7 Ungleichungen und Intervalle

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1 Mthemtik. Klsse 7 Ugleichuge ud Itervlle Aufgbe 0 Löse Sie folgede Ugleichuge > + 8 < Itervlle Um gze Bereiche vo reelle Zhle zugebe, wird die Schreibweise mit Itervlle verwedet. Beispiele [, π] Alle Zhle vo ud mit bis ud mit π. ], 8.5] Alle Zhle grösser ls ohe die bis ud mit 8.5. [, [ Alle Zhle vo ud mit - bis ohe. ]0, [ Alle Zhle zwische 0 ud ohe 0 ud. ], 5.] Alle Zhle kleier oder gleich 5.. ].57, [ Alle Zhle grösser ls.57 ohe.57. Itervlle sid Mege vo reelle Zhle ud werde mit eckige Klmmer geschriebe, wobei zuerst die utere Greze ud d die obere Greze gegebe wird durch ei Komm getret. Ist die Klmmer «richtig herum», gehört die Greze dzu, ds Itervll ist geschlosse. Aderflls ist ds Itervll offe. D ud keie Zhle sid, gehöre diese ie zum Itervll ud die Klmmer sid immer «offe». Aufgbe Gebe Sie die Lösugsmege der Aufgbe 0 ls Itervll. >, lso L ]6, [ <, lso L ], [, lso L ], ], lso L [, [ Aufgbe Ws ist die kleiste Zhl im Itervll [, [? Ws ist die grösste Zhl im Itervll [, [? 7. Ugleichuge Aufgbe Löse Sie folgede Ugleichuge, gebe Sie die Lösugsmege ls Itervll ud überprüfe Sie d Ihr. 5 > 5 6 < 7.. Umformuge vo Ugleichuge Aufgbe Erkläre Sie schlüssig mit Hilfe eier Wge eie Seite schwerer ls die dere, wrum bei Ugleichuge ddiere ud subtrhiere eies beliebige Terms eie Äquivlezumformug ist. Aufgbe 5 Wie steht es mit der Multipliktio eier Ugleichug? Woruf ist zu chte? Erkläre Sie ebeflls mit Hilfe eier Wge ud fide Sie eie Iterprettio für ei egtives Gewicht uf der Wge. Aufgbe 6 Löse Sie folgede Ugleichug uf zwei Arte Eiml ur mit Additio/Subtrktio, eiml ur mit Multipliktio > Bei Ugleichuge drf m ueigeschräkt ddiere ud subtrhiere. Beim Multipliziere ud Dividiere mit eier egtive Zhl muss ds Zeiche umgedreht werde. 9. Februr 06 5 http//ksbg.educet.ch/ivo.bloechliger

2 Mthemtik. Klsse 7. Reche mit Bruchterme Vor der Additio oder Subtrktio vo zwei Brüche, müsse die Brüche erst gleichmig gemcht werde, idem m sie erweitert. Gleichmige Brüche werde ddiert, idem m die Zähler ddiert. Es drf ur us Produkte gekürzt werde. Die Fktore selbst dürfe ber beliebig kompliziert sei. Aufgbe 7 Flls möglich, fktorisiere Sie erst die Neer! Mche Sie d gleichmig, fsse Sie zusmme, fktorisiere Sie ud kürze Sie, flls möglich. + y y y + y z + z 9 z b + b e b c + c b c + c + + c c + c f s s s + s + s s Bruch ml Bruch, wie mcht s der Keer? Zähler ml Zähler, Neer ml Neer. Es wird durch eie Bruch dividiert, idem m mit seiem Kehrwert multipliziert. Aufgbe 8 Vereifche Sie soweit wie möglich. Hiweis Es ist oft besser, erst die Summe oder Differez ls eie Bruch zu schreibe, bevor multipliziert wird sttt uszumultipliziere. u v u + v u u + v + v u v b c d b + c d + + e + + g r s r + s + f Spezielle Ugleichuge Beispiel Löse Sie folgede Ugleichug + Erstes hdelt es sich hier um eie Gewiumformug. Isbesodere muss sei, weil sost der Neer zu Null wird. Zweites wisse wir icht, ob positiv oder egtiv ist ud ob ls Kosequez ds Zeiche umgedreht werde muss oder icht. Es müsse lso zwei Fälle uterschiede werde 9. Februr 06 6 http//ksbg.educet.ch/ivo.bloechliger

3 Mthemtik. Klsse Fll > 0, d.h. > ud > L [5, [ Fll, d.h. < ud < L ], [ Fsst m die beide Fälle zusmme, erhält m folgede Lösugsmege L ], [ [5, [ Ds Zeiche heisst «vereiigt mit» Aufgbe 9 Löse Sie folgede Ugleichuge ch uf + + < Vorzeiche vo Produkte ud Quotiete Ht eie Ugleichug die Form «Produkt <,,, > 0», reicht es, die Vorzeiche der Fktore zu utersuche. Geu d, we eie ugerde Azhl Fktore egtiv sid, ist uch ds Produkt egtiv. Beispiel Wir utersuche die eizele Fktore, ud uf die Vorzeiche ud zeiche die Greze uf dem Zhlestrhl uf Wir lese u die Itervlle b, wo ds Vorzeiche des Produkts egtiv ist L ], [ ], [ Die Greze vo Terme im Neer sid immer uszuschliesse Divisio durch Null. Sost sid die Greze eizuschliesse, we ds Vergleichszeiche 0 oder ist. Aufgbe 50 Gebe Sie die Lösugsmege für ds Beispiel, we ds Zeiche zu, ud > geädert wird. L ], ] [, [ L ], [ [, ] L ], [ ], [ Aufgbe 5 Löse Sie folgede Ugleichuge. We ötig, brige Sie zuerst lles uf eie Seite, fsse Sie uf eie Bruchstrich zusmme ud fktorisiere Sie > Aufgbe 5 Löse Sie die Ugleichuge vo Aufgbe 9, idem Sie die Ugleichuge uf die Form «Bruch < oder 0» brige. 9. Februr 06 7 http//ksbg.educet.ch/ivo.bloechliger

