Merkwürdige Punkte. Themenbereich. Analytische Geometrie
|
|
|
- Peter Biermann
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Merkwürdige Punkte, Josef Lehner Seite 1 Merkwürdige Punkte Themenereih nltishe Geometrie Inhlte Merkwürdige Punkte Umkreis- und Inkreisrdius Eulershe Gerde Umfng und Fläheninhlt des Dreieks Ziele erehnung der merkwürdigen Punkte, des Um- und Inkreisrdius, der Eulershen Gerde und von Umfng und Fläheninhlt des Dreieks utomtisierung zw. lgorithmisierung der erehnung durh ein Sript dressten: usgehend von einem konkreten Dreiek werden einfhe nltishen ufgen zuerst shrittwiese gelöst und nshließend wird dieser Lösungsgng zu einem Sript zusmmengefßt und dmit utomtisiert zw. lgorithmisiert. Es soll dei ein Idee dessen vermittelt werden, ws modulrtiges reiten ist. Die Zusmmenstellung rihtet sih in erster Linie n ShülerInnen zw. LehrerInnen der 9.Shulstufe
2 Merkwürdige Punkte, Josef Lehner Seite 2 Gegeen ist ein Dreiek [(-4/0), (8/12), (2/-12)]. ) Konstruiere die Eulershe Gerde! ) erehne den Umkreismittelpunkt und den Umkreisrdius! ) erehne den Höhenshnittpunkt! d) erehne den Shwerpunkt! e) erehne die Eulershe Gerde! f) erehne den Inkreismittelpunkt und den Inkreisrdius! g) erehne den Umfng des Dreieks! h) erehne den Fläheninhlt des Dreieks! ) Umkreismittelpunkt und den Umkreisrdius s s U s u Punkte definieren erehnung des Seitenmittelpunktes Normlvektor der Seitensmmetrle Normlvektorform Normlform Lösen des Gleihungssstems Umkreismittelpunkt Umkreisrdius
3 Merkwürdige Punkte, Josef Lehner Seite 3 ) Höhenshnittpunkt h H h h Normlvektor uf die Seite Normlvektorform für h Normlform für h Normlvektorform für h Normlform für h Höhenshnittpunkt
4 Merkwürdige Punkte, Josef Lehner Seite 4 d) Shwerpunkt mit Shwerpunktsformel sw sw S sw e) Eulershe Gerde H I S U eulerg Eulershe Gerde in Prmeterform Umwndlung in die Normlform
5 Merkwürdige Punkte, Josef Lehner Seite 5 f) Inkreismittelpunkt und Inkreis w Zum equemeren Umgng mit Normlvektoren soll zuerst eine kleine Funktion erstellt werden, die us einem Vektor einen Normlvektor ermittelt. Dzu wählt mn PPS/Progrm Editor/New und wählt dnn ls Tpe: Funtion und ls Funktionsnmen (Vrile) nv für Normlvektor. i I S w Folgende Funktion (sie vertusht die Koordinten und setzt eine der Koordinten negtiv) leistet ds Gewünshte: Nun knn mn die Ermittlung von Inkreismittelpunkt und Inkreisrdius in ngriff nehmen: Rihtungsvektor der Winkelsmmetrlen durh Prmeterform der Winkelsmmetrlen durh Normlvektorform der Winkelsmmetrlen durh Normlform der Winkelsmmetrlen durh Rihtungsvektor der Winkelsmmetrlen durh Prmeterform der Winkelsmmetrlen durh Normlvektorform der Winkelsmmetrlen durh Normlform der Winkelsmmetrlen durh Die eiden Winkelsmmetrlen werden ennnt. Shnitt der eiden Winkelsmmetrlen (numerish) (uh lgerish(ekt) möglih, duert er...)
