Lösungen zu Aufgabenblatt 6

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1 Fachbereich Informatik Prof. Dr. Peter Becker Vorlesung Graphentheorie Operations Research Wintersemester 2004/05 3. Januar 2005 Lösungen zu Aufgabenblatt 6 Aufgabe 1 (Modellierung von LPs) Formulieren Sie die folgenden Probleme als LP: (a) Eine Schuhfabrik will je ein Modell eines Damen- und Herrenschuhs produzieren. Die 40 Angestellten und 10 Maschinen sollen so eingesetzt werden, daß der Gewinn maximal wird. Nebenbedingungen und Zielfunktion ergeben sich aus der folgenden Tabelle: Damenschuhe Herrenschuhe verfügbar Herstellungszeit [h] Maschinenbearbeitung [h] Lederbedarf [qdm] Reingewinn [EUR] (b) In einem Betrieb werden Schafe und Kühe gehalten. Für höchstens 40 Kühe und 90 Schafe sind Ställe vorhanden. Eine Kuh braucht mindestens 1 ha, ein Schaf mindestens 0.25 ha Weideland, wovon 50 ha vorhanden sind. Pro Jahr stehen 1650 Personenarbeitsstunden zur Versorgung zur Verfügung. Eine Kuh braucht 30, ein Schaf 10 Personenarbeitsstunden pro Jahr. Der Reingewinn ist zu maximieren. Er beträgt 200 EUR/Kuh und 40 EUR/Schaf. (c) Ein Haus mit 1000 qm Bodenfläche soll möglichst preisgünstig mit Bodenbelag ausgestattet werden, dessen Reinigungskosten jährlich 7000 EUR nicht übersteigen darf. Dabei sind mindestens 300 qm mit Parkett C (Preis: 60 EUR/qm, jährl. Reinigungskosten: 4 EUR/qm) auszustatten, während für den Rest die zwei Kunstoffsorten A (Preis: 30 EUR/qm, Reinigungskosten: 9 EUR/qm) und B (Preis: 40 EUR/qm, Reinigungskosten: 8 EUR/qm) zur Verfügung stehen. (a) Damenschuhe: x 1, Herrenschuhe: x 2 Maximiere: 16x x 2 20x x x 1 + 5x x x und den Vorzeichenbedingungen x 1 0, x 2 0.

2 (b) Schafe: x 1, Kühe: x 2 Maximiere: 40x x 2 x 1 90 x 2 40 frac14x 1 + x x x und den Vorzeichenbedingungen x 1 0, x 2 0. (c) Bodenbeläge in m 2 : A, B, C Minimiere: 30A + 40B + 60C A + B + C = A + 8B + 4C 7000 C 300 und den Vorzeichenbedingungen A 0, B 0, C 0. Aufgabe 2 (Transformation von LPs) Überführen Sie das LP Minimiere z = 3x 1 4x 2 2x 1 + 3x 2 7, x 1 2x 2 4, 3x 1 + 2x 2 = 6 x 1 0, x 2 IR (nicht vorzeichengebunden) in ein Maximumproblem mit Nebenbedingungen und Vorzeichenbedingungen (vgl. S. 156 des Skripts). Durch die Multiplikation der Zielfunktion mit 1 erhält man ein Maximierungsproblem. Maximiere z = 3x 1 + 4x 2 Durch Multiplikation beider Seiten mit 1 wird die Ungleichung x 1 2x 2 4 überführt in x 1 + 2x 2 4 Die Gleichung 3x 1 + 2x 2 = 6 wird ersetzt durch zwei Gleichungen mit bzw.. Letztere wird anschließend durch die Multiplikation mit 1 in eine -Ungleichung überführt. 3x 1 + 2x 2 6 3x 1 2x 2 6 Anschließend ersetzt man in der Zielfunktion sowie in allen Nebenbedingungen x 2 durch zwei Variablen x + 2 und x 2 mit x 2 = x + 2 x 2.

3 Ergebnis: Maximiere: z = 3x 1 + 4x + 2 4x 2 2x 1 + 3x 2 7 x 1 + 2x + 2 2x 2 4 3x 1 + 2x + 2 2x 2 6 3x 1 2x x 2 6 und den Vorzeichenbedingungen x 1 0, x + 2 0, x 2 0. Aufgabe 3 (Transformation von LPs) Überführen Sie die LPs von Aufgabe 1 (a) und (c) in die Normalform (vgl. S. 161 des Skripts). Für jede Ungleichung wird eine nichtnegative Schlupfvariable eingeführt, die die Differenz zur rechten Seite der Ungleichung repräsentiert. (a) Maximiere 16x x 2 20x 1 10x 2 +x 3 = x 1 5x 2 +x 4 = x 1 +15x 2 +x 5 = 4500 und den Vorzeichungenbedingungen x 1,..., x 5 0. (c) Maximiere: 30A 40B 60C A +B +C = A +8B +4C +D = 7000 C E = 300 und den Vorzeichungenbedingungen A,..., E 0. Aufgabe 4 (Grafische Lösung von LPs) Lösen Sie die LPs von Aufgabe 1 (a) und (c) grafisch. Hinweis: Benutzen Sie die = Nebenbedingung in 1 (c) um das Problem auf zwei Entscheidungsvariablen zu reduzieren. Schwierigkeitsgrad: f ür 1 (a) einfach, f ür 1 (c) m üssen ie den Hinweis beachten (a) x1 = 250, x2 = 200 ist die optimale Lösung mit z =

4 800 x2 20x x2 = x1 + 5x2 = 2000 Zielfunktion 300 6x1 + 15x2 = x1 (c) Mit der Gleichung A + B + C = 1000 erhält man C = 1000 A B. Wenn wir dies in alle Nebenbedingungen und die Zielfunktion einsetzen, erhalten wir ein dynamisches Programm mit nur noch zwei Variablen. Wir erhalten dann: Minimiere z = A 20B sowie A, B 0. 5A + 4B 3000 A + B 700 A = 600, B = 0, C = 400 ist dann die optimale Lösung.

5 B A+4B=3000 Zielfunktion A+B= A