAs-QW und einen 6, 6 Å-( Monolagen)-dicken GaAs- InAs-QW zum Lasen bringen und damit sogar bei diesen dünnen Strukturen eine genügend große Besetzungsinversion experimentell nachweisen. 1.5 Simulationswerkzeug LASER-DESSIS Die Optoelektronikgruppe des Instituts für Integrierte Systeme der ETH Zürich (Schweiz) entwickelt innerhalb ihrer Forschung mit u.a. kantenemittierenden Laserdioden (engl. edge-emitting laser diodes), vertikalen oberflächenemittierenden Dioden (engl. vertical-cavity surface-emitting diodes), Photodetektoren, abstimmbaren Lasern (engl. tunable lasers), gekoppelter Elektronik-Optik-Thermik-Simulation das Simulationswerkzeug LASER-DESSIS zur ein- bis völlig dreidimensionalen Modellierung von optoelektronischen Bauelementen und zur numerischen Lösung von physikalischen Modellen zur Vorhersage ihrer Eigenschaften, wie Strom-Spannungs- Kennlinie, Lichtintensität, Lichtpolarisation, Schwellstrom u.a. Dieses baut auf dem Halbleiter-Bauelemente-Simulator DESSIS [1] der Partnerfirma ISE AG, Zürich auf.

16 16 KAPITEL 1. DER HALBLEITERLASER Abbildung 1.11: Bauelemente, wie Laserdioden, ko nnen dreidimensional modelliert und fu r die Berechnung diskretisiert werden. Der Simulator modelliert die Stromtransportpha nomene im Bauelement. Die Transportpha nomene schließen elektrische, magnetische, elektromagnetische, thermische, mechanische und optische Effekte ein. Diese Methodik wird Technology Computer Aided Design (TCAD) genannt und wird im Entwurfsprozeß von Bauelementen eingesetzt. DESSIS beinhaltet eine Vielzahl von physikalischen Modellen, die fu r jede Rechnung hinzugenommen oder vernachla ssigt werden ko nnen. Fu r die Transportprozesse kann zwischen einem einfachen Drift- Diffusions-Modell, einem thermodynamischen, einem hydrodynamischen Modell und der Monte-Carlo- Simulation gewa hlt werden. Berechnet werden die Gleichungen selbstkonsistent durch Ermittlung der quasistationa ren Zusta nde mit Iterationen nach Newton. Dazu wird das Bauelement in Elemente diskretisiert. Diese Elemente sind fu r die 1D-Modellierung Punkte auf einem Liniengitter, fu r die D-Modellierung Kanten auf einem Fla chengitter und fu r 3D-Modellierung Tetraeder und Quader auf einem Volumengitter (siehe Abbildung 1.11). Fu r jeden Punkt des Injektionsstromes I lassen sich die Simulationsgro ßen, wie optische Intensita t, Ladungsdichte und Temperatur, o rtlich darstellen (siehe Abbildung 1.1). LASER-DESSIS als optoelektronisches Simulationswerkzeug vereint Gleichungen der Elektronik, der Optik und ihrer Wechselwirkung [3] (siehe Abbildung 1.1). Durch die Poissongleichung + (ε φ) = e(p n + ND NA ) (1.6) erha lt man den Verlauf des elektrischen Potentials φ aus den freien Ladungen p und + n und den Dichten der Dotieratome ND und NA. Die Kontinuita tsgleichungen fu r die Elektronen- und Lo cherstro me sind n e R G + t µ p e R G + t µ ~jn = ~jp = (1.7) (1.8)