6 Merkwürdige Punkte, Josef Lehner Seite 6 Ermittlung des Inkreisrdius: Normlvektorform der Normlen uf die Seite durh I Normlform der Normlen uf die Seite durh I Prmeterform der Trägergerden der Seite Sklre Multipliktion mit dem Normlvektor Shnitt von der Norml uf durh I mit der Trägergerden von, liefert den Punkt F n. etrg des Vektors IF n = Inkreisrdius.
7 6 Ds 6 Es 6 Für Einige emerkungen zum folgenden Sript: folgende Sript ist ereits für den TI92+ zw. den TI89 entwikelt. Für den TI92 sind eim efehl zeros() einige änderungen notwendig (sttt ds Gleihungssstem in einem Shritt zu lösen, ist die Sustitutionsmethode erforderlih). empfiehlt sih - je nh Whl der Ekpunkte - den TR uf ppro-mode umzustellen. der luf wird empfohlen: Im Teteditor F3/Sript View einzustellen und nshließend ds Sript mit F4(Eeute) zureiten. 0LW GLHVHP 6NULSW VR GHU 8PNUHLVPLWWHSXQNW XQG ŠUDGLXV GHU +³KHQVFKQLWWSXQNW GHU 6FKZHUSXQNW GHU,QNUHLVPLWWHSXQNW XQG ŠUDGLX GLH (XHUVFKH *HUDGH GHU 8PIDQJ XQG GHU ) FKHQLQKDW HUPLWWHW ZHUGHQ &&U+RPH&U,2 (LQJDEH GHV $XVJDQJVGUHLHFNV &LQSXW D %LWWH GHQ (FNSXQNW $ HLQJHEHQ &LQSXW E %LWWH GHQ (FNSXQNW % HLQJHEHQ &LQSXW F %LWWH GHQ (FNSXQNW & HLQJHEHQ 8PNUHLVPLWWHSXQNW &EFšPD &FEšQD &GRWS>[\@QD GRWSPDQDšVVD &DFšPE &FDšQE &GRWS>[\@QE GRWSPEQEšVVE 8PNUHLVPLWWHSXQNW &]HURV^HIWVVDULJKWVVDHIWVVEULJKWVVE`^[\`zšX 8PNUHLVUDGLXV &QRUPXDšXU +³KHQVFKQLWWSXQNW &GRWS>[\@QD GRWSDQDšKD &GRWS>[\@QE GRWSEQEšKE +³KHQVFKQLWWSXQNW &]HURV^HIWKDULJKWKDHIWKEULJKWKE`^[\`zšK 6FKZHUSXQNW &DEFšV,QNUHLV &XQLWYEDXQLWYFDšZD &GRWS>[\@ DWZDQYZDšZVD &XQLWYDEXQLWYFEšZE &GRWS>[\@ EWZEQYZEšZVE,QNUHLVPLWWHSXQNW &]HURV^HIWZVDULJKWZVDHIWZVEULJKWZVE`^[\`zšL,QNUHLVUDGLXV &GRWS>[\@ED GRWSLEDšQFL &>[\@ DWEDšJF &GRWSJF>ED>@ŠED>@@šJF &]HURV^HIWJFULJKWJFHIWQFLULJKWQFL`^[\`zšIQ,QNUHLVUDGLXV &QRUPLIQšLU (XHUVFKH *HUDGH &>[\@ XWXLšHJ &GRWSHJ>XL>@ŠXL>@@šHJ 8PIDQJ &QRUPDEQRUPEFQRUPFDšXPI ) FKHQLQKDW &>[\@ FWEFšJD &GRWSJD>EF>@ŠEF>@@šJD &]HURV^HIWJDULJKWJDHIWKDULJKWKD`^[\`zšIKD &QRUPIKDFšKRHKH ) FKHQLQKDW &KRHKHQRUPFEšI
SS 2018 Torsten Schreiber
SS 08 orsten Shreier 8 Beim inneren Produkt ) wird komponentenweise multipliziert und die entstehenden Produkte nshließend. Somit hndelt es sih um keine d nur eine Zhl Sklr) ls Lösung heruskommt. Ds Sklrprodukt
NAME: Übungsarbeit auf die 3.SA KL.: - S.1. 1) 6G4.11-E / 001-m 0 1 2
NME: Üungsreit uf die 3.S KL.: - S.1 1) 6G4.11-E / 001-m 0 1 estimme die Höhe des umes, wenn = 14 m und Der Mßst soll 1 : 500 sein. umhöhe 38 ist. ) 6G4.1-E / 003-m 0 1 Konstruiere ds Dreiek im rehtwinkeligen
