Zum Satz von Taylor. Klaus-R. Loeffler. 2 Der Satz von Taylor 2

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1 Zum Stz von Tylor Klus-R. Loeffler Inhltsverzeichnis 1 Der verllgemeinerte Stz von Rolle 1 2 Der Stz von Tylor 2 3 Folgerungen, Anwendungen und Gegenbeispiele Jede gnzrtionle Funktion ist ihr eigenes Tylorpolynom Der binomische Stz gilt: Approximierbrkeit einer speziellen Funktionenklsse Beispiel einer Funktion, die nicht durch ihr bei 0 entwickeltes Tylorpolynom pproximiert wird Die Integrlform des Stzes von Tylor Stz von Lgrnge Die Integrlform des Restglieds Andere Restgliedformen Der verllgemeinerte Stz von Rolle Beknntlich besgt der Stz von Rolle, dss es für eine uf einem Intervll ; b] stetige, im Inneren des Intervlls differenzierbre Funktion f mit f() = f(b) = 0 stets im offenen Intervll ]; b eine Stelle c gibt, so dss f(c) = 0 gilt. Dieser (Existenz-) Stz ist eine unmittelbre Folgerung us dem Stz vom Minimum und Mximum stetiger Funktionen uf bgeschlossenen Intervllen in Verbindung mit dem loklen Wchstumsstz. Mit vollständiger Induktion ergibt drus die folgende Verllgemeinerung: Vorussetzung: Es sei n eine ntürliche Zhl und f eine uf einem bgeschlossenen Intervll ; b] stetige Funktion, die bei n-ml und im Inneren des Intervlls (n + 1)-ml differenzierbr ist; weiterhin gelte: f() = f () = f () =... = f (n) () = f(b) = 0. Behuptung: Es gibt im Intervll ]; b eine Stelle c mit f (n+1) (c) = 0. Beweis (durch Induktion): Die Aussge des Stzes ist für n = 0 offensichtlich richtig, denn dnn stimmt der Stz mit dem Stz von Rolle überein. Der erste Teil des Induktionsbeweises ist dmit bgeschlossen. Im zweiten Teil des Induktionsbeweises wird nun vorusgesetzt, dss n eine ntürliche Zhl ist, und die Aussge des verllgemeinerten Stzes von Rolle für n richtig ist. Hiermit ist dnn zu zeigen: 1

2 2 Der Stz von Tylor Wenn f eine uf einem bgeschlossenen Intervll ; b] stetige Funktion ist, die n der Stelle ml und im Inneren des Intervlls (n + 2)-ml differenzierbr ist, (n+1)- wobei f() = f () = f () =... = f (n) () = f (n+1) () = f(b) = 0 gilt, dnn gibt es im Intervll ]; b eine Stelle c mit f (n+2) (c) = 0. Nch Induktionsnnhme gibt es wegen f() = f () = f () =... = f (n) () = f(b) = 0 im Intervll ]; b eine Stelle d mit f (n+1) (d) = 0. Somit gilt f (n+1) () = f (n+1) (d) = 0. Nch dem Stz von Rolle gibt es dher im Intervll ]; d eine Stelle c mit (f (n+1) ) (c) = 0. Wegen (f (n+1) ) (c) = f (n+2) (c) und < c < d < b ist c eine Stelle im offenen Intervll ]; b, für die f (n+2) (c) = 0 gilt. Dmit ist der Induktionsbeweis bgeschlossen. 2 Der Stz von Tylor Unter dem (n der Stelle 0 entwickelten) n-ten Schmiegepolynom p n (x) einer bei 0 n-ml differenzierbren Funktion f versteht mn den Funktionsterm einer gnzrtionlen Funktion n-ten Grdes p n, welche für i = 0, 1, 2,..., n die Gleichung p (i) n (0) = f (i) (0) erfüllt. Dieses Schmiegeplolynom ht dnn die Gleichung p n (x) = n f (i) (0) i! x i. Die Betrchtung von Beispielen solcher Schmiegepolynome, z.b. für die elementren Funktionen exp, sin, cos, sinh, cosh zeigt, dss sich für größere Werte von n die Grphen der Schmiegepolynome in einer Umgebung von 0 recht gut n den Grphen von f nschmiegen, sodss mn die leicht zu berechnenden Funktionswerte des Tylorpolynoms ls Erstzwerte für die nicht so einfch zu berechnenden Funktionswerte von f verwenden knn. Die Skizze zeigt den Grphen der ntürlichen Exponentilfunktion sowie die Grphen ihrer Schmiegepolynome p 2, p 3 und p 4. Allerdings reicht dieser Eindruck einer guten Approximtion keineswegs; wenn etw die konkrete Aufgbe gestellt wird, die Eulersche Zhl e (lso exp(1)) mit einem Fehler von weniger ls 10 6 zu 2

