Zum Satz von Taylor. Klaus-R. Loeffler. 2 Der Satz von Taylor 2
|
|
- Gerda Diefenbach
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Zum Stz von Tylor Klus-R. Loeffler Inhltsverzeichnis 1 Der verllgemeinerte Stz von Rolle 1 2 Der Stz von Tylor 2 3 Folgerungen, Anwendungen und Gegenbeispiele Jede gnzrtionle Funktion ist ihr eigenes Tylorpolynom Der binomische Stz gilt: Approximierbrkeit einer speziellen Funktionenklsse Beispiel einer Funktion, die nicht durch ihr bei 0 entwickeltes Tylorpolynom pproximiert wird Die Integrlform des Stzes von Tylor Stz von Lgrnge Die Integrlform des Restglieds Andere Restgliedformen Der verllgemeinerte Stz von Rolle Beknntlich besgt der Stz von Rolle, dss es für eine uf einem Intervll ; b] stetige, im Inneren des Intervlls differenzierbre Funktion f mit f() = f(b) = 0 stets im offenen Intervll ]; b eine Stelle c gibt, so dss f(c) = 0 gilt. Dieser (Existenz-) Stz ist eine unmittelbre Folgerung us dem Stz vom Minimum und Mximum stetiger Funktionen uf bgeschlossenen Intervllen in Verbindung mit dem loklen Wchstumsstz. Mit vollständiger Induktion ergibt drus die folgende Verllgemeinerung: Vorussetzung: Es sei n eine ntürliche Zhl und f eine uf einem bgeschlossenen Intervll ; b] stetige Funktion, die bei n-ml und im Inneren des Intervlls (n + 1)-ml differenzierbr ist; weiterhin gelte: f() = f () = f () =... = f (n) () = f(b) = 0. Behuptung: Es gibt im Intervll ]; b eine Stelle c mit f (n+1) (c) = 0. Beweis (durch Induktion): Die Aussge des Stzes ist für n = 0 offensichtlich richtig, denn dnn stimmt der Stz mit dem Stz von Rolle überein. Der erste Teil des Induktionsbeweises ist dmit bgeschlossen. Im zweiten Teil des Induktionsbeweises wird nun vorusgesetzt, dss n eine ntürliche Zhl ist, und die Aussge des verllgemeinerten Stzes von Rolle für n richtig ist. Hiermit ist dnn zu zeigen: 1
2 2 Der Stz von Tylor Wenn f eine uf einem bgeschlossenen Intervll ; b] stetige Funktion ist, die n der Stelle ml und im Inneren des Intervlls (n + 2)-ml differenzierbr ist, (n+1)- wobei f() = f () = f () =... = f (n) () = f (n+1) () = f(b) = 0 gilt, dnn gibt es im Intervll ]; b eine Stelle c mit f (n+2) (c) = 0. Nch Induktionsnnhme gibt es wegen f() = f () = f () =... = f (n) () = f(b) = 0 im Intervll ]; b eine Stelle d mit f (n+1) (d) = 0. Somit gilt f (n+1) () = f (n+1) (d) = 0. Nch dem Stz von Rolle gibt es dher im Intervll ]; d eine Stelle c mit (f (n+1) ) (c) = 0. Wegen (f (n+1) ) (c) = f (n+2) (c) und < c < d < b ist c eine Stelle im offenen Intervll ]; b, für die f (n+2) (c) = 0 gilt. Dmit ist der Induktionsbeweis bgeschlossen. 2 Der Stz von Tylor Unter dem (n der Stelle 0 entwickelten) n-ten Schmiegepolynom p n (x) einer bei 0 n-ml differenzierbren Funktion f versteht mn den Funktionsterm einer gnzrtionlen Funktion n-ten Grdes p n, welche für i = 0, 1, 2,..., n die Gleichung p (i) n (0) = f (i) (0) erfüllt. Dieses Schmiegeplolynom ht dnn die Gleichung p n (x) = n f (i) (0) i! x i. Die Betrchtung von Beispielen solcher Schmiegepolynome, z.b. für die elementren Funktionen exp, sin, cos, sinh, cosh zeigt, dss sich für größere Werte von n die Grphen der Schmiegepolynome in einer Umgebung von 0 recht gut n den Grphen von f nschmiegen, sodss mn die leicht zu berechnenden Funktionswerte des Tylorpolynoms ls Erstzwerte für die nicht so einfch zu berechnenden Funktionswerte von f verwenden knn. Die Skizze zeigt den Grphen der ntürlichen Exponentilfunktion sowie die Grphen ihrer Schmiegepolynome p 2, p 3 und p 4. Allerdings reicht dieser Eindruck einer guten Approximtion keineswegs; wenn etw die konkrete Aufgbe gestellt wird, die Eulersche Zhl e (lso exp(1)) mit einem Fehler von weniger ls 10 6 zu 2