17 1.5. SIMULATIONSWERKZEUG LASER-DESSIS 17 Z Y X Abbildung 1.1: Die physikalischen Modelle im LASER-DESSIS []. Die Größen, hier die optische Intensität, werden örtlich berechnet. Die Ladungsträgerdichten werden sowohl im Volumenhalbleiter (engl. bulk) als auch in Heterostrukturen in Effektivmassennäherung berechnet. In Energiebalancemodellen werden Wärmeströme hinzugenommen. Mit den thermodynamischen Gleichungen wird dies für die Gittertemperatur getan, in hydrodynamischen Gleichungen für die Gitter-, die Elektronen- und die Löchertemperatur. In Quantum-Well-Strukturen werden Ladungsträger in eine Richtung eingeschränkt. Die freien Ladungsträger oberhalb des Potentialgrabens werden mit n 3D und p 3D, die gebundenen mit n D und p D gekennzeichnet. Die Wechselwirkung dieser Ladungsträger wird durch die Einfangrate C und die Einfangzeit τ im folgenden Gleichungssystem behandelt. ) j n 3D = e (R G + C + n3d t ) j p 3D = e (R G + C + p3d t ) j n D = e (R G C + nd t ) j p D = e (R G C + pd t C = (1 e ηd η 3D) ( ) 1 nd n 3D N D τ (1.9) (1.1) (1.11) (1.1) (1.13) Hier sind η D = (eφ D E C )/k B T und η 3D = (eφ 3D E C )/k B T Größen, die die Quasifermienergien enthalten, N D ist die Kapazität des Quantengrabens, d.h. die maximale Anzahl von Ladungsträgern. R und G enthalten alle strahlenden und nichtstrahlenden Rekombinations- und Generationsprozesse. N D = D D (E)dE (1.14) Für die Wellenfunktionen der Photonen kann von den Maxwellgleichungen mit einem Separationsansatz die im Simulator benutzte Helmholtzgleichung der Mode

18 18 KAPITEL 1. DER HALBLEITERLASER k ( ω ) k + ε r c γ Ψ k = (1.15) mit der Übertragungskonstante γ hergeleitet werden. Die Wellenlänge der Hauptmode k = und der Nebenmoden wird durch ω p = πc εr l p (1.16) mit der Länge des Hohlleiters (engl. cavity) l und der Anzahl der Wellenlängen p, die in den Hohlleiter paßt, bestimmt. Dabei wird die Wellenlänge genommen, die am meisten verstärkt wird. Diese liegt beim Maximum der G( hω)-kurve, wobei G( hω) die gesamte optische Verstärkung im Bauelement ist. Durch eine Ratengleichung wird die zeitliche Änderung der Photonenanzahl S k pro Mode beschrieben. t S k = (G k L k )S k + R sp k (1.17) G k = g( hω) Ψ k d 3 r (1.18) Hier sind G k die Verstärkung der Mode k, L k der effektive Verlust, z.b. durch die Strahlung aus den teilverspiegelten Flächen, und g( hω) die lokale, stimulierte Verstärkung. Für einen Quantum-Well als optisch-aktive Zone im Laser ist g( hω) die Verstärkung zwischen den quantisierten Zuständen der Elektronen und Löcher. Die Beschreibung der quantisierten Zustände beeinflußt direkt die Verstärkung der Photonen g( hω), die spontane Emission R sp k und die Ladungsdichten im Quantum-Well n D und p D. Dieser Zusammenhang wird genauer in Kapitel 7 beschrieben. Innerhalb dieser Arbeit konnten mit LASER-DESSIS Simulationen mit Verwendung der durch die k p -Methode ermittelten nichtparabolischen Quantum-Well- Bandstruktur durchgeführt werden (siehe Abschnitt 8.).

19 Kapitel Der Festkörper Um die elektronischen Eigenschaften der optoelektronischen Halbleitermaterialien zu erfahren, muß ihre Struktur betrachtet werden. Die in der Mikro- und Optoelektronik verwendeten Festkörper liegen meist in einkristalliner Form vor. Die Atome führen Bewegungen kleiner Auslenkung um ihre Gitterplätze aus. Diese Positionen kehren periodisch wieder, d.h. sie haben eine Translationssymmetrie. Kristalle können auch durch Drehungen und Spiegelungen um vorgegebene Gitterpunkte oder Achsen, durch Koordinateninversion und Gleitspiegelungen auf sich selbst abgebildet werden. All diese Symmetrieoperationen werden in der Raumgruppe Ĝ des Kristalls zusammengefaßt. Die Raumgruppe enthält einfache Rotationssymmetrielemente ˆR (mit der Drehung um ) und kombinierte Rotations-Translations-Elemente { ˆR ˆT }. Abbildung.1: Zwei kubische Elementarzellen des Zinkblendekristallgitters am Beispiel von GaAs. Die Kantenlänge eines Würfels ist die Gitterkonstante, die für GaAs a = 5, 65 Å beträgt (siehe Tabelle 4.). In einer Elementarzelle befinden sich jeweils vier Gallium- und Aluminium-Atome. III-V-Halbleiter bestehen aus Atomen der 3. und der 5. Hauptgruppe, die je mit vier anderen Atomen binden (Koordinationszahl 4). Sie kommen in der kubischen Zinkblendestruktur (siehe Abbildung.1) oder der hexagonalen Wurtzitstruktur vor. Das Zinkblendegitter ist dem Diamantgitter, in dem Silizium und Germanium 19

