Numerische Mathematik für das Lehramt

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1 Numerische Mthemtik für ds Lehrmt Skriptum zur Vorlesung im SS 2009 PD Dr. Mrkus Neher Universität Krlsruhe (TH) Forschungsuniversität gegründet 825 Institut für Angewndte und Numerische Mthemtik 29. Juni 2009 c by Mrkus Neher. Dieses Skriptum ist urheberrechtlich geschützt. Weiterverbreitung und Einstz in nderen Lehrvernstltungen (uch von Teilen des Skriptums) ist ohne vorherige schriftliche Genehmigung des Autors untersgt. Insbesondere ist es nicht gestttet, ds Skriptum oder Teile dvon in elektronischer Form im Internet zugänglich zu mchen.

2 2 Mrkus Neher, Universität Krlsruhe (TH) 29. Juni 2009

3 Inhltsverzeichnis Einführung 7. Symbolisches und numerisches Rechnen Gleitpunktzhlen Gleitpunktrithmetik Algorithmen Mple Schleifen in Mple Auswhlnweisungen in Mple Prozeduren in Mple Lndu-Symbole Ziele dieser Vorlesung Itertionsverfhren Fixpunktitertion Lokle Fixpunktsätze Relxtion Ds Newton-Verfhren Verwndte Itertionsverfhren Vereinfchtes Newton-Verfhren Sekntenverfhren Ds Bisektionsverfhren Vektor- und Mtrixnormen Itertionsverfhren im R n Linere Gleichungssysteme Guß-Elimintion ohne Zeilentusch: LU-Zerlegung Elimintionsmtrizen LU-Zerlegung Aufwnd des Guß-Algorithmus Guß-Elimintion mit Zeilentusch: PALU-Zerlegung

4 4 Mrkus Neher, Universität Krlsruhe (TH) 29. Juni Permuttionsmtrizen Pivotisierung Fehlerbschätzungen für linere Gleichungssysteme Itertionsverfhren für linere Gleichungssysteme Fixpunktitertion für linere Gleichungssysteme Gesmt- und Einzelschrittverfhren Die Methode des steilsten Abstiegs Ds cg-verfhren Vorkonditionierung beim cg-verfhren Die QR-Zerlegung einer Mtrix Orthogonle Mtrizen Grm-Schmidt-Orthogonlisierung Reduzierte QR-Zerlegung Householder-Mtrizen QR-Zerlegung durch Householder-Trnsformtionen Über- und unterbestimmte linere Gleichungssysteme Überbestimmte linere Gleichungssysteme Unterbestimmte linere Gleichungssysteme Ds Eigenwertproblem für Mtrizen (entfällt 2009) 89 5 Approximtion und Interpoltion 9 5. Approximtion mit Tylor-Polynomen Approximtionsufgben zum Restglied Anwendung: Berechnung trnszendenter Funktionen Polynom-Interpoltion Einführung Polynom-Interpoltion Interpoltionsfehler der Polynom-Interpoltion Polynom-Interpoltion mit Tschebyscheff-Stützstellen Hermite-Interpoltion Spline-Interpoltion Stückweise linere Interpoltion Kubische Spline-Interpoltion Minimierungseigenschft Interpoltionsfehler der kubischen Spline-Interpoltion Anwendung: Spline-Interpoltion geschlossener Kurven Trigonometrische Interpoltion Fourier-Reihen

5 Numerische Mthemtik für ds Lehrmt SS Reelle diskrete Fourier-Trnsformtion Approximtion nch der Methode der kleinsten Qudrte Nichtlinere Ausgleichsrechnung Newton-Verfhren Guß-Newton-Verfhren Numerische Integrtion Newton-Cotes-Formeln Summierte Qudrturformeln Extrpoltion mit dem Romberg-Verfhren Guß-Qudrtur Orthogonle Polynome Stützstellen und Gewichte bei der Guß-Qudrtur Numerische Behndlung gewöhnlicher Differentilgleichungen (entfällt 2009) 4 8 Gleitpunktrechnung, Kondition, Stbilität 43

6 Kpitel 6 Numerische Integrtion Mnche Anwendungsprobleme lssen sich zurückführen uf die Berechnung eines bestimmten Integrls Dbei können u.. die folgenden Schwierigkeiten uftreten: f(x) dx. (6.) Die Stmmfunktion von f knn nicht in geschlossener Form ngegeben werden. Wichtige Anwendungsbeispiele sind die Berechnung der Guß schen Fehlerfunktion erf(x) := 2 π π oder die Auswertung elliptischer Integrle wie z.b. E(ϕ, k) := ϕ 0 0 e x2 dx k 2 sin 2 x dx. Es ist keine Stmmfunktion von f beknnt oder die Auswertung der Stmmfunktion von f ist ufwändig. Es liegt kein Funktionsusdruck von f vor. Stttdessen sind nur Näherungswerte für f n einigen Stützstellen gegeben. Mit dieser Informtion soll ds Integrl (6.) dnn pproximiert werden. In diesem Kpitel werden verschiedene Methoden diskutiert, mit denen sich Näherungswerte für ds bestimmte Integrl (6.) berechnen lssen. 6. Newton-Cotes-Formeln Den im Folgenden entwickelten Newton-Cotes-Formeln liegt die folgende Idee zugrunde: Die Funktion f wird durch ein Polynom p n interpoliert, welches nstelle von f integriert wird: f(x)dx 25 p n (x)dx.

