3.3 Extrema I: Winkel Ebene/Gerade

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1 3 3 ANALYSIS 3.3 Extrem I: Winkel Eene/Gerde In diesem Aschnitt gehen wir von einer Gerde g und einer g nicht enthltenden Eene ε us und wollen unter llen möglichen spitzen Schnittwinkeln zwischen g und der Gesmtheit ller Gerden g ε ε den kleinsten Schnittwinkel ermitteln, welchen wir dnn nheliegenderweise ls einen der Schnittwinkel zwischen g und ε definieren werden (Der zweite ist dnn der Supplementärwinkel zum ersten Winkel.. Dzu gehen wir o.b.d.a. von ε = π (lso der xy Eene einem normierten Richtungsvektor rg = c von g us [d.h. es gilt r g =, ergo c 2 = zw c 2 = ( ] und erechnen in Ahängigkeit des Prmeters t im Richtungsvektor rh = t einer elieigen Gerde h ε ds Mß des spitzen Schnittwinkels ϕ h = (g,h: k c cosϕ h = c D ϕ h genu dnn miniml wird, wenn cosϕ h und somit uch cos 2 ϕ h mximl wird, erhlten wir für letzteren Ausdruck unter Bechtung von ( eine Funktion f in der Vrile k mit der Funktionsgleichung Differenzieren liefert f(k = (k +2 k 2 +. f (k = 2 (k + (k2 + 2k (k + 2 (k = 2 (k+ (k2 + k (k + (k = = 2 (k + k k (k = k = k = k =, k 2 = Hierei sticht schon einml ins Auge, dss k k 2 = gilt, ergo die eiden extremlen Gerden ufeinnder norml stehen (wie mn einfch eweist, siehe etw [84], S. 6. Um nun festzustellen, welche der eiden Lösungen k 2 die gesuchte Mximumstelle liefert, git es neen Verwendung der zweiten Aleitung (hinreichender, er nicht notwendiger Extremwerttest oder Epsilontik (Nchweis, dss f ( k 2 ε f ( k 2 +ε < gilt, lso f ei k 2 einen Vorzeichenwechsel erfährt, ws für f (k ε > f (k + ε < uf eine

2 3.3 Extrem I: Winkel Eene/Gerde 3 Mximumstelle schließen lässt ufgrund der speziellen Burt von f uch die Möglichkeit, die Gültigkeit der Ungleichung f( k 2 f(k zw. f( k 2 f(k ( k R\{ k 2 } uf elementre Weise zu zeigen (eenso wie die eiden erstgennnten Methoden ls Üung dem werten L ë ser empfohlen. o Wir werden hier ein in [84], S.84f hergeleitetes (wiederum hinreichendes, er nicht notwendiges Kriterium verwenden, demzufolge für eine Stelle x des Definitionsereichs einer rtionlen Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x = u(x v(x, für welche ereits f (x = gilt, us { } < u (x v(x u(x v (x folgt, dss x > eine { Mximumstelle Minimumstelle } von f ist. Wegen u(k = (k + 2 u (k = 2 (k + u (k = 2 2 v(k = k 2 + v (k = 2 k v (k = 2 erhlten wir ( u (k v(k u(k v (k = = 2 ( > 2 u (k 2 v(k 2 u(k 2 v (k 2 = 2 2 ( ( = = 2 2 <. Also liegt ei k eine Minimum- und ei k 2 eine Mximumstelle vor. D k zw. k 2 die Richtungsvektoren r h = r h2 = generiert, ergit sich demnch, dss der Grundriss g von g (zw. llgemeiner: die Normlprojektion g ε von g in ε den kleinsten spitzen Winkel liefert und ferner die Normle uf g ε in ε den größten (nämlich rechten Winkel mit g einschließt, weshl wir definieren: Definition. Unter den Schnittwinkeln zwischen einer Gerde g und einer Eene ε versteht mn die Schnittwinkel zwischen den Gerden g g ε, woei g ε die Normlprojektion von g in ε ezeichnet.

