Kapitel 9. Schätzverfahren und Konfidenzintervalle. 9.1 Grundlagen zu Schätzverfahren

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1 Kapitel 9 Schätzverfahren und Konfidenzintervalle 9.1 Grundlagen zu Schätzverfahren Für eine Messreihe x 1,...,x n wird im Folgenden angenommen, dass sie durch n gleiche Zufallsexperimente unabhängig voneinander ermittelt werden. Jeden Messwert sehen wir als unabhängige Realisierung einer Zufallsvariable X an. Als mathematisches Modell für das Entstehen von Messreihen werden im folgenden unabhängige, identisch wie X verteilte Zufallsvariablen X 1,...,X n verwendet. Eine Messreihe x 1,...,x n wird als Realisierung der Zufallsvariablen X 1,...,X n angesehen, wir nehmen also an, dass ein Ergebnis ω Ω existiert mit x 1 = X 1 (ω),...,x n = X n (ω). Es wird nun angenommen, dass die Verteilungsfunktion F von X, die auch die Verteilungsfunktion der unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen X i, 1 i n, ist, einer durch einen Parameterθ Θ R k parametrisierten Familie F θ, θ Θ, von Verteilungsfunktionen angehört. Dieser Parameter oder ein durch ihn bestimmter Zahlenwert τ(θ) mit einer Abbildung τ : Θ R sei unbekannt und soll aufgrund der Messreihe näherungsweise geschätzt werden. Beispiel:X und allex 1,...,X n seien normalverteilt.f θ mit θ = (µ,σ 2 ) Θ = R ]0, [ ist dann die Verteilungsfunktion einern(µ,σ 2 )-Verteilung. Soll der Erwartungswert geschätzt werden, so istτ(θ) = µ. Will man die Varianz schätzen, dann istτ(θ) = σ

2 S. Ulbrich: Mathematik IV für Elektrotechnik, Mathematik III für Informatik 102 Definition Ein Schätzverfahren oder eine Schätzfunktion oder kurz ein Schätzer ist eine Abbildung T n : R n R. Sie ordnet einer Messreihe x 1,...,x n einen Schätzwert T n (x 1,...,x n ) für den unbekannten Wert τ(θ) zu. Die ZufallsvariableT n (X 1,...,X n ) heißt Schätzvariable. Erwartungswert und Varianz der Schätzvariablen T n (X 1,...,X n ) sowie aller X i hängen von der VerteilungsfunktionF θ ab, die seiner Berechnung zugrundegelegt wird. Um dies zu verdeutlichen, schreiben wir sowie E θ (T n (X 1,...,X n )), E θ (X 1 ),... Var θ (T n (X 1,...,X n )), Var θ (X 1 ),... Außerdem schreiben wir für durchf θ berechnete Wahrscheinlichkeiten P θ (a T n (X 1,...,X n ) b), P θ (a X 1 b),... Definition Ein SchätzerT n : R n R heißt erwartungstreu fürτ : Θ R, falls gilt Beispiele: E θ (T n (X 1,...,X n )) = τ(θ) für alleθ Θ. 1. τ sei gegeben durch τ(θ) = E θ (X) = µ. Das arithmetische Mittel X (n) = 1 n (X X n ) ist ein erwartungstreuer Schätzer für τ(θ). Tatsächlich gilt E θ ( X (n) ) = E θ ( 1 n (X X n )) = 1 n (E θ(x 1 )+...+E θ (X n )) = 1 nµ = µ. n 2. τ sei gegeben durchτ(θ) = Var θ (X). Die StichprobenvarianzS 2 (n) := 1 n 1 n (X i X (n) ) 2 ist ein erwartungstreuer Schätzer fürτ(θ). Denn es gilt (X i X (n) ) 2 = = = = ((X i µ) ( X (n) µ)) 2 ((X i µ) 2 2(X i µ)( X (n) µ)+( X (n) µ) 2 ) (X i µ) 2 2n( X (n) µ) 2 +n( X (n) µ) 2 (X i µ) 2 n( X (n) µ) 2.

3 S. Ulbrich: Mathematik IV für Elektrotechnik, Mathematik III für Informatik 103 Nun gilte θ (( X (n) µ) 2 ) = Var θ ( X (n) ) = 1 nvar n 2 θ (X), also ( ) E θ (X i X (n) ) 2 = E θ ((X i µ) 2 ) ne θ (( X (n) µ) 2 ) = nvar θ (X) n 1 n Var θ(x) = (n 1)Var θ (X). Als Abschwächung der Erwartungstreue betrachtet man asymptotische Erwartungstreue bei wachsender Stichprobenlänge. Definition Ein Folge von Schätzer T n : R n R, n = 1,2,... heißt asymptotisch erwartungstreu für τ : Θ R, falls gilt lim E θ(t n (X 1,...,X n )) = τ(θ) für alleθ Θ. n Zur Beurteilung der Güte eines Schätzers dient der Mittlere quadratische Fehler (mean squared error): Offensichtlich gilt MSE θ (T) := E θ ((T τ(θ)) 2 ). T erwartungstreu = MSE θ (T) = Var θ (T). SindT 1 undt 2 zwei Schätzer fürτ, dann heißtt 1 effizienter als T 2, wenn gilt MSE θ (T 1 ) MSE θ (T 2 ) θ Θ. SindT 1,T 2 erwartungstreu, dann bedeutet dies Var θ (T 1 ) Var θ (T 2 ) θ Θ. Definition Ein Folge von Schätzern T 1,T 2,... heißt konsistent für τ, wenn für alle ε > 0 und alleθ Θ gilt lim P θ( T n (X 1,...,X n ) τ(θ) > ε) = 0. n Sie heißt konsistent im quadratischen Mittel fürτ, wenn für alleθ Θ gilt Es gilt folgender lim MSE θ(t n ) = 0. n

