Technische Universität München. Thema des heutigen Tages sind zuerst Rechentechniken, dann Differential- und Integralrechnung sowie Taylorreihen.

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1 Technische Universität München Andres Wörfel Ferienkurs Anlysis 1 für Physiker Vorlesung Donnerstg WS 2013/14 Them des heutigen Tges sind zuerst Rechentechniken, dnn Differentil- und Integrlrechnung sowie Tylorreihen. 1 Rechentechniken 1.1 Polynomdivision Polynomdivision ist eine einfche Möglichkeit, Polynome höherer Ordnung mit Hilfe von beknnten Nullstellen in Polynome niedrigerer Ordnung zu überführen, um dnn mittels Lösungsformel etc. weitere Nullstellen zu finden. Es ist uch möglich, die Rechnung mit einem Polynom sttt nur einer NS durchzuführen. Die Rechenschritte sind in beiden Fällen nlog Die Theorie dhinter interessiert uns hier nicht, wir möchten einfch nur ein Kochrezept hben. 1. Sortiere die Summnden des Polynoms in x nch bsteigendem Grd in x, dneben schreibe die Nullstelle NS ls (x NS) bzw. ein weiteres Polynom. 2. Dividiere im 1. Polynom ds Glied höchster Ordnung durch ds Glied höchster Ordnung im 2. Polynom. Schreibe ds Ergebnis uf. 3. Multipliziere ds in 2. erhltene Ergebnis mit dem 2. Polynom, schreibe ds Ergebnis unter ds 1. Polynom 4. Subtrhiere ds in 3. erhltene Ergebnis vom 1. Polynom. Nun ist der Term höchster Ordnung des 1. Polynoms verschwunden. 5. Wiederhole Schritte solnge, bis beim 1. Polynom eine Null steht oder der verbleibende Term eine niedrigere Ordnung ht ls ds 2. Polynom. 6. Steht keine Null beim 1. Polynom, so erhlten wir ein Restglied, es ht die Form Beispiel 1.1 Polynomdivision für eine einfche Nullstelle x 0 = 1 ( x 3 5x 2 17x + 21 ) : ( x 1 ) = x 2 4x 21 x 3 + x 2 4x 2 17x 4x 2 4x 21x x 21 0 Rest 2.P olynom Nun können wir entweder die qudrtische Lösungsformel benutzen oder uch den Stz von Viet und sehen die nderen Nullstellen sofort: -3 und 7 In der Übung werden wir noch ein Beispiel Division durch ein Polynom höherer Ordnung sehen. 1

2 1.2 Prtilbruchzerlegung (PBZ) Die PBZ ist besonders beim Lösen von Integrlen von besonderer Wichtigkeit, d wir hiermit gebrochen rtionle Funktionen uf Funktionen bringen können, deren Grd im Nenner kleiner ist ls der ursprüngliche Grd. Wir werden später sehen: Oft ist dnn ds Ergebnis logrithmisch oder einfch ls Polynom integrierbr. Auch hier betrchten wir nur wieder ein Kochrezept. 1. Flls der Grd des Zählers größer ist ls der Grd des Nenners: finde durch Polynomdivision den Polynomnteil. Für die weiteren Schritte interessiert uns nur der Rest. 2. Finde die vollständige Fktorisierung des Nenners herus - hierbei ist uch Polynomdivision sowie geschicktes Rten geeignet. A k (x x j) m 3. Stelle eine Summe von Büchen der Form für lle Nennerfktoren uf. Es müssen für m-fche Nullstellen x j solche Brüche für lle Exponenten von 1 bis m ufgestellt werden. 4. Bringe die so Erhltene Summe mittels Erweitern wieder uf einen Bruchstrich. 