3 32 3 ANALYSIS 3.4 Extrem II: Treffnormlen 3.4. Ein geometrischer Zugng Hen zwei Gerden g und h keine Punkte gemeinsm, liegen er uch nicht zueinnder prllel, so spricht mn von (zueinnder windschiefen Gerden, deren Richtungen eine Eene ufspnnen. Es ist offensichtlich, dss g und h durch eine räumliche Drehung eine Trnsltion in eine derrtige Lge gercht werden können, sodss g in π liegt und durch den Koordintenursprung verläuft h prllel zu π verläuft und die z Achse im Punkt Z( w schneidet, woei sich er nichts n der gegenseitigen Lgeeziehung ändert (weil es sich ei Rottionen wie uch Verschieungen um Isometrien hndelt. Dnn können g und h vi g : X = q (s t und h : X = ( w+r (u v eschrieen werden, woei die Strtpunkte G( und H( w ds einzige Punktepr uf den eiden Gerden ist, für welches die Strecke GH norml uf g und uf h steht. Für lle nderen Punkte G q und H r uf g und h ergeen sich wegen der oigen Prmeterdrstellungen die Koordintisierungen G q (sq tq und H r (ur vr w, worus G q H r = ur sq vr tq w folgt und wir somit wegen G q H r = 2 G q H r Min. Gq H }{{ r } f(q,r Min. uf ds Prolem des Auffindens der Minimumstelle der Funktion f mit geführt werden. f(q,r = (ur sq 2 +(vr tq 2 +w 2

4 3.4 Extrem II: Treffnormlen 33 Wegen (ur sq 2 (q,r R 2 (vr tq 2 (q,r R 2 gilt somit f(q,r w 2 (q,r R 2, woei ds Minimum w 2 nur für den Fll ur sq = vr tq = eintritt, ws uf und somit für den Fll ( u s v t ( r q ( u s det v t = ( ws zu g h äquivlent ist uf die eindeutige Lösung (q r = ( führt, womit lso unter llen sowohl g ls uch h schneidenden Gerden (sogennnte Treffgerden die sogennnte Treffnormle den kürzesten Astnd zwischen g und h erzeugt Ein nlytischer Weg Anders ls een zuvor im geometrischen Zugng gehen wir hier von zwei zueinnder windschiefen Gerden g und h in llgemeiner Lge mit den Prmeterdrstellungen g : X = G+r g und h : X = H +s h normierten Richtungsvektoren (d.h. es gilt g = h = us. Der Astnd d = d(r,s zweier elieiger Punkte G r = G+r g und H s = H +s h uf g und h wird dnn vi d = d(r,s = G r H s = GH +s h r g eschrieen, woei d Min. d 2 = f(r,s = GH +s h r g 2 Min. gilt und f wegen x 2 = x x uch in der Form ( ( f(r,s = GH +s h r g GH +s h r g zw. usmultipliziert ls f(r,s = GH 2 +2 ngeschrieen werden knn. ( h GH s 2 ( ( g GH r 2 g h r s+ h 2 s 2 + g 2 Um nun die Minimumstelle von f zu ermitteln, wenden wir den eknnten Extremwerttest n, d.h. wir ilden sowohl f ( ( ( r = 2r 2 g h s 2 g GH = r g h s = g GH ( ( r 2

5 34 3 ANALYSIS und (2 { f ( }} ( { s = 2s 2 g h ( ( h r+2 GH = g h h r+s = GH (2 ls uch 2 f r = 2 f 2 s = 2 und 2 f 2 r s = 2 f 2 ( s r = g h. Ds us ( und (2 resultierende linere Gleichungssystem us R (2,2 (notwendige Bedingung für die gesuchte Minimumstelle lässt sich in Mtrix/Vektor-Nottion uch in der Form ( g ( ( h g ( r g = ( GH h h s GH nschreien und ließe sich prinzipiell mittels Crmerscher Regel lösen, woei wir hier nur dem gemeinsmen Nenner von r und s Bechtung schenken r = ( = ( g h g 2, h det ( g h... d seliger wegen g h cos (g,h = g = g h ( g 2 h = cos 2 (g,h = sin 2 (g,h h g h (g,h sin (g,h sin 2 (g,h ungleich Null ist, worus die Existenz und Eindeutigkeit einer sttionären Stelle von f folgt. Von letzterer ist jetzt noch nchzuweisen, dss es sich ei ihr um eine Minimumstelle hndelt, wozu wir die zugehörige Hesse-Mtrix H f = (h ij ufstellen... ( 2 2 g h H f ( 2 g, h 2... worus wegen h = h 22 = 2 > deth f = 4 4 ( g h 2 siehe oen! {}}{ = 4 sin 2 (g,h > folgt, dss f genu eine Minimumstelle ufweist,. Nun knn ( zw. (2 ls ( ( 2 G r H s g = zw. 2 ( G r H s h = interpretiert werden, ws edeutet, dss die kürzeste Verindung zwischen g und h demnch uf einer sowohl zu g ls zu h normlen Gerde gemessen wird, weshl mn diese Gerde ls Treffnormle ezeichnet (nest llen nderen sogennnten Treffgerden, welche sowohl g ls uch h schneiden.