Übungsaufgaben zu Analysis 1 Lösungen von Blatt XII vom sin(nx) n sin(x). sin(ax) a sin(x) z = re iϕ = r(cos(ϕ) + i sin(ϕ)) z n = w

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1 Prof. Dr. Moritz Kaßma Fakultät für Mathematik Witersemester 04/05 Uiversität Bielefeld Übugsaufgabe zu Aalysis Lösuge vo Blatt XII vom Aufgabe XII. 3 Pukte) Beweise Sie, dass für alle R ud N die folgede Ugleichug gilt: Zeige Sie, dass die Ugleichug icht für alle R ud a > 0 richtig ist. si) si). sia) a si) Aufgabe XII. 7 Pukte) a) Zeige Sie, dass jedes z C, z 0, eie eideutige Darstellug mit r > 0 ud ϕ [0, π) besitzt. z = re iϕ = rcosϕ) + i siϕ)) b) Seie z, w C ud N. Zeige Sie, dass die Gleichug z = w geau Lösuge besitzt. Hiweis: Verwede Sie für w ud z eie Darstellug kompleer Zahle wie sie i Teilaufgabe a) vorgestellt wird. c) Bestimme Sie alle Lösuge der Gleichug z 3 = + i. Aufgabe XII.3 6 Pukte) Diskutiere Sie die Fuktioe f ud g. Gebe Sie hierfür de größtmögliche Defiitiosbereich a. Utersuche Sie charakteristische Eigeschafte wie Beschräktheit, Verhalte im Uedliche, abschittsweise) Mootoie, Nullstelle, Vorzeichewechsel etc.. Skizziere Sie zusätzlich die Fuktiosgraphe. a) f) = + ), b) g) = l + ). Aufgabe XII.4 4 Pukte) Seie f : [0, ) [0, ), f) = ud g : R [, ], g) = si). a) Zeige Sie jeweils die Differezierbarkeit der Fuktioe f ud g, idem Sie de zugehörige Differetialquotiete betrachte ud gebe Sie die Ableitug a. b) Bestimme Sie die jeweils Ableitug der Umkehrfuktio vo f ud g, idem Sie Satz V.6 aus der Vorlesug awede. Erreichbare Puktzahl: 0

2 Übugsblatt XII Lösuge Seite Aufgabe XII. Lösugsvorschläge a) Sei R beliebig. Sei N. Wir beweise die Aussage mittels vollstädiger Iduktio: Iduktiosafag 0 = ): si) = si). Iduktiosschritt: Die Aussage sei für ei N wahr. Da gilt: si + )) = si + ) = si) cos) + si) cos) was zu zeige war. Wir widerlege die Aussage si) cos) + si) cos) si) + si) si) + si) = + ) si), sia) a si), R, a > 0 ahad eies Gegebeispiels. Betrachte = π. Da ist die rechte Seite der Ugleichug immer gleich Null. Die like Seite jedoch ur da, we a Z. Also ist die Aussage für beispielsweise a = icht wahr. Aufgabe XII. a) Sei z C mit z = a + ib für a, b R. Aus z = re iϕ = r e iϕ = r = r, erhalte wir r = z. Wir köe ohe Beschräkug der Allgemeiheit aehme, dass z C de Betrag hat, da r > 0 ud wir durch r teile köe. Es gelte also a + b =. Da ist zu zeige, dass z die eideutige Darstellug z = a + ib = cosϕ) + i siϕ) hat. Wir uterscheide drei Fäll für a [, ]:. Sei a =. Da gilt b = 0. Für ϕ [0, π) gilt: siϕ) = 0 ud cosϕ) = geau da, we ϕ = 0.. Sei a =. Da gilt b = 0. Für ϕ [0, π) gilt: siϕ) = 0 ud cosϕ) = geau da, we ϕ = π. 3. Sei a, ) beliebig. Da gibt es geau zwei Möglichkeite für ϕ [0, π) mit cosϕ) = a. Eier der beide Fälle wird jedoch durch das Vorzeiche vo b ausgeschlosse. Sei b > 0. Da gilt ϕ 0, π), wege siϕ) > 0. Da cos : 0, π), ) bijektiv ist, eistiert ei eideutiges ϕ 0, π) mit a = cosϕ). Für dieses ϕ gilt b = siϕ), da a + b =. Aalog gilt im Falle b < 0: ϕ π, π), wege siϕ) < 0. Die Bijektivität vo cos : ϕ, ϕ), ) impliziert die Eistez eies eideutige ϕ π, π) mit cosϕ) = a. Für dieses ϕ gilt b = siϕ), da a + b =.