5. Nun müssen die A k herusgefunden werden. Dzu setze den neuen Zähler mit dem ursprünglichen gleich. Für einfche Nullstellen des Nenners erhält mn ds zugehörige A k durch Einsetzen der NS in den Zähler. Für lle - uch einfche Nullstellen des Nenner - A k funktioniert uch Koeffizientenvergleich. Im schlimmsten Flle erhält mn dnn ein lösbres k k Gleichungssystem für die A k. Schritt 1 muss nicht unbedingt gemcht werden, llerdings muss mn dnn in Schritt 3 noch (Grd(Zähler) - Grd(Nenner) +1) zusätzliche Koeffizienten einführen, die eben konstnte, linere, qudrtische etc. Anteile bdecken. Beispiel 1.2 PBZ Zerlege folgenden Ausdruck mittels PBZ: x 4 + 3x 3 + x 2 8x + 4 x 3 + 2x 2 4x 8 Wir führen eine Polynomdivision wie im Abschnitt 1.1 durch und erhlten: x x2 + 4x + 12 x 3 + 2x 2 4x 8 Wir finden folgende Nullstellen des Nenners durch schrfes Hinsehen und Polynomdivision: -2, -2 und 2. Unser neues Zwischenergebnis: 3x 2 + 4x + 12 (x + 2) 2 (x 2) Wir zerlegen den Bruch nch Anleitung und erhlten: A 1 (x + 2) 2 + A 2 x A 3 x 2 = (A 2 + A 3 )x 2 + (A 1 + 4A 3 )x + ( 2A 1 4A 2 + 4A 3 )! (x + 2) 2 = 3x2 + 4x + 12 (x 2) (x + 2) 2 (x 2) Nun setzen wir x = 2 und erhlten dnn im Zähler: 16A 3 = 32 = A 3 = 2 Nun setzen wir x = 2 und erhlten dnn im Zähler: 4A 1 = 16 = A 1 = 4 A 2 können wir jetzt m schnellsten mit der nderen Methode erhlten. Durch Koeffizientenvergleich beim kubischen Term sehen wir sofort: A 2 + A 3 = 3 = A 2 = 1 Die vollständig zerlegte Form lutet lso: x (x + 2) x x 2 2

3 2 Differentilrechnung 2.1 Definitionen zur Differentilrechnung Die Motivtion für die Differentilrechnung ist, dss wir einer Funktion n jeder beliebigen, definierten Stelle eine Steigung zuordnen wollen. Wir werden schon bei der Definition sehen. sehen, dss uns dies immer dnn gelingt, wenn sich in einer kleinen, offenen Kugel um die Stelle die Steigung nicht wesentlich ändert, die Funktion lso keinen Knick ht. Definition 2.1 Differenzenquotient, Differentilquotient, Ableitung, Differenzierbrkeit Sei f : D R C eine Funktion. Dnn ist: der Differenzenquotient von f(x) und f(x 0 ): f(x) f(x 0 ) x x 0 der Differentilquotient bzw. die Ableitung von f(x 0 ): f(x) f(x 0 ) lim x x 0 x x 0 Wir bezeichnen die Ableitung einer Funktion meist mit f (x) oder d dxf(x). Letztere Drstellung ist insbesondere für die Physik wichtig, d mn mit dieser besser rechnen knn. Eine Funktion heißt differenzierbr, wenn die Ableitung existiert. Ds heißt insbesondere ist f (x) < und eindeutig, egl mit welcher Nullfolge wir den Grenzwert bilden (lso uch egl ob von links oder rechts). Dies ist die Behuptung us dem Einleitungstext. Eine Funktion heißt n-ml differenzierbr, wenn die n-te Ableitung (f (n) ) existiert. Um diese zu bestimmen, wird die 1. Ableitung wieder in den Differentilquotienten gesteckt und berechnet. Wir nennen dies die 2. Ableitung. Dies wird wiederholt, bis insgesmt n-ml differenziert wurde. Beispiel 2.2 Ableitung von f(x) = x 2 Wir leiten f(x) = x 2 mit Hilfe von Differentilquotienten b. f x 2 x 2 0 (x x 0 )(x + x 0 ) (x 0 ) = lim = lim = lim (x + x 0 ) = 2x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 Alterntiv gibt es folgende Möglichkeit, die bei nderen Ableitungen oft leichter geht ( h-methode ): f x 2 x 2 0 x=x (x 0 ) = lim 0+h (x 0 + h) 2 x 2 0 2x 0 h + h 2 = lim = lim = lim (2x 0 + h) = 2x 0 x x 0 x x 0 h 0 (x 0 + h) x 0 h 0 h h 0 Folgerung 2.3 linere Approximtion Mit Hilfe von geschickten Umformungen knn mn zeigen, dss es für lle differenzierbren Funktionen eine linere Approximtion gibt, ds heißt in einer ɛ-umgebung um jeden Punkt gibt es eine linere Funktion, die sich kum von der ttsächlichen Funktion unterscheidet. Wir können die linere Approximtion drstellen ls f(x 0 + h) = f(x o ) + h f (x 0 ). Die Korrekturen sind von der Ordnung o(h) für h 0. Korollr 2.4 Stetigkeit Ist eine Funktion differenzierbr in x 0, so ist sie dort stetig. 3