20 KAPITEL. DER FESTKÖRPER kristallisieren, ähnlich. Die Ähnlichkeit mit dem Diamant beruht auf der gleichen Gesamtzahl von Valenzelektronen, denn das Element der 3. Hauptgruppe steuert 3 Valenzelektronen, das der 5. Hauptgruppe 5 Valenzelektronen bei, was insgesamt der Valenzelektronenzahl 4 beim Kohlenstoff entspricht. Der Zinkblendekristall besitzt die Punktgruppe 43m (T d in der Schönflies Symbolik). Die Punktgruppe des Diamantgitters besitzt eine zusätzliche Inversionssymmetrie. Die Halbleiter haben eine Bandlücke zwischen Valenz- und Leitungsband, die kleiner als bei Isolatoren ist. So können sich im thermischen Gleichgewicht Elektronen im Leitungsband befinden. Verlässt ein Elektron sein Gitteratom, fehlt ein Valenzelektron in einer kovalenten Bindung. Übernimmt ein Valenzelektron eines anderen Atoms seinen Platz, fehlt dort ein Valenzelektron. Diese Fehlstellen werden als Löcher bezeichnet, die sich in umgekehrter Richtung der lückenfüllenden Elektronen bewegen. Der Festkörper hat festgelegte Eigenzustände mit Eigenfunktionen. Die Eigenfunktion jedes Zustandes kann näherungsweise als Produkt der Einteilcheneigenfunktionen betrachtet werden. Die Energie des Zustandes erhält man als Summe der Einteilcheneigenenergien. Man betrachtet die einzelnen Elektronen und Löcher in Wechselwirkung, d.h. im Potential, des restlichen Festkörpers. Die Translationssymmetrie des Gitters, also auch dessen Potential, ˆT V ( r) = V ( r + R) (.1) das die Ladungsträger spüren, führt dazu, daß die Elektronen- und Löcherwellenfunktionen ebenso translationssymmetrisch sind, ˆT Ψ k ( r) = Ψ k ( r + R) = e i k R Ψ k ( r) (.) wobei R ein Gittervektor, also eine ganzzahlige Linearkombination der (nicht komplanaren) Basisvektoren a i, ist. Mit ˆT ist der Translationsoperator bezeichnet. R = n 1 a 1 + n a + n 3 a 3 (.3) Da e i k R genauso wie ˆT transformiert (.), können die irreduzierbaren Darstellungen der Translationsgruppe ˆT mit k bezeichnet werden. Funktionen, die (.) erfüllen, werden Blochfunktionen genannt. Die Gruppe ˆT eines Kristalls der Ausdehnung N 1 a 1 N a N 3 a 3, wobei N 1, N und N 3 sehr große ganze Zahlen sind, hat N 1 N N 3 Darstellungen. Es existiert ein k-raum mit reziprokem Gitter, dessen Gittervektoren K e i K R = 1 R (.4) erfüllen. So definieren k und k + K dieselbe Darstellung. Um die Darstellungen eindeutig zu benennen, muß man sich auf die Einheitszelle des reziproken Gitters die Brillouinzone beschränken (siehe Abbildung.). Ab nun werden nur die k innerhalb der Brillouinzone betrachtet. Ihre Gitterkonstante (Strecke ΓX in Abbildung.) beträgt k max = π a (.5) Wendet man eine Rotation aus der Punktgruppe ˆR auf die Wellenfunktion Ψ k ( r) mit dem Wellenvektor k an, wird diese in eine neue Funktion Ψ k ( r) mit dem Wellenvektor k transformiert. Damit k R invariant bleibt, erhält man k (und k R ), indem man dieselbe Rotation ˆR auf k im reziproken Raum und auf R im Ortsraum wirken läßt.

21 1 Abbildung.: Die Brillouinzone also die Wigner-Seitz-Zelle im reziproken Gitter ist für Zinkblendekristalle ein Dodekaeder [4]. Die Verzerrungen an der Brillouinzonengrenze sind nicht eingezeichnet. Die Punkte höchster Symmetrie Γ (das Zonenzentrum), X, L, K und U sowie die Linien hoher Symmetrie, Λ und Σ sind markiert. In GaAs haben die Elektronenzustände im Zonenzentrum minimale Energie sowie die Löcherzustände maximale Energie man spricht von einem direkten Halbleiter. Abbildung.3: Die Bandstruktur von GaAs an hochsymmetrischen Punkten und Linien der Brillouinzone, bestimmt durch eine Pseudopotentialrechnung [4]. Für die Optoelektronik ist der Bereich um den Γ-Punkt des ersten Elektronenbandes (Γ 6 um Energie ev ), den am Zonenzentrum entarteten Bändern der leichten und schweren Löcher (Γ 8 ) und des Spinorbitalbandes (Γ 7 ) interessant.

