Vorwort. Bayreuth, Juli Lars Grüne

Transkript

1 Anlysis I und II Lrs Grüne Lehrstuhl für Angewndte Mthemtik Mthemtisches Institut Fkultät für Mthemtik, Physik und Informtik Universität Byreuth Byreuth lrs.gruene@uni-byreuth.de lgruene/ Vorlesungsskript 1. Auflge Winter- und Sommersemester 2011/2012

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3 Vorwort Dieses Skript ist im Rhmen einer gleichnmigen Vorlesung entstnden, die ich im Wintersemester 2011/2012 und im Sommersemester 2012 n der Universität Byreuth gehlten hbe. Die einzelnen Kpitel des Skriptes wurden uf Bsis der im Literturverzeichnis ngegebenen Lehrbücher erstellt. Ich möchte mich n dieser Stelle bei den vielen ufmerksmen Studenten/innen sowie bei meinen Mitrbeiter/innen Philipp Brun, Christin Gleißner, Kthrin Schüler und Mrleen Stieler bednken, die viele Fehler gefunden hben, die in dieser Version korrigiert werden konnten. Die Verntwortung für lle verbleibenden Fehler liegt selbstverständlich bei mir. Hinweise dzu werden gerne entgegengenommen. Eine elektronische Version dieses Skripts gibt es unter Lrs Skripten. Die zugehörigen Übungsufgben finden sich im E-Lerning System der Universität Byreuth unter sowie unter Auf Anfrge per E-Mil n lrs.gruene@uni-byreuth.de geben wir Ihnen gerne einen Gstzugng zu diesen Unterlgen. Byreuth, Juli 2012 Lrs Grüne i

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5 Inhltsverzeichnis Vorwort i 1 Ntürliche Zhlen und die vollständige Induktion Ein einführendes Beispiel Ds Prinzip der vollständigen Induktion Beispiele für die vollständige Induktion Weitere Anmerkungen zum Induktionsprinzip Die reellen Zhlen Mengennottion Die Körperxiome Die Anordnungsxiome Ds Vollständigkeitsxiom Infimum und Supremum Die Überbzählbrkeit von R Folgen Definition und Beispiele Konvergenz Eigenschften und Rechenregeln konvergenter Folgen Uneigentliche Konvergenz Cuchy-Folgen und monotone Folgen Teilfolgen Reihen Definition und Beispiele Konvergenzkriterien für unendliche Reihen Absolute Konvergenz iii

6 iv INHALTSVERZEICHNIS 5 Funktionen Definition und Beispiele Grenzwerte bei Funktionen Stetigkeit Sätze über stetige Funktionen Ds ε-δ Kriterium für Stetigkeit Exponentilfunktion und Logrithmus Definition der Exponentilfunktion Rechenregeln und Eigenschften der Exponentilfunktion Umkehrfunktionen Die Logrithmusfunktion Limesverhlten von exp und ln Anhng: Elementrer Beweis von Stz Die komplexen Zhlen Definition und Rechenregeln Vernschulichung Komplexe Folgen und Reihen Die komplexe Exponentilfunktion Die trigonometrischen Funktionen Definition Eigenschften von Sinus und Cosinus Die Zhl π Umkehrfunktionen Polrkoordinten Differentition Definition und Beispiele Rechenregeln und Eigenschften der Differentition Einseitige Ableitungen Die Ableitung ls Funktion Anwendungen der Differentilrechnung Extremwerte und der Mittelwertstz Die Tylor-Entwicklung

7 INHALTSVERZEICHNIS v 11 Funktionenfolgen Definitionen Stetigkeit und Differenzierbrkeit Potenzreihen Anhng: Eine Tylorreihe mit Konvergenzrdius Ds Riemnn-Integrl Integrle für Treppenfunktionen Ds Riemnn-Integrl Eigenschften des Riemnn-Integrls Riemnn-integrierbre Funktionen Mittelwertstz der Integrlrechnung Differentil- und Integrlrechnung Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Rechenregeln Erweiterungen und weitere Eigenschften Uneigentliche Integrle Funktionenfolgen Ds Lebesgue-Integrl Lebesgue-Nullmengen Monotone Konvergenz von Treppenfunktionen Definition des Lebesgue-Integrls Uneigentliche Lebesgue-Integrle Eigenschften des Lebesgue-Integrl Elemementre Eigenschften Konvergenzsätze Funktionen im R n und topologische Grundlgen Metrik und Norm Offene und bgeschlossene Mengen

8 vi INHALTSVERZEICHNIS 18 Grenzwerte und Stetigkeit Grenzwerte Stetigkeit Linere Funktionen Weitere Stetigkeitskriterien Kompktheit Definition und Beispiele Eigenschften kompkter Mengen Kompktheit und Grenzwerte Kompktheit und Stetigkeit Äquivlenz von Normen im R n Differenzierbrkeit im R n Differenzierbrkeit Prtielle Ableitungen Die Richtungsbleitung Der Grdient Rechenregeln für Ableitungen im R n Höhere prtielle Ableitungen Anwendungen der Differentilrechnung im R n Tylor-Polynome Der Mittelwertstz der Differentilrechnung im R n Extremwerte Implizite Funktionen und Umkehrfunktionen Implizite Funktionen Umkehrfunktionen Ds Riemnn-Integrl im R n Treppenfunktionen Definition des Riemnn-Integrls Der Stz von Fubini für stetige Funktionen Integrle über Teilrgumente

9 INHALTSVERZEICHNIS vii 24 Ds Lebesgue-Integrl im R n Nullmengen im R n Definition des Lebesgue-Integrls Lebesgue-messbre Mengen Der Stz von Fubini Die Trnsformtionsformel L p -Räume Literturverzeichnis 331 Index 332

10 Kpitel 1 Ntürliche Zhlen und die vollständige Induktion Der Huptgegenstnd der Anlysis sind die Funktionen. Dies sind mthemtische Objekte, die Beziehungen zwischen Zhlen usdrücken. Funktionen werden wir in einigen Kpiteln einführen und usführlich untersuchen. Zunächst wollen wir uns ber mit den zu Grunde liegenden Objekten, den Zhlen beschäftigen. In diesem Kpitel geht es dbei um die einfchsten Zhlen, die ntürlichen Zhlen {0, 1, 2, 3,...}. Hier vereinbren wir, dss die ntürlichen Zhlen die 0 enthlten, in mnchen Büchern wird mit der 1 begonnen, ws für die folgenden Ausführungen ber keinen wesentlichen Unterschied mcht. Die Menge der ntürlichen Zhlen wird mit dem Symbol N bezeichnet. Mn knn ntürliche Zhlen uf streng mthemtische Weise definieren durch sogennnte Axiome, woruf wir m Ende dieses Kpitels kurz eingehen werden. Für diese Vorlesung reicht die us der Schule beknnte informelle Vorstellung von den ntürlichen Zhlen ber völlig us. Neben den ntürlichen Zhlen werden wir in diesem Kpitel uch die Menge R der reellen Zhlen verwenden, wobei wir erst einml dvon usgehen, dss diese ebenflls us der Schule beknnt sind. Mit der genuen Definition der reellen Zhlen werden wir uns im nchfolgenden Kpitel usführlich beschäftigen. Stnd: 20. Juli Ein einführendes Beispiel Wir wollen in diesem ersten Kpitel eine Beweistechnik einführen, mit der mn mthemtische Aussgen für lle ntürlichen Zhlen beweisen knn. Als Motivtion betrchten wir die folgende Aufgbe: Berechne die Summe der ersten n positiven ntürlichen Zhlen (n 1) + n. Um diese Summe kürzer schreiben zu können, drücken wir sie mit Hilfe des Summensymbols us, ds wie folgt definiert ist. 1