7 26 Mrkus Neher, Universität Krlsruhe (TH) 29. Juni 2009 Ist p n ds Interpoltionspolynom zu den n + Stützstellen x 0, x,...,x n in [,b], folgt mit der Drstellung von Lngrnge Setzt mn p n (x)dx = f(x j )L j (x) dx = j=0 w j := b f(x j ) j=0 L j (x) dx, L j (x) dx. erhält mn einen Näherungswert des bestimmten Integrls (6.) ls gewichtete Summe von Funktionswerten: f(x)dx (b ) w j f(x j ). (6.2) Der linere Opertor I n : C[,b] R I n (f) := (b ) j=0 w j f(x j ) wird ls Qudrturformel bezeichnet. Die Gewichte w j hängen dbei weder von f noch von der Lge (in R) oder Länge des Intervlls [,b] b, sondern nur von der Verteilung der Stützstellen x i, i = 0,,...,n, in [,b]. Die Gewichte müssen für jeden Stz von Stützstellen nur einml berechnet werden und können dnch in Tbellen gespeichert werden. Die Newton-Cotes-Formeln erhält mn, wenn mn in (6.2) gleichbständige Stützstellen verwendet. Dbei werden noch offene und bgeschlossene Formeln unterschieden. Bei den bgeschlossenen Newton-Cotes-Formeln sind die Rndpunkte des Integrtionsintervlls Stützstellen, bei den offenen Formeln nicht. j=0 Beispiel 6. (Konstruktion bgeschlossener Newton-Cotes-Formeln für n = und n = 2) Für n = sind nur die Rndpunkte und b des Integrtionsintervlls Stützstellen. Mit L 0 (x) = x b b, L (x) = x b, folgt w 0 = x b b b = 2, w = x b b = 2. Die erhltene Näherungsformel f(x)dx b ( ) f() + f(b) 2 heißt Trpezregel, d sie die Fläche des Trpezes berechnet, ds von den Rndwerten von f ufgespnnt wird. Abb. 6.: Trpezregel. Für n = 2 kommt zu den Rndpunkten noch der Mittelpunkt des Integrtionsbereichs hinzu. Setzt mn h := (b )/2, erhält mn us der Integrtion der zu den Stützstellen gehörenden b

8 Numerische Mthemtik für ds Lehrmt SS Lgrnge schen Bsispolynome L j die Gewichte w 0 = +2h ( )( ) x ( + h) x ( + 2h) dx = 2h ( h) ( 2h) 4h 3 w = +2h (x ) ( x ( + 2h) ) dx = 2h h ( h) 2h 3 w 2 = +2h (x ) ( x ( + h) ) dx = 2h 2h h 4h 3 2h 0 2h 0 2h 0 (x 2 3hx + 2h 2 )dx = 6, (x 2 2hx) dx = 4 6, (x 2 hx) dx = 6. Die Näherungsformel f(x) dx b ( f() + 4f ( + b) ) + f(b) 6 2 heißt Simpson-Regel. Sie entspricht der Fläche zwischen der x-achse und der Prbel, die durch die Stützwerte definiert wird. Abb. 6.2: Simpson-Regel. b Für größere Werte von n werden die Gewichte nlog berechnet. So erhält mn die folgende Tbelle der bgeschlossenenen Newton-Cotes-Formeln: n Gewichte Fehler Nme , 2 6, 4 6, 6 8, 3 8, 3 8, , 32 90, 2 90, 32 90, (b )3 f Trpezregel 2880 (b )5 f (4) Simpson-Regel 6480 (b )5 f (4) 3/8-Regel (Pulcherim) (b )7 f (6) Milne-Regel Tbelle 6.: Newton-Cotes-Formeln. Einige Eigenschften der Newton-Cotes-Formeln lssen sich unmittelbr us beknnten Eigenschften der Polynom-Interpoltion bleiten. Stz 6.2 Die Summe der Gewichte jeder Newton-Cotes-Formel ist. Beweis: D die Summe der Lgrnge schen Bsispolynome für beliebiges n N die konstnte Funktion y = ergibt (Übungsufgbe), folgt j=0 w j = b j=0 L j (x) dx = b dx =.