3 3 Folgerungen, Anwendungen und Gegenbeispiele berechnen, ist noch nicht sicher, ob es genügt, ds Tylorpolynom p n (x) für ein geeignetes n n der Stelle 1 zu berechnen und - wenn j - welcher Wert von n für die gewünschte Genuigkeit usreichend ist. Mn brucht lso noch eine Abschätzung für die Differenz f(1) p n (1). Die Möglichkeit einer solchen Abschätzung liefert der Stz von Tylor. Dbei wird folgendes vorusgesetzt: Die uf dem bgeschlossenen Intervll 0; b] definierte Funktion f ist bei 0 n-ml und im Inneren des Definitionsintervlls (n + 1)-ml differenzierbr und bei b stetig. Dnn sgt der Stz von Tylor folgendes us: Es gibt ein c us ]0; b, für ds gilt: f(b) p n (b) = f (n+1) (c) (n+1)! b n+1. Zum Beweis betrchte mn die durch h(x) = f(x) p n (x) (f(b) p n (b)) xn+1 b n+1 definierte Hilfsfunktion h. Diese erfüllt die Vorussetzungen des verllgemeinerten Stzes von Rolle, denn: D zu f nur noch gnzrtionle - lso beliebig oft differenzierbre - Funktionen ddiert werden, übertrgen sich nch der Summenregel der Differentilrechnung die Differenzierbrkeits- und Stetigkeitsvorussetzungen von f uf h. Für i = 0, 1, 2,..., n gilt h (i) (0) = 0, denn nch der Definition des Tylorpolynoms ist für lle diese f (i) (0) = p (i) n (0). Und die i-te Ableitung der Potenzfunktion (n + 1)-ten Grdes enthält für i von 0 bis n den Fktor x n+1 i, nimmt lso n der Stelle x = 0 den Wert null n. h(b) = f(b) p n (b) (f(b) p n (b)) bn+1 b n+1 = 0. Es gibt dher eine Stelle c im Intervll ]0; c mit h (n+1) (c) = 0. Ds bedeutet: f (n+1) (c) p (n+1) n (c) (f(b) p n (b)) (n+1)! = 0 b n+1 D die n-te Ableitung einer gnzrtionlen Funktion n-ten Grdes eine Konstnte ist, folgt p (n+1) n (c) = 0; f (n+1) (n + 1)! (c) = (f(b) p n (b)) b n+1 Division durch (n+1)! und Multipliktion mit b n+1 ergibt - nch Umordnen - die behuptete Gleichung. 3 Folgerungen, Anwendungen und Gegenbeispiele 3.1 Jede gnzrtionle Funktion ist ihr eigenes Tylorpolynom Zum Beweis betrchte mn die Differenz zwischen Funktionswert und Wert des Tylorpolynoms n einer Stelle x; diese lässt sich nch dem Stz von Tylor ls Vielfches der (n + 1)-ten Ableitung von f n einer Stelle c drstellen; die (n + 1)-te Ableitung einer gnzrtionlen Funktion n-ten Grdes ist ber 0, worus die Behuptung folgt. 3.2 Der binomische Stz gilt: ( + b) n = n ( n i) i b n i Zum Beweis bestimme mn ds n-te Tylorpolynom p n (x) der Funktion f mit f(x) = ( + x) n. Nch der ersten ngegebenen Folgerung sind die Werte f(x) und p n (x) für jedes x gleich. Wenn mn diese Gleichung ufschreibt, steht (mit x = b) der binomische Stz d. 3

4 3 Folgerungen, Anwendungen und Gegenbeispiele 3.3 Approximierbrkeit einer speziellen Funktionenklsse Nch einer beknnten Übungsufgbe zur Anlysis wird für jede reelle Zhl b und jedes reelle k der Wert des Ausdrucks bn+1 (n+1)! k beliebig klein, wenn mn n hinreichend groß wählt. Hierus folgt unmittelbr, dss sich für jede Funktion f die uf der Menge der reellen Zhlen beliebig oft differenzierbr ist und gleichmäßig beschränkte Ableitungen ht, für jede Stelle b die Differenz zwischen f(b) und p n (b) beliebig klein mchen lässt. Dbei bedeutet gleichmäßige Beschränktheit der Ableitungen von f, dss eine reelle Zhl k mit der Eigenschft existiert, dss für lle Stellen x und für lle Nummern n gilt f (n) (x) < k. 3.4 Beispiel einer Funktion, die nicht durch ihr bei 0 entwickeltes Tylorpolynom pproximiert wird Die Vermutung, dss sich mithilfe der n der Stelle 0 entwickelten Schmiegepolynome Funktionswerte einer jeden unendlich oft differenzierbren Funktion beliebig genu berechnen lssen, widerlegt ds folgende Gegenbeispiel: Die durch f(0) = 0 und f(x) = exp 1 x 2 für x 0 definierte Funktion f ist überll unendlich oft differenzierbr, wobei für jede ntürliche Zhl n gilt: f (n) (0) = 0; dher ist p n (x) = 0 für jedes x und jedes n. 4

