Ortslinien. 1. Vorbemerkungen

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1 Humboldt-Universität zu Berlin Institut für Mthemtik VL/SE Ausgewählte Kpitel der Didktik der Mthemtik Dozent: Dr. I. Lehmnn Referentin: L. Clrke Ortslinien. Vorbemerkungen Die Menge ll derjenigen Punkte, die eine bestimmte Bedingung erfüllen, heißt geometrischer Ort zu dieser bestimmten Bedingung. Bildet ein geometrischer Ort eine Linie, so wird dieser uch Ortslinie gennnt. Neben verschiedenen Ortslinien, wie z. B. Kreisen, Gerden, Elipsen, etc., können durch geometrische Örter ebenso Flächen beschrieben werden (sozusgen Ortsflächen ). Geometrische Örter können sowohl in der Ebene ls uch im Rum betrchtet werden. Innerhlb der folgenden Beispiele werden einige Ortslinien und Ortsflächen beschrieben. () Die Ortslinie ller Punkte im R, die von einem festen Punkt M des R den Abstnd hben, ist ein Kreis um M mit Rdius. () Die Ortsfläche ller Punkte im Rum R 3, die von einem festen Punkt P des R 3 einen festen Abstnd r hben, ist die Kugel K mit Mittelpunkt P und Rdius r. (3) Die Ortslinie ller Punkte im R, die von zwei festen Punkten A und B jeweils denselben Abstnd besitzen, ist die Mittelsenkrechte der Strecke AB. (4) Die Ortsfläche ller Punkte im R 3, die von zwei festen Punkten C und D jeweils denselben Abstnd hben, ist die Ebene E, die die Strecke CD in ihrem Mittelpunkt schneidet und orthogonl zu ihr steht. Ortslinien lssen sich vor llem bei Konstruktionen und Beweisen verwenden. Bezüglich der Konstruktionen mit Zirkel und Linel, ist es sinnvoll, nur diejenigen Ortslinen in Betrcht zu ziehen, die mit Zirkel und Linel konstruierbr sind, lso Kreise und Gerden (siehe () und (3)). Unter Verwendung einer dynmischen Geometriesoftwre können zusätzlich Ortslinien erzeugt werden, die nicht uf den ersten Blick zu erkennen sind und z. B. Ellipsen, Hyperbeln oder verschiedene ebene Kurven drstellen. Innerhlb des Berliner Rhmenlehrplns für ds Fch Mthemtik in den Sekundrstufen I und II werden Ortslinien oder Ortsflächen nicht themtisiert. Dennoch bietet der Inhlt der Rhmenlehrplne verschiedene Anstzpunkte zur Themtisierung von Ortslinien oder Ortsflächen. Beispielsweise könnten in der Sekundrstufe I im Rhmen von Dreieckskonstruktionen Ortslinen ngesprochen werden. Im Zuge der Themtisierung des Mittelsenkrechten-, Höhen-, Seitenhlbierenden- und Winkelhlbierendenschnittpunktes eines Dreiecks können ebenflls Ortslinien betrchtet werden. In der Sekundrstufe II könnte im Rhmen der Themtisierung von

2 Kegelschnitten uf Prbeln, Ellipsen und Hyperbeln ls Ortslinien eingegngen werden. Kegelschnitte stellen jedoch keinen verpflichtenden Inhlt des Mthemtikunterrichts dr. Die Vorteile einer dynmischen Geometriesoftwreliegen drin, dss die Konstruktionen schnell verändert werden können, z. B. durch ds Verschieben eines Eckpunktes entlng einer Gerden. Ist die Konstruktion richtig Ausgeführt, sind die Veränderungen durch ds Verschieben sofort erkennbr. Ortslinien können somit durch ds Erstellen von nur einer Konstruktion erzeugt werden. Durch die Verwendung einer dynmischen Geometriesoftwre können somit zeitufwendige Konstruktionen erleichtert werden. In einigen Fällen ist ds Zeichnen mittels Bleistift, Zirkel und Linel jedoch vorteilhfter (vgl. dzu. und 3.).. Einführung m Beispiel der Mittelsenkrechten Gegeben sind zwei beliebige Punkte A und B in der Ebene. Gesucht ist die Menge ller Punkte (Ortslinie), die von A und B jeweils denselben Abstnd hben. Welche Form ht diese Ortslinie?. Schritt: Konstruktion von mindestens einem Punkt, der die Bedingung erfüllt (Kreis mit festem Rdius r > AB um A und um B Schnittpunkte S und T). Schritt: S und T mrkieren: Disply: Trce Intersections Durch ds Ziehen n einem Kreishilfspunkt vergrößern bzw. verkleinern sich beide Kreise gleichzeitig. S und T hinterlssen dbei eine Spur (Ortslinie). Die Ortslinie ist die Mittelsenkrechte der Strecke AB. Ortslinie löschen durch Disply: Erse Trces Animtion: (neue Konstruktion) Strecke AB zeichnen, Kreis mit festem Rdius r > AB um A zeichnen, sodss Kreishilfspunkt uf AB liegt, Kreis mit Rdius r um B konstruieren Schnittpunkte S und T S und T mrkieren: Disply: Trce Intersections Kreishilfspunkt mrkieren: Disply: Animte Point oder Edit: Action Buttons: Animtion (hier ist u.. die Geschwindigkeit einstellbr) Alterntive zur Bewegung des Kreishilfspunktes uf der Strecke AB : Strecke AB zeichnen, zweite Strecke CD zeichnen und E uf CD festlegen, sodss CE > AB, Kreis um A und um B konstruieren mit r = CE Schnittpunkte S und T