3 Übugsblatt XII Lösuge Seite 3 b) Sei Also ist die Behauptug bewiese. z = re iϕ = rcosϕ) + i siϕ)) ud w = ρe iψ = ρcosψ) + i siψ)). Da folgt aus z = w: Also ψ = ϕ ϕ = ψ ud ρ = r r = ρ. z = ρ cos ) ψ + i si )) ψ. Die Divisio mit i de trigoometrische Fuktioe verädert die Periodizität des Sius ud des Kosius vo π auf π. Folglich eistiere aufgrud der eideutige Darstellug des w C geau Werte mit ξ = ψ, ξ = ψ + π ψ + )π,..., ξ = z := w = r cos ξ i ) + i si ξ i )) für k {,..., }. Also hat z = w geau Lösuge. [0, π) c) Wir bestimme zuächst die Polarkoordiate vo w = + i. Es gilt r =. Des Weitere gilt für ϕ [0, π) : cosϕ) = ud siϕ) = geau da, we ψ = 3 4π. Eisetze i die obige Formel liefert ξ = 3π 4 3 = 4 π, ξ = 3π 4 + π 3 = π, ξ 3 = 3π 4 + 4π 3 Also sid die Lösuge: z = 6 ) )) cos 4 π + i si 4 π, z = 6 ) )) cos π + i si π, z 3 = 6 ) )) 9 9 cos π + i si π. = 9 π. Aufgabe XII.3 a) Die Fuktio f ist für [, 0] im Reelle) icht defiiert. Der maimale Defiitiosbereich der Fuktio f ist daher R \, 0]. Wir schreibe die Fuktio wie folgt um: f) = + ) = ep l + )). Da die Fuktio ep) > 0 für alle a R, gilt auch f) > 0 für alle R. Also hat f keie Schittpukte mit de Koordiateachse ud ist ach ute durch Null beschräkt. Aus der Vorlesug ist bekat, dass lim f) = lim + ) = e.

4 Übugsblatt XII Lösuge Seite 4 Des Weitere liefert die Stetigkeit der Epoetialfuktio die folgede Grezwerte: lim f) = ep lim l + ))) = e, }{{} = lim f) = ep lim l + ))) =, }{{} = lim f) = ep lim l + ))) =. 0 0 }{{} =0 Die Fuktio l+ ) ist auf dem Itervall, ) bzw. 0, ) streg mooto wachsed ud somit auch die Fuktio f auf dem Itervall, ) bzw. 0, ). f) b) Die Fuktio g ist für alle R defiiert, da + > für alle R. Des Weitere lässt sich daraus herleite, dass g) > 0 für alle R. Also hat g keie Nullstelle. Da sowohl +, als auch l) streg mooto wachsede Fuktioe sid folgt, dass auch die Fuktio g eie streg mooto wachsede Fuktio. Die Stetigkeit des Logarithmus liefert die Grezwerte: lim g) = ud lim g) = 0. Folglich ist die Fuktio ach ute durch Null beschräkt ud ach obe ubeschräkt. Der y-achseschittpukt vo g liegt bei g0) = l).

5 Übugsblatt XII Lösuge Seite 5 g) Aufgabe XII.4 a) Sei [0, ) beliebig. Da gilt: f + h) f) h + h lim = lim = lim + h =. h 0 Folglich ist f ) = für alle [0, ). Sei R beliebig. Da gilt si + h) si) si) cosh) + cos) sih) si) lim = lim si)cosh) ) + cos) sih) = lim cosh) sih) = si) lim + cos) lim = si) 0 + cos) = cos). Also ist f ) = cos) für alle R. b) Die Fuktio f : [0, ) [0, ) ist bijektiv ud ihre Umkehrfuktio ist gegebe durch f ) =. Laut Satz V.6 aus der Vorlesug gilt f ) ) = f f )) =.

6 Übugsblatt XII Lösuge Seite 6 Die Fuktio g : R [, ] ist icht bijektiv. Wir passe de Defiitiobereich auf D = [ π, π ] a. Da ist g bijektiv ud die Umkehrfuktio ist g ) = arcsi). Die Ableitug ist da gegebe durch: g ) ) = g g )) = cosarcsi)) = si arcsi)) =.