3 3 Folgerungen, Anwendungen und Gegenbeispiele berechnen, ist noch nicht sicher, ob es genügt, ds Tylorpolynom p n (x) für ein geeignetes n n der Stelle 1 zu berechnen und - wenn j - welcher Wert von n für die gewünschte Genuigkeit usreichend ist. Mn brucht lso noch eine Abschätzung für die Differenz f(1) p n (1). Die Möglichkeit einer solchen Abschätzung liefert der Stz von Tylor. Dbei wird folgendes vorusgesetzt: Die uf dem bgeschlossenen Intervll 0; b] definierte Funktion f ist bei 0 n-ml und im Inneren des Definitionsintervlls (n + 1)-ml differenzierbr und bei b stetig. Dnn sgt der Stz von Tylor folgendes us: Es gibt ein c us ]0; b, für ds gilt: f(b) p n (b) = f (n+1) (c) (n+1)! b n+1. Zum Beweis betrchte mn die durch h(x) = f(x) p n (x) (f(b) p n (b)) xn+1 b n+1 definierte Hilfsfunktion h. Diese erfüllt die Vorussetzungen des verllgemeinerten Stzes von Rolle, denn: D zu f nur noch gnzrtionle - lso beliebig oft differenzierbre - Funktionen ddiert werden, übertrgen sich nch der Summenregel der Differentilrechnung die Differenzierbrkeits- und Stetigkeitsvorussetzungen von f uf h. Für i = 0, 1, 2,..., n gilt h (i) (0) = 0, denn nch der Definition des Tylorpolynoms ist für lle diese f (i) (0) = p (i) n (0). Und die i-te Ableitung der Potenzfunktion (n + 1)-ten Grdes enthält für i von 0 bis n den Fktor x n+1 i, nimmt lso n der Stelle x = 0 den Wert null n. h(b) = f(b) p n (b) (f(b) p n (b)) bn+1 b n+1 = 0. Es gibt dher eine Stelle c im Intervll ]0; c mit h (n+1) (c) = 0. Ds bedeutet: f (n+1) (c) p (n+1) n (c) (f(b) p n (b)) (n+1)! = 0 b n+1 D die n-te Ableitung einer gnzrtionlen Funktion n-ten Grdes eine Konstnte ist, folgt p (n+1) n (c) = 0; f (n+1) (n + 1)! (c) = (f(b) p n (b)) b n+1 Division durch (n+1)! und Multipliktion mit b n+1 ergibt - nch Umordnen - die behuptete Gleichung. 3 Folgerungen, Anwendungen und Gegenbeispiele 3.1 Jede gnzrtionle Funktion ist ihr eigenes Tylorpolynom Zum Beweis betrchte mn die Differenz zwischen Funktionswert und Wert des Tylorpolynoms n einer Stelle x; diese lässt sich nch dem Stz von Tylor ls Vielfches der (n + 1)-ten Ableitung von f n einer Stelle c drstellen; die (n + 1)-te Ableitung einer gnzrtionlen Funktion n-ten Grdes ist ber 0, worus die Behuptung folgt. 3.2 Der binomische Stz gilt: ( + b) n = n ( n i) i b n i Zum Beweis bestimme mn ds n-te Tylorpolynom p n (x) der Funktion f mit f(x) = ( + x) n. Nch der ersten ngegebenen Folgerung sind die Werte f(x) und p n (x) für jedes x gleich. Wenn mn diese Gleichung ufschreibt, steht (mit x = b) der binomische Stz d. 3
4 3 Folgerungen, Anwendungen und Gegenbeispiele 3.3 Approximierbrkeit einer speziellen Funktionenklsse Nch einer beknnten Übungsufgbe zur Anlysis wird für jede reelle Zhl b und jedes reelle k der Wert des Ausdrucks bn+1 (n+1)! k beliebig klein, wenn mn n hinreichend groß wählt. Hierus folgt unmittelbr, dss sich für jede Funktion f die uf der Menge der reellen Zhlen beliebig oft differenzierbr ist und gleichmäßig beschränkte Ableitungen ht, für jede Stelle b die Differenz zwischen f(b) und p n (b) beliebig klein mchen lässt. Dbei bedeutet gleichmäßige Beschränktheit der Ableitungen von f, dss eine reelle Zhl k mit der Eigenschft existiert, dss für lle Stellen x und für lle Nummern n gilt f (n) (x) < k. 3.4 Beispiel einer Funktion, die nicht durch ihr bei 0 entwickeltes Tylorpolynom pproximiert wird Die Vermutung, dss sich mithilfe der n der Stelle 0 entwickelten Schmiegepolynome Funktionswerte einer jeden unendlich oft differenzierbren Funktion beliebig genu berechnen lssen, widerlegt ds folgende Gegenbeispiel: Die durch f(0) = 0 und f(x) = exp 1 x 2 für x 0 definierte Funktion f ist überll unendlich oft differenzierbr, wobei für jede ntürliche Zhl n gilt: f (n) (0) = 0; dher ist p n (x) = 0 für jedes x und jedes n. 4
5 4 Die Integrlform des Stzes von Tylor 4 Die Integrlform des Stzes von Tylor 4.1 Stz von Lgrnge Vorussetzung: Es sei n eine ntürliche Zhl und u, v uf einem bgeschlossenen Intervll ; b] (n+1)- ml differenzierbre Funktionen. Behuptung: ) b) n ] ( 1) i u (n i) v (i) = u (n+1) v + ( 1) n uv (n+1) n (i)]b b b ( 1) i u (n i) v = u (n+1) (x) v(x)dx + ( 1) n u(x)v (n+1) (x)dx Beweis : n ] ( 1) i u (n i) v (i) = ( 1) i u (n i+1) v (i) + ( 1) i u (n i) v (i+1) n 1 = u (n+1) v + ( 1) i u (n i+1) v (i) + ( 1) i u (n i) v (i+1) + ( 1) n uv (n+1) = u (n+1) v + ( 1) i u (n i+1) v (i) + ( 1) i 1 u (n i+1) v i + ( 1) n uv (n+1) D die beiden Summen in der Mitte des letzten Ausdrucks entgegengesetzt gleich sind, folgt Teil der Behuptung. Und us dem Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung ergibt sich dmit die Richtigkeit von Teil b der Behuptung. 4.2 Die Integrlform des Restglieds Ist nun f eine über, b] (n+1)-ml stetig differenzierbre Funktion und u := f, v(x) := (b x)n so gilt ( 1) i v (i) = (b x)n i (n i)! für i {0, 1, 2,..., n}. Für die Funktion v ht mn: ( 1) n v (n) (x) 1, v (n+1) (x) 0, v (i) (b) = 0 (i = 1, 2, 3,..., n 1) Durch Einsetzen in Teil b des Stzes von Lgrnge ergibt sich drus n ] b f (n i) (b x)n i b (x) = f (n+1) (b x)n (x) dx, (n i)! f(b) f (n i) (b x)n i b () = f (n+1) (b x)n (x) dx (n i)! und somit f(b) = f (i) () (b x)i i! + b lso f (n+1) (x) (b x)n n f (i) () i! (b x) i ist ber gerde der Wert des n-ten Schmiegepolynoms zu f, entwickelt n der Stelle für ds Argument b: b f(b) = p n (b) + f (n+1) (b x)n (x) dx, für vribles b : f(x) = p n (x) + f (n+1) (x t)n (t) dt. dx., 5
