Lineare Algebra in der Oberstufe
|
|
- Lothar Schumacher
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Lineare Algebra in der Oberstufe Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 16. April 2016 Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
2 Übersicht Ziel dieses Kapitels Wiederholung des Schulstoffs zur Linearen Algebra der Oberstufe Schaffung einer gemeinsamen inhaltlichen Basis Inhalte: Lage von Punkten, Geraden & Ebenen in der Ebene, im Raum Abstände & Winkel Das Skalarprodukt & Orthogonalität Das Vektorprodukt Gauß-Verfahren zum Lösen von Gleichungssysteme Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
3 Wiederholen Vertiefen Ausprobieren Textvorlage dieses Kapitels: Lambacher Schweizer Mathematik Qualifikationsphase Leistungskurs/Grundkurs Ernst Klett Verlag 2015 Das alte Mathe-Buch auskramen und lesen! Alte Aufgaben rechnen (zusätzlich zu den Übungsaufgaben)! Geogebra: Anschauung schulen! Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
4 Punkte in der Ebene bzw. im Raum x 2 x 2 ( 3 P 1 = = (3, 4) 4) 4 P 1 = 3 3 x 1 x 1 a) in der Ebene R 2 x 3 b) im Raum R 3 Punkte in der Ebene bzw. im Raum können wir durch Angabe der Koordinaten spezifizieren. Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
5 Abstände von Punkten x 2 Q P x 1 Wie berechnet man die Länge der Strecke PQ? Idee: zweimal Satz des Pythagoras anwenden x 3 Die Strecke PQ. Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
6 Abstände von Punkten x 2 Q P x 1 Wie berechnet man die Länge der Strecke PQ? Idee: zweimal Satz des Pythagoras anwenden x 3 Die Strecke PQ. Den Abstand zweier Punkte P = (p 1, p 2, p 3 ) und Q = (q 1, q 2, q 3 ) berechnen wir durch PQ := ( 3 ) 1 2 (q 1 p 1 ) 2 + (q 2 p 2 ) 2 + (q 3 p 3 ) 2 = (q i p i ) 2 i=1 Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
7 Vektoren Vektor: Tupel reeller Zahlen mit a) Richtung und b) Länge In der Ebene (in R 2 ): z. B. ( #» 3 OP = 4) Ortsvektor Der Ortsvektor (im Raum) 2 #» OP = 1 3 x 2 O #» OP P x 1 hat die Länge (auch: den Betrag) = 14 und den Gegenvektor #» OP = ( Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32 )
8 Vektoren Vektoren beschreiben Verschiebungen im Koordinatensystem. x 2 #» a x 1 Mit ( Vektoren ( kann ( man rechnen: ) ( a) + = = 4) 1) ) ( ( ) ( b) 2 = = 4) 2 4 8) Vektor + Vektor Reelle Zahl Vektor
9 Vektoren Vektoren beschreiben Verschiebungen im Koordinatensystem. x 2 #» b #» a x 1 Mit ( Vektoren ( kann ( man rechnen: ) ( a) + = = 4) 1) ) ( ( ) ( b) 2 = = 4) 2 4 8) Vektor + Vektor Reelle Zahl Vektor
10 Vektoren Vektoren beschreiben Verschiebungen im Koordinatensystem. x 2 #» a + #» b #» b #» a x 1 Mit ( Vektoren ( kann ( man rechnen: ) ( a) + = = 4) 1) ) ( ( ) ( b) 2 = = 4) 2 4 8) Vektor + Vektor Reelle Zahl Vektor Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
11 Vektoren Vektoren beschreiben Verschiebungen im Koordinatensystem. x 2 x 2 #» a + #» b #» b 5 #» a #» a x 1 #» a x 1 Mit ( Vektoren ( kann ( man rechnen: ) ( a) + = = 4) 1) ) ( ( ) ( b) 2 = = 4) 2 4 8) Vektor + Vektor Reelle Zahl Vektor Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
12 Linearkombination Einen Ausdruck wie λ #» v + µ #» w + ν #» u, wobei λ, µ, ν reelle Zahlen (sogenannte Koeffizienten) sind, heißt Linearkombination der Vektoren #» v, #» w, #» u, Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
13 Linearkombination Einen Ausdruck wie λ #» v + µ #» w + ν #» u, wobei λ, µ, ν reelle Zahlen (sogenannte Koeffizienten) sind, heißt Linearkombination der Vektoren #» v, #» w, #» u, Frage: Für welche Werte gilt ( ( 3 0 λ + µ = 0? 4) 1) Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
14 Linearkombination Einen Ausdruck wie λ #» v + µ #» w + ν #» u, wobei λ, µ, ν reelle Zahlen (sogenannte Koeffizienten) sind, heißt Linearkombination der Vektoren #» v, #» w, #» u, Frage: Für welche Werte gilt ( ( 3 0 λ + µ = 0? 4) 1) Und wie sieht es mit aus? λ λ λ = 0? 2 11 Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
15 Linearkombination 2 Vektoren #» v, #» w heißen kollinear, wenn es eine reelle Zahl λ R gibt, so dass gilt: #» v = λ #» w Diese Bedingung ist äquivalent zu: #» v λ #» w = #» 0. Wir sagen: #» v und #» w sind linear abhängig. Kollinearität zweier Vektoren: der eine ist ein Vielfaches des anderen. Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
16 Geraden Jede Gerade g lässt sich durch eine Gleichung der Form #» x = #» p + λ #» u, (λ R) beschreiben. Dabei nennen wir #» p Stützvektor und #» u Richtungsvektor. x 2 g x 1
17 Geraden Jede Gerade g lässt sich durch eine Gleichung der Form #» x = #» p + λ #» u, (λ R) beschreiben. Dabei nennen wir #» p Stützvektor und #» u Richtungsvektor. x 2 #» p g x 1
18 Geraden Jede Gerade g lässt sich durch eine Gleichung der Form #» x = #» p + λ #» u, (λ R) beschreiben. Dabei nennen wir #» p Stützvektor und #» u Richtungsvektor. x 2 #» u g #» p x 1 Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
19 Geraden 7 Liegt der Punkt A = 5 auf der Geraden g : #» 3 5 x = 1 + λ 2? Die Punkte A = 2 und B = 6 liegen auf einer Geraden. 5 2 Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Geraden. Beachte: Die Gleichung zur Beschreibung einer Geraden ist nicht eindeutig. Eine Gerade g kann also durch mehrere Gleichungen beschrieben werden. Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
20 Lagebeziehungen von Geraden Zwei Geraden g und h im Raum können identisch sein. sich in einem gemeinsamen Punkt schneiden. zueinander parallel sein. zueinander windschief sein. Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