11 2 KAPITEL 1. NATÜRLICHE ZAHLEN UND DIE VOLLSTÄNDIGE INDUKTION Definition 1.1 Es seien m, n ntürliche Zhlen mit m n. Für jede ntürliche Zhl k = m,..., n sei k eine reelle Zhl. Dnn definieren wir n k := m + m n. k=m Zusätzlich definieren wir für m 1 die leere Summe ls m 1 k=m k := 0 unbhängig dvon, welche Werte die k nnehmen. Ds Symbol := bedeutet dbei, dss ds Objekt, ds uf der Seite des Doppelpunktes steht, durch den Ausdruck uf der nderen Seite definiert wird, lso gerde diesen Wert erhält. Mit der Summenschreibweise lutet die obige Aufgbe lso: n Berechne k. Zu dieser Aufgbe gibt es eine Anekdote über den Mthemtiker Crl Friedrich Guß ( ), dessen Lehrer seiner Klsse in seiner Schulzeit die Aufgbe gestellt ht, die ersten 100 Zhlen zusmmenzuzählen. Dies ist gerde unsere Aufgbe mit n = 100. Sttt die Zhlen ncheinnder zusmmenzuzählen, ist Guß wie folgt vorgegngen k=1 100 k = ( ) + (2 + 99) ( ) + ( ) k=1 = }{{} insgesmt 50 Summnden und konnte die Lösung dmit viel schneller usrechnen. = = 5050 Diese Idee lässt sich uf beliebige n verllgemeinern. Im Fll, dss n gerde ist, knn mn schreiben n k = (1 + n) + (2 + (n 1)) ((n/2 1) + (n/2 + 2)) + (n/2 + (n/2 + 1)) k=1 = (n + 1) + (n + 1) (n + 1) + (n + 1) }{{} insgesmt n/2 Summnden = n/2 (n + 1) = n(n + 1). 2 Im Fll, dss n ungerde ist, knn mn den Trick geeignet bändern und erhält ds selbe Ergebnis (Übungsufgbe). Mn könnte nun meinen, dss die Aufgbe dmit gelöst ist. Ds ist im strengen mthemtischen Sinne (den wir in dieser Vorlesung immer nlegen werden) ber nicht richtig. Zwr mcht die obige Rechnung plusibel, dss die Gleichung n n(n + 1) k = (1.1) 2 k=1

12 1.2. DAS PRINZIP DER VOLLSTÄNDIGEN INDUKTION 3 für lle n N gilt. Mthemtisch gesehen ist ds ber noch nicht forml bewiesen! Der Grund liegt in den Pünktchen in der Summe (1 + n) + (2 + (n 1)) ((n/2 1) + (n/2 + 2)) + (n/2 + (n/2 + 1)). Zwr ist nschulich völlig klr, ws sich hinter diesen Pünktchen verbirgt, für eine lückenlose mthemtische Beweisführung müssten wir die fehlenden Terme ber lle hinschreiben 1. Dzu müssten wir wissen, wie groß n ist, dmit wir wissen, wie viele Terme wir n Stelle der Pünktchen schreiben müssen. Wir können die obige Rechnung dher für jedes n N zu einem forml korrekten Beweis usbuen, müssen ds ber für jedes n einzeln mchen. Weil es ber unendlich viele n N gibt, können wir uf diese Weise keinen Beweis erhlten, der die Formel für lle n N beweist. 1.2 Ds Prinzip der vollständigen Induktion Ds Beweisprinzip der vollständigen Induktion löst ds gerde erläuterte Problem uf eine elegnte Weise. Für ein gegebenes n 0 N dient ds Prinzip dzu, eine Aussge A(n) für lle n N mit n n 0 zu beweisen. Ds Prinzip besteht us den folgenden beiden Schritten: (1) Induktionsnfng (n = n 0 ): Beweise, dss A(n 0 ) eine whre Aussge ist (2) Induktionsschritt (n n + 1): Beweise, dss für lle n n 0 gilt: Flls A(n) eine whre Aussge ist, so ist uch A(n + 1) eine whre Aussge Dss dmit die Aussge A(n) ttsächlich für lle n n 0 gilt, ist leicht einzusehen: Dss A(n 0 ) gilt, folgt sofort us (1). Wiederholte Anwendung von (2) liefert dnn die Aussge A(n 0 + 1), A(n 0 + 2), A(n 0 + 3) usw. Wichtig dbei ist, dss mn diese wiederholte Anwendung von (2) nicht prktisch usführen muss: Entscheidend ist, dss mn durch den Beweis von (2) weiß, dss mn den Induktionsschritt beliebig oft usführen könnte. Wir illustrieren die Anwendung des Prinzips n dem Problem us dem vorhergehenden Abschnitt und formulieren ds Ergebnis ls Stz. Stz 1.2 Für lle n N gilt n k = k=1 n(n + 1). 2 Beweis: Wir wenden ds Prinzip der vollständigen Induktion für n 0 = 0 uf die Aussge [ n ] n(n + 1) A(n) := k = 2 n. k=1 1 Ds mg für diese Aufgbe nch übertriebener Genuigkeit ussehen, so bld wir ber etws kompliziertere Aufgbenstellungen betrchten (einige dvon kommen im Rest dieses Kpitels), versgt die Anschuung schnell und es ist überhupt nicht mehr nschulich klr, ws genu sich hinter den Pünktchen verbirgt.

13 4 KAPITEL 1. NATÜRLICHE ZAHLEN UND DIE VOLLSTÄNDIGE INDUKTION Induktionsnfng: n = n 0 = 0. Für n = 0 ist die Summe die leere Summe, lso gilt Andererseits gilt Dmit ist A(0) bewiesen. n k = k=1 n(n + 1) 2 0 k = 0. k=1 = = 0 2 = 0. Induktionsschritt: Es gelte A(n) für ein n N. Diese Annhme wird ls Induktionsnnhme bezeichnet. Zu zeigen ist, dss dnn uch A(n + 1) gilt, lso n+1 k = k=1 (n + 1)(n + 2). 2 Aus der Induktionsnnhme wissen wir ( n+1 n ) k = k + (n + 1) = k=1 k=1 n(n + 1) 2 + (n + 1). Zu zeigen ist lso n(n + 1) (n + 1)(n + 2) + (n + 1) =. 2 2 Ausmultiplizieren der beiden Zähler liefert, dss diese Gleichung äquivlent ist zu Wegen n 2 + n 2 + (n + 1) = n2 + 3n n 2 + 3n = n2 + n + 2n ist diese Gleichung ttsächlich erfüllt. = n2 + n 2 + 2n = n2 + n 2 + (n + 1) Vorussetzung für die Anwendung der vollständigen Induktion ist, dss mn zunächst einml einen Kndidten für eine gültige Aussge A(n) ht. Ds Prinzip der Induktion hilft einem im Allgemeinen nicht dbei, die Aussge A(n) zu finden. Es dient lediglich dzu, eine Aussge, die mn wie im vorhergehenden Abschnitt für endlich viele n bereits hergeleitet ht, für lle n n 0 mthemtisch rigoros zu beweisen oder zu widerlegen, wenn mn beim Beweis des Induktionsschritts feststellt, dss dieser nicht gilt. Ds Finden der Aussge 2 A(n), für die mn die Induktion ttsächlich durchführen knn, ist oftmls der schwierigste Teil, wenn mn die vollständige Induktion prktisch nwenden will und verlngt meist die richtige Intuition und etws Kretivität. Bevor wir weitere Beispiele der vollständigen Induktion kennen lernen, wollen wir für die weiteren Beweise etws Nottion einführen, mit der mn die Schreibweise von Beweisen etws bkürzen knn. 2 Ebenso muss für die Induktion ntürlich uch ein pssendes n 0 gefunden werden, ws ber zumeist einfcher ist, ls die Aussge A(n) zu finden.