3 Ansttt des Kreishilfspunktes wird nun E nimiert. Bereits n diesem Beispiel wird deutlich, dss die Konstruktion in jedem Fll so usgeführt werden muss, dss die einzelnen Objekte (hier beide Kreise) voneinnder nhängig sind. Die Konstruktion muss somit im Vorfeld durchdcht werden. Weiterhin muss den Schülerinnen/Schülern ein möglicher Konstruktionsweg von mindestens einem gesuchten Punkt bewusst sein, ws durchus uch mittels Bleistift und Ppier erprobt werden knn. Bezüglich der Animtion von Punkten ist unbedingt druf zu chten, dss nur Animtionspunkte mrkiert werden, d die Konstruktion ndernflls beliebig in der Ebene bewegt wird und die Form der Ortslinie beeinflusst. Weiterhin ist es sinnvoll uf bestehende Grenzen der dynmischen Geometriesoftwre hinzuweisen. Beispielsweise ist im oben gennnten Beispiel die hinterlssene Spur eine Strecke, deren Länge durch den festgelegten Rdius der Kreise bestimmt wird. Die Spur ist teilweise nicht durchgängig, d der Spurpunkt uf der Strecke AB nicht eingezeichnet wird. Die gesuchte Ortslinie ist jedoch eine Gerde. Werden Änderungen in der Abbildung vorgenommen, so bleibt die bestehende Spur erhlten und verändert sich nicht entsprechend der vorgenommenen Änderungen. Soll sich die Ortslinie entsprechend mit verändern, muss sie durch eine Linie ersetzt werden. Die Bechtung der folgenden Reihenfolge ist dbei wichtig: Spurpunkt mrkieren (hier S, T), Animtionspunkt mrkieren (hier Kreishilfspunkt), Objekt, uf dem sich der Animtionspunkt bewegt, mrkieren (hier Strecke), Construct: Locus. 3. Aufgben 3. Der Höhenschnittpunkt im Dreieck (An der Stelle des Höhenschnittpunktes knn ebenso der Schnittpunkt nderer Dreieckstrnsverslen betrchtet werden.) Wichtig: Fertige zu jeder Teilufgbe eine neue Konstruktion n! ) Gegeben ist ein Kreis k(m, r) mit beliebigem Rdius r. Lege drei verschiedene Punkte A, B, C uf dem Kreis fest. Konstruiere den Höhenschnittpunkt H des Dreiecks (A, B, C). Welche Ortslinie beschreibt H, wenn sich der Eckpunkt A uf dem Umkreis des Dreiecks bewegt? (Die Ortslinie ist ein Kreis mit dem Rdius des Dreiecksumkreises, der durch die Punkte B und C verläuft.)

