Kräftefreier symmetrischer Kreisel
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- Gottlob Weiss
- vor 6 Jahren
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1 Kräftefreier symmetrischer Kreisel Grannahmen: Symmetrieachse = "" Winkelgeschwindigkeit im körperfesten System: Euler-Gleichungen: [per Konvention wählen wir Richtung von so, dass mit für harm. Osz. Lösung: Fazit: Momentane "präzediert" im KS um bewegt sich im KS auf dem "Polkegel", mit Öffnungswinkel: Betrag der Winkelgeschw. ist konstant: "Polkegel"
2 Aber wie sieht diese Bewegung im Inertialsystem IS aus? (raumfest) Hierzu benötigen wir die Euler-Winkel! (zur Erinnerung) (a) -Drehung um : : Winkel zwischen liegt in x-z- gedrehte liegt in ek-z- (b) -Drehung um : : Winkel zwischen gedrehte liegt in ek-e3- (c) -Drehung um : : Winkel zwischen liegt in ek-e3- gedrehte liegt in e1-e3- Netto Endergebnis: Winkeländerungen pro dt definieren Winkelgeschwindigkeiten: (WG)
3 Aber wie sieht diese Bewegung im Inertialsystem IS aus? (raumfest) Zusammengefasst: Ausgangsstellung: Skizze von Seite K7 Endstellung: liegt in x-z- liegt in e1-e3- Interpretation der Euler-Winkel für Kreisel: (a) Drehung der um (b) Winkel zwischen Drehung um (c) Drehung des Körpers (also von KS) um Vorschau: Visualisierung im raumfesten IS Drehimpulsachse t-abhängig konst. Euler-Winkel für freien, symmetrischen Kreisel: Außenfläche auf dem raumfesten ab. 1. Winkel zwischen 2. Drehung der um 3. Drehung des Körpers (also von KS) um
4 Wähle Drehimpulsvektor in z-richtung: Einerseits: Im körperfesten Schwerpunktsystem gilt: (weil ) Benutze Hauptachensystem für körperfeste Basisvektoren: Andrerseits: Komponenten von in KS: Basisvektoren des körperfesten Systems KS Bezug zwischen körperfesten raumfesten Einheitsvektoren ist durch Euler-Winkel gegeben: Gesamtdrehimpuls: (Drehwinkel v. SK um ): (Winkel zwischen z-achse): : (Drehwinkel von um z-achse): in der - Komponenten von in KS: Präzession mit :
5 Visualisierung im raumfesten IS: Fazit: Für freien, symmetrischen Kreisel sind folgende Größen konstant (aber nur jeweils zwei davon sind unabhängig): Außenfläche auf dem raumfesten ab. 1. Winkel zwischen 2. W-Geschw. der um 3. W-Geschw. des Körpers (also von KS) um Ferner: Gesamtdrehimpuls: Visualisierung im raumfesten IS: Innenfläche auf dem raumfesten ab.
6 Schwerer symmetrischer Kreisel ( wegen Schwerkraft) Wähle Unterstützungspunkt auf. Da Drehmoment in Euler-Gleichung auf KS bezogen wurden muss, ist es einfacher, direkt bei Lagrange-Gl. 2. zu beginnen. (statt von Euler-Gl.) Potentielle Energie: Schwerpunkt Kinetische Energie: im Hauptachsensystem: sei Trägheitstensor bezüglich Unterstützungspunkt (nicht SP) in KS, ausgedrückt durch Euler-Winkel: (41.4) in (41.3): Zyklische Variablen: Erhaltungsgrößen Energie-Erhaltung (weil ): Eliminiere mittels (3), dann liefert E = const. eine effektive 1-dimensionale Bewegungsgl. für im effektiven Potential! Periodische Oszillationen von! "Nutation" "Reguläre" Präzession: falls
7 Zusammenfassung: Symmetrischer Kreisel Freier Kreisel: Figurenach Außenfläche auf dem raumfesten ab. Polkegel rollt mit der Innenfläche auf dem raumfesten ab. Schwerer Kreisel: Potentielle Energie: Kinetische Energie: Erhaltungsgrößen:
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