4 S. Ulbrich: Mathematik IV für Elektrotechnik, Mathematik III für Informatik 104 Satz Ist T 1,T 2,... eine Folge von Schätzern, die erwartungstreu fürτ sind und gilt lim Var θ(t n (X 1,...,X n )) = 0 für alleθ Θ, n dann ist die Folge von Schätzern konsistent fürτ. Beweis: WegenE θ (T n (X 1,...,X n )) = τ(θ) gilt nach der Ungleichung von Tschebyschev P θ ( T n (X 1,...,X n ) τ(θ) > ε) Var θ(t n (X 1,...,X n )) ε 2 0. Allgemeiner haben wir mit ganz ähnlichem Beweis Satz Ist T 1,T 2,... eine Folge von Schätzern, die konsistent im quadratischen Mittel fürτ ist, dann ist die Folge von Schätzern konsistent für τ. Beispiel: Es sei X N(µ,σ 2 )-verteilt, θ = (µ,σ 2 ) Θ = R ]0, [ und τ(θ) = µ. Der Schätzer T n (X 1,...,X n ) = X (n) = 1 n (X X n ) ist nach Satz 8.8.1N(µ,σ 2 /n)-verteilt, also erwartungstreu mit Varianz Var θ (T n (X 1,...,X n )) = σ 2 /n 0 fürn. Daher ist die Schätzerfolge nach Satz auch konsistent. 9.2 Maximum-Likelihood-Schätzer Bei gegebener Verteilungsklasse F θ, θ Θ, lassen sich Schätzer für den Parameter θ oft mit der Maximum-Likelihood-Methode gewinnen. Sind die zugrundeliegenden Zufallsvariablen X 1,...,X n stetig verteilt, so ist die VerteilungsfunktionF θ durch eine Dichte f θ (x), x R, bestimmt. Im Fall diskreter ZufallsvariablenX, bzw.x 1,...,X n definieren wir f θ (x) = P θ (X = x) für allexaus dem Wertevorrat X vonx.

5 S. Ulbrich: Mathematik IV für Elektrotechnik, Mathematik III für Informatik 105 Definition Für eine Messreihex 1,...,x n heißt die FunktionL( ;x 1,...,x n ) mit L(θ;x 1,...,x n ) = f θ (x 1 ) f θ (x 2 )... f θ (x n ) die zu x 1,...,x n gehörige Likelihood-Funktion. Ein Parameterwert ˆθ = ˆθ(x 1,...,x n ) mit L(ˆθ;x 1,...,x n ) L(θ;x 1,...,x n ) für alleθ Θ heißt Maximum-Likelihood-Schätzwert fürθ. Existiert zu jeder möglichen Messreihex 1,...,x n ein Maximum-Likelihood-Schätzwert ˆθ(x 1,...,x n ), dann heißt Maximum-Likelihood-Schätzer. T n : X n R, T n (x 1,...,x n ) = ˆθ(x 1,...,x n ) Beispiel: Die Zufallsvariablen seien Poisson-verteilt mit Parameter θ > 0, also Dies ergibt f θ (x) = θx x! e θ, x N {0}. L(θ;x 1,...,x n ) = 1 x 1! x n! θx xn e nθ, x i N {0}. L wird genau dann maximal, wenn die Log-Likelihood-Funktionln(L), also lnl(θ;x 1,...,x n ) = nθ ln(x 1! x n!)+(x x n )lnθ, maximal wird. Die erste Ableitung dieser Funktion nach θ ist mit der eindeutigen Nullstelle dlnl dθ = n+ x x n θ ˆθ(x 1,...,x n ) = 1 n (x x n ). Da die zweite Ableitung negativ ist, ist ˆθ der Maximum-Likelihood-Schätzer für θ und ist nichts anderes als das arithmetische Mittel.