14 1.2. DAS PRINZIP DER VOLLSTÄNDIGEN INDUKTION 5 Für logische Folgerungen verwenden wir die Folgepfeilnottion 3. Wenn us einer Aussge A 1 die Aussge A 2 folgt, dnn schreiben wir A 1 A 2 (1.2) (oder uch A 2 A 1 ). Dbei wird der Zustz ist whr oder ist eine whre Aussge zumeist weggelssen. Sttt A 1 ist whr schreiben wir lso meist kurz A 1. Die im Beweis von Stz 1.2 bewiesene Folgerung knn mn mit dieser Schreibweise dnn kurz ls für lle n n 0 gilt: n k = k=1 n(n + 1) 2 n+1 k = k=1 (n + 1)(n + 2) 2 schreiben. Allgemein knn mn den Induktionsschritt mit dieser Schreibweise kurz ls für lle n n 0 gilt: n k = A(n) A(n + 1) k=1 schreiben. Dies zeigt bereits eine typische Eigenschft der hier gnz bstrkt formulierten Aussgen A 1 und A 2 : diese beschreiben meist nicht eine Eigenschft für eine Zhl, sondern Aussgen, die für viele Zhlen gelten, hier gerde für lle ntürlichen Zhlen n. Für A 1 A 2 gibt es verschiedene Sprechweisen: A 1 impliziert A 2 wenn A 1 gilt, dnn gilt uch A 2 A 1 ist hinreichend für A 2 A 2 folgt us A 1 A 2 gilt, wenn A 1 gilt A 2 ist notwendig für A 1 Die letzte Sprechweise ist dbei durch die folgende Ttsche motiviert: Nehmen wir n, die Folgerung A 1 A 2 ist whr. Als Beispiel für eine solche whre Folgerung nehmen wir die Aussge für ntürliche Zhlen n n} ist ohne Rest{{ durch 4 teilbr } n} ist ohne Rest{{ durch 2 teilbr } A 1 A 2. Diese ist sicherlich für lle ntürlichen Zhlen n N whr. Wenn nun A 2 für ein n nicht gilt, so knn uch A 1 für dieses n nicht gelten (denn wenn A 1 gälte, würde die obige Folgerung implizieren, dss A 2 uch gilt). Die Eigenschft n ist ohne Rest durch 2 teilbr (A2) ist 3 Diese wird n der Tfel öfter benutzt ls in diesem Skript.

15 6 KAPITEL 1. NATÜRLICHE ZAHLEN UND DIE VOLLSTÄNDIGE INDUKTION lso eine notwendige Vorussetzung dfür, dss die Eigenschft n ist ohne Rest durch 4 teilbr (A1) gilt. Den gerde benutzen Zwischenschritt wenn A 2 nicht gilt, dnn gilt uch A 1 nicht, knn mn mit dem Folgepfeil uch ls A 2 gilt nicht A 1 gilt nicht (1.3) schreiben. D mn die Argumenttion von oben in gleicher Weise in umgekehrter Richtung nwenden knn, ist die Folgerung (1.3) gleichbedeutend mit der Folgerung (1.2), ws mn sich in Beweisen oft zu Nutze mcht. Wenn für zwei Aussgen sowohl A 1 A 2 ls uch A 2 A 1 gilt, so schreibt mn A 1 A 2. Die Aussgen A 1 und A 2 heißen dnn äquivlent und mn sgt uch: A 1 gilt genu dnn, wenn A 2 gilt Beispiele für die vollständige Induktion In diesem Abschnitt wollen wir ds Prinzip der vollständigen Induktion n einigen Beispielussgen illustrieren und dbei nebenbei einige Aussgen beweisen, die im weiteren Verluf der Vorlesung nützlich sind. Wir beginnen mit der Frge nch einer Formel für die Summe n x k, wobei x R ist und wir vereinbren, dss x 0 = 1 gelten soll. Diese Summe wird geometrische Reihe gennnt und wird uns im weiteren Verluf der Vorlesung noch öfter begegnen. Wir betrchten hier den Fll x 1; wrum, werden wir in Kürze sehen. Ds ist ber keine große Einschränkung, weil wir für den Fll x = 1 gr keinen Induktionsbeweis benötigen: in diesem Fll gilt nämlich x k = 1 für lle k und wir erhlten direkt n 1k = n + 1. Um eine Idee zu bekommen, wie die Lösung für x 1 ussehen könnte (denn solch eine Idee bruchen wir j, um die Induktion überhupt zu beginnen), testen wir zunächst einml kleine k: x k = 1, x k = 1 + x, x k = 1 + x + x 2, x k = 1 + x + x 2 + x 3,... Hier sieht mn noch nicht so wirklich viel. Die richtige Idee ist nun, die Ausdrücke uf der rechten Seite mit 1 x zu erweitern (wer druf zum ersten Ml gekommen ist, ist meines Wissens nicht überliefert). Dmit erhält mn 1 1 x 1 x = 1 x x, (1 + x)1 1 x 1 x = 1 + x x x2 1 x = 1 x2 1 x, 4 Die Aussgen A 1 gilt, wenn A 2 gilt und A 1 gilt genu dnn, wenn A 2 gilt werden oft verwechselt, ws schon zu mnchem flschen Beweis geführt ht. In der Kurzschreibweise lutet die erste Aussge A 1 A 2 und die zweite A 1 A 2. Hier ist die Verwechslungsgefhr viel geringer.

16 1.3. BEISPIELE FÜR DIE VOLLSTÄNDIGE INDUKTION 7 (1 + x + x 2 ) 1 x 1 x = 1 + x + x2 x x 2 x 3 1 x = 1 x3 1 x, (1 + x + x 2 + x 3 ) 1 x 1 x = 1 + x + x2 + x 3 x x 2 x 3 x 4 1 x Dies legt die Vermutung nhe, dss n x k = 1 xn+1 1 x = 1 x4 1 x. gilt (und erklärt uch, wrum wir x = 1 usgeschlossen hben, denn durch 1 1 = 0 knn mn nicht teilen). Dss diese Vermutung ttsächlich stimmt, beweisen wir wieder per Induktion. Stz 1.3 Für die geometrische Reihe gilt für jedes x 1 und jedes n N die Gleichung n x k = 1 xn+1 1 x. Beweis: Wir beweisen die Aussge 5 A(n) := [ n ] x k = 1 xn+1 1 x per Induktion beginnend mit n = n 0 = 0. Hierfür gilt 0 x k = 1 = 1 x 1 x = 1 x1 1 x A(n 0 ). Für den Induktionsschritt n n + 1 nehmen wir n, dss A(n) für ein gegebenes n N gilt. Für n + 1 gilt dnn n+1 x k = ws genu A(n + 1) ist. n x k }{{} = 1 xn+1 (Ind.nn.) 1 x = 1 xn+1 + x n+1 (1 x) 1 x + x n+1 = 1 xn+1 1 x + xn+1 = 1 xn+2 1 x, Betrchten wir nun zur Abwechslung ein Problem, in dem keine Summe uftucht. Es geht um die Frge, uf wie viele verschiedene Arten mn die Elemente einer n-elementigen Menge {A 1, A 2,..., A n } nordnen knn. 5 Wenn mn etws Übung im Umgng mit der vollständigen Induktion ht, knn mn die usführliche Definition von A(n) im Beweis uch weglssen, ws wir im Folgenden uch mchen werden. Für den Anfng ist es ber sicherlich eine gute Hilfe, genu hinzuschreiben, ws mn eigentlich beweisen will.