22 KAPITEL. DER FESTKÖRPER Die Einführung der k-vektoren als irreduzierbare Darstellungen ermöglicht eine Beschränkung auf die Basisvektoren Ψ k ( r), die Blochfunktionen sind [5]. Der Hamiltonian eines freien Elektrons im Kristall ist h m + V ( r) (.6) mit dem Kristallpotential V ( r), das die Symmetrie des Gitters besitzt (.1). Die Blochfunktionen Ψ k ( r) sind die Eigenvektoren der Eigenzustände mit einer Energie E( k), die sich kontinuierlich in der Brillouinzone ändert. E( k) ist in der Regel für jeden Wellenvektor k mehrdeutig, was durch E n ( k) gekennzeichnet wird. E n ( k) wird als Band und E( k) aller Bänder als Bandstruktur bezeichnet. Abbildung.3 zeigt die Bandstruktur für GaAs an den hochsymmetrischen Punkten und Linien der Brillouinzone (siehe Abbildung.). Für die Emission von Licht ist der Bereich um den Γ-Punkt des ersten Elektronenbandes (Γ 6 ), der am Zonenzentrum entarteten Bänder der leichten und schweren Löcher (Γ 8 ) und des Spinorbitalbandes (Γ 7 ) interessant. Oft wird die Bandstruktur in der Nähe des Zonenzentrums mit Parabeln genähert, die für Elektronenbänder nach oben und für Löcherbänder nach unten geöffnet sind. E n ( k) = E n ± h m n k (.7) Mit der als Effektivmassenansatz bezeichneten Näherung kann man die Kristallelektronen in den verschiedenen Bändern genau wie Elektronen im Vakuum, jedoch mit einer neuen, effektiven Masse m, beschreiben. In Abschnitt 3.8 finden sich effektive Massen für Al x Ga 1 x As und In x Ga 1 x As für das unterste Leitungsband und die obersten Valenzbänder..1 Ladungsträger im Festkörper Sowohl für die Poissongleichung und die Kontinuitätsgleichungen der Ladungsträger, wie auch für die Wechselwirkung von Photon und Elektron-Loch-Paar sind die Ladungsdichten n und p entscheidende Größen. Berechnet werden sie durch Summation der Fermifunktion f über alle Zustände der Bänder i bzw. j in der Brillouinzone. Wegen der großen Anzahl der Zustände ist eine Integration über den k-raum vorzuziehen..1.1 Ladungsdichten im homogenen Halbleiter Für homogenes Material mit dem Volumen V = L 3 und dem Abstand der Zustände dk =! k = L π sind die Ladungsdichten [4] n = V p = V f C (E i ( k)) = 1 4π 3 i k i ) j k ( 1 f V (E j ( k)) = 1 4π 3 f C (E i ( k))d 3 k (.8) j ( 1 f V (E j ( k))) d 3 k (.9) f C (E) und f V (E) sind die Fermifunktionen mit den Quasifermienergien E F c für das Leitungsband und E F v für das Valenzband. Im Gleichgewichtsfall ist E F c = E F v = E F.

23 .1. LADUNGSTRÄGER IM FESTKÖRPER 3 f C (E i ( k)) = f V (E j ( k)) = 1 f V (E j ( k)) = exp E i( k) E F c k B T exp E j( k) E F v k B T exp Ej( k) E F v k B T 1 + exp E j( k) E F v k B T = exp E F v E j ( k) k B T (.1) (.11) (.1) Bei den betrachteten Halbleitern befindet sich ein vernachlässigbar kleiner Teil in höheren Bändern als dem 1. Leitungsband. So kann man sich auf i = 1 beschränken. Ebenso reicht eine Betrachtung der drei obersten Valenzbänder. Integriert man anstatt über den k-raum über die Energie, kommt im Integranden die Zustandsdichte D(E) hinzu. In der Zustandsdichte der Löcher befinden sich alle Valenzbänder. n = p = D C (E)f C (E)dE (.13) ( ) D V (E) 1 f V (E) de (.14) Die Zustandsdichte ist die Anzahl der Zustände im Energieintervall (E, E +de). Sie ist proportional dem von den Kugelschalen E und E + de eingeschlossenen Volumen. Sie ist definiert durch 1 4π 3 d 3 k = 1 π k dk = D(E)dE (.15) i/j Auflösen nach D(E) ergibt D(E) = 1 π k dk de = 1 k π de i/j i/j i/j dk (.16) Man beachte die Energieabhängigkeit von k = k(e i/j ) in den Gleichungen (.15) und (.16). Die Korrektur durch die Betragszeichen ist notwendig, da bei negativem de/dk das Volumen zwischen den Kugelschalen E und E + de negativ wäre. Für den homogenen Halbleiter sind mit (.7) mit der Bandkante des Leitungsbandes E C und den Bandkanten der Valenzbänder E j D C (E) = D V (E) = 1 π ( ) m 3 E EC (.17) h 1 ( m j π h Damit ergibt sich für die Ladungsdichten j ) 3 Ej E (.18) ) 3 F1/ n = ( kb T m π h p = ( ) kb T π h j m j ( ) EF c E C k B T 3 F 1/ ( Ej E F v k B T ) (.19) (.)