4 Beweis: Sei H j der Höhenschnittpunkt des Dreiecks (A j, B, C) und sei S der Höhenfußpunkt der Höhe der Seite BC. Somit schneiden sich die Strecken BC und A H in einem rechten Winkel und es gilt (CSA ) = (BSA ) = (CSH ) = (BSH ) = 90 (s. Abb. ). Abb. Die Digonlen der Vierecke (A, C, H, B) und (H, C A, B) sind demnch zueinnder orthogonl. Würden die Digonlen H A und A H zudem durch die Digonle BC hlbiert werden, lägen zwei Drchenvierecke vor. D beide Drchenvierecke chsensymmetrisch zu der Gerden g wären, die durch B und C verläuft, würde die Spiegelbildlichkeit der Dreiecke (C, B, A ) und (C, H, B) sowie der Dreiecke (C, B, H ) und (C, A, B) resultieren. Die Höhenschnittpunkte beider Dreiecke (C, B, A ) und (C, B, H ) werden folglich n g gespiegelt. Wenn A lso uf einem Kreis bewegt wird, würde sich H j ebenso uf einem gleichgroßen Kreis bewegen. Z. z.: BC hlbiert H A und A H. Auf Grund des Umfngswinkelstzes gilt (BH H ) = (BCH ). D ebenso (CSH ) = (BSH ) gilt, folgt, dss (S, C, H ) und (S, B, H ) gleichgroße Winkel besitzen. Auf Grund des rechten Winkels (BUH ) besitzen (S, B, H ) und (U, H, A ) gleichgroße Winkel. Dreieck (U, H, A ) ht wiederum gleichgroße Winkel wie Dreieck (S, A, B). Folglich besitzen die Dreiecke (S, A, B) und (S, B, H ) gleichgroße Winkel. D beide Dreiecke die gemeinsme Seite BS besitzen, sind sie sogr zueinnder kongruent. BC hlbiert lso H A. Anlog gilt, dss die Dreiecke (S, A, B) und (C, S, A ) gleichgroße Winkel besitzen. D die Dreiecke (S, C, H ) und (S, B, H ) gleichgroße Winkel besitzen und die Dreiecke (S, A, B) und (S, B, H ) zueinnder kongruent sind, folgt, dss die Dreiecke (S, C, H ) und (C, S, A ) gleichgroße Winkel besitzen. Zudem hben beide Dreiecke die Seite SC, womit sie kongruent zueinnder sind. Die Strecke H A wird somit durch die Strecke BC hlbiert.

5 b) Gegeben ist ein Kreis k(m, r) mit beliebigem Rdius r. Welche Ortslinie beschreibt der Höhenschnittpunkt H eines Dreiecks (A, B, C), wenn A = M gilt, B und C uf dem Kreis liegen und B sich uf dem Kreis bewegt? (Die Ortslinie ist eine nicht geschlossene symmetrische Kurve, deren Symmetriechse durch M und C verläuft. Die Kurve berührt den Kreis in C, überschlägt sich in M und schneidet den Kreis zwei Ml.) Beweis: Sei K(M, r) ein Kreis und (A, B, C) ein Dreieck mit A = M und B, C K(M, r). Sei H der Höhenschnittpunkt des Dreiecks und bewege sich B uf K(M, r). D A und C feste Punkte sind und K(M, r) chsensymmetrisch zu jeder seiner Digonlen ist, ist die Gerde g AC, die durch A und C verläuft eine Symmetriechse der Abbildung. Der bewegliche Punkt B wird durch Spiegelung n g AC folglich stets uf K(M, r) bgebildet. Sofern A, B und C nicht kolliner sind, existiert somit zu jedem Dreieck (A, B, C) ein spiegelbildliches Dreieck. Der Höhenschnittpunkt des Dreiecks (A, B, C) wird bei der Spiegelung des Dreiecks n g AC folglich mitgespiegelt. Die Ortslinie des Höhenschnittpunktes ist demnch chsensymmetrisch zu g AC. Beträgt (CAB) = 90, so gilt H = A = M. Die Ortslinie des Höhenschnittpunktes verläuft demnch zwei Ml durch den Mittelpunkt des Kreises. Gilt B = C, so nimmt der Flächeninhlt des Dreiecks den Wert Null n. Dennoch können die Höhen in den Punkten A, B bzw. C uf die Strecken BC, AC bzw. AB betrchtet werden. Die Höhen schneiden sich in C. Die Ortslinie berührt K(M, r) folglich in C. Ist 0 < (CAB) 90, so befindet sich H innerhlb oder uf dem Dreieck (A, B, C). Gilt 90 < (CAB) < 80, so liegt H ußerhlb des Dreiecks (A, B, C), wobei der Abstnd zwischen H und (A, B, C) mit zunehmender Winkelgröße bis ins Unendliche wächst. Beträgt (CAB) = 80, nimmt der Flächeninhlt des Dreiecks wiederum den Wert Null n. Die Höhen in den Punkten A, B bzw. C uf die Strecken BC, AC bzw. AB schneiden sich jedoch nicht und es existiert in diesem Fll kein Höhenschnittpunkt. Folglich verläuft die Ortslinie von H innerhlb von K(M, r), wenn d(a, H) < r gilt, sie schneidet K(M, r) im Fll d(a, H) = r und verläuft ußerhlb von K(M, r), wenn d(a, H) > r gilt. D der Abstnd zwischen H und A mit zunehmender Größe von (CAB) wächst und für (CAB) = 80 kein H existiert, ist die Ortslinie von H in beide Richtungen unendlich lng und schließt sich nicht. c) Gegeben sind eine beliebige Gerde g und ein Punkt B uf g. Welche Ortslinie beschreibt der Höhenschnittpunkt H des Dreiecks (A, B, C), wenn die festen Punkte A und C nicht uf g liegen und B uf g bewegt wird?