6 4 Die Integrlform des Stzes von Tylor Als Restglied r n (= f(x) p n (x)) ergibt sich dmit: r n = f (n+1) (t) (x t)n dt. 4.3 Andere Restgliedformen Auf die Integrlform des Restglieds r n = f (n+1) (t) (x t)n dt = f (n+1) (t) (x t)n k (x t) k dt in der zuletzt drgestellten Form drf der Mittelwertstz der Integrlrechnung ngewendet werden, d der Fktor (x t) k im Integrtionsintervll keinen Vorzeichenwechsel ht. Es gibt lso (in Abhängigkeit von k) eine Stelle c im offenen Intervll ], x mit der Eigenschft f (n+1) (t) (x t)n k (x t) k dt = f (n+1) (x c)n k (c) = f (n+1) (x c)n k (c) Je nch Whl von k erhält mn jetzt die verschiedenen Restgliedformen: k = 0 : r n (x) = f (n+1) (x c)n (c) (x ) k = n : r n (x) = f (n+1) (x )n+1 (c) (Lgrnge) (n + 1)! (x t) k dt (x )k+1 k + 1 Hinweis: Die Herleitung des Restglieds nch Lgrnge unter Verwendung des verllgemeinerten Stzes von Rolle kommt, wie die Herleitung weiter oben zeigte, mit etws reduzierten Vorussetzungen us: Die Stetigkeit der (n+1)-ten Ableitung von f n den Rndstellen des betrchteten Intervlls, b] brucht nicht vorusgesetzt zu werden. 6
Kapitel 13. Taylorentwicklung Motivation
Kpitel 13 Tylorentwicklung 13.1 Motivtion Sei D R offen. Sie erinnern sich: Eine in D stetig differenzierbre Funktion f : D R wird durch die linere Funktion g(x) = f() + f ()(x ) in einer Umgebung von
Mehr24 UNEIGENTLICHE INTEGRALE 146. F (x) F (x ) f(x, t) dt. 3(b a) (b a) + ɛ 3 + ɛ 3 = ɛ.
24 UNEIGENTLICHE INTEGRALE 146 für lle t [, b] und lle x D mit x x < δ. Für lle x D mit x x < δ gilt lso = F (x) F (x ) b f(x, t) dt b b f(x, t) dt + f(x, t) f(x, t) dt + ɛ 3(b ) (b ) + ɛ 3 + ɛ 3 = ɛ.
MehrStammfunktionen, Hauptsätze, unbestimmtes Integral
Stmmfunktionen, Huptsätze, unbestimmtes Integrl Sei I ein Intervll, f beschränkt uf I und R-integrierbr für jedes [, b] I, und I. Dnn heißt die Funktion F mit D(F ) = I und F () = f(t)dt Integrl von f
Mehr1 Differentialrechnung
1 Differentilrechnung 1.1 Ableitungen und Ableitungsregeln Nützliche Ableitungen 1. ( ) 1 = 1 x x 2 = x 2 2. Trigonometrische Funktionen: ( x) = 1 2 x [sin(x)] = cos(x) [cos(x)] = sin(x) 3. f(x) = e x
MehrSatz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.
Stz 6.5 (Mittelwertstz der Integrlrechnung) Sei f : [, b] R stetig. Dnn gibt es ein ξ [, b], so dss 9:08.06.2015 gilt. f dx = (b )f(ξ) Lemm 6.6 Sei f : [, b] R stetig und m f(x) M für lle x [, b]. Dnn
MehrUnbestimmtes Integral, Mittelwertsätze
Unbestimmtes Integrl, Mittelwertsätze Ist f R-integrierbr, dnn knn f(x)dx einfch bestimmt werden, wenn eine Stmmfunktion F (x) von f existiert und beknnt ist. Wir wissen, dss dnn uch F (x) = F (x) + C
MehrMusterlösung der 1. Klausur zur Vorlesung
Prof. Dr. M. Röger Dipl.-Mth. C. Zwilling Fkultät für Mthemtik TU Dortmund Musterlösung der. Klusur zur Vorlesung Anlysis I (24.02.206) Wintersemester 205/6 Aufgbe. Sei R mit sin() 0. Der Beweis erfolgt
MehrD-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2016 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 9
D-MAVT/D-MATL Anlysis I HS 26 Dr. Andres Steiger Lösung - Serie 9. MC-Aufgben (Online-Abgbe). Es sei f die Funktion f() = e + 7. Welche der folgenden Funktionen sind Stmmfunktionen von f? () g() = 2 2
MehrFlächeninhalt unter dem Graphen. Ist nun die Kraft nicht mehr stückweise konstant, so wird man intuitiv immer noch den
19 REGELFUNKTIONEN 107 Kpitel 7: Integrtion Notwendigkeit des Integrlbegriffes und Hinweise zu seiner Präzisierung liegen uf der Hnd. Betrchten wir etw den physiklischen Begriff der Arbeit, die im einfchsten
Mehr38 Das Riemann-Integral vektorwertiger Funktionen über [a, b]
38 Ds Riemnn-Integrl vektorwertiger Funktionen über [, b] 38.2 Riemnn-Integrierbrkeit von Wegen 38.4 Ds Riemnn-Integrl ist eine linere Abbildung von R([, b], V ) in V 38.9 Integrlbschätzung 38.10 Huptstz
MehrLösungsvorschläge zum 9. Übungsblatt.
