D-MATH Topologie FS 15 Theo Bühler. Musterlösung 2

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1 D-MATH Topologie FS 15 Theo Bühler Musterlösug 2 1. a) Per Defiitio ist A = {x : x berührt A}. I der Vorlesug wurde die Formel (X A) = ( A ) c gezeigt, also A = ( X A ) c. Daher ist A = A A = A (A ) c = A X A, ud das ist geau die Mege der Pukte, welche sowohl A als auch X A berühre. Etwas expliziter ka ma dies auch als schreibe. A = {x X : N A N (X A) für alle N N (x)} b) Die Produkttopologie auf A B ist erzeugt vo de Mege U V, wobei U, V offe sid. Aus der Defiitio vo ierer Pukt bzw. Berührugspukt folgt, dass (A B) = A B ud A B = Ā B. Per Defiitio vo, (A B) = A B (A B) c) Zum Beispiel A = B = (0, 1). Da ist währed = ( Ā B ) (A B ) = (( Ā A ) B ) ( A ( B B )) = (( A) B) (A ( B)). (A B) = ({0, 1} [0, 1]) ([0, 1] {0, 1}) (( A) B) (A ( B)) = ({0, 1} (0, 1)) ((0, 1) {0, 1}). d) Aus dem Beweis vo b) sieht ma, dass für alle A, B X gilt. (A B) = ( ( A) B ) ( Ā ( B) ). Bitte wede!

2 2. Wir verwede i beide Implikatioe, dass die Mege der offee Bälle eie Basis der Topologie vo X ist. Wir zeige a) impliziert b). Sei ε > 0 gegebe. Da ist B ε (f(x)) eie Nachbarschaft vo f(x), also B ε (f(x)) N (f(x)). Mit a) folgt, dass f 1 (B ε (f(x)) N (x). Deshalb existiert ei δ > 0, sodass B δ (x) f 1 (B ε (f(x)), also f(b δ (x)) B ε (f(x)). Wir zeige b) impliziert a). Sei N N (f(x)). Weil N eie Nachbarschaft vo f(x) ist existiert ei ε > 0, sodass B ε (f(x)) N. Mit b) folgt, dass es ei δ > 0 gibt, sodass f(b δ (x)) B ε (f(x)) N ud isbesodere ist B δ (x) f 1 (N). Also ist f 1 (N) eie Nachbarschaft vo x. 3. Zur Erierug: f heisst stetig i x X, we f 1 (N (f(x)) N (x), wobei N (x) de Nachbarschaftsfilter vo x bezeichet. Wir zeige a) impliziert b). Sei N N (f(x)). Da gibt es eie offee Mege mit f(x) U N. Aus a) folgt, dass V := f 1 (U) offe ist. Weil x V f 1 (N), ist f 1 (N) eie Nachbarschaft vo x. Wir zeige b) impliziert a). Sei U Y eie offee Mege ud betrachte irgedei x X, so dass f(x) U. Falls ei derartiges x icht existiert, da ist f 1 (U) =, ud wir sid fertig. Da U offe ist, ist U eie Nachbarschaft vo f(x) ud mit b) folgt, dass f 1 (U) eie Nachbarschaft vo x ist. Also existiert für jedes x f 1 (U) ei offees V x f 1 (U) mit x V x. Isbesodere ist f 1 (U) = x f 1 (U) V x, also ist f 1 (U) offe. 4. a) Per Defiitio vo τ S ist [a, b) offe. Das Komplemet vo [a, b) ist offe: R [a, b) = (, a) [b, ) = also ist [a, b) auch abgeschlosse. [a 1, a ) [b +, b + + 1), =0 b) Wir löse die Aufgabe durch Aufstelle eier Tabelle i drei Schritte: zuächst idetifiziere wir ei paar der offee ud abgeschlossee Itervalle. Da betrachte wir die Pukte 0 ud 1 ud etscheide, ob sie ei Itervall berühre, ud ob sie zum Ier oder zum Rad gehöre. Schliesslich vervollstädige wir die Tabelle. Folgede Itervalle sid offe: [0, 1) per Defiitio, ud auch (0, 1) = [ 1, 1). =1 Siehe ächstes Blatt!