17 8 KAPITEL 1. NATÜRLICHE ZAHLEN UND DIE VOLLSTÄNDIGE INDUKTION Auch hier mchen wir wieder eine Vorüberlegung, um uf einen Anstz für die Induktion zu kommen: An der ersten Stelle der Anordnung hben wir genu n Möglichkeiten, um ein Element zu wählen. An der zweiten Stelle bleiben dnn noch n 1 Möglichkeiten, n der dritten n 2 usw. bis für die letzte Stelle schließlich noch genu ein Element übrig bleibt. Insgesmt führt ds uf n (n 1) (n 2) Möglichkeiten. Diese Zhl wird n Fkultät gennnt und mit n! bezeichnet. Führt mn nlog zum Summensymbol (und mit den gleichen m, n und k wie in Definition 1.1) ein Produktsymbol mittels n k := m m+1... n und ds leere Produkt ls k=m ein, so knn mn die Fkultät uch ls schreiben. m 1 k=m n! = k := 1 n k Den folgenden Stz beweisen wir wieder mit Induktion, wodurch wir ds informelle usw. in der obigen Begründung vermeiden können. Stz 1.4 Die Anzhl der möglichen Anordnungen einer n-elementigen Menge {A 1, A 2,..., A n } mit n N, n 0, beträgt n!. k=1 Beweis: Per vollständiger Induktion mit n 0 = 1. Für n = n 0 = 1 gibt es offensichtlich genu eine Möglichkeit der Anordnung, weswegen die Aussge wegen 1! = 1 für n 0 = 1 stimmt. Nehmen wir nun n, dss die Aussge für n N erfüllt ist. Für eine Menge mit n + 1 Elementen gibt es dnn gerde n + 1 verschiedene Elemente, die n der ersten Stelle der Anordnung stehen können. Für die in der Anordnung folgenden restlichen n Elemente gibt es nch Induktionsnnhme jeweils gerde n! Möglichkeiten. Insgesmt erhlten wir lso (n + 1) n! = (n + 1)! mögliche Anordnungen, womit die Aussge für n + 1 bewiesen ist. Die Fkultät ist ber nicht nur für die Beschreibung von Teilmengen gut. Im Rest dieses Abschnitts betrchten wir ds Problem, den Ausdruck (x + y) n für zwei reelle Zhlen x, y R und beliebiges n N uszumultiplizeren. Ds Resultt, ds wir so herleiten wollen, wird Binomischer Lehrstz gennnt.

18 1.3. BEISPIELE FÜR DIE VOLLSTÄNDIGE INDUKTION 9 Um zu einer Aussge A(n) zu kommen, für die wir dnn einen Induktionsbeweis führen können, ist hier eine etws längere Vorüberlegung nötig. Wir beginnen wieder dmit, die Lösung für kleine n zu berechnen. Ds ist ntürlich mit etws Rechenufwnd verbunden; der Kürze hlber stellen wir hier nur die Ergebnisse für n = 0,..., 4 dr: (x + y) 0 = 1 (x + y) 1 = x + y (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 (x + y) 4 = x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4 Die etws seltsme Anordnung der rechten Seiten dieser Gleichungen in Dreiecksform hilft jetzt, ein Muster bei den Vorfktoren der einzelnen Terme zu erkennen. Schreiben wir diese ohne die x und y hin (und schreiben eine 1, wo kein expliziter Vorfktor steht), so erhält mn Ds Muster, ds mn jetzt erkennen knn, besteht drin, dss die Einträge m Rnd immer den Wert 1 hben und jede nicht m Rnd stehende Zhl gerde die Summe der beiden drüberstehenden Zhlen ist. Die entstehende Figur nennt mn nch Blise Pscl ( ) ds Psclsche Dreieck, es wr ttsächlich ber bereits vor Pscl beknnt 6. Die Einträge im Psclschen Dreieck werden ls Binomilkoeffizienten bezeichnet. Wir nummerieren die Einträge im Psclschen Dreieck nun von oben nch unten mit n und von links nch rechts mit k durch (jeweils beginnend mit 0) und bezeichnen den jeweiligen Binomilkoeffizienten mit ( ( n k), lso z.b. 2 ( 1) := 2, 4 3) := 4 oder llgemein ( 0 ( 1 ) 0) ( 1 ( 0 2 ) ( 2 ) 1) ( 2 ( ) ( 3 ) ( 3 ) 2) ( 3 ( ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) 3) ( ) Dnn erhlten wir us dem Psclschen Dreieck die Beziehungen ( ) ( ) ( ) n + 1 n n = + k + 1 k k + 1 (1.4) sowie ( ) n = 0 ( ) n = 1. (1.5) n 6 In Wikipedi findet mn viele interessnte Informtionen dzu, die mn ntürlich mit der bei Wikipedi- Einträgen immer ngebrchten Vorsicht betrchten sollte.

19 10 KAPITEL 1. NATÜRLICHE ZAHLEN UND DIE VOLLSTÄNDIGE INDUKTION Durch diese Beziehungen sind die Binomilkoeffizienten für lle n 0 und lle k = 0,..., n eindeutig bestimmt. Mit Hilfe kombintorischer Überlegungen, die wir hier us Zeitgründen nicht usführen, kommt mn uf die Vermutung, dss die Binomilkoeffizienten durch die Formel k j=1 n j + 1 j = n (n 1)... (n k + 1) k (1.6) gegeben ist, die mn (wie mn mit etws Überlegen sieht) für k = 0,..., n uch ls k j=1 n j + 1 j = n! k!(n k)! schreiben knn, wenn wir die Konvention 0! = 1 verwenden. Aus dieser Drstellung folgt insbesondere n! 0!(n 0)! = n! n! = 1 und n! n!(n n)! = n! = 1 für lle n N, (1.7) n! d.h. die Formel liefert wegen (1.5) den korrekten Wert für lle Rndelemente im Psclschen Dreieck. Wir beweisen nun per Induktion, dss die Formel (1.6) uch für lle nderen Einträge im Psclschen Dreieck stimmt. Lemm Für die Binomilkoeffizienten gilt für lle n N und lle k = 0,..., n ( ) n n! = k k!(n k)!. Beweis: Wir beweisen die Aussge per Induktion über n. Für n = 0 gibt es nur den Koeffizienten ( 0 0), für den die Formel wegen ( ) 0 = 1 und 0 0 j=1 n j + 1 j = 1 gilt (bechte, dss wir hier wieder ds leere Produkt benutzt hben). Für den Induktionsschritt n n + 1 nehmen wir n, dss die Formel für ein gegebenes n N und lle k = 0,..., n stimmt. Für die Elemente m Rnd htten wir bereits vorher überlegt, dss die Formel wegen (1.7) stimmt. Im Induktionsschritt müssen wir lso nur noch zeigen, dss die Formel für n + 1 uch für die nicht m Rnd liegenden Elemente stimmt. Dzu ist zu beweisen, dss (1.4) gilt, d.h. dss die Formel für n + 1 gerde gleich der Summe der Formeln für die beiden drüberstehenden Koeffizienten us der Zeile n ist, dss lso n! k!(n k)! + n! (k + 1)!(n k 1)! = (n + 1)! (k + 1)!(n + 1 (k + 1))! 7 Ein Lemm ist in der Mthemtik eine Hilfsussge, die meist zur Vorbereitung des Beweises eines Stzes benötigt wird.

20 1.3. BEISPIELE FÜR DIE VOLLSTÄNDIGE INDUKTION 11 gilt. Wegen n! k!(n k)! + n! (k + 1)!(n k 1)! = = = = (k + 1)n! (k + 1)!(n k)! + n!(n k) (k + 1)!(n k)! (k + 1)n! + n!(n k) (k + 1)!(n k)! (n + 1)n! (k + 1)!(n + 1 (k + 1))! (n + 1)! (k + 1)!(n + 1 (k + 1))! ist dies ber gerde erfüllt, womit der Induktionsschritt bewiesen ist. Schuen wir jetzt zurück uf die Herleitung des Psclschen Dreiecks us den Koeffizienten des usmultiplizierten Terms (x + y) n, kommt mn leicht uf die Vermutung (x + y) n = n ( ) n x n k y k. (1.8) k Diese Gleichung ist gerde die Aussge des Binomischen Lehrstzes, den wir jetzt formulieren und beweisen. Stz 1.6 Für lle reellen Zhlen x, y R und jede ntürliche Zhl n N gilt (1.8). Beweis: Mit vollständiger Induktion über n. Für n = 0 gilt (x + y) 0 = 1 und 0 ( ) 0 x n k y k = k ( ) 0 x 0 y 0 = 1. 0 Dmit ist der Induktionsnfng bewiesen.