9 28 Mrkus Neher, Universität Krlsruhe (TH) 29. Juni 2009 Stz 6.3 (Fehlerbschätzung für die Newton-Cotes-Formeln) Es sei n N. Die Funktion f sei uf dem Intervll [,b] n + -ml stetig differenzierbr. Dnn gilt für den Qudrturfehler E n (f) := f(x) dx (b ) w j f(x j ) j=0 die Abschätzung E n (f) f (n+) (n + )! n (x x i ) dx. (6.3) i=0 Beweis: Aufgrund der Definition der Gewichte w j ist E n (f) = ( f(x) pn (x) ) dx, (6.4) wobei p n ds Interpoltionspolynom von f zu den Stützstellen der Newton-Cotes-Formel bezeichnet. Die Behuptung folgt durch Einsetzen des Approximtionsfehlers der Polynom- Interpoltion (siehe Stz 3.7) in (6.4). Ds Integrl in (6.3) knn leicht berechnet werden. Für die Trpezregel (n = ) gilt beispielsweise ( ) x 3 (x )(x b) dx = ( + b)x bx b = x= 6 (b )3, worus E (f) 2 (b )3 f (6.5) folgt. Für n > knn mn die Fehlerbschätzung (6.3) durch elementre, ber lngwierige Rechnung verbessern. Die ddurch erzielbren Fehlerterme sind in Tbelle (6.) ngegeben. Stz 6.4 (Genuigkeitsgrd der Newton-Cotes-Formeln). Für n N integrieren die Newton-Cotes-Formeln lle Polynome bis zum Grd n exkt. 2. Für gerdes n N integrieren die Newton-Cotes-Formeln lle Polynome bis zum Grd n + exkt. Beweis: von. Ist f ein Polynom vom Höchstgrd n, gilt f = p n und somit E n (f) = 0. von 2. Elementr, ber lngwierig. Siehe z.b. Plto: Numerische Mthemtik kompkt. Vieweg, 3. Aufl Bemerkung 6.5 Der mximle Polynomgrd, bis zu dem eine Qudrturformel exkt integriert, heißt Genuigkeitsgrd der Qudrturformel. Mn knn zeigen, dss die Aussgen in Stz 6.4 optiml sind. Polynome höheren Grdes ls ngegeben werden durch die Newton-Cotes- Formeln im Allgemeinen nicht mehr exkt integriert.

10 Numerische Mthemtik für ds Lehrmt SS Bei der bisherigen Diskussion der Newton-Cotes-Formeln hben wir einen Umstnd völlig usgeklmmert: Die Interpoltionspolynome (insbesondere diejenigen zu gleichbständigen Stützstellen) konvergieren häufig nicht gegen f (siehe Beispiele in Kpitel 3). Diese Divergenz überträgt sich uf die Newton-Cotes-Formeln, die dnn für große Werte von n keine bruchbren Näherungswerte für die gesuchten Integrle mehr liefern. Für n = 8 und n 0 treten in den Newton-Cotes-Formeln negtive Gewichte uf. Dnn gilt zwr nch Stz 6.2 immer noch w j =, ber j=0 w j >. Der Stz von Kusmin, den wir hier ohne Beweis ngeben, besgt sogr, dss lim j=0 n j=0 w j gilt. Die negtiven Gewichte führen bei der numerischen Auswertung von (6.2) zu Auslöschung. Die Newton-Cotes-Formeln sind dher für n 0 zusätzlich zur oben diskutierten Problemtik uch numerisch unbruchbr. 6.2 Summierte Qudrturformeln Zur Umgehung der soeben ngesprochenen Divergenzeigenschft der Newton-Cotes- Formeln höherer Ordnung unterteilt mn ds Intervll [,b] in Teilintervlle und benutzt uf jedem Teilintervll eine Newton-Cotes-Formel festen Grdes. Im einfchsten Fll ist dies die summierte Trpezregel. Beispiel 6.6 (Summierte Trpezregel) Für n = liefert die Unterteilung von [,b] mit m+ gleichbständigen Stützstellen x i = +ih, i = 0,,...,m, mit Schrittweite h = (b )/m die summierte Trpezregel f(x) dx = m i=0 xi+ x i f(x) dx m i=0 h( f(xi ) + f(x i+ ) ) 2 = h 2( f(x0 ) + 2f(x ) + + 2f(x m ) + f(x m ) ) =: T f (h). Die zugehörige Fehlerbschätzung folgt us der Fehlerbschätzung der Trpezregel (6.5), indem mn diese uf jedem Teilintervll nwendet. Für eine zweiml stetig differenzierbre Funktion erhält mn Abb. 6.3: Summierte Trpezregel. m f(x)dx T f (h) 2 h3 f = m 2 h3 f (b ) = h 2 f 2. i=0 Der Qudrturfehler der summierten Trpezregel strebt mit dem Qudrt der Schrittweite h gegen Null. b