4 Definition 2.5 Funktionenräume Wir bezeichen die Menge Funktionen uf dem Definitionsbereich D mit C 0 (D), wenn diese stetig sind. C n (D), n N, wenn sie n-ml stetig differenzierbr sind, d.h. die n-te Ableitung ist stetig. C (D), wenn sie unendlich oft stetig differenzierbr sind. 2.2 Rechnen mit Ableitungen Stz 2.6 Rechenregeln Seien f, g C 1 (D), dnn gilt: Summenregel: (f(x) + g(x)) = f (x) + g (x) Produktregel: (f(x) g(x)) = f (x) g(x) + f(x) g (x) Kettenregel: (f(g(x))) = f (g(x)) g (x) nchdifferenzieren ( ) (Korollr) Quotientenregel: f(x) g(x) = f (x) g(x) f(x) g (x) g 2 (x) Stz 2.7 Differentition der Umkehrfunktion Sei f C 1 (D) streng monoton und f (x 0 ) 0, dnn knn mn f 1 in y 0 = f(x 0 ) differenzieren mit: Korollr 2.8 Besondere Ableitungstechniken ( f 1 ) (y0 ) = 1 f (x 0 ) = 1 f (f 1 (y 0 )) In einigen Fällen von nicht elementren Funktionen ist eine einfche Ableitung ohne den Differentilquotient trotzdem möglich, indem mn geschickt (z.b. mit der Exponentilfunktion) umformt oder ds Argument mit der Umkehrfunktion substituiert. Beispiel 2.9 Ableitung des Arcustngens Wir möchten f(x) = rctn x bleiten. Wir substituieren x = tn t. Dnn ist: Stz 2.10 Stz von Rolle f (t) = t = 1 = rctn (tn t) (tn t) = rctn (tn t) (1 + tn 2 t) = rctn (tn t) = tn 2 t = rctn (x) = x 2 Sei f C 1 ([, b]) mit f() = f(b), wobei b. Dnn gibt es x 0 [, b] mit f (x 0 ) = 0. Ds heißt, die Funktion ist entweder konstnt uf [, b] oder sie ht ein Extremum. Stz 2.11 Mittelwertstz Sei f C 1 ([, b]), wobei < b. Dnn gibt es x 0 [, b] mit f(b) f() = (b )f (x 0 ) Korollr 2.12 Monotonie 0 f < 0 (x) 0 > 0 monoton fllend streng monoton fllend = f(x) monoton wchsend streng monoton wchsend 4

5 Stz und Definition 2.13 Bedingungen für Extrem, Wendepunkte, Flchpunkte, konvexe und konkve Funktionen Sei f C 2 ((, b)), f (x 0 ) = 0 für x 0 (, b) Dnn ht f bei x 0 ein lokles Mximum, wenn f dort konkv (rechtsgekrümmt) ist, lso f (x 0 ) < 0 oder wenn: f (x 0 ɛ) > 0 und f (x 0 + ɛ) < 0 für kleine ɛ > 0 ein lokles Minimum, wenn f dort konvex (linksgekrümmt) ist, lso f (x 0 ) > 0 oder wenn: f (x 0 ɛ) < 0 und f (x 0 + ɛ) > 0 für kleine ɛ > 0 Ist f C 3 ((, b)), f (x 0 ) = 0 für x 0 (, b) Dnn ht f bei x 0 einen Wendepunkt, wenn f (x 0 ) 0. Flls f (x 0 ) = 0, so muss ds Monotonieverhlten von f (x 0 ) untersuchtwerden nlog zu Extrem. Ändert sich ds Krümmungsverhlten, so liegt ein Wendepunkt vor, ndernflls ein Flchpunkt. Stz 2.14 Funktionenfolgen Mn knn zeigen: Konvergiert eine Funktionenfolge f n gegen eine Funktion f, so gilt dies uch für die Ableitungen. Stz 2.15 Potenzreihen Ist f eine Potenzreihe, lso f(x) = k=0 k(x x 0 ) k und ht f den Konvergenzrdius R, so ist die Ableitung von f in einer R-Umgebung um x 0 : f (x) = k=1 kk(x x 0 ) k 1 Stz 2.16 Regel von L Hospitl Sei f, g C 1 (D), g (x 0 ) 0. Dnn gilt, flls f, g x x0 0 oder f, g x x0 : f(x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x) = lim f (n) (x) x x 0 g (n) (x) Ist jedoch f, g x x0 0 oder f, g x x0, dnn knn mn den Stz erneut nwenden, so oft bis ds Problem behoben ist. 5