21 Lagebeziehungen von Geraden So bestimmt man die Lagebeziehung zweier Geraden g : #» x = #» p + λ #» u und h : #» x = #» q + µ #» v : Sind die Richtungsvektoren #» u und #» v parallel zueinander? Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
22 Lagebeziehungen von Geraden So bestimmt man die Lagebeziehung zweier Geraden g : #» x = #» p + λ #» u und h : #» x = #» q + µ #» v : Sind die Richtungsvektoren #» u und #» v parallel zueinander? Wenn ja: Liegt der Punkt P mit Ortsvektor #» p auf der Geraden h? Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
23 Lagebeziehungen von Geraden So bestimmt man die Lagebeziehung zweier Geraden g : #» x = #» p + λ #» u und h : #» x = #» q + µ #» v : Sind die Richtungsvektoren #» u und #» v parallel zueinander? Wenn ja: Liegt der Punkt P mit Ortsvektor #» p auf der Geraden h? Wenn ja: g und h sind identisch. Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
24 Lagebeziehungen von Geraden So bestimmt man die Lagebeziehung zweier Geraden g : #» x = #» p + λ #» u und h : #» x = #» q + µ #» v : Sind die Richtungsvektoren #» u und #» v parallel zueinander? Wenn ja: Liegt der Punkt P mit Ortsvektor #» p auf der Geraden h? Wenn ja: g und h sind identisch. Wenn nein: g und h sind parallel. Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
25 Lagebeziehungen von Geraden So bestimmt man die Lagebeziehung zweier Geraden g : #» x = #» p + λ #» u und h : #» x = #» q + µ #» v : Sind die Richtungsvektoren #» u und #» v parallel zueinander? Wenn ja: Liegt der Punkt P mit Ortsvektor #» p auf der Geraden h? Wenn ja: g und h sind identisch. Wenn nein: g und h sind parallel. Wenn nein: Hat die Gleichung #» p + λ #» u = #» q + µ #» v eine Lösung? Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
26 Lagebeziehungen von Geraden So bestimmt man die Lagebeziehung zweier Geraden g : #» x = #» p + λ #» u und h : #» x = #» q + µ #» v : Sind die Richtungsvektoren #» u und #» v parallel zueinander? Wenn ja: Liegt der Punkt P mit Ortsvektor #» p auf der Geraden h? Wenn ja: g und h sind identisch. Wenn nein: g und h sind parallel. Wenn nein: Hat die Gleichung #» p + λ #» u = #» q + µ #» v eine Lösung? Wenn ja: g und h schneiden sich. Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
27 Lagebeziehungen von Geraden So bestimmt man die Lagebeziehung zweier Geraden g : #» x = #» p + λ #» u und h : #» x = #» q + µ #» v : Sind die Richtungsvektoren #» u und #» v parallel zueinander? Wenn ja: Liegt der Punkt P mit Ortsvektor #» p auf der Geraden h? Wenn ja: g und h sind identisch. Wenn nein: g und h sind parallel. Wenn nein: Hat die Gleichung #» p + λ #» u = #» q + µ #» v eine Lösung? Wenn ja: g und h schneiden sich. Wenn nein: g und h sind windschief. Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
28 Skalarprodukt & Orthogonalität Für #» a = a 1 a 2 a 3 und #» b = b 1 b 2 b 3 definieren wir das Skalarprodukt von #» a und #» b als #» #» 3 a b := a1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = a i b i. i=1 Beachte: Beim Skalarprodukt verknüpfen wir multiplikativ zwei Vektoren und erhalten ein Skalar (also eine reelle Zahl). Dies ist schon die zweite Bedeutung von, die wir in dieser Vorlesung kennenlernen. Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
29 Skalarprodukt & Orthogonalität 0 #» #» #» a und b seien nachfolgend beide ungleich dem Nullvektor 0 = 0. 0 #» a und #» b heißen orthogonal, wenn #» a #» b = 0 Es gilt: 4 2 #» #» a b = 1 9 = ( 1) = Also: #» a und #» b sind orthogonal; wir schreiben dafür auch: #» a #» b. Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
30 Skalarprodukt & Orthogonalität Eigenschaften (Rechenregeln) Für das Skalarprodukt von Vektoren #» a, #» b und #» c gilt: 1 #» #» #» a b = b #» a (Kommutativität) 2 r #» a #» b = r ( #» a #» b ) für jede reelle Zahl r R (Assoziativität) 3 ( #» a + #» b ) #» c = #» a #» c + #» b #» c (Distributivität) 4 #» a #» a = #» a 2 Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
31 Skalarprodukt & Orthogonalität Eigenschaften (Rechenregeln) Für das Skalarprodukt von Vektoren #» a, #» b und #» c gilt: 1 #» #» #» a b = b #» a (Kommutativität) 2 r #» a #» b = r ( #» a #» b ) für jede reelle Zahl r R (Assoziativität) 3 ( #» a + #» b ) #» c = #» a #» c + #» b #» c (Distributivität) 4 #» a #» a = #» a 2 Typische Aufgaben: Überprüfung der Orthogonalität zweier gegebener Geraden. Bestimmung zueinander orthogonaler Vektoren. Bestimmung fehlender Koordinaten von orthogonalen Vektoren. Orthogonalität bei geometrischen Figuren. Beweis der vier oben genannten Eigenschaften. Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
32 Winkel zwischen Vektoren Für den Winkel α zwischen den Vektoren #» a und #» b gilt: #» a #» b = #» a #» b cos(α) mit 0 α 180 Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
33 Winkel zwischen Vektoren Für den Winkel α zwischen den Vektoren #» a und #» b gilt: #» a #» b = #» a #» b cos(α) mit 0 α 180 Sei #» a = 2 3 und #» b = 1 Vektoren #» a und #» b : cos(α) =. Dann gilt für den Winkel α zwischen diesen beiden #» #» a b #» a #» b = = Also gilt: α 54, 0 Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
34 Gauß-Verfahren Eine der häufigsten Aufgaben der Linearen Algebra / der Mathematik Lineare Gleichungssysteme (LGS) lösen. Carl Friedrich Gauß wiki/file:carl Friedrich Gauß.jpg Wie löst man ein LGS? Lineare Algebra Warum ist das so richtig? Lineare Algebra Wie löst man ein LGS schnell? Numerik Wie löst man ein LGS stabil? Numerik Wo muss man LGS in der Praxis lösen? Schule, Analysis, Optimierung, Finanzmathematik, Computergrafik,... quasi immer mal wieder und überall! Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