11 30 Mrkus Neher, Universität Krlsruhe (TH) 29. Juni 2009 Ist f hinreichend oft differenzierbr, lässt sich für die summierte Trpezregel eine symptotische Entwicklung nch Potenzen von h 2 ngeben. Stz 6.7 Es sei f C 2r+2 [,b], r 0, sowie h = (b )/m. Dnn gilt für die summierte Trpezregel T f (h) = h ( m ) f(x 0 ) + 2 f(x i ) + f(x m ) 2 die folgende Drstellung: T f (h) = f(x) dx + i= r c j h 2j + R r (h) (6.6) mit von h unbhängigen Konstnten c j, j =,2,...,r, und dem Fehlerterm R r (h), für welchen Zhlen h 0, C > 0 existieren, so dss j= gilt. R r (h) Ch 2r+2 für 0 h h 0 Beweis: Siehe z.b. Plto: Numerische Mthemtik kompkt. Vieweg, 3. Aufl Extrpoltion mit dem Romberg-Verfhren Die symptotische Entwicklung (6.6) knn mn benutzen, um us verschiedenen summierten Trpeznäherungen für ds selbe Integrl bessere Näherungswerte zu berechnen, ls sie die einzelnen Trpezwerte selbst liefern. Dies geschieht durch Bildung gewichteter Mittelwerte der Trpeznäherungen. Der Vorteil dieser Vorgehensweise liegt im erheblich reduzierten Aufwnd, der zur Erzielung einer gewünschten Genuigkeit notwendig ist. Im Verhältnis zur ufwändigen Berechnung eines Funktionswerts von f ist die Berechnung der gewichteten Mittelwerte in Bezug uf die benötigte Gesmtrechenzeit in der Regel vernchlässigbr. Bei der Berechnung summierter Trpeznäherungen ist es offenbr geschickt, die Anzhl der verwendeten Teilintervlle itertiv zu verdoppeln, dmit mn bereits berechnete Funktionswerte bei der verfeinerten Unterteilung wieder verwenden knn. Beim Romberg-Verfhren strtet mn mit der Trpeznäherung für ds Ausgngsintervll [,b], lso mit 2 0 Teilintervllen der Länge h 0 = (b )/2 0. Im n-ten Hlbierungsschritt werden 2 n Teilintervlle der Länge h n = (b )/2 n verwendet. Die zugehörigen summierten Trpeznäherungen werden im Folgenden mit T n bezeichnet. Beispiel 6.8 Berechnung von 2 mit summierten Trpeznäherungen. dx x = ln2 =

12 Numerische Mthemtik für ds Lehrmt SS Mit den Schrittweiten h 0 =, h n = h 0 2 n = 2 n folgt: T 0 = h 0 ( f() 2 + f(2) ) = = 3 4 = 0.75, ( f() T = h + f ( ) 3) f(2) = ( f() 2 h 0 + f(2) ) h 0f ( 3) = ( ) , 3 T =:M 0 ( f() T 2 = h 2 + f ( ) 5) (3) (7) f(2) + f + f = ( f() 2 h + f ( ) 3) f(2) + + ( h f ( 5) (7) ) + f = ( ) , 35 T =:M 2 ( M 2 = h 2 f ( 9 8 ) + f ( 8 ) + f (3 8 ) (5) ) + f , 8 T 3 = 2 (T 2 + M 2 ) Die Hilfsvriblen M n enthlten die summierten Funktionswerte der im n + -ten Hlbierungsschritt neu hinzukommenden Stützstellen. Für dieses Beispiel gilt wegen b =, h 3 = 8 und die Fehlerbschätzung worus die Inklusion folgt. 2 f = 2 = 2 x 3 dx x T = 384, ln2 [T 3 384, T ] = [0.6957, ] Will mn den Wert von ln2 mit dieser Methode uf mindestens fünf Dezimlstellen genu bestimmen, ist ein n N gesucht, so dss 2 dx x T n (6.7) gilt. Die Fehlerbschätzung liefert n 2 4 n 2! ln(00000) ln3 ln4 =

13 32 Mrkus Neher, Universität Krlsruhe (TH) 29. Juni 2009 Für n = 8 ist (6.7) lso erfüllt, d.h. T 8 ist eine uf (mindestens) fünf Dezimlstellen genue Näherung von ln2. Mn knn nchrechnen, dss (6.7) bereits von T 7, nicht jedoch von T 6 erfüllt wird. Die Berechnung von T 8 erfordert = 257 Funktionswerte von f, die Berechnung von T 7 immerhin noch = 29 Funktionswerte von f. Die berechneten Trpeznäherungen T 0, T, T 2 und T 3 wollen wir nun zur Extrpoltion nutzen. Diese beruht uf der symptotischen Fehlerentwicklung (6.6). Setzt mn in (6.6) neben h uch 2h ein, erhält mn T f (h) = T f (2h) = f(x) dx + c h 2 + c 2 h c r h 2r + R r (h), (6.8) f(x) dx + 4c h 2 + 6c 2 h r c r h 2r + R r (2h). (6.9) Durch Multipliktion von (6.8) mit 4 und Subtrktion von (6.9) ergibt sich: 4T f (h) T f (2h) = 3 f(x) dx 2c 2 h 4 60c 3 h 6 (4 r 4)c r h 2r + 4R r (h) R r (2h). Berechnet mn lso (für beliebiges h) us den summierten Trpezwerten T f (h) und T f (2h) den Wert T f (h) := 4 T f(h) T f (2h), 3 dnn ist T f (h) ebenflls eine Näherung des gesuchten Integrls. T f (h) genügt der verbesserten symptotischen Fehlerentwicklung T f (h) = mit von h unbhängigen Konstnten c j, j = 2,3,...,r. f(x) dx + c 2 h c r h 2r + R r (h) (6.0) Eine gewichtete Mittelwertbildung knn nlog uf die Werte T f (h) und T f (2h) ngewndt werden. Für T f (h) := 6 T f (h) T f (2h) 5 gilt die symptotische Fehlerentwicklung T f (h) = f(x)dx + c 3 h c r h 2r + R r (h), (6.) sofern f hinreichend oft differenzierbr ist. Mn bechte, dss der Qudrturfehler in (6.0) mit h 4, in (6.) sogr mit h 6 gegen Null strebt. Ds Romberg-Verfhren zur Konvergenzbeschleunigung bei der numerischen Integrtion mit der Trpezmethode setzt die beschriebene Methode fort. Mn setzt für n = 0,,... h n := b 2 n, T n,0 := T f (h n ). Die Werte T n,0 bilden die erste Splte des Romberg-Schems. Die weiteren Splten werden durch die Rekursionsformel T n,k = 4k T n,k T n,k 4 k, n =,2,..., k =,2,...,n berechnet. Dbei werden keine zusätzlichen Funktionswerte von f benötigt. Ist f hinreichend oft differenzierbr, dnn konvergiert jede Splte des Romberg-Schems mit zwei Potenzen von h schneller gegen ds gesuchte Integrl ls die vorngehende Splte.