5 4 Die Integrlform des Stzes von Tylor 4 Die Integrlform des Stzes von Tylor 4.1 Stz von Lgrnge Vorussetzung: Es sei n eine ntürliche Zhl und u, v uf einem bgeschlossenen Intervll ; b] (n+1)- ml differenzierbre Funktionen. Behuptung: ) b) n ] ( 1) i u (n i) v (i) = u (n+1) v + ( 1) n uv (n+1) n (i)]b b b ( 1) i u (n i) v = u (n+1) (x) v(x)dx + ( 1) n u(x)v (n+1) (x)dx Beweis : n ] ( 1) i u (n i) v (i) = ( 1) i u (n i+1) v (i) + ( 1) i u (n i) v (i+1) n 1 = u (n+1) v + ( 1) i u (n i+1) v (i) + ( 1) i u (n i) v (i+1) + ( 1) n uv (n+1) = u (n+1) v + ( 1) i u (n i+1) v (i) + ( 1) i 1 u (n i+1) v i + ( 1) n uv (n+1) D die beiden Summen in der Mitte des letzten Ausdrucks entgegengesetzt gleich sind, folgt Teil der Behuptung. Und us dem Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung ergibt sich dmit die Richtigkeit von Teil b der Behuptung. 4.2 Die Integrlform des Restglieds Ist nun f eine über, b] (n+1)-ml stetig differenzierbre Funktion und u := f, v(x) := (b x)n so gilt ( 1) i v (i) = (b x)n i (n i)! für i {0, 1, 2,..., n}. Für die Funktion v ht mn: ( 1) n v (n) (x) 1, v (n+1) (x) 0, v (i) (b) = 0 (i = 1, 2, 3,..., n 1) Durch Einsetzen in Teil b des Stzes von Lgrnge ergibt sich drus n ] b f (n i) (b x)n i b (x) = f (n+1) (b x)n (x) dx, (n i)! f(b) f (n i) (b x)n i b () = f (n+1) (b x)n (x) dx (n i)! und somit f(b) = f (i) () (b x)i i! + b lso f (n+1) (x) (b x)n n f (i) () i! (b x) i ist ber gerde der Wert des n-ten Schmiegepolynoms zu f, entwickelt n der Stelle für ds Argument b: b f(b) = p n (b) + f (n+1) (b x)n (x) dx, für vribles b : f(x) = p n (x) + f (n+1) (x t)n (t) dt. dx., 5

6 4 Die Integrlform des Stzes von Tylor Als Restglied r n (= f(x) p n (x)) ergibt sich dmit: r n = f (n+1) (t) (x t)n dt. 4.3 Andere Restgliedformen Auf die Integrlform des Restglieds r n = f (n+1) (t) (x t)n dt = f (n+1) (t) (x t)n k (x t) k dt in der zuletzt drgestellten Form drf der Mittelwertstz der Integrlrechnung ngewendet werden, d der Fktor (x t) k im Integrtionsintervll keinen Vorzeichenwechsel ht. Es gibt lso (in Abhängigkeit von k) eine Stelle c im offenen Intervll ], x mit der Eigenschft f (n+1) (t) (x t)n k (x t) k dt = f (n+1) (x c)n k (c) = f (n+1) (x c)n k (c) Je nch Whl von k erhält mn jetzt die verschiedenen Restgliedformen: k = 0 : r n (x) = f (n+1) (x c)n (c) (x ) k = n : r n (x) = f (n+1) (x )n+1 (c) (Lgrnge) (n + 1)! (x t) k dt (x )k+1 k + 1 Hinweis: Die Herleitung des Restglieds nch Lgrnge unter Verwendung des verllgemeinerten Stzes von Rolle kommt, wie die Herleitung weiter oben zeigte, mit etws reduzierten Vorussetzungen us: Die Stetigkeit der (n+1)-ten Ableitung von f n den Rndstellen des betrchteten Intervlls, b] brucht nicht vorusgesetzt zu werden. 6

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