Übung zur Anlysis II SS 1 Lösungsvorschläge zum 9. Übungsbltt. Aufgbe 33 () A : {(x, y) R : x [ 1, 1] und y oder x und y [ 1, 1]}. (b) A : {(x, y) R : x < y < 1 + x }. (c) A : {(x, y) R : x < y < 1 + x
Mehr1 Metrische Räume. Sei X eine nichtleere Menge. Definition 1.1. Eine Abbildung: d : X X R heißt Metrik auf X, falls für alle x, y, z X gilt
Metrische Räume Sei X eine nichtleere Menge. Definition.. Eine Abbildung: d : X X R heißt Metrik uf X, flls für lle x, y, z X gilt (i) d(x, y) 0, (ii) d(x, y) = d(y, x), (iii) d(x, y) d(x, z) + d(z, y)
MehrResultat: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
17 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Lernziele: Konzept: Stmmfunktion Resultt: Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Methoden: prtielle Integrtion, Substitutionsregel Kompetenzen:
Mehr11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
91 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und
Mehrkomplizierteren Funktionen versucht man, die Fläche durch mehrere Rechtecke anzunähern.
Mthemtik für Nturwissenschftler I 4. 4 Integrlrechnung 4. Integrierbrkeit Die Grundidee der Integrlrechnung ist die Berechnung der Fläche zwischen dem Grphen einer Funktion und der x-achse. Recht einfch
Mehr1 Differenzen- und Differentialquotient 2. 2 Differentiationsregeln 5. 3 Ableitung spezieller Funktionen 6. 4 Unbestimmtes und bestimmtes Integral 7
Universität Bsel Wirtschftswissenschftliches Zentrum Abteilung Quntittive Methoden Mthemtischer Vorkurs Dr. Thoms Zehrt Differentil- und Integrlrechnung Inhltsverzeichnis 1 Differenzen- und Differentilquotient
MehrKapitel 7. Integralrechnung für Funktionen einer Variablen
Kpitel 7. Integrlrechnung für Funktionen einer Vriblen In diesem Kpitel sei stets D R, und I R ein Intervll. 7. Ds unbestimmte Integrl (Stmmfunktion) Es sei f : I R eine Funktion. Eine differenzierbre
Mehr6.6 Integrationsregeln
50 KAPITEL 6. DAS RIEMANN-INTEGRAL Beispiel 6.5.4 (Differenzierbreit und gleichmäßige Konvergenz) Die Funtionenfolge {f n (x)} n N definiert durch f n (x) = n sin(nx) onvergiert uf jedem Intervll gleichmäßig
Mehr9.3 Der Hauptsatz und Anwendungen
9.3 Der Huptstz und Anwendungen Definition: Seien Funktionen F, f : [, b] R Funktionen mit F (x) = f(x), x b. Dnn heißt F(x) Stmmfunktion von f(x). Bemerkung: Ist F(x) eine Stmmfunktion von f(x), so sind
Mehr9 Integralrechnung. 9.1 Das Riemann-Integral: Sei [a, b] ein beschränktes abgeschlossenes Intervall und f : [a, b] R eine beschränkte Funktion.
9 ntegrlrechnung 9. Ds Riemnn-ntegrl: Sei [, b] ein beschränktes bgeschlossenes ntervll und f : [, b] R eine beschränkte Funktion. Problem: Bestimme Flächeninhlt A zwischen Grphen von f und x-achse. Betrchte
MehrThema 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrale)
Them 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrle) In diesem Kpitel betrchten wir unendliche Reihen n= n, wobei ( n ) eine Folge von reellen Zhlen ist. Die Reihe konvergiert gegen s (oder s ist die Summe
MehrRiemann-integrierbare Funktionen
Kpitel VI Riemnn-integrierbre Funktionen 26 Ds Riemnn-Integrl ls Grenzwert von Zwischensummen 27 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung nebst Folgerungen 28 Äquivlente Definitionen des Riemnn-
MehrKapitel 8 Anwendungen der Di erentialrechnung
Kpitel 8 Anwendungen der Di erentilrechnung Kpitel 8 Anwendungen der Di erentilrechnung Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 99 / 235 Kpitel 8 Anwendungen der Di erentilrechnung Stz 8.1 (Mittelwertstz
Mehr(1 ξ) f (k) (ξ) + k! z x n+1. (n + 1)! 2 f (n + 1)!
0.. Lösung der Aufgbe. Wir schreiben f = sup{ f : [0, ]}. Für ξ ]0, [ und n N gibt es nch dem Stz von Tlor ein c ]ξ, [ so, dss: f = fξ + n ξ k f k ξ + k! k= Aus der Ttsche, dss f k 0 für lle k N ist, folgt
MehrKapitel 9 Integralrechnung
Kpitel 9 Integrlrechnung Kpitel 9 Integrlrechnung Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 18 Kpitel 9 Integrlrechnung Definition 9.1 (Stmmfunktion) Es seien f, F : I R Funktionen. F heißt Stmmfunktion
MehrSBP Mathe Grundkurs 2. Differentialquotient. Namen und Schreibweisen für Differentialquotienten. Ableitung von f(x) = c.