3 Die Itervalle [0, 1) ud [0, 1] sid abgeschlosse, de beide habe offee Komplemete. Itervall Ieres Abschluss Rad (0, 1) (0, 1) [0, 1) [0, 1) [0, 1) (0, 1] [0, 1] [0, 1] Beachte, dass jedes der vier Itervalle die offee Mege (0, 1) ethält ud i der abgeschlossee Mege [0, 1] ethalte ist, also komme als Radpukte ur 0 ud 1 i Frage (vergleiche auch Aufgabe 1 a)). Der Pukt 0 berührt alle Itervalle, de alle seie Umgebuge ethalte ei Itervall der Form [0, ε), welches i τ S offe ist. Daher ist 0 ei ierer Pukt vo [0, 1) ud [0, 1] ud Radpukt vo (0, 1) ud (0, 1]. Umgebuge vo 1 ethalte ei Itervall der Form [1, 1 + ε), also berührt 1 ur die ach obe abgeschlossee Itervalle ud ist da auch Radpukt. Zusammefassed köe wir folgede Tabelle aufstelle: Itervall Ieres Abschluss Rad (0, 1) (0, 1) {0} [0, 1) [0, 1) [0, 1) (0, 1] {0, 1} [0, 1] [0, 1] {1} Mit Hilfe der Formel A = A A ud A = A A ergebe sich die restliche Eiträge: Itervall Ieres Abschluss Rad (0, 1) (0, 1) [0, 1) {0} [0, 1) [0, 1) [0, 1) (0, 1] (0, 1) [0, 1] {0, 1} [0, 1] [0, 1) [0, 1] {1} c) Da die Sorgefrey-Topologie τ S die Itervalle (a, b) ethält (siehe Teil b)) ud die übliche Topologie τ vo diese Itervalle erzeugt wird, ist τ S feier als τ. Da τ S auch halb-offee Itervalle ethält, ist die Sorgefrey-Topologie echt feier als die übliche Topologie. d) i) Jede reelle Zahl t 0 ist etweder Teil der Folge ( 1 ), oder es gibt ei ε > 0, so dass [t, t + ε) disjukt vo der Folge ist. Das heisst, etweder ist t 0 Teil der Folge, oder berührt die Folge icht. Bleibt och der Fall t = 0 zu betrachte. Jede Nullumgebug [0, ε) ethält uedlich viele Pukte der Form 1, also ist der Abschluss der Folge die Mege {0} { 1 : = 1, 2, 3,...} Mooto fallede Folge kovergiere i τ S. Bitte wede!

4 ii) Wie i a) ist ur die 0 vo Iteresse. Diese besitzt eie Umgebug [0, ε) disjukt vo der Folge ( ) 1, ist also kei Berührpukt. Demach ist die Mege { 1 : = 1, 2, 3,...} abgeschlosse. Mooto steigede Folge divergiere i τ S. iii) Nach a) ist [0, 1) eie abgeschlossee Mege, welche (0, 1) Q ethält. Jeder Pukt α i [0, 1) ist Berührpukt, de es gibt eie mooto fallede Folge i Q (0, 1), die gege α kovergiert, also [0, 1) = (0, 1) Q. iv) Jede reelle Zahl ist Grezwert eier mooto fallede Folge vo ratioale Zahle, also ist Q = R. e) Die Produkttopologie auf der Sorgefrey-Ebee (R, τ S ) (R, τ S ) wird vo de Mege der Form U V = [a, b) [c, d) erzeugt. Der Schitt eier solche Mege mit D ist ei ach obe geöffetes Itervall, also trägt D die Sorgefrey-Topologie. (Es gilt allgemei, dass ei topologischer Raum X homöomorph zur Diagoale i X X ist). Die Atidiagoale D ka U V i eiem offee, abgeschlossee oder halboffee Itervall scheide. Da D [x, x + 1) [ x, x + 1) = {(x, x)} gilt, ist jeder Pukt vo D offe. Die Atidiagoale trägt also die diskrete Topologie. Bemerkug: Die Sorgefrey-Ebee hat Q Q als dichte Uterraum, ist also separabel, hat aber eie überabzählbare diskrete Teilmege. Dies steht im Kotrast zu folgede zwei Sätze über metrische Räume: i) Ei diskreter Uterraum eies separable metrische Raums ist abzählbar. ii) Uterräume vo separable metrische Räume sid separabel (dies verallgemeiert i)). f) Die Additio (x, y) x + y ist stetig als Abbildug vo der Sorgefrey-Ebee auf die Sorgefrey-Gerade. Das Urbild des Itervalls [a, b) ist ei durch die Gerade g 1 : y = a x ud g 2 : y = b x beradeter Streife S a,b. Die Gerade g 1 gehört zu S a,b, die Gerade g 2 icht. Der Streife S a,b ist offe, de S a,b = [ ) [ x, x + b a 2 a x, a+b x ). 2 x R g) Nei, Iversio x x ist icht stetig. Das Urbild vo [0, 1) ist ( 1, 0], was gemäss der Tabelle i b) icht offe ist. Bemerkug: Die reelle Zahle mit der Sorgefrey-Topologie sid ei Stadardbeispiel eier Gruppe mit eier Topologie, so dass Multiplikatio stetig, aber Iversio icht stetig ist. Siehe ächstes Blatt!