4 Mthemtik. Klsse 7.5 Lösuge Hiweise zu de Symbole Diese Aufgbe köte mit kleie Apssuge eier Prüfug vorkomme. Für die Prüfugsvorbereitug gilt If you wt to il it, you ll eed it. Diese Aufgbe sid wichtig, um ds Verstädis des Prüfugsstoffs zu vertiefe. Die Aufgbe sid i der Form ber eher icht geeiget für eie Prüfug zu grosser Umfg, ötige «Tricks», zu offee Aufgbestellug, etc.. Teile solcher Aufgbe köe ber durchus i eier Prüfug vorkomme!. Diese Aufgbe sid dzu d, über de Tellerrd hius zu schue ud oder die Theorie i eie grössere Kotet zu stelle. Lösug zu Aufgbe 0 e-ugleichuge-eifcher-eistieg > + > 6 > + 8 < 8 < 6 < Lösug zu Aufgbe e-ugleichuge-ufgepsst 5 > 5 5 < L ], [ 6 L [, [ < > L ], [ Lösug zu Aufgbe 7 e-bruchterme-dditio + y y y + y + y y + y y y + y y z + z 9 z z + z 9 z + z 5z z + z 5 z + z + + z 9 z + z z + + z 9 z + z 5z 5 z + z b b b b + + b + b + b + b b Februr 06 7-i http//ksbg.educet.ch/ivo.bloechliger

5 Mthemtik. Klsse e b c b + c c + c + cb + + c c + bc + c + b c + c c + c b c + cb c + + c c + b + c + cb + b + c + + c c + cb + b c + f s s s + s + s s s s s + s + s s s s s s + ss s s s + s s s + s s + s 8 ss ss s 8 8s + s s s + 8 ss s 8 + 8s s s s + 8 6s ss ss 6 s Hiweis Asttt Vorzeichekrobtik s s, köte m uch eifch s s s verwede. Lösug zu Aufgbe 8 e-bruchterme-querbeet u v u u + v u + v + v u + vu v uu v u v u + v u + vu v + vu + v u + vu v u + vu v u uv + uv + v u + vu v u + v u + v u + vu v u + v u + vu v r s r + s r + s r sr + s r s r + s r s r + sr s r sr + s s s r sr + s r s r + s b c d b + c d e + + d bc bd + + d + cb bd + d bc bd + bd d + cb + d bc d + cb f g Februr 06 7-ii http//ksbg.educet.ch/ivo.bloechliger

6 Mthemtik. Klsse Lösug zu Aufgbe 9 e-ugleichuge-mit-brueche-ud-diskussio Fll > 0, d.h. > 6 + ud > L Beide Fälle zusmmegefsst L [, + < Fll + > 0, d.h. > [ Fll, d.h. < 6 + ud < [ [ L, Fll +, d.h. < + < < < < ud > ] L [ 9, ] Beide Fälle zusmmegefsst L ], + + Fll + > 0, d.h. > ud > ] ] L, Beide Fälle zusmmegefsst L ] ], [ ] 9, [ + > > > > ud < ] L, [ Fll +, d.h. < ud < L 9. Februr 06 7-iii http//ksbg.educet.ch/ivo.bloechliger

7 Mthemtik. Klsse Fll > 0, d.h. >, d.h. < oder > 0 L ], [ ], [ Beide Fälle zusmmegefsst L ], [ ], [ Fll, d.h. < < 0 L Lösug zu Aufgbe 5 e-ugleichuge-vorzeiche ud + sid immer positiv weil immer positiv oder Null ist ud köe dher igoriert werde. + L ], ] [, [ ist icht Teil der Lösugsmege, weil im Neer vorkommt ist zwr ie egtiv wird ber 0 für. 0 + L ], [ [0, [ {} ist Teil der Lösugsmege weil dort 0 ist. Asttt {} köte uch [, ] geschriebe werde. 9. Februr 06 7-iv http//ksbg.educet.ch/ivo.bloechliger

8 Mthemtik. Klsse ist ie egtiv, es reicht lso + 6 zu betrchte. L ], 6[ L ], + > > > > 0 > > 0 + > [ ] 5, [ Lösug zu Aufgbe 5 e-9-ohe-diskussio Ud dmit ist L [, [ < Ud dmit ist L ] 9, [ 9. Februr 06 7-v http//ksbg.educet.ch/ivo.bloechliger

9 Mthemtik. Klsse Ud dmit ist L ], ] + Ud dmit ist L ], [ ], [. 9. Februr 06 7-vi http//ksbg.educet.ch/ivo.bloechliger