21 12 KAPITEL 1. NATÜRLICHE ZAHLEN UND DIE VOLLSTÄNDIGE INDUKTION Zum Beweis des Induktionsschritts rechnen wir (x + y) n+1 = (x + y) n (x + y) ( n ( ) n (Ind.-nnhme) = )x n k y k (x + y) k n ( ) n n ( ) n = x n+1 k y k + x n k y k+1 k k ( n ( ) ( n 1 n ( n = x n+1 + )x n+1 k y k + = x n+1 + k=1 n k=1 k ( ) n x n+1 k y k + k n k=1 ( n k 1 n [( ) ( )] n n = x n x n+1 k y k + y n+1 k k 1 k=1 n ( ) n + 1 (1.4) = x n+1 + x n+1 k y k + y n+1 k k=1 ( ) n + 1 n ( ) n + 1 (1.7) = x n+1 + x n+1 k y k + 0 k k=1 n+1 ( ) n + 1 = x n+1 k y k, k womit die Aussge für n + 1 gilt und der Induktionsschritt bewiesen ist. k ) )x n k y k+1 + y n+1 ) x n (k 1) }{{} =x n+1 k y k + y n+1 ( ) n + 1 y n+1 n Weitere Anmerkungen zum Induktionsprinzip Betrchtet mn die vorhergehenden Abschnitte, so knn mn mit gewissem Recht feststellen, dss mnche Argumente nicht gnz konsequent sind. So hben wir viel Aufwnd getrieben, um die Pünktchen us dem Beweis von (1.1) mit Hilfe der vollständigen Induktion zu entfernen. Ttsächlich finden sich die Pünktchen ber bereits in der Definition der Summe n k=m k und sogr in der Definition der ntürlichen Zhlen gnz m Anfng dieses Kpitels. Ttsächlich knn mn durch Anwendung induktiver Definitionen, die Pünktchen komplett vermeiden. Die Summe knn mn z.b. (mit m und n wie in Definition 1.1) lterntiv mittels m 1 k=m k := 0 und j k := k=m j 1 k=m k + j für j = m,..., n induktiv definieren. Der Grund dfür, dss wir ds nicht gleich m Anfng gemcht hben, liegt einzig und llein drin, dss die Form von Definition 1.1 in diesem einfchen Fll kum mthemtische Missverständnisse hervorrufen wird, dfür ber deutlich nschulicher ist.

22 1.4. WEITERE ANMERKUNGEN ZUM INDUKTIONSPRINZIP 13 Ähnlich können die ntürlichen Zhlen selbst ohne Pünktchen definiert werden, und zwr über die folgenden Bedingungen. (N0) Die ntürlichen Zhlen bilden eine Menge N, die ein usgezeichnetes Element 0 enthält. (N1) Auf N ist eine Abbildung ν definiert, die jeder Zhl n N eine Zhl ν(n) N mit ν(n) 0 zuordnet. Diese Abbildung erfüllt n 1 n 2 ν(n 1 ) ν(n 2 ) für lle n 1, n 2 N. (N2) Für jede Teilmenge N von N, welche die 0 und für jedes Element n N uch ν(n) enthält, gilt N = N. Die Abbildung ν(n) wird dbei ls Nchfolger von n bezeichnet. Verwenden wir sttt der bstrkten Abbildung ν die us der Schule beknnte Addition, so ergibt sich gerde ν(n) = n + 1. Die Aussgen (N0) (N2) werden Peno-Axiome gennnt, nch dem itlienischen Mthemtiker Giuseppe Peno ( ). Ein Axiom bezeichnet llgemein eine Bedingung, die sich nicht us nderen Bedingungen folgern lässt und folglich einen Grundbustein in der Definition mthemtischer Objekte drstellt. Mn muss etws nchdenken, um sich dvon zu überzeugen, dss die uns seit der Grundschule beknnten ntürlichen Zhlen durch die Peno-Axiome eindeutig festgelegt sind ttsächlich sind sie es wirklich, wir wollen diesen Aspekt ber us Zeitgründen nicht vertiefen. Eine usführliche Behndlung findet sich z.b. in Kpitel I.5 des Buchs Anlysis I von Ammn und Escher [1]. Anzumerken ist llerdings noch, dss die Axiome lediglich die Struktur der ntürlichen Zhlen festlegen, nicht ber deren Bezeichnung. In der üblichen Nottion der ntürlichen Zhlen mit rbischen Ziffern gilt ν(0) = 1, ν(ν(0)) = 2, ν(ν(ν(0))) = 3 usw. mn könnte ber uch gnz ndere Symbole wählen, z.b. I, II, III, IV, V,... wie es die lten Römer gemcht hben (die llerdings die Null noch nicht knnten) oder 0, 1, 10, 11, 100,... wie es bei der Binärdrstellung von Zhlen im Computer gemcht wird. Wichtig ist nur, dss die Struktur der Menge N unbhängig von der Bezeichnung durch (N0) (N2) eindeutig festgelegt ist, ws bedeutet, dss jede Zhl in einer bestimmten Bezeichnung eindeutig einer Zhl in einer beliebigen nderen Bezeichnung solcherrt zugeordnet werden knn, dss die jeweiligen Nchfolger ebenflls wieder einnder zugeordnet werden. Ds Axiom (N2) bildet hierbei die formle Grundlge für ds Prinzip der vollständigen Induktion, denn sie stellt sicher, dss wir mit dem Induktionsprinzip ttsächlich jedes n N erreichen.

23 14 KAPITEL 1. NATÜRLICHE ZAHLEN UND DIE VOLLSTÄNDIGE INDUKTION

24 Kpitel 2 Die reellen Zhlen In diesem Kpitel werden wir die für die Anlysis grundlegenden reellen Zhlen einführen. Zwr gehen wir dvon us, dss diese us der Schule bereits beknnt sind, llerdings werden wir dieses Wissen in diesem Kpitel nicht vorussetzen. Zum Beginn führen wir einige Bezeichnungen für Mengen ein, die wir im Folgenden verwenden werden. Stnd: 20. Juli Mengennottion Eine Menge schreiben wir ls A = { 1, 2, 3,...}, wobei die i die Elemente von A gennnt werden. Flls ein Element einer Menge A ist, schreiben wir A, flls nicht schreiben wir A. Oft benötigen wir Mengen, die lle Elemente einer (oder mehrerer) gegebenen Menge(n) mit gewissen Eigenschften enthlten. Dies schreiben wir forml ls oder uch ls B := { A erfüllt... } B := { A und erfüllt... }. Ds logische und bedeutet dbei, dss beide Bedingungen zugleich erfüllen muss und wird uch mit dem Symbol bgekürzt. Sttt dem Trennstrich knn mn hierbei uch den Doppelpunkt : verwenden. Zum Beispiel können wir die Menge ller gerden ntürlichen Zhlen uf diese Weise beschreiben ls G := {n N n ist ohne Rest durch 2 teilbr} oder uch ls G := {n n N und n = 2k für ein k N}. Die übliche Vereinigung zweier Mengen A und B können wir mit dieser Schreibweise definieren ls A B := { A oder B} 15