SBP Mthe Grundkurs 2 # 0 by Clifford Wolf # 0 Antwort Diese Lernkrten sind sorgfältig erstellt worden, erheben ber weder Anspruch uf Richtigkeit noch uf Vollständigkeit. Ds Lernen mit Lernkrten funktioniert
MehrAnalysis 3 Zweite Scheinklausur Ws 2018/
Anlysis 3 weite Scheinklusur Ws 8/9..9 Es gibt 8 Aufgben. Die jeweilige Punktzhl steht m linken Rnd. Die Mximlpunktzhl ist 7. um Bestehen der Klusur sind Punkte hinreichend. Die Berbeitungszeit beträgt
MehrWir betrachten zunächst Funktionen f in einer Variablen x. Falls f k-mal differenzierbar ist, bezeichnet man die k-te Ableitung mit
76 Tylorpolynome Wir betrchten zunächst Funtionen f in einer Vriblen x Flls f -ml differenzierbr ist, bezeichnet mn die -te Ableitung mit D f, x f oder f() Dbei steht f () für f, f () für f, f () für f,
MehrProf. Dr. Siegfried Echterhoff.. 1 HAUPTSATZ DER INTEGRAL UND DIFFERENTIALRECHNUNG
Vorlesung SS 29 Anlysis 2 HAUPTSATZ DER INTEGRAL UND DIFFERENTIALRECHNUNG Teil : Fortsetzung des Studiums von Funktionen in einer reellen Vriblen (Integrtion und Tylorreihen). Huptstz der Integrl und Differentilrechnung
Mehr(x t) n f (n+1) (t) dt. f(x) =f(a)+ f (t) dt
6 Der Stz von Tylor Gleichmäßige Konvergenz Potenzreihen Der Stz von Tylor Es sei D ein Intervll, X ein Bnchrum und f : D X eine Funtion Stz Tylorsche Formel Ist f (n +)-ml stetig differenzierbr, so gilt
MehrFunktionenfolgen. Kapitel 6
Kpitel 6 Funktionenfolgen Bemerkung 6.1 Motivtion. Dieser Abschnitt betrchtet die Konvergenz von Folgen von uf einem gemeinsmen Intervll definierten Funktionen. Dies ist eine wichtige Grundlge, um eine
MehrLösungsskizzen zur Präsenzübung 06
Lösungsskizzen zur Präsenzübung 06 Mirko Getzin Universität Bielefeld Fkultät für Mthemtik 23. Mi 2014 Keine Gewähr uf vollständige Richtigkeit und Präzision ller (mthemtischen) Aussgen. Ds Dokument ht
MehrUniversität Ulm Abgabe: Freitag,
Universität Ulm Abgbe: Freitg, 19.06.2009 Prof. Dr. W. Arendt Robin Nittk Sommersemester 2009 Punktzhl: 38+7 13. Zeige: Lösungen Prtielle Differentilgleichungen: Bltt 5 Sei (, b) ein reelles Intervll.
MehrNumerische Integration durch Extrapolation
Numerische Integrtion durch Extrpoltion Pblo Thiel Romberg-Verfhren Idee: Im Gegenstz zur numerischen Integrtion mit Hilfe der einfchen bzw. zusmmengesetzten Trpez-, Simpson-, 3/8- oder zum Beispiel der
MehrHier ist noch ein Beispiel, bei dem sowohl die Substitutionsregel als auch die partielle Integration zur Anwendung kommt.
64 Kpitel. Integrlrechnung Hier ist noch ein Beispiel, bei dem sowohl die Substitutionsregel ls uch die prtielle Integrtion zur Anwendung kommt..4.6 Beispiel Um eine Stmmfunktion für rctn zu finden, beginnen
MehrHM I Tutorium 11. Lucas Kunz. 19. Januar 2017
HM Tutorium Lucs Kunz 9. Jnur 07 nhltsverzeichnis Theorie. Mehrfche Ableitungen.............................. Stz von Tylor................................... Spezilfll n = 0............................
MehrDifferenzial- und Integralrechnung III
Differenzil- und Integrlrechnung III Riner Huser April 2012 1 Einleitung 1.1 Polynome und Potenzfunktionen Die Polynome oder Polynomfunktionen lssen sich durch die endliche Anzhl von n+1 Prmetern i R in
MehrZusatzunterlagen zur Vorlesung Analysis II Sommersemester 2014
UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier M. Sc. Sebstin Lngendörfer e Integrlrechnung Zustzunterlgen zur Vorlesung Anlysis II Sommersemester 2014 Dieses Bltt enthält
Mehr4.4 Partielle Integration
Mthemtik für Nturwissenschftler I 4.4 4.4 Prtielle Integrtion Zwei Integrtionsregeln kennen wir bereits: Stz 4.. und Stz 4..8. Stz 4.. sgt, dss mit zwei Funktionen uch deren Summe oder Differenz integrierbr
MehrBC 1.2 Mathematik WS 2016/17. BC 1.2 Mathematik Zusammenfassung Kapitel III: Funktionen einer Veränderlichen
Friedrich-Schiller-Universität Jen Institut für Physiklische Chemie BC 1.2 Mthemtik PD Dr. Thoms Bocklitz BC 1.2 Mthemtik Zusmmenfssung Kpitel III: Funktionen einer Veränderlichen 1 Konzept Funktionen
MehrMathematik II. Vorlesung 31
Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück SS 2010 Mthemtik II Vorlesung 31 In den folgenden Vorlesungen beschäftigen wir uns mit der Integrtionstheorie, d.h. wir wollen den Flächeninhlt derjenigen Fläche, die durch
MehrMathematik II. Vorlesung 41. Satz Es sei f :[a,b] R n, t f(t), eine differenzierbare Kurve. Dann gibt es ein c [a,b] mit
Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück SS 1 Mthemtik II Vorlesung 41 Die Mittelwertbschätzung für differenzierbre Kurven Stz 41.1. Es sei f :[,b] R n, t f(t), eine differenzierbre Kurve. Dnn gibt es ein c [,b]
Mehr$Id: integral.tex,v /05/15 15:03:49 hk Exp $ $Id: uneigentlich.tex,v /05/16 13:37:14 hk Exp $
$Id: integrl.te,v.3 24/5/5 5:3:49 hk Ep $ $Id: uneigentlich.te,v. 24/5/6 3:37:4 hk Ep $ 2 Integrlrechnung 2.5 Ergänzungen Wir sind jetzt m Ende des Kpitels über ds Riemn-Integrl im eigentlichen Sinne ngelngt,