6 S. Ulbrich: Mathematik IV für Elektrotechnik, Mathematik III für Informatik Konfidenzintervalle Die Situation sei wie beim Schätzen. Es wird eine Messreihe x 1,...,x n beobachtet und es sollen diesmal Ober- und Unterschranken für den Wert τ(θ) aus der Messreihe ermittelt werden. Durch ein Paar U : R n R, O : R n R von Schätzern mit wird ein zufälliges Intervall definiert. U(x 1,...,x n ) O(x 1,...,x n ) I(X 1,...,X n ) = [U(X 1,...,X n ),O(X 1,...,X n )] Definition Sei 0 < α < 1. Das zufällige Intervall I(X 1,...,X n ) heißt Konfidenzintervall für τ(θ) zum Konfidenzniveau 1 α, falls gilt P θ (U(X 1,...,X n ) τ(θ) O(X 1,...,X n )) 1 α für alleθ Θ. Das zu einer bestimmten Messreihex 1,...,x n gehörige Intervall heißt konkretes Schätzintervall fürτ(θ). I(x 1,...,x n ) = [U(x 1,...,x n ),O(x 1,...,x n )] Die Forderung stellt sicher, dass mit Wahrscheinlichkeit 1 α ein konkretes Schätzintervall den Wert τ(θ) enthält Konstruktion von Konfidenzintervallen Wir nehmen an, dass X 1,...,X n unabhängig, identisch normalverteilt sind. Die Verteilungsfunktion F θ ist dann durch den zweidimensionalen Parameter θ = (µ,σ 2 ) bestimmt durch ( ) x µ F θ (x) = F (µ,σ 2 )(x) = Φ. σ Mit den bereits eingeführten Bezeichnungen X (n) := 1 n X i, S 2 (n) := 1 n 1 (X i X (n) ) 2 erhält man folgende Konfidenzintervalle zum Niveau1 α:

7 S. Ulbrich: Mathematik IV für Elektrotechnik, Mathematik III für Informatik 107 Konfidenzintervall für µ bei bekannter Varianzσ 2 = σ 2 0 : Hier istθ = {(µ,σ0 2 ) : µ R} und τ(θ) = µ. Das Konfidenzintervall fürµlautet [ ] σ 0 I(X 1,...,X n ) = X (n) u 1 α/2, X σ 0 (n) +u 1 α/2. n n mit dem(1 α/2)-quantilu 1 α/2 dern(0,1)-verteilung, also Φ(u 1 α/2 ) = 1 α/2. Begründung: X (n) ist nach Satz 8.8.1N(µ,σ 2 0/n)-verteilt. Also gilt: Y n := X (n) µ σ 2 0 /n istn(0,1)-verteilt. WegenΦ( u 1 α/2 ) = α/2 gilt P θ ( u 1 α/2 Y n u 1 α/2 ) = 1 α. Einsetzen und Umformen ergibt P θ ( u 1 α/2 X ( ) (n) µ σ 0 / n u σ 0 1 α/2) = P θ X (n) u 1 α/2 µ X σ 0 (n) +u 1 α/2 = 1 α. n n Konfidenzintervall für µ bei unbekannter Varianzσ 2 : Hier istθ = {(µ,σ 2 ) : µ R,σ 2 > 0} undτ(θ) = µ. Das Konfidenzintervall fürµlautet S(n) 2 I(X 1,...,X n ) = X(n) t n 1;1 α/2 n, X S(n) 2 (n) +t n 1;1 α/2 n mit dem(1 α/2)-quantilt n 1;1 α/2 dert n 1 -Verteilung. Begründung: Nach Satz ist Y n := X (n) µ S 2(n) /n istt n 1 -verteilt. Eine Rechnung völlig analog wie eben liefert das Konfidenzintervall.

8 S. Ulbrich: Mathematik IV für Elektrotechnik, Mathematik III für Informatik 108 Konfidenzintervall für σ 2 bei bekanntem Erwartungswert µ = µ 0 : Hier istθ = {(µ 0,σ 2 ) : σ 2 > 0} undτ(θ) = σ 2. Das Konfidenzintervall fürσ 2 lautet [ n I(X 1,...,X n ) = (X ] i µ 0 ) 2 n, (X i µ 0 ) 2. χ 2 n;1 α/2 χ 2 n;α/2 Begründung: Jedes X i µ 0 ist N(0, 1)-verteilt. Wegen der Unabhängigkeit ist also nach 8.8 σ 1 n σ 2 (X i µ 0 ) 2 χ 2 n-verteilt. Dies ergibt ( ) P θ χ 2 n;α/2 1 (X σ 2 i µ 0 ) 2 χ 2 n;1 α/2 = 1 α und Auflösen nach σ 2 liefert das Konfidenzintervall. Konfidenzintervall für σ 2 bei unbekanntem Erwartungswert: Hier ist Θ = {(µ,σ 2 ) : µ R,σ 2 > 0} und τ(θ) = σ 2. Das Konfidenzintervall für σ 2 lautet [ ] (n 1)S 2 (n) I(X 1,...,X n ) =, (n 1)S2 (n). χ 2 n 1;1 α/2 χ 2 n 1;α/2 Begründung: Nach Satz ist n 1 S 2 σ 2 (n) χ2 n 1-verteilt. Dies ergibt ( P θ χ 2 n 1;α/2 n 1 ) S 2 σ 2 (n) χ 2 n 1;1 α/2 = 1 α und Auflösen nach σ 2 liefert das Konfidenzintervall.

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