24 4 KAPITEL. DER FESTKÖRPER Abbildung.4: Zustandsdichte eines Leitungsbandes im homogenen Medium. mit dem Fermiintegral der Ordnung 1/, das analytisch nicht lösbar ist und durch Näherungsformeln bestimmt wird [4, 6]..1. Ladungsdichten im Quantengraben Für einen Quanten-Well besteht der Wellenvektor k nur aus zwei Komponenten. Die Einschränkung sei in z-richtung. Der Betrag von k im Quantengraben k = k x + k y wird mit k ρ bezeichnet, der Winkel in der (k x, k y )-Ebene mit φ. Die Indizes i und j bezeichnen nun die Subbänder. Die Ladungsdichten sind deshalb n(z) = V = p(z) = V = φ i (z) i k 1 π φ i (z) L z i φ j (z) j k 1 π φ j (z) L z j f C (E i ( k)) k max π f C (E i ( k))dφ dk ρ (.1) ( 1 f V (E j ( ) k)) k max π ( 1 f V (E j ( k)) ) dφ dk ρ (.) Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit φ n (z) des Subbandes n ist das Betragsquadrat der Wellenfunktionen. Bei den von z unabhängigen Gesamtladungsdichten n und p verschwinden die Terme der Aufenthaltswahrscheinlichkeiten. Dies entspricht wegen der Normierung der Wellenfunktionen durch (.3) der Integration von n(z)dz bzw. p(z)dz. φ n (z) = 1 (.3) Mit den Formeln (.1) und (.) können die Quasiferminiveaus aus den Ladungsdichten oder umgekehrt berechnet werden. Im Lasersimulator sind die Ladungsdichten im QW durch die Kontinuitätsgleichungen und die Gleichungen der Wechselwirkung der 3D- und D-Ladungsträger (1.9) bis (1.13) bekannt, und die Quasiferminiveaus sind zu bestimmen. Mit dem Wechsel des k-koordinatensystems zu Energiekoordinaten wird mit 1 π d k = 1 kdk = D(E)dE (.4) L z πl z i/j i/j

25 .1. LADUNGSTRÄGER IM FESTKÖRPER 5 die Zustandsdichte definiert und wird zu D(E) = 1 k dk πl z de = 1 k πl z de i/j i/j dk (.5) Die Betragszeichen werden eingeführt, um die Nichtnegativität des Energievolumens und somit der Anzahl der Zustände zu gewährleisten. Die Subbandstruktur ist nichtparabolisch und kann Extrempunkte in der Nähe von k ρ = haben. An diesen Punkten hat die Zustandsdichte wegen de dk = Singularitäten. Es gibt zwei Vereinfachungen, mit denen man die Zustandsdichten auf eine ähnlich simple Form wie (.17) und (.18) bringen kann. Die eine ist ein Effektivmassenfit, das zweite die Einführung eines Nichtparabolizitätsfaktors α nach Kane [7]. Der Effektivmassenfit Im Effektivmassenfit werden an die Subbandstrukturen Parabeln gelegt E n ( k) = E n ± h m n k ρ (.6) und die Zustandsdichte wird mit den Nullpunktsenergien der Elektronensubbänder E i und der Löchersubbänder E j D C (E) = D V (E) = 1 m i H(E E i ) (.7) π hl z i 1 m j H(E j E) (.8) π hl z i Hier ist H(x) die Heaviside-Stufenfunktion, die die Eigenschaft H(x) = 1 für x und H(x) = für x < hat. Die Ladungsdichte kann in der parabolischen Näherung mit dem Fermiintegral der Ordnung ausgedrückt werden. n(z) = = p(z) = = ( ) kb T ( ) π h φ i (z) m EF c E i i F L z k i B T ( ) kb T ( π h φ i (z) m i ln 1 + exp E ) F c E i L z k i B T ( ) kb T ( ) π h φ j (z) m Ej E F v j F L z k i B T ( ) kb T ( π h φ j (z) m j ln 1 + exp E ) j E F v L z k B T j (.9) (.3) Ein Beispiel für eine Löchersubbandstruktur ist Abbildung.5. Definitionsgemäß legt man in der Effektivmassennäherung die Parabeln an die Subbänder im Γ-Punkt, wie in Abbildung.6(a) dargestellt ist. Die tatsächliche Subbandstruktur weicht jedoch meist stark von der Parabel ab, so daß ein Fit der Parabel um einen größeren Bereich um den Γ-Punkt, wie in Abbildung.6(b) die ungenäherte Zustandsdichte besser approximiert.