MehrMathematischer Vorkurs NAT-ING1
Mthemtischer Vorkurs NAT-ING1 (02.09. 20.09.2013) Dr. Robert Strehl WS 2013-2014 Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 20 Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 2 / 20 Definition 9.1 (Stmmfunktion)
MehrD-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 10. dt. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? t3 + 2
D-MAVT/D-MATL Anlysis I HS 7 Dr. Andres Steiger Lösung - Serie.. Sei f(x) : () f() . x (c) f( ) . Die Funktion g : t t + ist, dss ds Integrl b dt. Welche der folgenden Aussgen
Mehr6. Integration 6.1 Das Riemann-Integral
6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl 6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl Mthemtik für Chemiker 6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl Flächenberechnung: Problemstellung und Lösungsidee Sei f : [, b] [0, ) eine
Mehr6 Totale Differenzierbarkeit
6 Totle Differenzierbrkeit Sei U R offen. Eine Funktion f : U R ist differenzierbr in einem Punkt x U (Stz 14.6 in [EAI] genu dnn, wenn sie liner pproximierbr ist in x in dem Sinne, dss eine Zhl c R und
Mehr6.1 Zerlegungen Ober- und Unterintegrale Existenz des Integrals
Kpitel 6 Ds Riemnn-Integrl In diesem Abschnitt wollen wir einen Integrlbegriff einführen. Dieser Integrlbegriff geht uf Riemnn 1 zurück und beruht uf einer nheliegenden Anschuung. Es wird sich zeigen,
MehrMultiplikative Inverse
Multipliktive Inverse Ein Streifzug durch ds Bruchrechnen in Restklssen von Yimin Ge, Jänner 2006 Viele Leute hben Probleme dbei, Brüche und Restklssen unter einen Hut zu bringen. Dieser kurze Aufstz soll
MehrMathematik-Tutorium: Handwerkszeug und Kochrezepte für Maschinenbauer
Vektorrechnung Differentilrechnung Integrlrechnung Mthemtik-Tutorium: Hndwerkszeug und Kochrezepte für Mschinenbuer Johnnes Wiedersich 7. Dezember 007 http://www.e13.physik.tu-muenchen.de/wiedersich/ Vektorrechnung
MehrAbiturprüfung Mathematik 2013 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1
www.mthe-ufgben.com Abiturprüfung Mthemtik 013 (Bden-Württemberg) Berufliche Gymnsien Anlysis, Aufgbe 1 1.1 Die Funktion f ist gegeben durch π f( x) = + sin x ; x. Ds Schubild von f ist K. 1.1.1 (8 Punkte)
Mehr4. Der Cauchysche Integralsatz
22 Andres Gthmnn 4. Der Cuchysche Integrlstz Es seien D C offen und f : D C eine stetige Funktion. Ht f in D eine Stmmfunktion, so hben wir im letzten Kpitel gesehen, dss Kurvenintegrle über f in D nur
MehrEinführung in die Integralrechnung
Einführung in die Integrlrechnung Vorbereitung für ds Probestudium n der LMU München 3. bis 7. September von W. Frks und O. Forster Integrle ls Flächeninhlte. Motivtion Flächeninhlte von Rechtecken sind
MehrKapitel 9. Integration. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 9 Integration 1 / 36
Kpitel 9 Integrtion Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 207/8 9 Integrtion / 36 Stmmfunktion Eine Funktion F(x) heißt Stmmfunktion einer Funktion f (x), flls F (x) = f (x) Berechnung: Vermuten
MehrFerienkurs Analysis 1
Skript Ferienkurs Anlysis 1 Fbin Hfner und Thoms Blduf TUM Wintersemester 2014/15 18.03.2015 Ds Skript wurde teilweise übernommen vom Skript des Ferienkurses WS 2014, verfsst von Andres Wörfel. Inhltsverzeichnis
MehrKarlsruher Institut für Technologie (KIT) SS 2013 Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning
Krlsruher Institut für Technologie KIT SS 3 Institut für Anlysis 943 Prof Dr Tobis Lmm Dr Ptrick Breuning Höhere Mthemtik II für die Fchrichtung Physik 3 Übungsbltt Aufgbe Sei K ein Kreis im R vom Rdius
MehrMathematik. Ingo Blechschmidt. 22. Januar 2007
Mthemtik Ingo Blechschmidt 22. Jnur 2007 Inhltsverzeichnis I Mthemtik 2 1 Anlysis 2 1.1 Stetigkeit und Differenzierbrkeit........... 2 1.1.1 Stetigkeit..................... 2 1.1.2 Differenzierbrkeit................
MehrMathematik Rechenfertigkeiten
26 Mthemtik Rechenfertigkeiten Skript Freitg Dr. Dominik Tsndy, Mthemtik Institut, Universität Zürich Winterthurerstrsse 9, 857 Zürich Skript: Dr. Irmgrd Bühler (Überrbeitung: Dr. Dominik Tsndy) 9. August
MehrAnwendungen der Integralrechnung
Anwendungen der Integrlrechnung 8. Flächeninhlt und Flächenschwerpunkt............... 4 8. Kurvenlänge............................. 7 8. Rottionskörper........................... 9 8.3 Whrscheinlichkeitsverteilungen
MehrFourierreihen. Timo Dimitriadis
Fourierreihen Timo Dimitridis 4.5.9 In diesem Vortrg geht es im prktischen Sinne um die Anlyse von Schwingungsvorgängen, wie sie zum Beispiel in der Physik häufig vorkommen. Oft mg es nützlich sein, diese
MehrCrashkurs - Integration
Crshkurs - Integrtion emerkung. Wir setzen hier elementre Kenntnisse des Differenzierens sowie der Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel vorus (diese werden später in der VO noch usführlich erklärt).