35 Gauß-Verfahren Der einfache Fall: Angenommen, es ist ein LGS in Zeilenstufenform gegeben: 2x 1 3x 2 + x 3 = 8 2x 2 + 5x 3 = 6 2x 3 = 4 Das lässt sich leicht lösen! Rechnung an der Tafel bzw. siehe Scan von Herrn Steinhauer Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
36 Gauß-Verfahren Gauß-Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme 1 Bringe das LGS durch Äquivalenzumformungen auf Zeilenstufenform. 2 Löse die Gleichungen der Zeilenstufenform schrittweise von unten nach oben. LGS: 3x 1 + 6x 2 2x 3 = 4 3x 1 + 2x 2 + x 3 = x 1 + 5x 2 5x 3 = 9 Kurzschreibweise in Matrixform: Rechnung an der Tafel bzw. siehe Scan von Herrn Steinhauer Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
37 Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme Erinnern wir uns an die Schnittmengen von Geraden im R 2 : Die Schnittmenge entspricht der Lösungsmenge des LGS, das aus den beiden Geradengleichungen besteht. Lösungsmengen von LGS kein Schnittpunkt / keine Lösung ein Schnittpunkt / eine Lösung unendlich viele Schnittpunkte / unendlich viele Lösungen Beispiele an der Tafel bzw. siehe Scan von Herrn Steinhauer Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
38 Ebenen im Raum Parameterform einer Ebene Jede Ebene E lässt sich durch eine Gleichung der Form #» x = #» p + λ #» u + µ #» v, (λ, µ R, #» u #» 0, #» v #» 0 ) beschreiben. Dabei nennen wir #» p Stützvektor, #» u und #» v Richtungs- oder Spannvektoren. Dabei dürfen #» u und #» v nicht kollinear (also nicht parallel zueinander) sein. Beispiele an der Tafel bzw. siehe Scan von Herrn Steinhauer Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
39 Lagebeziehungen zwischen Ebenen und Geraden Eine Gerade g und eine Ebene E können einen gemeinsamen Punkt Durchstoßpunkt keinen gemeinsamen Punkt g parallel zu E unendlich viele gemeinsame Punkte g liegt in E haben. Dies folgt aus der Struktur der Lösungsmenge des LGS bestehend aus der Ebenen- und der Geradengleichung. Beispiele an der Tafel Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
40 Lagebeziehungen zwischen Ebenen und Geraden Wenn g und E sich schneiden, stellt sich die Frage, ob g E gilt. Dies gilt, wenn der Richtungsvektor von g zu den beiden Spannvektoren der Ebene orthogonal ist. Solch einen Vektoren nennen wir dann Normalenvektor der Ebene E. Beispiele an der Tafel Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
41 Normalengleichung einer Ebene Ist #» n ein Normalenvektor von E mit #» x = #» p + λ #» u + µ #» v, dann liegt ein Punkt X mit Ortsvektor #» x = OX #» genau dann in E, wenn #» x #» p orthogonal zu #» n ist. Normalengleichung der Ebene Jede Ebene E lässt sich durch eine Gleichung der Form ( #» x #» p ) #» n = 0 beschreiben (wobei #» n #» 0 gelten muss). Illustration an der Tafel Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
42 Koordinatengleichung einer Ebene Sei E durch ( #» x #» p ) #» n = 0 gegeben. #» x #» n #» p #» n = 0 #» x #» n = #» p #» n Sei #» x = x 1 x 2, #» n = a b und #» p #» n = d. Dann folgt aus #» x #» n = #» p #» n : x 3 b ax 1 + bx 2 + cx 3 = d Koordinatengleichung der Ebene Jede Ebene E lässt sich durch eine Gleichung der Form ax 1 + bx 2 + cx 3 = d beschreiben (wobei mindestens einer der Koeffizienten a, b, c ungleich 0 ist). Beachte (a, b, c) ist Normalenvektor von E. Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
43 Lagebeziehung zwischen Ebenen und Geraden p 1 u 1 Seien g : #» x = p 2 + λ u 2 und E : ax 1 + bx 2 + cx 3 = d gegeben. p 3 u 3 Falls die Gleichung a(p 1 + λu 1 ) + b(p 2 + λu 2 ) + c(p 3 + λu 3 ) = d genau eine Lösung hat, so schneiden sich g und E, keine Lösung hat, so ist g parallel zu E unendlich viele Lösungen hat, dann g liegt in E Beispiel an der Tafel Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
44 Abstand eines Punktes von einer Ebene Unter dem Abstand eines Punktes R von einer Ebene E verstehen wir die kleinste Entfernung von R zu E. Sei #» r = #» OR und #» n Normalenvektor von E. Bestimmung des Abstand d von R zu E: Aufstellen der Gleichung einer zu E orthogonalen Geraden durch R, z. B. g : #» x = #» r + λ #» n. Berechnen der Koordinaten des Lotfußpunktes F der Lotgeraden g mit E. Berechnen des Betrags des Vektors RF #». Es gilt: d = RF #». Illustration und Beispiel an der Tafel Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
45 Abstand eines Punktes von einer Geraden Unter dem Abstand eines Punktes R von einer Geraden g verstehen wir die kleinste Entfernung von R zu g. Leiten Sie sich selbst her, wie man diesen Abstand bestimmt! Das nötige Wissen dazu haben Sie.... Die Berechnung einer Hilfsebene, die durch R geht und orthogonal zu g ist, könnte hilfreich sein. Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
46 Schnittwinkel Schnittwinkel... Gerade Gerade: zwei Winkel der Größe α 90 und ein Winkel der Größe Ebene Ebene: Schnittwinkel α zweier Geraden, die in den Ebenen liegen und orthogonal zur Schnittgeraden sind. Dieser Winkel ist gleich dem Winkel zwischen den Normalenvektoren n #» 1 und n #» 2 der beiden Ebenen. Gerade Ebene: Fällt man das Lot einer Geraden g auf eine Ebene E, so erhält man eine Gerade g, die in E liegt. Unter dem Winkel zwischen g und E verstehen wir den Winkel zwischen g und g. Illustration an der Tafel Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
47 Schnittwinkel Berechnung von Schnittwinkeln Seien u #» 1 und u #» 2 Richtungsvektoren der Geraden g 1 und g 2 und seien n #» 1 und n #» 2 Normalenvektoren der Ebenen E 1 und E 2. Dann gilt für den Schnittwinkel α (0 α 90 ): von g 1 und g 2 : von E 1 und E 2 : von g 1 und E 1 : cos(α) = u #» 1 u #» 2 u #» 1 u #» 2 cos(α) = n #» 1 n #» 2 n #» 1 n #» 2 cos(90 α) = u #» 1 n #» 1 u #» 1 n #» 1 Beispiel an der Tafel Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