25 16 KAPITEL 2. DIE REELLEN ZAHLEN (gesprochen: A vereinigt B). Hierbei bedeutet ds logische oder, dss mindestens eine der Bedingungen erfüllt ist 1. Ds logische oder wird uch mit bgekürzt. Der Schnitt zweier Mengen ist definiert ls A B := { A und B} (gesprochen: A geschnitten B) und die Mengensubtrktion ls A \ B := { A B} (gesprochen: A ohne B, mnchml uch A minus B). Eine Menge B heißt Teilmenge einer Menge A, wenn für jedes b B uch b A gilt. Wir schreiben dnn B A. Für eine Aussge der Form für lle A gilt... wird oft die Schreibweise A :... verwendet und eine Aussge der Form es gibt ein A für ds... gilt wird oft ls A :... geschrieben. Aus der Schule sind bereits verschiedene Mengen von Zhlen beknnt: die ntürlichen Zhlen N = {0, 1, 2, 3, 4,...} die gnzen Zhlen Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} die rtionlen Zhlen Q = { } p q p Z, q N \ {0}. Ebenso sind die reellen Zhlen bereits beknnt. D diese für die Anlysis eine besondere Bedeutung hben, werden wir sie in diesem Kpitel von Grund uf einführen. Dies geschieht mit Hilfe sogennnter Axiome, d.h. durch Bedingungen, die sich nicht us nderen Bedingungen bleiten lssen. 2.2 Die Körperxiome Die erste Gruppe von Axiomen, die wir betrchten wollen, sind die sogennnten Körperxiome. Die Idee hinter diesen Axiomen ist, die Regeln für die üblichen Grundrechenrten so uf ds Wesentliche zu reduzieren, dss lle beknnten Regeln drus bgeleitet werden können und dss kein Axiom us dem nderen bgeleitet werden knn. Körperxiome: Gegeben sei eine Menge K von Zhlen, uf der zwei Opertionen + ( Addition ) und ( Multipliktion ) definiert sind, die je zwei Elementen, b K neue Elemente + b K und b K (meist kurz geschrieben ls b = b) zuordnen. Die Menge K heißt dnn ein Körper, wenn die folgenden Axiome erfüllt sind. (K1) Addition und Multipliktion sind kommuttiv, d.h. für lle, b K gilt + b = b + und b = b. 1 Im Gegenstz zu dem umgngssprchlichen oder, ds oft im Sinne entweder... oder verwendet wird. Beim logischen oder ist es erlubt, dss beide Bedingungen zugleich erfüllt sind, beim umgngssprchlichen oder schließt mn dies oft us.

26 2.2. DIE KÖRPERAXIOME 17 (K2) Addition und Multipliktion sind ssozitiv, d.h. für lle, b, c K gilt ( + b) + c = + (b + c) und (b)c = (bc). (K3) Es gilt ds Distributivgesetz, d.h. für lle, b, c K gilt (b + c) = b + c. (K4) Es existieren Elemente 0 K und 1 K mit 0 1, so dss für lle K gilt + 0 = und 1 =. Die Elemente 0 und 1 werden neutrle Elemente gennnt. (K5) Für jedes K existiert ein Element K und, flls 0, ein Element 1 K, so dss gilt + ( ) = 0 und 1 = 1. Die Elemente und 1 werden inverse Elemente (zu ) gennnt. Alle us der Schule beknnten Rechenregeln lssen sich us diesen Axiomen bleiten. Hier ein pr Beispiele dfür 2 : Es gilt 0 = 0. Beweis: Aus (K4) folgt 0+0 = 0, lso uch 0 = (0+0). Mit (K3) erhlten wir drus 0 = (0 + 0) = Addieren wir nun uf beiden Seiten ( 0) so erhlten wir drus 0 = 0 + ( 0) = ( 0) = 0. Ds inverse Element in (K5) ist eindeutig, ws wir für die Addition beweisen: Seien und ã zwei inverse Elemente, so gilt ( ã) (K4) = ( ã) + 0 (K1) = 0 + ( ã) = (( ) + ) + ( ã) (K5) = ( + ( )) + ( ã) (K2) = ( ) + ( + ( ã)) (K5) = ( ) + 0 (K4) = ( ). Es gilt ( ) =. Beweis: Aus (K1) und (K5) folgt ( ) + = + ( ) = 0. D nch (K5) uch ( ) + ( ( )) = 0 gilt und ds inverse Element eindeutig ist, folgt lso ( ) =. Auf Grund des Assozitivgesetzes ist es gerechtfertigt, einfch + b + c oder bc zu schreiben, weil ds Ergebnis nicht von der Reihenfolge der Rechnungen bhängt. 2 Die Huptschwierigkeit bei den folgenden Beweisen ist, dss mn immer versucht ist, in den Umformungen us der Schule beknnte Rechenregeln nzuwenden, obwohl diese forml noch gr nicht bewiesen sind. Es brucht erfhrungsgemäß eine gewisse Übung, wirklich nur die Axiome und drus bereits gefolgerte Ttschen zu verwenden. Dieses Problem werden wir ber nur in diesem Kpitel hben. So bld wir m Ende dieses Kpitels die reellen Zhlen vollständig eingeführt hben, können wir wieder mit llen us der Schule beknnten Regeln rechnen.

27 18 KAPITEL 2. DIE REELLEN ZAHLEN Es gilt ( + b) = ( ) + ( b). Beweis: D sowohl ( + b) + ( ( + b)) = 0 ls uch ( + b) + ( ) + ( b) = + ( ) + b + ( b) = = 0 gilt, folgt die Aussge us der Eindeutigkeit des inversen Elements. Die nicht explizit ufgeführten Opertionen Subtrktion und Division lssen sich durch b := b + ( ) und b/ := b 1 für und 1 us (K5) definieren, wobei wir im Fll der Division ntürlich 0 vorussetzen. Betrchten wir die oben gennnten Mengen N, Z und Q, so erfüllen N und Z die Körperxiome nicht: In N ist z.b. bereits die Existenz von nicht gegeben. In Z sind lle Axiome mit Ausnhme der Existenz von 1 erfüllt 3 eine solche Struktur nennt mn einen Ring. Ds inverse Element der Multipliktion 1 fehlt z.b. für die Zhl 2, d 2 1 = 1/2 Z. In Q existiert dies und d mn uch lle nderen Körperxiome für Q nchprüfen knn, ist K = Q ein Körper. Ntürlich sind die Körperxiome historisch gerde us der Anschuung der üblichen Rechenregeln entstnden. Es gibt ber uch Körper, deren Addition und Multipliktion nders ls üblich definiert sind und die noch nicht einml unendlich viele Zhlen enthlten müssen. Betrchten wir z.b. die zweielementige Menge {0, 1} und definieren eine Addition mittels und eine Multipliktion mittels := 0, := 1, := 1, := := 0, 0 1 := 0, 1 0 := 0, 1 1 := 1, so knn mn durch Ausprobieren ller Möglichkeiten (ws einfch ber etws länglich ist) nchrechnen, dss lle Körperxiome erfüllt sind. Der so definierte Körper wird mit F 2 bezeichnet und ist ein schönes Beispiel dfür, dss mthemtische Definitionen mnchml unerwrtete Effekte hben können. Betrchten wir z.b. ds Axiom (K5) für = 1 und die Addition in F 2. Aus den gerde definierten Rechenregeln folgt wegen 1+0 = 1 und 1+1 = 0, dss die einzige mögliche Whl für mit +( ) = 0 gerde = 1 ist. Es folgt lso 1 = 1, ws uf den ersten Blick sicherlich überrschend und sehr ungewöhnlich ist. Exotische Körper wie F 2 sind in vielen Bereichen der Mthemtik und uch in Anwendungen wie z.b. der Codierungstheorie wichtige Hilfsmittel, spielen llerdings im weiteren Verluf dieser Vorlesung keine besondere Rolle. 2.3 Die Anordnungsxiome Eine zweite Eigenschft der beknnten Zhlmengen ist die Ttsche, dss wir je zwei Elemente der Größe nch vergleichen können. Genu wie die Körperxiome so formuliert sind, 3 Deswegen knn mn in Z mit der gerde ngegebenen Regel eine Subtrktion definieren. In N geht ds nicht uf diese Weise, llerdings knn mn die Subtrktion uf Z wegen N Z nch N übertrgen, wenn mn nur Subtrktionen mit Ergebnis b N zulässt. Dies definiert ber keine vollständige Subtrktion uf N, weil diese nicht für lle, b definiert ist.