Mehr1 Ergänzungen zur Differentialrechnung
$Id: nlytisch.te,v 1.3 2011/04/13 11:01:11 hk Ep $ 1 Ergänzungen zur Differentilrechnung Dieses einleitende Kpitel wollen wir verwenden um den Anschluss n ds vorige Semester herzustellen. Eine direkte
MehrBericht zur Mathematischen Zulassungsprüfung im Mai 2011
Bericht zur Mthemtischen Zulssungsprüfung im Mi Heinz-Willi Goelden, Wolfgng Luf, Mrtin Pohl Am 4. Mi fnd die Mthemtische Zulssungsprüfung sttt. Die Prüfung bestnd us einer 9-minütigen Klusur, in der 5
MehrMusterlösung für die Nachklausur zur Analysis II
MATHEMATISCHES INSTITUT WiSe 213/14 DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Musterlösung für die Nchklusur zur Anlysis II Aufgbe 1 Gilt folgende Aussge? Eine im Punkt x R 2 prtiell differenzierbre Funktion f : R 2 R ist
MehrKlausurvorbereitungsausfgaben für die Feiertage Analysis II im WS 2013/2014
Institut für Mthemtik Freie Universität Berlin C. Hrtmnn, A. Ppke Wer spricht von Siegen, Überleben ist lles. Riner Mri Rilke Lösung zu Klusurvorbereitungsusfgben für die Feiertge Anlysis II im WS 23/24
Mehr6-1 Elementare Zahlentheorie. mit 1 b n und 0 a b (zusammen mit der Ordnung ) nennt man die n-te Farey-Folge, zum Beispiel ist
6- Elementre Zhlentheorie 6 Frey-Folgen Die Menge F n der rtionlen Zhlen mit n und (zusmmen mit der Ordnung ) nennt mn die n-te Frey-Folge, zum Beispiel ist F = { < < < < < < < < < < } Offensichtlich gilt:
Mehrb f(x)p(x) dx = f(ξ) 2e 2 , Hess f (2, 0) =
Es seien U R n offen und ψ : U R n stetig differenzierbr. Weiter sei f : U R zweiml stetig differenzierbr. Kennzeichnen Sie whre Aussgen mit W und flsche Aussgen mit F. F Flls dψ(x) ein Isomorphismus für
Mehr7.9A. Nullstellensuche nach Newton
7.9A. Nullstellensuche nch Newton Wir hben früher bemerkt, dß zur Auffindung von Nullstellen einer gegebenen Funktion oft nur Näherungsverfhren helfen. Eine lte, ber wirkungsvolle Methode ist ds Newton-Verfhren
Mehr4. Das quadratische Reziprozitätsgesetz.
4-1 Elementre Zhlentheorie 4 Ds udrtische Rezirozitätsgesetz Sei eine ungerde Primzhl, sei Z mit, 1 Frge: Wnn gibt es x Z mit x mod? Gibt es ein derrtiges x, so nennt mn einen udrtischen Rest modulo Legendre
Mehr4.5 Integralrechnung II. Inhaltsverzeichnis
4.5 Integrlrechnung II Inhltsverzeichnis 1 Integrlrechnung 22.02.2010 Theorie und Übungen 2 Wir hben im ersten Skript beobchtet, dss ein Zusmmenhng besteht zwischen der Formel für die Fläche A 0b und der
MehrTaylorreihen - Uneigentlische Integrale
Anlysis II für M, LG und Ph, WS 2006/07, Übung 2, Lösungsskizze Gruppenübung Tylorreihen - Uneigentlische Integrle G 5 Berechnen Sie die Tylorreihe mit der Entwicklungsmitte 0 von f (x) = log(x + ), f
MehrTutorium zur Vorlesung Differential und Integralrechnung II Bearbeitungsvorschlag
MAHEMAISCHES INSIU DER UNIVERSIÄ MÜNCHEN Dr. E. Schörner SS 206 Bltt 2 06.07.206 utorium zur Vorlesung Differentil und Integrlrechnung II Berbeitungsvorschlg 45. ) Für die beiden Rechtecke R = [ 3, 3]
MehrMathematik Rechenfertigkeiten
2 Mthemtik Rechenfertigkeiten Skript Freitg Dominik Tsndy, Mthemtik Institut, Universität Zürich Winterthurerstrsse 9, 857 Zürich Irmgrd Bühler (Überrbeitung: Dominik Tsndy) 9.August 2 Inhltsverzeichnis
MehrAntworten auf Anfragen von Kursteilnehmern. Zu folgender Aussage aus den Multiple-Choice-Aufgaben: f (n) (a) (x a) n n! n=0
Ferienkurs Anlysis 1 WS 11/12 Florin Drechsler Antworten uf Anfrgen von Kursteilnehmern Zu Tylorreihen Zu folgender Aussge us den Multiple-Choice-Aufgben: Es gibt Funktionen f C (R) mit konvergenter Tylorreihe
MehrGrundlagen der Integralrechnung
Grundlgen der Integrlrechnung W. Kippels 0. April 2014 Inhltsverzeichnis 1 Ds unbestimmte Integrl 2 2 Ds bestimmte Integrl 4 Beispielufgben 7.1 Beispielufgbe 1............................... 7.2 Beispielufgbe
MehrAnalysis I. Partielle Integration. f (t)g(t)dt =
Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück WS 3/4 Anlysis I Vorlesung 5 Wir besprechen nun die wesentlichen Rechenregeln, mit denen mn Stmmfunktionen finden bzw. bestimmte Integrle berechnen knn. Sie beruhen uf Ableitungsregeln.