26 6 KAPITEL. DER FESTKÖRPER Abbildung.5: Zustandsdichte von parabolischen Subbändern (Löcher). Abbildung.6: (a) Parabolischer Fit am Zonenzentrum Γ mit m =, 18 m, (b) über einen größeren Bereich (m =, 67 m ). Die Krümmung der Kurven und damit die effektiven Massen unterscheiden sich stark. Der Nullpunkt der Energieskala ist die Valenzbandkante des Substrates. Kane sche Näherung [7] Die Kane sche Näherung ist ( (E n ( k) E n ) 1 + α (E n ( ) ) k) E n = ± h m kρ (.31) n Mit ihr werden die Zustandsdichten zu D C (E) = D V (E) = 1 ( m i 1 + α ) π hl z (E F c E i ) H(E F c E i ) (.3) i 1 ( m j 1 + α ) π hl z (E j E F v ) H(E j E) (.33) j

27 Kapitel 3 Die Bandstruktur im homogenen Halbleiter 3.1 Störungstheoretischer Ansatz Zur Behandlung des quantenmechanischen Eigenwertproblems, der Schrödingergleichung ĤΨ = EΨ (3.1) wird als eine wichtige Methode ein störungstheoretischer Ansatz verwendet [4]. In seiner herkömmlichen Form hat der Operator Ĥ die Form Ĥ = Ĥ + ˆV, wobei die Eigenwerte und Eigenzustände der ungestörten Schrödingergleichung Ĥ Φ n = ɛ n Φ n (3.) bekannt sind. Gegenüber Ĥ ist die Störung ˆV klein. Die Störungstheorie ist eine Entwicklung der Eigenwerte und Eigenzustände von Ĥ nach den bekannten genäherten Eigenwerten und Eigenzuständen von Ĥ in Potenzen des Störungsparameters λ. Häufig werden nur die erste und zweite Ordnung betrachtet. Die Eigenfunktion Ψ n und ihre Eigenenergie E sind bis zur ersten bzw. zweiten Ordnung der Störung: Ψ n = Φ n + m n E n = ɛ n + V nn + m n V mn Φ E n () E m () m (3.3) V mn E () n E () m (3.4) mit V mn = Φ m ˆV Φ n d 3 r. (3.5) 3. Matrixformulierung der Schrödingergleichung Das Problem (3.1) kann auch direkt gelöst werden, indem die Eigenfunktionen von Ĥ durch eine Linearkombination der Eigenfunktionen Φ n (n = 1,,.., N) von Ĥ dargestellt werden. 7