28 2.3. DIE ANORDNUNGSAXIOME 19 dss sich lle beknnten Eigenschften der Grundrechenrten drus bleiten lssen, sind die nun folgenden Anordnungsxiome so beschffen, dss sich lle Rechenregeln für Ungleichungen drus ergeben. Um die Herleitung etws bzukürzen, beschränken wir uns hierbei uf Körper K, die die ntürlichen Zhlen N ls Teilmenge enthlten. Enthlten ist dbei eine informelle Formulierung, die wir noch mthemtisch präzise erläutern müssen: Forml bedeutet dies, dss wir jeder Zhl n N eindeutig eine Zhl n K K zuordnen können, so dss für lle n, m, k N die Äquivlenz n + m = k n K + m K = k K für die Addition in K gilt. Für K = Q ist dies erfüllt, wenn wir wie üblich jeder Zhl n N gerde den Bruch n/1 Q zuordnen. Ds Beispiel F 2 zeigt ber, dss mn uch Körper mit nderen Additionen definieren knn; us diesem Grund muss es nicht unbedingt der Fll sein, dss mn eine Zuordnung finden knn, so dss die Additionen übereinstimmen. 4 Wenn eine solche Zuordnung möglich ist, muss mn zwischen n und n K und den verschiedenen Additionen nicht mehr unterscheiden, weil j stets ds gleiche Ergebnis heruskommt. Wir können lso für K und n N sttt + n K oder n K einfch + n bzw. n schreiben. Anordnungsxiome: Gegeben sei ein Körper K, der die ntürlichen Zhlen im gerde erläuterten Sinne enthält. In K defineren wir gewisse Elemente K ls positiv (Schreibweise: > 0) und verlngen, dss für die positiven Zhlen die folgenden Axiome gelten: (A1) Für jede Zhl K gilt genu eine der drei Reltionen > 0, = 0, > 0. (A2) Aus > 0 und b > 0 folgt + b > 0 und b > 0. (A3) (Archimedisches Axiom) Zu jeder Zhl K gibt es eine ntürliche Zhl n N mit n > 0. Ein Körper, der die Axiome (A1), (A2) und (A3) erfüllt wird rchimedisch ngeordneter Körper gennnt. Wenn positiv ist, nennen wir negtiv. Ds Axiom (A1) knn mn dnn uch wie folgt formulieren: jede Zhl K ist entweder positiv oder negtiv oder gleich Null. Entweder... oder bedeutet dbei, dss nicht zwei dieser Eigenschften zugleich hben knn. Axiom (A2) besgt in Worten, dss Summen und Produkte positiver Zhlen wieder positiv sind. Die Menge der positiven Zhlen wird mit K +, die der negtiven mit K bezeichnet. Zudem schreiben wir für, b K: > b, flls b > 0 ist größer ls b b, flls < b oder = b ist größer oder gleich b < b, flls b > ist kleiner ls b b, flls b ist kleiner oder gleich b 4 Für K = F 2 brucht mn dies ntürlich gr nicht erst versuchen, d bereits die Zuordnung n n K scheitert, weil F 2 j nur 2 Elemente besitzt.

29 20 KAPITEL 2. DIE REELLEN ZAHLEN Die Forderung in Axiom (A3) lässt sich dmit umschreiben ls n >. Ds Axiom besgt dmit, dss es für jede Zhl K eine ntürliche Zhl n geben muss, die größer ls ist. Für die rtionlen Zhlen K = Q sind lle Anordnungsxiome erfüllt, wenn wir die positiven Zhlen wie üblich ls K + := {p/q Q p, q N \ {0}} definieren. (A1) gilt, weil jede rtionle Zhl = p/q ls Zähler entweder eine ntürliche Zhl p N mit p 0 ht (dnn gilt > 0) oder eine negtive Zhl p Z \ N (dnn erhlten wir < 0) oder p = 0 und dmit = 0 gilt. Ds Axiom (A2) folgt us den üblichen Rechenregeln für die Addition und Multipliktion von Brüchen und (A3) folgt, wenn wir n = 0 im Fll p N und n = p + 1 im Fll p N wählen. Alle beknnten Rechenregeln für Ungleichungen lssen sich us den Axiomen bleiten. Der folgende Stz gibt einige Beispiele für Aussgen, die sich llein us (A1) und (A2) folgern lssen. Stz 2.1 Für einen Körper K, der (A1) und (A2) erfüllt, gilt: (1) Für lle, b, c K gilt: > b und b > c > c. (2) Für beliebige, b, c K gilt: > b + c > b + c. (2) Für beliebige, b, c K mit c > 0 gilt: > b c > bc. (3) Für jedes K gilt > 0 < 0 und < 0 > 0. (4) Für beliebige, b K gilt genu eine der Aussgen (5) Für lle, c K gilt: > 0 + c > c. > b, = b, < b. (6) Für lle K gilt: 0 2 > 0. Insbesondere gilt dmit 1 = 1 2 > 0. (7) Für lle K und n N gilt: > 0 n > 0. (8) Für lle, b K mit > 0 und b 0 und lle n N \ {0} gilt: > b n > b n. (9) Für lle K mit 1 und lle n N gilt die Bernoullische Ungleichung (1 + ) n 1 + n. Beweis: (1) Aus der Annhme folgt per Definition b > 0 und b c > 0. Drus folgt c = b + b c = ( b) + (b c) > 0 wegen (A2). (2) Nch Definition der Äquivlenz bedeutet die zu beweisende Aussge usgeschrieben > b + c > b + c und > b + c > b + c. Dher ist es (wie oft, wenn mn eine Äquivlenz beweisen will) sinnvoll, diese beiden Folgerungen einzeln zu beweisen. Wir beginnen mit

