Analytische Behandlung von Ungleichungen mit Beträgen

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1 Abbildungsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Analytische Behandlung von Ungleichungen mit Beträgen 1 Aufgabe 1: < 1 Link: Schematische Darstellung des Lösungsweges Die folgenden Abhandlungen bieten zusätzliche Informationen für das Lösen der Aufgabe. Für diese Aufgabe wird vorausgesetzt, dass 0 gilt. Andernfalls ist der Quotient nicht definiert. Für das Lösen der Aufgabe werden Fallunterscheidungen vorgenommen. Es sind dies 2 Fallunterscheidungen für den Zähler (), 2 Fallunterscheidungen für den Nenner (). Ziel ist das Auflösen des Betrages, d.h. das Erstellen einer Ungleichung, in der keine Beträge mehr vorkommen. Die Fallunterscheidungen für Zähler und Nenner werden miteinander kombiniert. Man vergleicht dabei die möglichen Werte von Zähler und Nenner mit der Null. 1.1 Fallunterscheidungen Für x = 3 wird der Quotient zu Null und die Betragsungleichung ist erfüllt. Im folgenden werden daher nur noch die Fälle betrachtet, in denen Zähler und Nenner ungleich Null sind Fall 1 (1) Falls der Zähler positiv und der Nenner positiv ist, ist der Quotient es gilt = positiv und 1

2 Die Ungleichung < 1 lässt sich dann folgendermaßen schreiben: < Fall 2 (2) Falls der Zähler positiv und der Nenner negativ ist, ist der Quotienten negativ und es gilt = Die Ungleichung < 1 lässt sich dann folgendermaßen schreiben: < Fall 3 (3) Falls der Zähler negativ und der Nenner positiv ist, ist der Quotienten negativ und es gilt = Die Ungleichung < 1 lässt sich dann folgendermaßen schreiben: < Fall 4 (4) Falls der Zähler negativ und der Nenner negativ ist, ist der Quotienten positiv und es gilt = Die Ungleichung < 1 lässt sich dann folgendermaßen schreiben: < Fall 1: > 0 und > 0 Die Bedingung für (Fall 1) ist äquivalent zu x > 3 und x > 3 2 2

3 Aus x > 3 folgt x > 3 2. Als Voraussetzung für (Fall 1) wird daher x > 3 gewählt. Für eine reelle Zahl x mit x > 3 gilt <, hieraus folgt < 1 Damit ist die Erfüllbarkeit der Ungleichung Als Lösungsmenge für (Fall 1) erhält man: L 1 = {x : x 3} Ergänzung Beispiele für die Ungleichung < für x > 3: (1) 4 3 < , 1 < 11 (2) 5 3 < , 2 < 13 (3) 3 3 < , 0 < 9 Bemerkung: < 1 für x > 3 bewiesen. Man kann die Lösungsmenge für (Fall 1) auch folgendermaßen bestimmen: Sei x 3. x 3 < 1 < 1 < Hier wird verwendet, dass > 0 gelten muss. Umformung von < ergibt: x < 6, x > 6 Aus der Voraussetzung x > 3 hat man unter Verwendung der Betragsungleichung geschlossen, dass x > 6 gelten muss. Für x > 3 ist diese Bedingung erfüllt. Wichtig ist dabei, dass die Umformungen der Ungleichung haben, umkehrbar sind. < 1, die zu x > 6 geführt Formal erhält man die Lösungsmenge für (Fall 1) dann auf folgende Weise: L 1 = {x : x 3} {x : x > 6} L 1 = {x : x 3} 3

4 Man bildet also den Durchschnitt zweier Mengen: Die erste Menge wird aus den Voraussetzungen der Aufgabe gebildet. Die zweite Menge ergibt sich aus den Umformungen der Betragsungleichung. 1.3 Fall 2: > 0 und < 0 Dieser Fall ist äquivalent zu x 3 und x < 3 2 Für diesen Fall gibt es keine Lösungen, da sich die beiden Bedingungen ausschließen. L 2 = 1.4 Fall 3: < 0 und > 0 Für < 0 und > 0 gilt < 0. Es folgt aus der Betragsungleichung x + 3 < 1 Multiplikation mit ergibt x + 3 <, 3x < 0, 3x > 0, x > 0 Dieses Ergebnis in der Mengenschreibweise: (M1) {x : x > 0} Die Voraussetzung für dieses Ergebnis in der Mengenschreibweise: (M2) x {x : 3 2 < x < 3} Die Lösungsmenge für (Fall 3) wird als Durchschnitt der Mengen (M1) und (M2) berechnet: L 2 = { 3 2 < x < 3} {x : x > 0} L 3 = {x : 0 < x < 3} 1.5 Fall 4: < 0 und < 0 < 0 und < 0 ist äquivalent zu x < 3 und x < 3 2 Beide Bedingungen an x müssen gelten. Aus x < 3 2 folgt x < 3. 4

5 Beide Bedingungen sind erfüllt, wenn x < 3 2 gilt. Als Voraussetzung von (Fall 4) wird daher im folgenden x < 3 2 gewählt. Für < 0 und < 0 gilt > 0. Es folgt aus der Aufgabenstellung < 1 Da < 0 ist, folgt nach Multiplikation mit : > Hieraus erhält man x > 6, x < 6 Dieses Ergebnis in der Mengenschreibweise: (M1) {x : x < 6} Die Voraussetzung für dieses Ergebnis in der Mengenschreibweise: (M2) {x : x < 3 2 } Die Lösungsmenge für (Fall 4) wird als Durchschnitt der Mengen aus (M1) und (M2) berechnet: L 3 = {x : x < 6} {x : x < 3 } = {x : x < 6} 2 L 3 = {x : x < 6} Gesamtergebnis: Die Ungleichung < 1 gilt für L 1 L 2 L 3 L 4, L = {x : x < 6} {x : x > 0} 2 Aufgabe 2: < 1 Link: Schematische Darstellung des Lösungsweges 5

6 Abbildungsverzeichnis Abbildungsverzeichnis 6

7 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Aufgabe 1: Fallunterscheidungen Fall Fall Fall Fall Fall 1: > 0 und > Fall 2: > 0 und < Fall 3: < 0 und > Fall 4: < 0 und < Aufgabe 2: < 1 5 7