28 8 KAPITEL 3. DIE BANDSTRUKTUR IM HOMOGENEN HALBLEITER Ψ = N c n Φ n (3.6) n=1 Setzt man (3.6) in (3.1) ein und wendet das innere Produkt mit Φ m an, ergibt sich für einen orthonormierten Satz von Funktionen {Φ n } mit den Matrixelementen N (H mn Eδ mn ) c n = (3.7) n=1 H mn = Φ mĥφ n (3.8) Die Eigenwertgleichung (3.7) kann gelöst werden, indem man setzt. det (H mn Eδ mn ) = (3.9) 3.3 LÖWDIN s Methode der Störungstheorie LÖWDIN s Methode der Störungstheorie [1] Die Eigenzustände n werden in zwei Klassen (A) und (B) unterteilt, wobei vor allem die Zustände der Klasse (A) interessieren, und der Einfluß der Zustände der Klasse (B) als Störung auf die Zustände der Klasse (A) behandelt wird. Das Eigenwertproblem (3.7) kann nun geschrieben werden als und man erhält mit (E H mm ) c m = nɛa n m H mn c n + αɛb α m H mα c α (3.1) h mn = c m = nɛa n m H mn E H mn h mn c n + αɛb α m h mα c α (3.11) Die linke Summe ist über die Zustände der Klasse A, die rechte Summe über die Zustände der Klasse B. Man ersetzt nun die Zustände der Klasse B, indem man in der rechten Summe die Koeffizienten c durch (3.11) iterativ ersetzt. Dieses Vorgehen führt zu folgendem Ausdruck: c m = nɛa n m h mn + h mα h αn + αɛb α m Führt man die Matrixelemente U A mn = H mn + αɛb α m,n H mα H αn E H αα + α,βɛb α,β m, α β α,βɛb α,β m,n, α β h mα h αβ h βn + c n (3.1) H mα H αβ H βn (E H αα )(E H ββ ) + (3.13)

29 3.3. LÖWDIN S METHODE DER STÖRUNGSTHEORIE 9 ein, erhält man c m = nɛa n m U A mn H mn δ mn E H mn c n (3.14) Es lässt sich zeigen [1]: Ein Eigenwertproblem (3.7) hinsichtlich eines Systems aus zwei Klassen (A) und (B) kann auf die Klasse (A) reduziert werden, wenn die Matrixelemente H mn durch die Elemente U A mn ersetzt werden, in denen der Einfluß der Klasse (B) durch die Iterationsvorschrift (3.1) berücksichtigt wurde. Das Theorem hat diese beiden grundlegenden Gleichungen zur Folge: A ( ) U A mn Eδ mn cn = m ɛ A (3.15) nɛa c α = A nɛa U A αn E H αα c n α ɛ B (3.16) Man beachte, daß der Term H αn δ αn in (3.16) wegen α m nɛa, αɛb verschwindet. Wurden die Koeffizienten c n der Klasse (A) ermittelt, erhält man mit (3.16) die Koeffizienten c n der Klasse (B). Die normierte Wellenfunktion ist damit Ψ = n a nφ n n a n (3.17) Die notwendige Bedingung für die Konvergenz der Iteration (3.1) ist H mn E H mm 1 m, n ɛ B (3.18) Besteht die Klasse A nur aus einem Zustand n und die Klasse B aus den restlichen, ist der genäherte Eigenwert dieses Zustandes E = U A nn = H nn + α n H nα H αn E H αα + α,β n α β H nα H αβ H βn (E H αα )(E H ββ ) + (3.19) Nun seien Zustände der Klasse A entartet, d.h. daß die Diagonalelemente H kk dieser Zustände k exakt oder beinahe gleich sind, also H kk E A (3.) für die erste oder für höhere Ordnungen. Die normale Herangehensweise zur Behandlung der entarteten Zustände ist, die Matrix H nn durch lineare Transformationen der genäherten Wellenfunktionen Φ n bezüglich der entarteten Zustände zu diagonalisieren, so daß die gewöhnliche Störungsgleichung anwendbar ist. Löwdin s Methode behandelt die entarteten Zustände jedoch auf einfachere Weise. Man stellt erst die Gleichung (3.13) auf und behandelt die Entartung in dem System (3.15). Die Koeffizienten c n der Zustände der Klasse A erhält man aus dem linearen System (3.15) sowie die Koeffizienten der Zustände der Klasse B aus (3.16). Wegen (3.) ist E E A und U A mn wird in zweiter Ordnung U A mn = H mn + αɛb α m,n H mα H αn E A H αα (3.1)