6 3 Tylorreihe Mit Hilfe von Tylorreihen lssen sich schwierige Funktionen näherungsweise behndeln. In der Physik findet dies zum Beispiel Anwendung für Potentiltöpfe, die hrmonisch (mit einem qudrtischen Polynom) genähert werden (Stichwort: Hrmonischer Oszilltor), oder in der Kleinwinkelnäherung (Pendel: tn x sin x x für typ. x < 5 ) Definition 3.1 Tylorpolynom Sei f eine mindestens n ml differenzierbre Funktion. Dnn heißt n f (k) (x 0 ) T n (x) = (x x 0 ) k k! k=1 ds Tylorpolynom n-ter Ordnung von f m Punkt x 0. Jedes Tylorpolynom ht dementsprechend ein Restglied, ds verschieden drgestellt werden knn, ber meist eher schwer zu berechnen ist. Es gibt die Differenz von T n und f n. Stz und Definition 3.2 Tylorreihe Für eine unendlich oft differenzierbre Funktion f heißt f (k) (x 0 ) T (x) = (x x 0 ) k k! k=1 die Tylorreihe von f m Punkt x 0. Wird f durch die Tylorreihe drgestellt (f = T ), so verschwindet ds Restglied (und umgekehrt). Hinweis: Eine Tylorreihe knn uch nur einen endlichen Kovergenzrdius hben, innerhlb dessen sie die Funktion drstellt. Zustz 3.3 Zusmmenhng mit Potenzreihen Wählen wir den gleichen Entwicklungspunkt x 0, so stimmen Tylorreihe und Potenzreihe überein. Es ist dher oft dr nicht nötig, die Tylorreihe zu berechnen, wenn mn die zugehörige Potenzreihe kennt. Beispiel 3.4 Exponentilfunktion Sei f(x) = e x. Wir wählen x 0 = 0. Dnn ist: und so weiter. Wir finden dnn: f(0) = e 0 = 1 f (0) = e 0 = 1 f (0) = e 0 = 1 f(x) = e x = 1 0! + 1 1! (x x 0) + 1 2! (x x 0) 2 + = 1 + x x2 + = Dies ist die beknnte Potenzreihe von e x. Zustz 3.5 Rtionle Funktionen Für rtionle Funktionen funktioniert es mnchml, PBZ zu verwenden und dnn beknnte Reihen für Brüche zu verwenden. Es bieten sich oft folgende Reihen n: 1 1 x = x k x = ( 1) k x k 1 (1 x) 2 = (n + 1)x k k=0 k=0 k=0 k=0 x k k! 6

7 4 Integrtion 4.1 Definitionen Im Gegenstz zum Differenzieren, welches eher eine Fingerübung ist, ist Integrieren ein Kunst. Viele Integrle lssen sich durch genügend Erfhrung lösen. Es gibt einige wenige Techniken, die ds Integrieren möglich mchen, wenn mn die Lösung des Integrls nicht gleich sehen knn. Jedoch ist uch hier Erfhrung von Nöten, um zu sehen, welche Technik nzuwenden ist. Motivtion für die Integrlrechnung ist, die Fläche unter einer Kurve zu bestimmen. Wir werden die Definition des Riemnn-Integrls nur recht oberflächlich behndeln, d dmit der ein oder ndere Summnengrenzwert lösbr ist, der mit den Stndrdtechniken nicht knckbr ist. Stz und Definition 4.1 Stmmfunktion Sei F : I = [, b] C differenzierbr und F = f. Dnn heißt F Stmmfunktion zu f uf I. Zwei Stmmfunktionen zu f unterscheiden sich höchstens um eine Konstnte. Definition 4.2 Riemnn-Integrl Wir können eine Funktion f : I = [, b] C pproximieren durch eine Treppenfunktion (stückweise uf konstnte Funktionen). Wir teilen hierzu den zu