14 Numerische Mthemtik für ds Lehrmt SS Splte. Splte 2. Splte 3. Splte T 0 = T 0,0 T = T,0-4 /3: T, = 4 T,0 T 0,0 4 T 2 = T 2,0-4 /3: T 2, = 4 T 2,0 T,0 4 T 3 = T 3,0-4 /3: T 3, = 4 T 3,0 T 2,0 4-6 /5: T 2,2 = 42 T 2, T, /5: T 3,2 = 42 T 3, T 2, 4 2 Tbelle 6.2: Romberg-Schem /63: T 3,3 = 43 T 3,2 T 2,2 4 3 Beispiel 6.9 Berechnung von 2 dx x mit dem Romberg-Schem. 0. Splte. Splte 2. Splte 3. Splte T 0,0 = T,0 = /3: T, = T 2,0 = /3: T 2, = /5: T 2,2 = T 3,0 = /3: T 3, = /5: T 3,2 = /63: T 3,3 = Tbelle 6.3: Berechnung eines Integrls mit dem Romberg-Schem. T 3,3 stimmt (ebenso wie T 8,0 ) uf fünf Dezimlstellen mit dem exkten Wert des Integrls überein. Während die Berechnung von T 8,0 ber 257 Funktionswerte von f erfordert, werden für T 3,3 nur = 9 Funktionswerte von f benötigt. 6.4 Guß-Qudrtur Bereits bei der Polynom-Interpoltion htten sich äquidistnte Stützstellen häufig ls nchteilig erwiesen. Dieser Nchteil htte sich uf die Newton-Cotes-Formeln zur numerischen Integrtion mit äquidistnten Stützstellen übertrgen. In diesem Abschnitt wird nun ein uf Guß zurückgehender Anstz entwickelt, bei dem die Stützstellen nicht äquidistnt gewählt, sondern mit den Gewichten bestimmt werden. Zu einem gegebenen Intervll [,b] sind im Folgenden für ein n N Stützstellen x, x 2,...,x n [,b] und reelle Gewichte w, w 2,...,w n gesucht, so dss die Qudrturformel f(x) dx = w i f(x i ) (6.2) einen möglichst hohen Genuigkeitsgrd besitzt. Ohne zusätzliche Überlegungen zu benötigen, können wir sogr eine etws llgemeinere Aufgbenstellung betrchten, bei der ds uszuwertende Integrl noch eine Gewichtsfunktion enthält. i=

15 34 Mrkus Neher, Universität Krlsruhe (TH) 29. Juni 2009 Definition 6.0 Eine positive, uf (,b) stückweise stetige und über [,b] integrierbre Funktion heißt Gewichtsfunktion. Wichtige Beispiele für Gewichtsfunktionen sind die trivile Gewichtsfunktion oder die unbeschränkte Gewichtsfunktion (x) = (x )(b x). Anstelle von (6.2) betrchten wir lso f(x) (x) dx = w i f(x i ) (6.3) i= mit einer vorgegebenen Gewichtsfunktion. (6.2) ensteht us (6.3) für. Beispiel 6. Es sei [,b] = [0,],, n = 2. Wir bestimmen zwei Stützstellen x, x 2 [0,] sowie zwei Gewichte w, w 2, so dss Polynome bis zum Höchstgrd 3 exkt integriert. 0 p(x)dx = w p(x ) + w 2 p(x 2 ) (6.4) Wegen der Linerität von (6.4) bezüglich p genügt es, (6.4) für die Monome, x, x 2, x 3 zu erfüllen. Dieser Anstz führt uf ds folgende nichtlinere Gleichungssystem: p(x) = : w + w 2 = (6.5) p(x) = x : w x + w 2 x 2 = 2 p(x) = x 2 : w x 2 + w 2 x 2 2 = 3 p(x) = x 3 : w x 3 + w 2 x 3 2 = 4 (6.6) (6.7) (6.8) Dieses Gleichungssystem lässt sich explizit lösen. Wir setzen q(x) := (x x )(x x 2 ) = x 2 (x + x 2 )x + x x 2 =: x 2 + rx + s und bestimmen zunächst r und s. Die Linerkombintion s (6.5) + r (6.6) + (6.7) ergibt s + 2 r + 3 = w (s + rx + x 2 }{{ ) +w } 2 (s + rx 2 + x 2 2) = 0. (6.9) =q(x )=0 =q(x 2 )=0 Ebenso folgt us s (6.6) + r (6.7) + (6.8) 2 s + 3 r + 4 = w x (s + rx + x 2 }{{ ) +w } 2 x 2 (s + rx 2 + x 2 2) = 0. (6.20) =0 =0 (6.9) und (6.20) bilden ein lineres Gleichungssystem für r und s mit der eindeutigen Lösung r =, s = 6. Aus q(x) = x2 x + 6 folgen die Stützstellen x, x 2 = 2 ± 3 6.