30 3 KAPITEL 3. DIE BANDSTRUKTUR IM HOMOGENEN HALBLEITER 3.4 k p -Methode Zur Untersuchung der elektronischen und optoelektronischen Eigenschaften eines Halbleiters, ist die Kenntnis seiner Bandstruktur nötig. Die untersuchten Ma terialien GaAs, AlGas und Al x Ga 1 x As kommen in einem Zinkblendegitter vor und sind direkte Halbleiter (siehe Kapitel ). D.h. die Extrempunkte der Bänder liegen im Brillouinzonenzentrum Γ, also bei k =, wie man durch Untersuchung der Symmetrieeigenschaften nachweist. Da dadurch die Elektronen nahe des Minimums des Leitungsbandes und die Löcher in der Nähe des Valenzbandmaximums konzentriert sind, ist die Kenntnis der Bandstruktur in der Nähe des Brillouinzonenzentrums ausreichend. Im Kristall wird ein Ladungsträger durch eine gitterperiodisch modulierte ebene Welle repräsentiert, d.h. seine Wellenfunktion läßt sich als Produkt einer gitterperiodischen Blochfunktion u n k ( r) und e i k r darstellen : Ψ n k ( r) = e i k r u n k ( r) (3.) Ist u = const, wird Ψ = c e i k r und das Elektron verhält sich wie ein freies Teilchen und wird durch eine ebene Welle repräsentiert. So ist die Schrödingergleichung ( ) ˆp Ĥ (ˆp)Ψ n k ( r) = + V ( r) Ψ m n k ( r) = E n ( k)ψ n k ( r) (3.3) Mit ˆp = h i wird aus (3.3) und (3.) e i k r ( h ) ( h + V ( r) e i k r u m n k ( r) ) = E n ( k) e i k r u n k ( r) u n k ( r) = E n ( k)e i k r u n k ( r) (3.4) ( + i m k k ) + V ( r) ( ) ˆp + h kˆp + h k + V ( r) m m m u n k ( r) = E n ( k)u n k ( r) Die k p -Methode ist eine Variante der Störungstheorie, bei der die Zustände bei k > um k entwickelt werden. Dabei werden für kleine k die beiden Terme Ĥ 1 = h k m, als Störung von (3.3) bei k = betrachtet. Bei k ist Ĥ = h kˆp m (3.5) ( ) ˆp + V ( r) u m n k ( r) = E n ( k )u n k ( r) (3.6) Dabei bildet nur Ĥ Interbandmatrixelemente wie in (3.5). Der k p -Hamiltonian nahe des Zonenzentrums ist somit Ĥ k = Ĥ + h k m + h kˆp m (3.7) Die Wellenfunktionen der Ladungsträger sind in dem störungstheoretischen Ansatz eine Linearkombination der orthonormierten Blochfunktionen u n (n=1,,..,n) (3.3).

31 3.5. K P -HAMILTONIAN MIT SPIN-BAHN-WECHSELWIRKUNG 31 Ψ n k ( r) = N n=1 In Matrixformulierung (siehe (3.7)) erhält man (E m ( k ) + h k ) E δ mn + h kp mn + h m m m n mit den Momentummatrixelementen p mn = p m k,n k = 1 V ( c n e i k r ) u n k (r) (3.8) p α nn k α k pβ n n β E n (k ) E n (k ) c m = α,β n n (3.9) Ψ m k ˆp Ψ n k d 3 r (3.3) α und β laufen in (3.9) und (3.31) über die drei Raumrichtungen des p-vektors x,y und z. Die Entwicklung der Eigenenergie bis zur.ordnung der Störung (siehe (3.4)) ist E n ( k) = E n (k ) + h kp mn m α=x,y,z p α nn + α,β=x,y,z wobei die eingeführten richtungsabhängigen effektiven Massen durch 1 = 1 m αβ m n n p α nn pβ n n + pβ nn pα n n E n (k ) E n (k ) h m αβ k α k β (3.31) + 1 m δ αβ (3.3) gegeben sind. In den untersuchten direkten Halbleitermaterialen liegt sowohl das Maximum jedes Valenzbandes, als auch das Minimum jedes Leitungsbandes am Γ-Punkt. So sind die ersten Ableitungen E n / k α = p α nn bei k = Null, und es verschwinden alle Terme p nn. Durch Symmetriebetrachtungen in der Brillouinzone und Auswahlregeln wird die Anzahl der nicht zu Null verschwindenen Konstanten p α und 1/m αβ ermittelt. Es gibt dafür zwei wesentliche Ansätze, das Kane sche Modell (siehe Abschnitt 3.6) und das Luttinger-Kohn-Modell (siehe Abschnitt 3.7). 3.5 k p -Hamiltonian mit Spin-Bahn-Wechselwirkung Wird die Wechselwirkung von Spin- und Bahndrehimpuls berücksichtigt, kommt zu dem Hamiltonian in (3.3) ein Term für die Spin-Bahn-Wechselwirkung hinzu : mit Ĥ = Ĥ + h 4m c = σ V ˆp (3.33) Ĥ = ˆp m + V ( r) (3.34) Dabei ist σ = die Pauli-Spin-Matrix mit den Komponenten [ ] [ ] [ = 1 = i = 1 σ x = σ 1 y = σ i z = 1 ] (3.35)