integrierenden Bereich in n Stücke der länge x k und setzen den entsprechenden Funktionswert der Treppenfunktion ls f(x k ). In der Vorlesung wurde die Definition über Ober- und Untersumme gemcht. Hierzu wählen wir gerde den Wert der Funktion m rechten oder linken Rnd der Teilung. Dnn können wir ds Riemnn-Integrl definieren ls n f(x)dx = lim x k f(x k ) n k=0 Bemerkung: Können wir für eine Funktion feststellen, dss Ober- und Untersumme gegen den gleichen Wert konvergieren, so nennen wir diese Riemnn-integrierbr, im folgenden kurz: integrierbr. Es gibt uch Funktionen, die integrierbr ber nicht Riemnn-integrierbr sind. Hierfür benötigt mn ber ds Lebesgue-Integrl (Anlysis 3). Stz 4.3 Integrtion monotoner und stetiger Funktionen Ist eine monotone oder stetige Funktion uf einem Intervll [, b] definiert, so ist sie integrierbr. 4.2 Rechnen mit dem Riemnn-Integrl Wir hben im folgenden (stückweise) stetige Funktionen f und g Aufteilen eines Integrls (hierfür reicht stückweise stetig): f(x)dx = c f(x)dx + c f(x)dx Umkehren der Integrtionsrichtung (hierfür reicht stückweise stetig): f(x)dx = b f(x)dx Linerität des Integrls (hierfür reicht stückweise stetig): (f(x) + kg(x))dx = f(x)dx + k g(x)dx 7

8 Integrl über einen Punkt (hierfür reicht stückweise stetig): f(x)dx = 0 Mittelwertstz der Integrlrechnung: es gibt ein y [, b], sodss: f(x)dx = f(y)(b ) Eine (von bhängige) Stmmfunktion F (x) zu f finden wir mit: F (x) = x f(t)dt Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung (HDI): f(x)dx = F (b) F () =: [F (x)] b Wir hben Integrle bisher nur uf bgeschlossenen Intervllen I definiert. Wir wollen ds nun verllgemeinern. Definition 4.4 Uneigentliche Integrle Wir können ein Integrl folgendermßen für offene Intervlle [, b) mit b R { } definieren: β f(x)dx = lim f(x)dx β b Wir können dies nlog für ein entsprechendes definieren. Flls beide Fälle gleichzeitig eintreten, teilen wir ds Integrl mit den obigen Regeln uf in 2 Bereiche: (, c] [c, b). Somit hben wir ds Problem umgngen, 2 Limiten gleichzeitig lösen zu müssen. Bemerkung: Trotz unendlicher Integrlgrenzen knn der Wert des Integrls endlich sein, und trotz endlicher Intervllgrenzen knn ein Integrl unendlich sein. Definition 4.5 Unbestimmte Integrle Oft lssen wir bei Integrlen, bei denen uns nur eine Stmmfunktion interessiert, die Integrtionsgrenzen weg und wir setzen die Integrtionskontnte gleich 0. Allerdings dürfen wir dbei nicht vergessen, wo der Integrnd überhupt definiert ist, wenn wir dnn mittels HDI ein bestimmtes Integrl berechnen. 4.3 Integrtionstechniken Für einige Integrle können wir die Lösung mittels verschiedener Techniken finden. Mnchml ist es günstig, bei einem Produkt zweier Funktionen, ds in der Form (f g) geschrieben werden knn, die Ableitung von f uf g zu schieben. Hierzu kehren wir die Produktregel der Differentilrechnung (fg) = f g + fg um. Stz 4.6 Prtielle Integrtion Seien f, g C 1 ((, b)). Dnn ist: f (x)g(x)dx = [f(x)g(x)] b f(x)g (x)dx Bemerkung: Einige Funktionen können integriert werden, indem sie durch Einfügen einer 1 zu einem Produkt umgeschrieben werden. 8