48 Vektorprodukt Betrachte nun eine (multiplikative) Abbildung 1 : R 3 R 3 R 3 Vektorprodukt a 1 Seien #» a = a 2 und #» b = b 2. a 3 b 3 Dann heißt a #» #» 2 b 3 a 3 b 2 a b := a 3 b 1 a 1 b 3 a 1 b 2 a 2 b 1 das Vektorprodukt von #» a und #» b. Beachte: #» a #» b ist orthogonal zu #» a und zu #» b. b 1 Beispiel an der Tafel 1 Achtung! Das Zeichen hat hier zwei unterschiedliche Bedeutung. Leider wird in der Typografie standardmäßig für beide Bedeutungen dasselbe Zeichen verwendet. Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
Lineare Algebra in der Oberstufe
Lineare Algebra in der Oberstufe Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 11. April 2016 Stefan Ruzika 1: Schulstoff 11. April 2016 1 / 21 Übersicht Ziel dieses Kapitels
Mehrd 2 b 2 c 2 d 3 b 3 c 3 , D a 1 d 1 c 1 v 3 Definiton (Verbindungsvektor): Zwei Punkte A(a 1 a 2 a 3 ) und B(b 1 b 2 b 3 ) legen den Vektor b 1 a 1
2008/2009 Das Wichtigste in Kürze Klasse 3 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Definiton (Lineare Gleichungssysteme: Lineare Gleichungssysteme löst man entweder mit dem Gauß-Algorithmus oder nach
MehrZusammenfassung der Analytischen Geometrie
Zusammenfassung der Analytischen Geometrie 1. Rechnen mit Vektoren (Addition, Subtraktion, S-Multiplikation, Linearkombinationen) 1. Gegeben sind die Punkte A(2-6 ) und B(-1 14-4), 4 4 sowie die Vektoren
Mehr(x 1. Vektoren. g: x = p + r u. p r (u1. x 2. u 2. p 2
Vektoren Mit der Vektorrechnung werden oft geometrische Probleme gelöst. Wenn irgendwelche Aufgabenstellungen geometrisch darstellbar sind, z.b. Flugbahnen oder Abstandsberechnungen, dann können sie mit
MehrMathematik Analytische Geometrie
Mathematik Analytische Geometrie Grundlagen:. Das -Dimensionale kartesische Koordinatensystem: x x x. Vektoren und Ortsvektoren: a x = x x ist ein Vektor, der eine Verschiebung um x -Einheiten in x-richtung,
MehrGeometrie. Bei der Addition von Vektoren erhält man einen Repräsentanten des Summenvektors +, indem man die Repräsentanten von aneinanderfügt:
Geometrie 1. Vektoren Die Menge aller zueinander parallelen, gleich langen und gleich gerichteten Pfeile werden als Vektor bezeichnet. Jeder einzelne Pfeil heißt Repräsentant des Vektors. Bei Ortsvektoren:
MehrGeometrie 3. Lagebeziehung zwischen geometrischen Objekten. 28. Oktober Mathe-Squad GbR. Lagebeziehung zwischen geometrischen Objekten 1
Geometrie 3 Lagebeziehung zwischen geometrischen Objekten Mathe-Squad GbR 28. Oktober 2016 Lagebeziehung zwischen geometrischen Objekten 1 Lage zweier Geraden Geraden g : #» X = #» A + λ #» u mit λ R h
MehrEbenen in Normalenform
Ebenen in Normalenform Normalenvektoren und Einheitsvektoren Definition Normalenvektor Ein Normalenvektor einer Ebene ist ein Vektor, der senkrecht auf einer Ebene steht (siehe Seite 12). Berechnung eines
MehrA Vektorrechnung. B Geraden und Ebenen
A Vektorrechnung Seite 1 Lineare Gleichungssysteme... 4 2 Gauß-Algorithmus... 6 3 Vektoren... 10 4 Vektorberechnungen und Vektorlängen... 12 5 Linearkombination und Einheitsvektor... 16 6 Lineare Abhängigkeit
MehrGrundwissen Abitur Geometrie 15. Juli 2012
Grundwissen Abitur Geometrie 5. Juli 202. Erkläre die Begriffe (a) parallelgleiche Pfeile (b) Vektor (c) Repräsentant eines Vektors (d) Gegenvektor eines Vektors (e) Welcher geometrische Zusammenhang besteht
Mehr5. Geraden und Ebenen im Raum 5.1. Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren
5 Geraden und Ebenen im Raum 5 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren Definition: Die Vektoren a,a,,a n heißen linear abhängig, wenn mindestens einer dieser Vektoren als Linearkombination
MehrMathematik-Aufgabenpool > Grundaufgaben zur Vektorrechnung I
Michael Buhlmann Mathematik-Aufgabenpool > Grundaufgaben zur Vektorrechnung I Einleitung: Elemente der Vektorrechnung im dreidimensionalen reellen kartesischen x -x -x 3-Koordinatensystem sind Punkte P(p
MehrDidaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra
A. Filler[-3mm] Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra, Teil 8 Folie 1 /27 Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra 8. Das Skalarprodukt, metrische
MehrAnalytische Geometrie I
Analytische Geometrie I Rainer Hauser Januar 202 Einleitung. Geometrie und Algebra Geometrie und Algebra sind historisch zwei unabhängige Teilgebiete der Mathematik und werden bis heute von Laien weitgehend
MehrAbgleich mit dem Kerncurriculum 2016 für die gymnasiale Oberstufe Stoffverteilungsplan Mathematik Leistungskurs
Q2.1 Lineare Gleichungssysteme (LGS) Einführung und Lösungsverfahren: Beispiele für LGS (auch über- und unterbestimmte), Darstellen von LGS mithilfe von Koeffizientenmatrizen, systematisches Lösen von
MehrLagebeziehung von Ebenen
M8 ANALYSIS Lagebeziehung von Ebenen Es gibt Möglichkeiten für die Lagebeziehung zwischen zwei Ebenen. Die Ebenen sind identisch. Die Ebenen sind parallel. Die Ebenen schneiden sich in einer Geraden Um
MehrAbgleich mit dem Kerncurriculum 2016 für die gymnasiale Oberstufe Stoffverteilungsplan Mathematik Grundkurs
Lambacher Schweizer Q2.1 Lineare Gleichungssysteme (LGS) Einführung und Lösungsverfahren: Beispiele für LGS (auch über- und unterbestimmte), Darstellen von LGS mithilfe von Koeffizientenmatrizen, systematisches
MehrLineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth
Lineare Algebra Mathematik II für Chemiker Daniel Gerth Überblick Lineare Algebra Dieses Kapitel erklärt: Was man unter Vektoren versteht Wie man einfache geometrische Sachverhalte beschreibt Was man unter
MehrGRUNDLAGEN MATHEMATIK
Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik GRUNDLAGEN MATHEMATIK 1. Vektorrechnung und Geometrie Prof. Dr. Gunar Matthies Wintersemester 2015/16 G. Matthies
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08)
1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08) Kapitel 2: Der Euklidische Raum Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 30. Oktober 2007) Vektoren in R n Definition
MehrKurzskript zur Vorlesung Mathematik I für MB, WI/MB und andere Prof. Dr. Ulrich Reif
14 Oktober 2008 1 Kurzskript zur Vorlesung Mathematik I für MB, WI/MB und andere Prof Dr Ulrich Reif Inhalt: 1 Vektorrechnung 2 Lineare Gleichungssysteme 3 Matrizenrechnung 4 Lineare Abbildungen 5 Eigenwerte
MehrAufgaben mit Ebenen. Parameterform Normalenform Koordinatenform. Darstellung = + r + s =0 ax 1 + bx 2 + cx 3 = d. Beispiel
Aufgaben mit Ebenen Parameterform Normalenform Koordinatenform Spurpunkte Zur grafischen Darstellung der Ebene die Spurpunkt berechnen. Zwei Koordinaten gleich 0 setzen und jeweils die dritte ausrechnen.
MehrFormelsammlung Analytische Geometrie
Formelsammlung http://www.fersch.de Klemens Fersch. September 8 Inhaltsverzeichnis 6 6. Vektorrechung in der Ebene.............................................. 6.. Vektor - Abstand - Steigung - Mittelpunkt.................................
MehrAusführliche Lösungen
Bohner Ott Deusch Mathematik für berufliche Gymnasien Lineare Algebra Vektorgeometrie Ausführliche Lösungen zu im Buch gekennzeichneten Aufgaben ab. Auflage 6 ISBN 978--8-68-5 Das Werk und seine Teile
MehrVorkurs: Mathematik für Informatiker
Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 4 Wintersemester 2017/18 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil
MehrVorkurs: Mathematik für Informatiker
Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 4 Wintersemester 2018/19 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2018 Steven Köhler Wintersemester 2018/19 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil
MehrZusammenfassung Mathe III. Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren
Zusammenfassung Mathe III Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren Definition: (1) anschaulich: Ein Vektor ist eine direkt gerichtete Verbindung zweier
MehrLösungen der 1. Lektion
Lektionen der Vektorrechnung in Aufgaben Lösungen Schickt mir bei Entdeckung eines Fehlers oder Unklarheiten bitte eine e-mail! Lösungen der 1. Lektion Es ist hier unerheblich, wie Vektoren definiert werden.
Mehrn n x a 1 a 2 = 0 n 1 x 1 + n 2 x 2 + ( n 1 a 1 n 2 a 2 )
IX. Normalformen ================================================================== 9.1 Die Normalenform einer Geradengleichung im 2-dimensionalen Punktraum ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
MehrFormelsammlung Analytische Geometrie
Formelsammlung Analytische Geometrie http://www.fersch.de Klemens Fersch 6. August 6 Inhaltsverzeichnis 6 Analytische Geometrie 6. Vektorrechung in der Ebene......................................... 6..
MehrDas Wichtigste auf einen Blick
Das Wichtigste auf einen Blick Zusammenfassung Geometrie.Parameterform einer Geraden Eine Gerade ist wie auch in der Analysis durch zwei Punkte A, B im Raum eindeutig bestimmt einer der beiden Punkte,
Mehr1 lineare Gleichungssysteme
Hinweise und Lösungen: http://mathemathemathe.de/lineare-algebra-grundlagen 1 lineare Gleichungssysteme Übung 1.1: Löse das lineare Gleichungssystem: I 3x + 3y + 7z = 13 II 1x 2y + 2, 5z = 1, 5 III 4x
Mehr13. Klasse TOP 10 Grundwissen 13 Geradengleichungen 01
. Klasse TOP 0 Grundwissen Geradengleichungen 0 Punkt-Richtungs-Form Geraden sind gegeben durch einen Aufpunkt A (mit Ortsvektor a) auf der Geraden und einen Richtungsvektor u: x = a + λ u, λ IR. (Interpretation:
MehrPrüfungsteil B, Aufgabengruppe 1, Geometrie. Bayern Aufgabe 1. a b. Bundesabitur Mathematik: Musterlösung. Abitur Mathematik Bayern 2014
Abitur Mathematik Bayern Prüfungsteil B; Aufgabengruppe : Bundesabitur Mathematik: Prüfungsteil B, Aufgabengruppe, Bayern Aufgabe a) SCHRITT: BERECHNUNG DER VEKTOREN AB UND AC Den Flächeninhalt eines Dreiecks
MehrBasistext Geraden und Ebenen
Basistext Geraden und Ebenen Parameterdarstellung Geraden Eine Gerade ist durch zwei Punkte P und Q, die auf der Geraden liegen, eindeutig festgelegt. Man benötigt zur Darstellung den Vektor. Dieser wird
MehrVorkurs: Mathematik für Informatiker
Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 4 Wintersemester 018/19 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de c 018 Steven Köhler Wintersemester 018/19 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil Teil
MehrHauscurriculum Q2 Lineare Algebra/Analytische Geometrie Grundkurs März 2017
Hauscurriculum Q2 Lineare Algebra/Analytische Geometrie Grundkurs März 2017 Übersicht: Q2.3 im Raum Q2.4 Matrizen zur Beschreibung von Q2.6 Vertiefung der Analytischen Geometrie (nur Grundkurs) verbindlich:
MehrLagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen mit Hilfe der Normalenform
Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen mit Hilfe der Normalenform Bernhard Scheideler Albrecht-Dürer-Gymnasium Hagen Hilfen zur Analytischen Geometrie (). Dezember 0 Inhalt: Die Lagebeziehungen zwischen
MehrTeil II. Geometrie 19
Teil II. Geometrie 9 5. Dreidimensionales Koordinatensystem Im dreidimensionalen Koordinatensystem gibt es acht Oktanten, oben I bis VI und unten VI bis VIII. Die Koordinatenachsen,x 2 und stehen jeweils
MehrGeometrie. Ingo Blechschmidt. 4. März 2007
Geometrie Ingo Blechschmidt 4. März 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Geometrie 2 1.1 Geraden.......................... 2 1.1.1 Ursprungsgeraden in der x 1 x 2 -Ebene.... 2 1.1.2 Ursprungsgeraden im Raum..........