16 Numerische Mthemtik für ds Lehrmt SS Setzt mn diese Werte in (6.5) und (6.6) ein, erhält mn ein eindeutig lösbres lineres Gleichungssystem für die Gewichte w und w 2. Die Lösung ist w = w 2 = 2. Die reichlich experimentelle Lösungsmethode dieses Beispiels soll nun durch einen systemtischen Algorithmus ersetzt werden. Dzu führen wir zunächst Systeme von Orthogonlpolynomen ein Orthogonle Polynome Definition 6.2 Es bezeichne Π den Vektorrum der reellen Polynome sowie Π n den Vektorrum der reellen Polynome vom Höchstgrd n. sei eine gegebene Gewichtsfunktion. Dnn wird durch < p,q > := ein Sklrprodukt uf Π bzw. Π n eingeführt. p(x)q(x) (x) dx p := < p,p > ist die induzierte Norm von p. Zwei Polynome p und q heißen orthogonl, wenn < p,q >= 0 gilt. Ds orthogonle Komplement von Π n (bezüglich Π) ist gegeben durch Π n ist wie Π n ein linerer Unterrum von Π. Π n := {q Π : < p,q >= 0 für lle p Π n }. Für jede Gewichtsfunktion knn mn eine Folge von Orthogonlpolynomen konstruieren (die dnn eine Orthogonlbsis von Π bilden), wenn mn die Grm-Schmidt-Orthogonlisierung uf die Monome, x, x 2,... nwendet: p 0 :=, n p n := x n j=0 < x n, p j > p j 2 p j, n =,2,... (6.2) Nch Konstruktion ist p n ein Polynom vom Grd n mit führendem Koeffizienten. Außerdem gilt p n Π n. Die beiden letztgennnten Eigenschften chrkterisieren p n eindeutig. Zur einfcheren Berechnung der p n knn mn den folgenden Stz nwenden: Stz 6.3 Die Orthogonlpolynome us (6.2) genügen der Drei-Term-Rekursion p 0 =, p = x β 0, p n+ = (x β n )p n γ 2 np n, n =,2,... (6.22) mit β n = < xp n, p n > p n 2, n = 0,,..., γ n = p n, n =,2,... p n

17 36 Mrkus Neher, Universität Krlsruhe (TH) 29. Juni 2009 Beweis: Wir zeigen die Behuptung mit vollständiger Induktion. Für p 0 ist nichts zu zeigen, für p stimmt die ngegebene Drstellung mit (6.2) überein. Dies liefert den Induktionsnfng. Als Induktionsvorussetzung dürfen wir nun nnehmen, dss ein N existiert, für welches die durch (6.22) definierten Polynome für n = 0,,...,N mit den Polynomen us (6.2) übereinstimmen. Im Induktionsschluss zeigen wir, dss ds Polynom q := (x β N )p N γ 2 Np N mit dem Polynom p N+ us (6.2) übereinstimmt. Nch Konstruktion ist q ein Polynom vom Grd N + mit führendem Koeffizienten. D es nur ein solches Polynom in Π N gibt (nämlich p N+), ist die Behuptung gezeigt, wenn wir nchgewiesen hben, dss q zu llen Polynomen p n, n = 0,,...,N, orthogonl ist. Sei zunächst r Π N 2 beliebig. Dnn gilt: d.h. es ist q Π N 2. Für n = N gilt: < q,r >=< xp N, r > β N < p N, r > =0 < q,p N > = < xp N, p N > β N < p N, p N > =0 d.h. es ist q Π N. Für n = N gilt: γ 2 N < p N, r > =0 = < p N, xr > = 0, =0 < p N, p N > < p N, p N > < p N, p N > = < p N, xp N > < p N, p N >=< p N, xp N p }{{ N >= 0, } Π N < q,p N > = < xp N, p N > β N < p N, p N > γ 2 N < p N, p N > =0 = β N p N 2 β N p N 2 = 0, womit schließlich uch q Π N gezeigt ist. Stz 6.4 Die Nullstellen x, x 2,...,x n von p n sind einfch und liegen lle im offenen Intervll (,b). Beweis: Es seien < x < x 2 < < x m < b (0 m n) diejenigen Nullstellen von p n mit ungerder Vielfchheit. Dnn ist m q m (x) := (x x i ) ein Polynom vom Grd m und ds Polynom i= p n (x) q m (x) besitzt uf [,b] keine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel. Auf gnz [,b] gilt lso entweder p n q m 0 oder p n q m 0. D p n q m nur n endlich vielen Stellen verschwindet, folgt < p n, q m >= p n (x)q m (x) (x)dx 0. D ber p n zu llen Polynomen vom Höchstgrd n orthogonl ist, muss q m (mindestens) den Grd n besitzen. Drus folgt die Behuptung.