6 (Die Ortslinie ist eine Hyperbel, wobei ein Hyperbelst durch A und C verläuft. Sind g und AC prllel, so ist die Ortslinie eine Prbel, deren Spiegelchse die Senkrechte zu g ist, die durch den Mittelpunkt der Seite AC verläuft. Bei dieser Aufgbe empfiehlt es sich die Ortslinie ls Linie drzustellen, um die Veränderungen der Hyperbel bei einer Lgeveränderung von g zu verfolgen.) d) Welche Ortslinie beschreibt H, wenn A ls fester Punkt ebenso uf g liegt? (Die Ortslinie ist die Senkrechte zu g durch C.) 3. Die Winkelhlbierende Gegeben ist ein beliebig großer Winkel mit Scheitelpunkt S. Auf welcher Ortslinie liegen lle Punkte, die von den Schenkeln des Winkels jeweils denselben Abstnd hben? Finde mittels dynmischer Geometriesoftwre eine Konstruktion, sodss die Ortslinie durch die Animtion eines Punktes erzeugt wird! (Die Ortslinie ist die Winkelhlbierende des Winkels. Konstruktionsbeschreibung: - Strhl mit Anfngspunkt A zeichnen und beliebigen Punkt P uf festlegen - Kreis um S mit Rdius AP zeichnen, Senkelschnittpunkte mit C und D bezeichnen - Kreis um C und um D mit Rdius AP zeichnen, Kreisschnittpunkte mit E und F bezeichnen - E und F mrkieren, Disply: Trce Intersections - P nimieren) 3.3 Die Prbel Gegeben ist eine Gerde g und ein beliebiger Punkt P, der nicht uf g liegt. Bestimme lle Punkte, die von P und g jeweils denselben Abstnd hben. Welche Form ht die Ortslinie? (Konstruktionsbeschreibung: - beliebigen Punkt A uf g festlegen - Mittelsenkrechte m von A und P konstruieren - Senkrechte s zu g in A konstruieren, Schnittpunkt S von s und m liegt uf Ortslinie Die Ortslinie ist eine Prbel. Die Steigung ist dbei von dem Abstnd zwischen g und P bhängig. Je kleiner der Abstnd ist, desto größer ist der Anstieg der Prbel. Der Prbelscheitelpunkt S liegt uf der Senkrechten zu g, die durch P verläuft und es gilt d(s, P) = d(g, S). Die Abbildung ist folglich

7 chsensymmetrisch zu dieser Senkrechten. Im Übrigen besitzt jede Prbel ein Brennpr, bestehend us einem Brennpunkt und einer Brenngerden (hier P und g) und es gilt beliebiger Punkt uf der Prbel ist.) P Q d(g, P) =, wobei Q ein 3.4 Ellipse und Hyperbel ) Gegeben sind die Strecke AB = 0 cm, ein beliebiger Punkt P uf AB, die Gerde g und die Punkte F und F uf g, sodss F F < 0 cm gilt. Konstruiere ds Dreieck (F, F, P ) und ds Dreieck (F, F, P ), sodss F P + F P = 0 cm und F P + F P = 0 cm gilt (s. Abb. ). Welche Ortslinie beschreiben die Punkte P und P, wenn sich P uf AB bewegt? Abb. (Konstruktionsbeschreibung: - Kreis um F mit Rdius AP zeichnen - Kreis um F mit Rdius BP zeichnen, Schnittpunkte der Kreise mit P und P bezeichnen - P und P mrkieren, Disply: Trce Intersections, P nimieren Die Ortslinie ist eine Ellipse.) b) Verändere die Länge der Strecke F F und notiere deine Beobchtungen bzgl. der Ortslinien! c) Wie verändert sich die Ortslinie, wenn F F = 0 cm bzw. F F = 0 cm gilt?