MehrKapitel VI. Euklidische Geometrie
Kapitel VI. Euklidische Geometrie 1 Abstände und Lote Wiederholung aus Kapitel IV. Wir versehen R n mit dem Standard Skalarprodukt x 1 y 1.,. := x 1 y 1 +... + x n y n x n y n Es gilt für u, v, w R n und
MehrPflichtteilaufgaben zu Gegenseitige Lage, Abstand, Baden-Württemberg
Pflichtteilaufgaben zu Gegenseitige Lage, Abstand, Baden-Württemberg Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz wwwmathe-aufgabencom September 6 Abituraufgaben (Haupttermin) Aufgabe
MehrGeometrie / Lineare Algebra
6 Geometrie / Lineare Algebra Vektoren und Rechenregeln Länge, Winkel, Abstand Darstellung von Geraden und Ebenen Umformungen Abstandsbestimmungen Lage, Schnitte, Schnittwinkel Spiegelungen E-Mail: klaus_messner@web.de,
MehrAbitur 2010 Mathematik LK Geometrie V
Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite Abitur Mathematik LK Geometrie V Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des R der Punkt A( ) und die Menge der Punkte B k ( k) mit k R. Die Punkte
MehrZusammenfassung Vektorrechnung und Komplexe Zahlen
Zusammenfassung Vektorrechnung und Komplexe Zahlen Michael Goerz 8. April 006 Inhalt Vektoren, Geraden und Ebenen. Länge eines Vektors.......................... Skalarprodukt..............................
MehrMathe GK, Henß Klausur No. IV Thema: Geraden und Ebenen
Matheklausur No. IV Geraden und benen Geradengleichung Um eine Gerade zeichnen zu können, braucht man mindestens Punkte (Ortsvektoren), durch die die Gerade geht. Zur Bestimmung aller anderen Punkte auf
MehrÜbungsblatt Analytische Geometrie - Geraden und Ebenen - 6C /07
Übungsblatt Analytische Geometrie - Geraden und Ebenen - 6C - 6/7. Gegenseitige Lage von Geraden Gesucht ist die gegenseitige Lage der Geraden g durch die beiden Punkte A( ) und B( 5 9 ) und der Geraden
MehrAus folgt: 1; 3 Eingesetzt in : $$$$$ #! * 1 + ; # $$$$$$$ # $$$$$ 2 $$$$$! * 3 Der Bildpunkt hat die Koordinaten
Abituraufgaben Analytische Geometrie (Pflichtteil) ab Lösung A6/ Wir stellen die gegebene Normalengleichung von in die Koordinatengleichung um und bilden. Im Gleichungssystem mit drei Unbekannten und zwei
Mehr2.2 Kollineare und koplanare Vektoren
. Kollineare und koplanare Vektoren Wie wir schon gelernt haben, können wir einen Vektor durch Multiplikation mit einem Skalar verlängern oder verkürzen. In Abbildung 9 haben u und v die gleiche Richtung,
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13)
1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) Kapitel 2: Vektoren Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 19. Oktober 2011) Vektoren in R n Definition 2.1
MehrTheorie 1 1 / 2 Grundbegriffe
Theorie 1 1 / 2 Grundbegriffe Was ist ein Vektor? Wie lassen sich Vektoren darstellen? Theorie 1 2 / 2 Grundbegriffe Antwort : Ein Vektor ist die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten
MehrAufgabe A6/13. Aufgabe A7/13. Aufgabe A6/14
Aufgabe A6/ Gegeben sind die Ebene 4 : Abituraufgaben Analytische Geometrie (Pflichtteil) ab und : 8. Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden. (Quelle Abitur BW Aufgabe 6) Aufgabe A7/ Gegeben sind
MehrAbiturprüfung Mathematik 200 Baden-Württemberg (ohne CAS) Wahlteil Aufgaben Analytische Geometrie II, 2 Gegeben sind der Punkt A(,/6/,) sowie die Gerade g: x = 0 + t. a) Bestimmen Sie den Schnittpunkt
MehrVektoren, Vektorräume
Vektoren, Vektorräume Roman Wienands Sommersemester 2010 Mathematisches Institut der Universität zu Köln Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester 2010
MehrGrundwissen. 2.Aufstellen von Geradengleichungen: Man nimmt einen Startvektor und bildet aus 2 Punkten einen Richtungsvektor!
Grundwissen 1.Aufstellen eines Vektors: Merkregel: Spitze minus Fuß! 2.Aufstellen von Geradengleichungen: Man nimmt einen Startvektor und bildet aus 2 Punkten einen Richtungsvektor! 3.Aufstellen von Ebenengleichungen
MehrLage zweier Ebenen. Suche alle Punkte von E 1 die in E 2 enthalten sind. Setze also die Parameterform von E 1 in die Koordinatenform von E 2.