18 Numerische Mthemtik für ds Lehrmt SS Stützstellen und Gewichte bei der Guß-Qudrtur Die Berechnung der Stützstellen und Gewichte bei der Guß-Qudrtur beruht uf den im letzten Abschnitt eingeführten Orthogonlpolynomen. Stz 6.5 Es sei [,b] ein reelles Intervll und eine Gewichtsfunktion uf [,b]. Für n N seien x, x 2,...,x n [,b] prweise verschiedene Zhlen sowie w, w 2,...,w n R beliebige Gewichte. Für j =,2,...,n seien L j (x) := n i= i j (x x i ) (x j x i ) die zu x, x 2,...,x n gehörenden Lgrnge schen Bsispolynome. Dnn gilt p(x) (x)dx = w j p(x j ) für lle p Π 2n (6.23) j= genu dnn, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind: (i) x, x 2,...,x n sind die Nullstellen des n-ten Orthogonlpolynoms us (6.2). (ii) Die Gewichte luten w j =< L j, > für j =,2,...,n. Beweis: (i) ist notwendig: Es gelte (6.23) und es sei q(x) := n (x x i ). i= D q in Π n liegt, gilt für m = 0,,...,n wegen (6.23) < q,x m >=< qx m, >= j= w j x m j q(x j ) = 0, =0 d.h. es gilt q Π n. Nch Konstruktion besitzt q den führenden Koeffizienten, lso muss q = p n gelten. (ii) ist notwendig: Es gelte (6.23). Dnn folgt für k =,2,...,n: < L k, >= j= w j L k (x j ) =δ jk = w k. (i) und (ii) sind hinreichend: Es sei p Π 2n ein beliebiges Polynom. Mit Hilfe von Polynomdivision lässt sich p drstellen ls p = q p n + r mit Polynomen q, r Π n. Sind (i) und (ii) erfüllt, folgt wegen p n (x i ) = 0 p(x i ) = r(x i ) für i =,2,...,n.

19 38 Mrkus Neher, Universität Krlsruhe (TH) 29. Juni 2009 Also gilt und somit r(x) = r(x j )L j (x) = j= p(x j )L j (x) j= < p, >=< qp n, > + < r, >= < q,p n > + < r, >= =0 p(x j ) < L j, >. j= Bemerkung 6.6. Die in Stz 6.5 formulierte Qudrturformel heißt Guß-Qudrtur. 2. Wegen L 2 k Π 2n 2 folgt us (6.23): < L k, L k > >0 =< L 2 k, >= j= d.h. bei der Guß-Qudrtur sind lle Gewichte positiv. w j L 2 k (x j) =δ jk = w k, 3. Stz 6.5 besgt, dss der Genuigkeitsgrd der Guß-Qudrtur (6.23) mindestens 2n ist. Dss die Guß-Qudrtur keinen höheren Genuigkeitsgrd besitzt, zeigt ds Beispiel n p(x) = (x x j ) 2. j= p ist ein Polynom vom Grd 2n, es ist p(x) 0 und p(x) (x) dx > 0, ber p(x j) = 0 für lle j und somit uch w j p(x j ) = 0. j= 4. Zur Auswertung der Summe in (6.23) werden n Funktionswerte von f benötigt. Eine us n Funktionswerten von f gebildete Newton-Cotes-Formel benötigt den gleichen Aufwnd zur Auswertung, besitzt ber höchstens den Genuigkeitsgrd n. Beispiel 6.7 Es sei [,b] = [0,],, n = 2. Wir berechnen die Nullstellen und Gewichte der zugehörigen Guß-Qudrtur mit Stz 6.3. Aus p 0 = folgt zunächst Hierus werden β und γ 2 berechnet: β 0 = < x, > <, > = 2, p (x) = x 2. β = < xp, p > < p, p > = γ 2 = < p, p > < p 0, p 0 > = 2. 0 (x3 x2 + 4 x) dx 0 (x2 x + 4 ) dx = = 2,

20 Numerische Mthemtik für ds Lehrmt SS Die Nullstellen von sind worus mn die Gewichte p 2 (x) = (x 2 )p (x) 2 p 0(x) = (x 2 )2 2 = x2 x + 6 w = 0 x, x 2 = 2 3 6, x x 2 dx = x x 2 2, w x x 2 = dx = 0 x 2 x 2 erhält. Der Genuigkeitsgrd dieser Qudrturformel ist 2n = 3 (vgl. Beispiel 6.). Bemerkung 6.8. Eine prktische Schwierigkeit bei der Guß-Qudrtur besteht in der Berechnung der Nullstellen der Orthogonlpolynome. Für große Werte von n ist dies numerisch ufwändig. Allerdings müssen die Gewichte für jede Gewichtsfunktion nur einml berechnet werden. Anschließend können die Werte in Tbellen gespeichert werden. 2. Wie bei den Newton-Cotes-Formeln knn mn die Guß-Qudrtur uch summiert nwenden. Dies ist für große Integrtionsbereiche eventuell vorteilhfter ls die Berechnung einer Guß-Qudrturformel für einen sehr großen Wert von n.