8 d) Lege F F = 8 cm fest (Strecke ziehen) und konstruiere die Mittelsenkrechte m von F F. Die Ortslinie der Punkte P und P schneidet g in den Punkten S und S und m in den Punkten T und T. Wie groß sind die Abstände d(m, T ), d(m, T ), d(m, F ), d(m, F ), d(m, S ) und d(m, S )? e) Bestimme die Punkte der Ortslinie us d) mittels einer Gleichung und vereinfche die Gleichung so weit es geht! Stelle einen Bezug zu deinen Ergebnissen us Teil d) her. f) Verllgemeinere die Gleichung, indem du F F = e und F P + F P = setzt (Tipp: Substituiere b = e ). (Sei M der Ursprung eines Koordintensystems mit der Abszisse g und der Ordinte m. Die Punkte besitzen demnch folgende Koordinten: F = ( e; 0), F = (e; 0), P = (x; y). F P und F P können mit Hilfe des Stzes von Pythgors bestimmt werden. Es gilt (x + e) + y + (x e) + y =. Durch Termumformungen folgt die Gleichung ( e ) x + y = ( e ). Wird b = ( e ) gesetzt, so vereinfcht sich die Gleichung zu b x + y = b. Dbei liegen die Punkte (; 0), ( ; 0), (0; b) und (0; b) uf der Ellipse. Im Übrigen besitzt jede Ellipse, die durch die Gleichung b x + y = b mit 0 < b < gegeben ist, zwei Brennpunkte F und F, wobei F F = b gilt. Weiterhin besitzt jede Ellipse zwei Brenngerden g und g, die orthogonl zur Strecke F F verlufen und durch die Punkte (0; b ) und (0; b ) verlufen. Jeweils ein Brennpunkt und eine Brenngerde bilden ein Brennpr, wobei P F d(g, P ) = P F d(g, P ) b konstnt ist. Im Fll = e = folgt b = 0, die Ortslinie ist somit die Strecke F F. Gilt e = 0 und > 0, so folgt = b und die Ortslinie ist ein Kreis mit Rdius. Für eine Ellipse gilt demnch stets > b > 0 bzw. > e > 0.) g) Gegeben sind nun die Strecke AB = 6 cm, ein beliebiger Punkt P uf AB, die Gerde g und die Punkte F und F uf g, sodss F F = 8 cm gilt. Konstruiere die Dreiecke (F, F, P ) und (F, F, P ), sodss F P F P = 6 cm und F P F P = 6 cm gilt. Welche Ortslinie beschreiben die Punkte P und P, wenn sich P uf AB bewegt?

9 (Konstruktionsbeschreibung: - Kreis um F mit Rdius AB + BP zeichnen - Kreis um F mit Rdius BP zeichnen, die Schnittpunkte der Kreis mit P und P bezeichnen - P und P mrkieren, Disply: Trce Intersections, P nimieren Die Ortslinie ist eine Hyperbel.) h) Verändere die Länge der Strecke F F und notiere deine Beobchtungen bzgl. der Ortslinien. i) Stelle eine llgemeine Gleichung für die Punkte der Ortslinie uf, wobei F F = e und F P F P = gilt (Tipp: Substituiere b = e ). (Sei M der Ursprung eines Koordintensystems mit der Abszisse g und der Ordinte m. Die Punkte besitzen demnch folgende Koordinten: F = ( e; 0), F = (e; 0), P = (x; y). F P und F P können mit Hilfe des Stzes von Pythgors bestimmt werden. Es gilt (x + e) + y (x e) + y =. Durch Termumformungen folgt die Gleichung (e ) x y = (e ). Wird b = (e ) gesetzt, so vereinfcht sich die Gleichung zu b x y = b. Im Übrigen besitzt jede Hyperbel zwei Brennpre, jeweils bestehend us einem Brennpunkt und einer Brenngerden. Die Brenngerden verlufen orthogonl zu F F und es gilt F F = + b. Die Brenngerden verlufen durch die Punkte (0; + b ) und (0; + b ). Ebenso ist P F d(g, P ) = P F d(g, P ) b = + konstnt. Im Fll e = und > 0 folgt b = 0 und die Ortslinie ist die Strecke F F. Gilt = 0 und e > 0 verläuft die Ortslinie entlng der Mittelsenkrechten von F und F. Für = e = 0 gehören lle Punkte der Ebene zum geometrischen Ort.)

10 Litertur: I. Agricol und T. Friedrich. Elementrgeometrie: Fchwissen für Studium und Mthemtikunterricht. Wiesbden: Vieweg Verlg, 005. Schupp, Hns. Them mit Vritionen: Aufgbenvritionen im Mthemtikunterricht. Hildesheim und Berlin: Frnzbecker Verlg, 00. Sentsverwltung für Bildung, Jugend und Sport Berlin (Hg.). Rhmenlehrpln für die Sekundrstufe I Mthemtik.. Aufl. Berlin: Oktoberdruck AG, 006. Sentsverwltung für Bildung, Jugend und Sport Berlin (Hg.). Rhmenlehrpln für die gymnsile Oberstufe Mthemtik.. Aufl. Berlin: Oktoberdruck AG, 006.