LAGE Lage zweier Ebenen Suche alle Punkte von E die in E 2 enthalten sind. Setze also die Parameterform von E in die Koordinatenform von E 2. B = E : X E 2 : x + x 2 + x 3 = Parameterform (PF) in Koordinatenform
MehrLernkarten. Analytische Geometrie. 6 Seiten
Lernkarten Analytische Geometrie 6 Seiten Zum Ausdrucken muss man jeweils eine Vorderseite drucken, dann das Blatt wenden, nochmals einlegen und die Rückseite drucken. Am besten druckt man die Karten auf
Mehr00. Einiges zum Vektorraum R n
00. Einiges zum Vektorraum R n In diesem einleitenden Kapitel werden die in der LV Einführung in die mathematischen Methoden erwähnten Konzepte über Vektoren (im R 2 und R 3 ) im Rahmen des n-dimensionalen
MehrVorkurs Mathematik Teil III. Lineare Algebra
Vorkurs Mathematik Teil III. Lineare Algebra Inhalt 0. Inhalt 1. Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Verfahren. Vektorrechnung 3. Lagebestimmungen von Punkt, Geraden und Ebenen 4. Skalarprodukt, Längen
MehrAnalytische Geometrie - Schnittwinkel. u 1, u 2 Richtungsvektoren der Geraden
Analytische Geometrie - Schnittwinkel. Möglichkeiten und Formeln Gerade / Gerade: cos( ) = u u 2 u u 2 Gerade / Ebene: sin( ) = n u n u Ebene / Ebene: cos( ) = n n 2 n n 2 u, u 2 Richtungsvektoren der
Mehr3 Vektoren. 3.1 Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum. Höhere Mathematik 60
Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum 3 Vektoren 3.1 Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum In der Ebene (mathematisch ist dies die Menge R 2 ) ist ein kartesisches Koordinatensystem festgelegt
Mehr1 Vektoren, Vektorielle analytische Geometrie der Ebene
Geometrie Geometrie W. Kuhlisch Brückenkurs 208. Vektoren, Vektorrechnung und analytische Geometrie der Ebene 2. Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes 3. Anwendungen in der Geometrie, Lagebeziehungen
MehrVorkurs Mathematik Teil III. Lineare Algebra
Vorkurs Mathematik Teil III. Lineare Algebra Inhalt 0. Inhalt 1. Vektorrechnung. Matrizenrechnung 3. Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Verfahren 4. Lagebestimmungen von Punkt, Geraden und Ebenen 5. Skalarprodukt,
MehrMögliche Lösung. Ebenen im Haus
Lineare Algebra und Analytische Geometrie XX Ebenen im Raum Ebenen im Haus Ermitteln Sie die Koordinaten aller bezeichneten Punkte. Erstellen Sie für die Dachflächen E und E jeweils eine Ebenengleichung
MehrJürgen Roth Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie
Jürgen Roth Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie Modul 12a: Fachdidaktische Bereiche juergen-roth.de/lehre/did_linalg_anageo/ Kapitel 5: Skalarprodukt 5.1 Inhalte Didaktik der Linearen
MehrAnwendungsaufgaben zur Vektorrechnung (Abstände bestimmen)
Anwendungsaufgaben zur Vektorrechnung (Abstände bestimmen) 1) a) Ein Flugzeug fliegt von A(4; 2; 5) nach B(12; 6; 10). In S(10; 10; 4,75) befindet sich die Spitze eines Berges. Wie weit fliegt das Flugzeug
MehrMathematische Formeln für das Studium an Fachhochschulen
Mathematische Formeln für das Studium an Fachhochschulen von Richard Mohr. Auflage Hanser München 0 Verlag C.H. Beck im Internet: www.beck.de ISBN 978 446 455 4 Zu Inhaltsverzeichnis schnell und portofrei
MehrLineare Algebra.
Lineare Algebra www.schulmathe.npage.de Inhaltsverzeichnis 1 Koordinatengeometrie der Ebene 3 1.1 Länge einer Strecke............................... 3 1.2 Mittelpunkt einer Strecke...........................
MehrAnalytische Geometrie II
Analytische Geometrie II Rainer Hauser März 212 1 Einleitung 1.1 Geradengleichungen in Parameterform Jede Gerade g in der Ebene oder im Raum lässt sich durch einen festen Punkt auf g, dessen Ortsvektor
MehrVektorrechnung. 10. August Inhaltsverzeichnis. 1 Vektoren 2. 2 Grundlegende Rechenoperationen mit Vektoren 3. 3 Geometrie der Vektoren 5
Vektorrechnung 0. August 07 Inhaltsverzeichnis Vektoren Grundlegende Rechenoperationen mit Vektoren 3 3 Geometrie der Vektoren 5 4 Das Kreuzprodukt 9 Vektoren Die reellen Zahlen R können wir uns als eine
Mehrentspricht der Länge des Vektorpfeils. Im R 2 : x =
Norm (oder Betrag) eines Vektors im R n entspricht der Länge des Vektorpfeils. ( ) Im R : x = x = x + x nach Pythagoras. Allgemein im R n : x x = x + x +... + x n. Beispiele ( ) =, ( 4 ) = 5, =, 4 = 0.