21 Index posteriori-abschätzung, 29, 4 priori-abschätzung, 29, 4 Abstiegsverfhren, 67 Algorithmus, determinierter, 2 deterministischer, 2 Anstzfunktion bei der Methode der kleinsten Qudrte, 8 Approximtion, 98 Argumentreduktion, 96 Ausgleichsgerde, 9 Ausgleichsproblem, 85 Ausgleichsrechnung nichtlinere, 23 Auswhlnweisung, 6 Bnch scher Fixpunktstz im R n, 4 in R, 29 Bisektionsverfhren, 37 cg-verfhren, 70 Konvergenzverhlten, 73 digonldominte Mtrix, 52 Einzelschrittverfhren, 63 Elimintionsmtrix, 48 Energienorm, 66 Extrpoltion, 98 Fixpunkt, 27 bstoßender, 3 nziehender, 3 Fixpunktitertion, 27 im R n, 42 Fixpunktstz von Bnch im R n, 4 in R, 29 Fourier-Reihe, 5 Fourier-Trnsformtion diskrete, 5 Guß-Mrkov Stz von, 8 Guß-Newton-Verfhren, 23 Guß-Seidel-Verfhren, 63 Gesmtschrittverfhren, 62 Gleitpunktsystem, 9 Gleitpunktzhl, 9 normlisierte, 9 Grm-Schmidt-Orthogonlisierung, 77 Hermite-Interpoltion, 07 Householder-Mtrix, 79 Householder-Trnsformtion, 79 Interpoltion, 98 Polynom-Interpoltion, 98 Spline-Interpoltion, 07 stückweise linere, 08 trigonometrische, 5 Interpoltionsfehler bei der Polynom-Interpoltion, 00, 03 bei der Spline-Interpoltion, 3 Interpoltionspolynom Drstellung von Lgrnge, 98 Drstellung von Newton, 99 itertionsfähige Gestlt, 26 Itertionsverfhren, 27 Jcobi-Verfhren, 62 kleinste Qudrte Methode der, 85, 7 Kondition einer Mtrix, 57 kontrhierende Abbildung, 28 im R n, 4 Kontrktion, 28 Kontrktionskonstnte, 28 Konvergenzordnung eines Itertionsverfhrens, 32 Krylov-Rum, 7 Lndu-Symbol, 22 LGS überbestimmtes, 85 44

22 Numerische Mthemtik für ds Lehrmt SS unterbestimmtes, 87 LU-Zerlegung, 49 Aufwnd der, 52 Mntisse, 9 Mple, 5 Prozedur, 9 Mtrix orthogonle, 76 positiv definite, 66 Methode der kleinsten Qudrte, 85, 7 Methode des steilsten Abstiegs, 68 Konvergenzverhlten, 69 Modellbildung, 7 Modellfehler, 7 Newton-Verfhren für reellwertige Funktionen, 34 qudrtische Konvergenzordnung, 35 vereinfchtes, 36 im R n, 44 Norm, 38 Mtrixnorm, 38 Frobenius-Norm, 38 induzierte, 39 Spltensummennorm, 40 Spektrlnorm, 40 submultipliktive, 39 verträgliche, 39 Zeilensummennorm, 40 Vektornorm, 38 Normlgleichungssystem, 85 PALU-Zerlegung, 55 Permuttionsmtrix, 53 elementre, 53 Pivotelement, 56 Polynom-Interpoltion, 98 positiv definite Mtrix, 66 Prozedur, 8 globle Vrible, 20 lokle Vrible, 20 Prmeterliste, 9 Restglied eines Tylor-Polynoms, 94 Rundungsfehler, 0 Stz von Guß-Mrkov, 8 Tylor, 93 Schleife, 5 Sekntenverfhren, 36 Selbstbbildung, 27 Spline kubischer, 08 Minimierungseigenschft, 2 ntürlicher, 09 not--knot Spline, 09 periodischer, 09 Rndbedingungen, 09 zur Prmeterdrstellung einer Kurve, 4 Spline-Interpoltion, 07 Splitting-Verfhren, 62 Stndrdfunktion, 9 Steigung, 99 n-ter Ordnung, 99 verllgemeinerte, 0 Steigungsschem, 0 Tylor Stz von, 93 Tylor-Polynom, 93 Tylor-Reihe, 94 Tschebyscheff-Polynom, 05 Tschebyscheff-Stützstellen, 06 Turing-Mschine, Vorkonditionierung, 74 QR-Zerlegung, 76, 79 reduzierte, 79 Rechnen numerisches, 8 symbolisches, 8 regul flsi, 38 Relxtion, 33 Residuum, 60

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