9 Beispiel 4.7 Integrtion des Logrithmus Wir können den Logrithmus durch prtielle Integrtion integrieren 1 ln(x)dx = [x ln(x)] b x 1 x dx = [x ln(x)]b [x]b Oftmls ist es uch leichter, wenn wir zum Integrieren die Funktion durch eine ndere ersetzen, die besser zu hndhben ist oder die Geometrie des Problems berücksichtigt. Dies wird im 2. Semester für Koordintentrnsformtionen besonders relevnt sein. Stz 4.8 Integrtion durch Substitution Sei g C 1 ((, b)) und f C 1 ((c, d)), wobei c = g() und d = g(b) f(g(y))g (y)dy = d=g(b) c=g() ndererseits ist mit nlogen (ngepsten) Vorussetzungen: f(x)dx = d=g 1 (b) c=g 1 () f(x)dx f(g(y))g (y)dy Bemerkung: Die Ersetzung des dx durch dy knn mn sich so merken: x = g(y) g (y) = dx dy Beispiel 4.9 Integrtion mit Hilfe des Logrithmus dx = g (y)dy Eine Integrl der Form g (y) g(y) knn durch die Ersetzung x = g(y) dy = dx g (y) Logrithmus gelöst werden: g (y) g(y) dy = g(b) g() Zustz 4.10 Integrtion mittels Prtilbruchzerlegung 1 dx = [ln x ]g(b) x g() = [ln g(y) ]b mit Hilfe des Wir hben uns m Anfng der VL mit der Prtilbruchzerlegung beschäftigt. Diese knn ngewndt werden, um beliebige gebrochen rtionle Funktionen in elementr, logrithmisch oder per rctn integrierbre Ausdrücke zu überführen. Schwierigkeiten können sich jedoch dnn ergeben, wenn die Nullstellen des Nenners nicht leicht zu finden sind oder Nennernullstellen einen größeren Grd ls 1 hben und erst durch geschicktes Einfügen von zusätzlichen 1en integrierbr werden (siehe Übung). Mn knn sogr zeigen, dss jede solche rtionle Funktion mittels dieser 3 Wege (elementr, logrithmisch oder rctn) integrierbr ist - unter Umständen jedoch nur unter Hinzunhmen von komplexen Nullstellen (Anlysis 3). 4.4 Spezilfälle In einigen Fällen gibt es uch nicht-trivile Substitutionen, die eine Integrtion ermöglichen (jedoch nicht immer der einfchste Weg!). Mn findet für eine rtionle Funktion R: substituiere t = n x + 1: R(x, n x + 1)dx = n R(t n 1, t)t n 1 dt 9

10 substituiere t = e x : R(e x )dx = R(t) 1 t dt substituiere t = tn ϕ 2 : R(cos ϕ, sin ϕ)dϕ = ( ) 1 t 2 R 1 + t 2, 2t t t 2 dt substituiere t = sinh u, t = cosh u bzw. t = cos u für folgende Fälle: R(t, t 2 + 1)dt R(t, t 2 1)dt R(t, 1 t 2 )dt Zustz 4.11 Funktionenfolgen Es gibt Fälle der folgenden Art für f n : [, b] R stetig und f n f: lim n f n (x)dx oder lim f n(x)dx n Wnn dürfen wir nun den Grenzwert einfch in ds Integrl rein- oder us dem Integrl rusziehen? Hierfür genügt es nicht, dss f n f punktweise konvergiert, sondern f n f gleichmäßig. Dmit lässt sich leicht zeigen, dss mn Potenzreihen (mit Konvergenzrdius R innerhlb des Konvergenzbereiches) einfch integrieren knn, indem Summenbildung und Integrtion vertuscht wird. 4.5 Mehrfche Integrle, Prmeterintegrle Stz 4.12 von Fubini Sei f : [, b] [c, d] R stetig, dnn gilt: ( d ) b f(x, t)dx dt = Stz 4.13 Leibniz-Regel c ( ) d f(x, t)dt dx Sei f : [, b] ]α, β[ R stetig. Außerdem t f(x, t) für jedes feste x [, b] differenzierbr nch t für lle t ]α, β[. Ferner sei die sog. prtielle Ableitung f t : [, b] ]α, β[ R (Ableitung nur nch t für festes x) stetig. Außerdem seien g, h :]α, β[ R stetig differenzierbr mit g(t) h(t) b für lle t ]α, β[. Dnn gilt: d dt h(t) g(t) f(x, t)dx = h(t) g(t) c f(x, t) dx + f(h(t), t) d d h(t) f(g(t), t) t dt dt g(t) 10