MehrLehrskript Mathematik Q12 Analytische Geometrie
Lehrskript Mathematik Q1 Analytische Geometrie Repetitorium der analytischen Geometrie Eine Zusammenfassung der analytischen Geometrie an bayerischen Gymnasien von Markus Baur, StR Werdenfels-Gymnasium
Mehr1 aus allen 3 Zeilen folgt t = 1, also liegt A auf g. Orsvektor und Richtungsvektor der Geraden werden übernommen, den zweiten Spannvektor bekommt
Lösungsskizzen Klassische Aufgaben Lösung zu Abi - PTV Punktprobe: = + t aus allen Zeilen folgt t =, also liegt A auf g. Richtungsvektor von g: u = ; Normalenvektor von E: n = Da die n und u Vielfache
Mehrb 1 b 2 b 3 = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3
1. Rechnen mit Vektoren Skalarprodukt a b = a b cosα = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 b a 1. Betrag = Länge eines Vektors: a = a a = a 2 1 + a 2 2 + a 2 3 2. Winkel zwischen 2 Vektoren:
MehrAbitur 2016 Mathematik Geometrie V
Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite Abitur Mathematik Geometrie V Betrachtet wird der abgebildete Würfel A B C D E F G H. Die Eckpunkte D, E, F und H dieses Würfels besitzen in einem kartesischen
Mehr5. Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen. 5.1 Gegenseitige Lage zweier Geraden (siehe Kap. 3.2) 5.2: Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene
5 5. Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen 5. Gegenseitige Lage zweier Geraden (siehe Kap..) 5.: Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene Beispiel: : x + y + 4z - 4 = g = P(6, -, )Q(, 6, 4) geometrisch:
Mehr5. Ebenengleichungen. Dr. Fritsch, FGG Kernfach Mathematik Klasse 11-A18
5. Ebenengleichungen Eine Ebene im Raum wird durch einen Punkt und zwei nicht parallele Richtungsvektoren bzw. durch drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, eindeutig festgelegt. vektorielle Parametergleichung:
Mehr1 Vorlesungen: und Vektor Rechnung: 1.Teil
1 Vorlesungen: 4.10.005 und 31.10.005 Vektor Rechnung: 1.Teil Einige in der Physik auftretende Messgrößen sind durch eine einzige Zahl bestimmt: Temperatur T K Dichte kg/m 3 Leistung P Watt = J/s = kg
MehrH. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Übungsbuch für den Pflichtteil Baden-Württemberg mit Tipps und Lösungen
H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Übungsbuch für den Pflichtteil Baden-Württemberg mit Tipps und Lösungen Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Themen des Pflichtteils... Analysis Von der Gleichung
MehrInhalt. Mathematik für Chemiker II Lineare Algebra. Vorlesung im Sommersemester Kurt Frischmuth. Rostock, April Juli 2015
Inhalt Mathematik für Chemiker II Lineare Algebra Vorlesung im Sommersemester 5 Rostock, April Juli 5 Vektoren und Matrizen Abbildungen 3 Gleichungssysteme 4 Eigenwerte 5 Funktionen mehrerer Variabler
Mehr03. Vektoren im R 2, R 3 und R n
03 Vektoren im R 2, R 3 und R n Unter Verwendung eines Koordinatensystems kann jedem Punkt der Ebene umkehrbar eindeutig ein Zahlenpaar (x, y) zugeordnet werden P (x, y) Man nennt x und y die kartesischen
MehrBerechnung des Abstandes eines Punktes P von einer Geraden
Berechnung des Abstandes eines Punktes P von einer Geraden Vorgehen zur Bestimmung des Abstandes des Punktes P von der Gerade g: a) Aufstellen einer Hilfsebene E, die senkrecht auf der Geraden g steht
Mehr03. Vektoren im R 2, R 3 und R n
03 Vektoren im R 2, R 3 und R n Unter Verwendung eines Koordinatensystems kann jedem Punkt der Ebene umkehrbar eindeutig ein Zahlenpaar (x, y) zugeordnet werden P (x, y) Man nennt x und y die kartesischen
MehrSkalarprodukt, Norm & Metrik
Skalarprodukt, Norm & Metrik Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 11. Mai 2016 Stefan Ruzika 5: Skalarprodukt, Norm & Metrik 11. Mai 2016 1 / 13 Gliederung 1
MehrMathematik LK 12 M1, 2. Kursarbeit LA I / An. Geometrie Lösung
Mathematik LK M,. Kursarbeit LA I / An. Geometrie Lösung..7 Aufgabe : Rechnen mit Vektoren Berechne... und vereinfache das Ergebnis so weit wie möglich. Falls der Term keinen gültigen Ausdruck darstellt,
MehrInhaltsverzeichnis Bausteine Analytische Geometrie
Graf-Zeppelin-Gmnasium Bausteine Analtische Geometrie Inhaltsvereichnis Bausteine Analtische Geometrie Umgang mit Vektoren1 Länge von Vektoren1 Winkel φ wischen wei Vektoren1 Normale u wei (linear unabhängigen)
MehrFOS 1994, Ausbildungsrichtungen Technik und Agrarwirtschaft Analytische Geometrie, Aufgabengruppe B II
FOS, Ausbildungsrichtungen Technik und Agrarwirtschaft Aufgabenstellung. In einem kartesischen Koordinatensystem ist die Gerade g gegeben mit der Gleichung g : x = + σ σ R (a) Die drei Punkte A( ), B(
MehrVektorgeometrie. Inhaltsverzeichnis. Fragen und Antworten. (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden)
fua3673 Fragen und Antworten Vektorgeometrie (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden) Inhaltsverzeichnis Vektorgeometrie im Raum. Fragen................................................. Allgemeines..........................................
Mehr1993 III Aufgabe. In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Gerade
993 III Aufgabe In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Gerade = g : X mit R sowie die beiden Punkte A( -) und C(- 2 ) gegeben. A und C bestimmen die Gerade h..a) Begründen Sie, dass der Mittelpunkt
MehrEbenengleichungen und Umformungen
Ebenengleichungen und Umformungen. Januar 7 Ebenendarstellungen. Parameterdarstellung Die Parameterdarstellung einer Ebene ist gegeben durch einen Stützvektor r, der einen Punkt auf der Ebene angibt und
MehrBasiswissen Analytische Geometrie
www.matheabitur.de Basiswissen Analytische Geometrie Alle Grundlagen und Rechentechniken der analytischen Geometrie S. und deren beschreibende Verfahren Wissenskatalog der Grundlagen. Lösen einfacher linearer
MehrAufgabe A7/08 Die Ebene geht durch die Punkte 1,5 0 0,!0 3 0 und " Untersuchen
Aufgabe A6/08 Gegeben sind die zwei parallelen Gerade und durch 2 3 1 6 : 9 4, : 2 8;, 4 1 5 2 Bestimmen Sie den Abstand der beiden Geraden. (Quelle Abitur BW 2008 Aufgabe 6) Aufgabe A7/08 Die Ebene geht
MehrAbiturprüfung Mathematik 0 Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f() = ( sin() + 7) 5. Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie eine Stammfunktion
Mehr3. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen
. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen Aufgabe : Gegeben sind zwei Teilmengen von R : E := {x R : x x = }, und F ist eine Ebene durch die Punkte A = ( ), B = ( ) und C = ( ). (a) Stellen Sie diese Mengen
MehrFormelsammlung Mathematik Grundkurs Inhalt
Formelsammlung Mathematik Grundkurs Inhalt Inhalt...1 Trigonometrie Grundlagen... Vektoren...3 Skalarprodukt...4 Geraden...5 Abstandsberechnungen...6 Ebenen...7 Lineare Gleichungssysteme (LGS)...8 Gauß'sches
Mehreingesetzt in die Ebenengleichung
25 5. Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen 5.1 Gegenseitige Lage zweier Geraden (siehe Kap. 3.2) 5.2: Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene Beispiel: ε: 2x + 3y + 4z - 24 = 0 g = P(6, -2, 2)Q(0,
Mehr