5 5. a) Sei U Y offe. Per Defiitio vo ev x ist ev 1 x (U) die Mege aller stetige Fuktioe f C(X, Y ), sodass f(x) U ud das ist gerade S({x}, U). Weil S({x}, U) offe ist, ist ev x stetig. b) Die Iitialtopologie auf C(X, Y ) erzeugt durch die ev x, ist die gröbste Toplogie, sodass alle ev x stetig sid. I a) habe wir gezeigt, dass ev x stetig ist, ud dass das Iverse eier offee Mege U geau durch die Mege S({x}, U) gegebe ist. Also ist die Iitialtoplogie auf C(X, Y ) geau die Topologie, die erzeugt wird durch die Mege S({x}, U) für x X ud U Y. Ist F X eie edliche Mege, U Y offe, da ist S(F, U) = x F S({x}, U). Weil τ vo solche Mege S(F, U) erzeugt wird, ist τ gleich der Iitialtopologie. c) I eiem metrische Raum gilt x x geau da, we: Für jede Umgebug U vo x existiert 0, mit der Eigeschaft, dass x U für alle > 0. Diese Defiitio verwedet keie besodere Eigeschafte vo metrische Räume ud ka auch für allgemeie topologische Räume formuliert werde. Formal: Sei N (x) der Nachbarschaftsfilter vo x im topologische Raum (X, τ). Für eie Folge (x ) i X gilt x x, falls ( N N (x)) ( 0 N) ( > 0 ) x N. Verifiziere wir die behauptete Aussage mit dieser Defiitio: i) Stetige Fuktioe sid folgestetig. Seie f : (X, τ X ) (Y, τ Y ) stetig, x x eie kovergete Folge i (X, τ X ), ud sei N eie Umgebug vo f(x). Da f stetig ist, folgt mit Aufgabe 3, dass f 1 (N) N (x), ud es gibt ei 0, so dass x f 1 (N) für alle > 0. Da ist aber auch f(x ) N für alle > 0, ud es folgt, dass f(x ) f(x). Bemerkug: Wir werde später Beispiele sehe, die zeige, dass Folgestetigkeit icht ubedigt Stetigkeit impliziert. ii) Für eie Folge (f ) i C(X, Y ) gilt f f i C(X, Y ) geau da, we f (x) f(x) für alle x X. = Es gelte zuächst f f i C(X, Y ). Sei x X beliebig. Wir wisse aus a), dass ev x : C(X, Y ) Y stetig ist, also folgt f (x) f(x), ach i). = Umgekehrt gelte f (x) f(x) für alle x X. Wir wolle zeige, dass da f f i C(X, Y ). Sei also N N C(X,Y ) (f). Es gibt da edliche Mege F 1,..., F k X ud offee Mege V 1,..., V k τ Y, so dass f S(F 1, V 1 ) S(F k, V k ) N. Fixiere i {1,..., k} ud x F i. Es gilt f(x) V i ud ach der Aahme gilt f (x) f(x). Daher gibt es ei 0 (i, x), so dass f (x) V i für alle Bitte wede!

6 > 0 (i, x). Wähle so ei 0 (i, x) für jedes i {1,..., k} ud jedes x F i, ud setze 0 = max{ 0 (i, x) : 1 i k, x F i }. Da gilt für alle > 0 ud x F i, dass f (x) V i, d.h. f S(F i, V i ) für alle i. Wir habe für die Umgebug N vo f ei 0 gefude, so dass für alle > 0 f S(F 1, V 1 ) S(F, V k ) N, ud da N N C(X,Y ) (f) beliebig war, folgt die Kovergez f C(X, Y ). f i d) Nei. Wähle zum Beispiel X = Y = [0, 1] mit der Stadardtopologie. Wäre die Paarug X C(X, Y ) Y, (x, f) f(x) stetig, da müsste sie isbesodere folgestetig sei. Betrachte die Folge 2x x [0, 1 ] 2 f (x) := 2x + 2 x [ 1 2, 1 ] 0 x [ 1, 1] ud x := 1 2. Da kovergiert f (x) gege ull für alle x ud x kovergiert gege ull, also (x, f ) (0, 0), aber f (x ) = 1 für alle. 6. i) Folgt direkt aus der Defiitio vo τ. ii) Dass ψ g stetig ist, we ψ stetig ist, ist klar. Sei u ψ g stetig ud U W offe. Da ist g 1 (ψ 1 (U)) offe i Y. Es folgt, dass ψ 1 (U) τ ud isbesodere ist ψ stetig. iii) Sei τ eie Topologie die i) ud ii) erfüllt. Da folgt aus i), dass τ gröber als g τ Y sei muss, de offebar gilt für jede offee Mege U τ, dass g 1 (U) τ Y. Betrachte die Idetitätsabbildug id : (Z, τ) (Z, g τ). Weil g = g id : (Y, τ Y ) (Z, g τ) stetig ist, folgt mit ii), dass auch id : (Z, τ) (Z, g τ) stetig ist. Da muss aber τ feier als g τ sei, also τ = g τ.

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