30 2.3. DIE ANORDNUNGSAXIOME 21 : Es gelte > b. Dnn folgt > b Def. b > 0 b + (c c) = b + 0 = b > 0. Wegen b + (c c) = ( + c) (b + c) erhlten wir lso uch ( + c) (b + c) > 0 worus per Definition + c > b + c folgt. : Es gelte + c > b + c. Dnn gilt nch dem ersten Teil des Beweises uch + c + d > b + c + d für lle d K. Wählen wir d = c so folgt c + d = 0 und dmit = + c + d > b + c + d = b. (2) Es gilt > b Def. b > 0 (A2) ( b)c > 0 c bc > 0 Def. c > bc. (3) Die erste Aussge folgt us (2) mit b = 0 und c = ( ), denn us > 0 folgt 0 = + ( ) (2) > 0 + ( ) =, ws nch Definition äquivlent zu < 0 ist. Die zweite Aussge folgt in nloger Weise us (2) mit = 0, b = und c = ( ). (4) Für b gilt nch (A1) genu eine der Aussgen (i) b > 0, (ii) b = 0 oder (iii) ( b) > 0, ws nch (3) äquivlent zu b < 0 ist. Wir zeigen nun, dss jede dieser Aussgen äquivlent zu einer der Aussgen in der Behuptung des Stzes ist. (i) b > 0 > b : Die Aussge b > 0 ist nch Definition gerde äquivlent zu > b. (ii) b = 0 = b : : Aus der Aussge b = 0 erhlten wir mit (K5), dss b = sein muss, lso folgt wegen der Eindeutigkeit des inversen Elements = ( ) = ( b) = b. : Gilt = b, so folgt b = = + ( ) = 0 und dmit b = 0. (iii) b < 0 < b : Die Aussge b < 0 ist per Definition äquivlent zu 0 > b. Mit Addition von c = b ist dies nch (2) äquivlent zu b > ws wiederum per Definition äquivlent zu < b ist. (5) Dies folgt us (2) mit b = 0. (6) Für > 0 folgt 2 > 0 us (A2). Für < 0 können wir zunächst us 0 = 0 und + ( ) = 0 folgern, dss sowohl ( + ( )) = 0 ls uch ( )( + ( )) = 0 gilt. Mit dem Distributivgesetz folgt dnn 2 + ( ) = 0 und ( ) + ( ) 2 = 0, lso 2 = ( ) = ( ) = ( ) 2. Wegen > 0 folgt ber us dem ersten Fll, dss ( ) 2 > 0 ist und dmit die Behuptung. (7) Beweis per Induktion über n: Für n = n 0 = 0 ist die Aussge wegen 0 = 1 klr. Für n n + 1 gilt nch Induktionsnnhme n > 0. Mit (A2) folgt dnn n+1 = n > 0. (8) Wir wollen die Äquivlenz > b n > b n zeigen. Flls b = 0 ist, ist uch b n = 0 und die Aussge folgt sofort us (7). Es bleibt der Fll b > 0 zu beweisen.

31 22 KAPITEL 2. DIE REELLEN ZAHLEN : Beweismethode 1, mit Binomischem Lehrstz: Für c := b > 0 gilt = b + c, lso uch n = (b + c) n. Nch dem Binomischen Lehrstz Stz 1.6 gilt nun (b + c) n = n ( ) n b n k c k = b n + k n 1 k=1 ( ) n b n k c k + c n. k Aus b > 0 und c > 0 folgt mit (A2) und (7), dss lle Terme in der letzten Summe > 0 sind und nch (A2) ist dmit die gesmte Summe > 0. Mit (5) erhlten wir dmit n 1 ( n n = (b + c) n = } b n {{ + c n } + k c in (5) k=1 ) b n k c k } {{ } in (5) > b n + c n. Aus c > 0 folgt dnn mit (5) die Ungleichung b n + c n > b n und dmit die Behuptung. Beweismethode 2, mit vollständiger Induktion über n: Für n = 1 ist die Aussge klr. Für n n + 1 gelte per Induktionsnnhme n > b n, lso n b n > 0. Nch Annhme gilt > b und us (7) folgt n > 0. Also gilt Dmit folgt n+1 = n (2) > n b, n+1 b n+1 = n+1 b n b (2) > n b b n b = ( n b n )b (A2) > 0, ws per Definition gerde äquivlent zur Ungleichung n+1 > b n+1 ist, die zu beweisen wr. : Für diesen Teil des Beweises wenden wir zum ersten Ml die Gleichwertigkeit der Folgerungen (1.2) und (1.3) n. Sttt n > b n > b zeigen wir die Folgerung > b gilt nicht n > b n gilt nicht (diese Beweistechnik heißt Kontrposition): Wegen (4) ist > b gilt nicht gleichbedeutend mit b und n > b n gilt nicht gleichbedeutend mit n b n. Wir müssen lso die Folgerung b n b n beweisen. Hierzu unterscheiden wir zwei Fälle: Im Fll = b folgt n = b n. Im Fll < b folgt us dem ersten Teil des Beweises mit vertuschten und b, dss n < b n gilt. Zusmmen zeigen die beiden Fälle gerde die gewünschte Folgerung. (9) Beweis per Induktion über n: Für n = 0 gilt die behuptete Ungleichung offensichtlich mit Gleichheit. Für n n + 1 folgt wegen mit der Induktionsnnhme und (2) die Ungleichung (1 + ) n+1 (1 + n)(1 + ) = 1 + (n + 1) + n (n + 1), wobei wir im letzten Schritt (6), (A2) und (5) verwendet hben. Alle diese Aussgen konnten wir ttsächlich ohne (A3) beweisen. Ein Beispiel für eine Aussge, für die mn (A3) benötigt, ist der folgende Stz.

32 2.3. DIE ANORDNUNGSAXIOME 23 Stz 2.2 Für einen Körper K, der (A1) (A3) erfüllt, gilt: () Für jedes b K mit b > 1 und jedes K K gibt es ein n N mit b n > K. (b) Für jedes c K mit 0 < c < 1 und jedes ε K mit ε > 0 gibt es ein n N mit c n < ε. Beweis: () Für = b 1 gilt b = 1 +. Für dieses liefert die Bernoullische Ungleichung für jedes n N b n = (1 + ) n 1 + n. Wählen wir nun n gemäß (A3) so, dss n > K ist, so folgt b n > K. (b) Wir zeigen zunächst, dss c 1 > 0 ist. Dies benötigen wir, weil wir im nchfolgenden Schritt Stz 2.1(2) mit c 1 n Stelle von c nwenden wollen. Zum Beweis von c 1 > 0 verwenden wir eine neue Beweistechnik, den Beweis durch Widerspruch: Wir nehmen ds Gegenteil der zu beweisenden Behuptung n und zeigen, dss diese Annhme uf einen logischen Widerspruch führt. Folglich muss die Annhme (des Gegenteils) lso flsch sein und die zu beweisende Aussge muss gelten. Hier nehmen wir zur Herbeiführung eines Widerspruchs n, dss c 1 > 0 nicht gilt. D cc 1 = 1 ist, muss c 1 0 sein (denn nsonsten wäre cc 1 = c 0 = 0), lso folgt c 1 < 0. Nch Stz 2.1(3) ist dnn c 1 > 0 und us (A2) folgt somit ( c 1 )c > 0, weil c > 0. Wegen ( c 1 )c = c 1 c = 1 folgt lso 1 > 0. Nch Stz 2.1(6) ist ber 1 > 0. Mit Stz 2.1(3) folgt drus 1 < 0 und wir erhlten einen Widerspruch. Als nächstes zeigen wir, dss c 1 > 1 gilt. Dies gilt wegen c 1 = c 1 1 > c 1 c = 1, wobei wir für die Ungleichung die Annhme c < 1 und 2.1(2) verwenden, ws wegen der eben bewiesenen Ungleichung c 1 > 0 möglich ist. Jetzt setzen wir b = c 1 und K = ε 1 und wenden () n, ws wegen c 1 > 1 möglich ist. Dmit folgt (c 1 ) n > ε 1. Multipliktion mit εc n > 0 liefert dnn c n = ε 1 εc n < (c 1 ) n εc n = (c 1 ) n c n ε = ε. Dbei hben wir (c 1 ) n c n = 1 verwendet, ws mn per Induktion beweisen knn. Anschulich lässt sich jeder rchimedisch ngeordnete Körper durch die beknnten Zhlengerde drstellen, uf der größere Zhlen weiter rechts und kleinere Zhlen weiter links eingezeichnet werden. Ds Axiom (A3) besgt dnn, dss beliebig weit rechts immer noch ntürliche Zhlen liegen. Ohne die Anordnungsxiome wäre eine solche grfische Vernschulichung nicht möglich. Bemerkung 2.3 Nchdem wir nun lle für die Rechenregeln notwendigen Axiome eingeführt hben, werden wir b jetzt wieder die üblichen Rechenregeln verwenden, ohne jeweils uf die einzelnen Axiome zu verweisen. An einigen Stellen werden wir jedoch der Vollständigkeit hlber uf Aussgen us den eben bewiesenen Sätzen verweisen, uch wenn sich diese leicht us den üblichen Rechenregeln bleiten lssen.