Mehr$Id: integral.tex,v /04/28 13:32:32 hk Exp hk $
Mthemtik für Ingenieure II, SS 009 Dienstg 8.4 $Id: integrl.tex,v 1.4 009/04/8 13:3:3 hk Exp hk $ Integrlrechnung.3 Die Integrtionsregeln Mit den bisherigen Beispielen hben wir die meisten Integrle behndelt,
MehrAnalysis I. Vorlesung 24. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung. b a
Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück WS 203/204 Anlysis I Vorlesung 24 Der Mittelwertstz der Integrlrechnung Zu einer Riemnn-integrierbren Funktion f: [, b] R knn mn f(t)dt b ls die Durchschnittshöhe der Funktion
MehrInfinitesimalrechnung, Mengenlehre und logische Verknüpfungen
Vorlesung 16 Infinitesimlrechnung, Mengenlehre und logische Verknüpfungen 16.1 Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Wir verknüpfen nun Differentil- mit Integrlrechnung. Definition 16.1.1. Eine
Mehr2.6 Unendliche Reihen
2.6 Unendliche Reihen In normierten Räumen steht ds wichtige Werkzeug der Bildung von unendlichen Reihen zur Verfügung. Mn denke in diesem Zusmmenhng drn, dss mn in der Anlysis Potenz- und Fourierreihen
Mehr, für x 2, ax wenn x > 3. 2x+a wenn x Integralrechnung
. INTEGRALRECHNUNG 69 Aufgbe 9.3 Bestimme lle Extrem der Funktion f : [,] R, x ( x) +9x. Aufgbe 9.3 Bestimme die Extrem der Funktion f : R\{} R : x x4 5x 4 (x ) 3. Untersuche die Funktion hinsichtlich
MehrKAPITEL 18 UND 19 H. KOCH. Kapitel 18. x>a. x<y
KAPITEL 18 UND 19 H. KOCH 1. VORLESUNG VOM 08.01.2018 Kpitel 18 Definition 1 (Zerlegungen, Treppenfunktionen, Regelfunktionen) Sei < b. 1. Eine Zerlegung τ von [, b] besteht us einer Zhl N N und (N + 1)
MehrKapitel 10. Integration. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2015/16 10 Integration 1 / 35
Kpitel 0 Integrtion Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion / 35 Flächeninhlt Berechnen Sie die Inhlte der ngegebenen Flächen! f (x) = Fläche: A = f (x) = +x 2 Approximtion durch Treppenfunktion
MehrKapitel 1. Das Riemann-Integral. 1.1 *Motivation
Kpitel Ds Riemnn-Integrl. *Motivtion Wir betrchten eine stetige Funktion f : [, b] R, wobei, b R und < b. Frge: Wie groß ist der Flächeninhlt zwischen dem Abschnitt [, b] uf der x-achse und dem Grph von
MehrÜbung Analysis in einer Variable für LAK, SS 2010
Übung Anlysis in einer Vrible für LAK, SS Christoph B ) Es sei I R ein offenes Intervll, ξ I und f,...,f n : I R seien lle in ξ differenzierbr. Beweisen Sie: Dnn ist uch f f n : I R in ξ differenzierbr
MehrNumerische Integration
Kpitel 4 Numerische Integrtion Problem: Berechne für gegebene Funktion f :[, b] R ds Riemnn-Integrl I(f) := Oft ist nur eine numerische Näherung möglich. f(x)dx. Beispiel 9. (i) Rechteckregel: Wir pproximieren
Mehr4.6 Integralrechnung III. Inhaltsverzeichnis
4.6 Integrlrechnung III Inhltsverzeichnis 1 Integrlrechnung 10.03.2010 Theorie und Übungen 2 1 Exponentilfunktionen Aus der Differentilrechnung wissen wir, dss gilt: f(x)=e x f (x)=e x Stz 1 Für die ntürliche
Mehr( ) ( ) 4. Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung. Hauptsatz (1. Form) I. Newton ( ), G.F. Leibniz ( )
4. Der Huptstz der Infinitesimlrechnung Huptstz (. orm) I. Newton (64-77), G.. Leiniz (646-76) ür jede im Intervll [,] stetige unktion f sei ( ) = f ( t) dt sogennnte Integrlfunktion dnn gilt: Die Integrlfunktion
MehrIntegration von Regelfunktionen
Integrtion von Regelfunktionen Inhltsverzeichnis Einleitung 2 Treppen- und Regelfunktionen 3 Denition des Integrls 4 Rechen mit Integrlen 2 4. Grundlegende Eigenschften.............................................
Mehr$Id: integral.tex,v /05/09 11:21:33 hk Exp $ $Id: uneigentlich.tex,v /05/11 13:45:45 hk Exp $
$Id: integrl.te,v.62 28/5/9 :2:33 hk Ep $ $Id: uneigentlich.te,v.22 28/5/ 3:45:45 hk Ep $ 2 Integrlrechnung 2.4 Integrtion rtionler Funktionen In der letzten Sitzung hben wir die Integrtion rtionler Funktionen
Mehr1.2 Eigenschaften der reellen Zahlen
12 Kpitel 1 Mthemtisches Hndwerkszeug 12 Eigenschften der reellen Zhlen Alle Rechenregeln der Grundrechenrten der reellen Zhlen lssen sich uf einige wenige Rechengesetze zurückführen, die in der folgenden
MehrHilfsblätter Folgen und Reihen
Hilfsblätter Folgen und Reihen Sebstin Suchnek unter Mithilfe von Klus Flittner Steffen Hofmnn Mtthis Stb c 2002 by Sebstin Suchnek Printed with L A TEX Inhltsverzeichnis 1 Folgen 1 1.1 Definition.........................................
MehrIntegralrechnung. Fakultät Grundlagen
Integrlrechnung Fkultät Grundlgen März 2016 Fkultät Grundlgen Integrlrechnung Bestimmtes Integrl I n Teilintervlle: x 0 = < x 1 < x 2
MehrMathematik 1 für Bauwesen 14. Übungsblatt
Mthemtik für Buwesen Übungsbltt Fchbereich Mthemtik Wintersemester 0/0 Dr Ivn Izmestiev 8/900 Dr Vince Bárány, M Sc Juli Plehnert Gruppenübung Aufgbe G () Berechnen Sie ds Volumen des Rottionskörpers,
MehrInfinitesimalrechnung
Vorlesung 17 Infinitesimlrechnung 17.1 Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Wir verknüpfen nun Differentil- mit Integrlrechnung. Definition 17.1.1. Eine differenzierbre Funktion F : I R heißt Stmmfunktion
MehrVorkurs Mathematik Frankfurt University Of Applied Sciences, Fachbereich 2 1
Vorkurs Mthemtik Frnkfurt University Of Applied Sciences, Fchbereich 1 Rechnen mit Potenzen N bezeichnet die Menge der ntürlichen Zhlen, Q die Menge der rtionlen Zhlen und R die Menge der reellen Zhlen.
Mehr- 1 - VB Inhaltsverzeichnis
- - VB Inhltsverzeichnis Inhltsverzeichnis... Die Inverse einer Mtrix.... Definition der Einheitsmtrix.... Bedingung für die inverse Mtrix.... Berechnung der Inversen Mtrix..... Ds Verfhren nch Guß mit
MehrKapitel 9. Integration. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 9 Integration 1 / 36. F (x) = f (x) Vermuten und Verifizieren.
Kpitel 9 Integrtion Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 27/8 9 Integrtion / 36 Stmmfunktion Eine Funktion F() heißt Stmmfunktion einer Funktion f (), flls F () = f () Berechnung: Vermuten und Verifizieren
Mehr