9 Vektorprodukt. Dieses Gleichungssystem muss man nun lösen! Das ist allerdings nicht ganz einfach. Die Lösung lautet:
9 Vektorprodukt 9.1 Ds Vektorprodukt Gegeen seien zwei (komplnre) Vektoren und, die eine Eene ufspnnen. Suht mn einen Vektor n, der uf diese Eene senkreht steht, dnn muss n orthogonl zu und n orthogonl
Die Satzgruppe des Pythagoras
7 Die Stzgruppe des Pythgors In Klssenstufe 7 hen wir uns ei den Inhlten zur Geometrie insesondere mit Dreieken und ihren Eigenshften eshäftigt. In diesem Kpitel wirst du erkennen, dss es ei rehtwinkligen
7.4. Teilverhältnisse
7... erehnung von Teilverhältnissen ufgen zu Teilverhältnissen Nr. 7.. Teilverhältnisse Die Shwerpunkte von Figuren und Körpern lssen sih mit Hilfe von Teilverhältnissen usdrüken und erehnen. Definition
Facharbeit über den Beweis der Existenz der Euler schen Gerade in ebenen Dreiecken.
Fhreit üer den Beweis der Eistenz der Euler shen Gerde in eenen Dreieken. Verfßt von Ing. Wlter Höhlhumer im Mi und ergänzt im Juli Eistenz der Euler shen Gerde Eistenz der Euler shen Gerde Eistenz der
M 2 - Übungen zur 2. Schularbeit
M - Üungen zur. hulreit ) erehne ds Ergenis! ) ( ) + ) ( ) ) ( ) ( ) + 0 ) erehne! )( ) + ( ) ) ( + ) )( ) ( ) + ) hreie ds Ergenis ls gemishte Zhl! (Kürze ereits vor dem Multiplizieren!) ) ) ) Löse die
10 1 Grundlagen der Schulgeometrie. 1.3 Das Dreieck
10 1 Grundlgen der Shulgeometrie 13 Ds Dreiek In diesem shnitt findet lles in der ffinen Stndrdeene 2 = R 2 sttt Drei Punkte, und, die niht uf einer Gerden liegen, ilden ein Dreiek Die Punkte,, nennt mn
Aufgabe 1. Die Zahl 6 wird aus 3 gleichen Ziffern mit Hilfe der folgenden mathematischen
Deprtment Mthemtik Tg der Mthemtik 5. Juli 008 Klssenstufen 9, 10 Aufge 1. Die Zhl 6 wird us 3 gleihen Ziffern mit Hilfe der folgenden mthemtishen Symole drgestellt: + Addition Sutrktion Multipliktion
Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180. Herleitung bzw. experimentelle Begründung in der Schule: Durch Punktspiegelung. Bedeutung+Winkelsumme 1
edeutung+winkelsumme 1 Winkelsumme Kpitel 5: Dreiekslehre 5.1 edeutung der Dreieke Durh Tringultion lssen sih Vieleke in Dreieke zerlegen ( n Ek in n- Dreieke) eweis von Sätzen mittels Sätzen üer Dreieke
1) Konstruiere vom folgenden Dreieck den Umkreismittelpunkt! Ziehe zur Kontrolle den Umkreis! C
Vorereitung uf die NME:. Schulreit us MTHEMTIK KL.: M/I. - S..0.0 ) Konstruiere vom folgenden Dreieck den Umkreismittelpunkt! Ziehe zur Kontrolle den Umkreis! C c B ) Konstruiere ds Dreieck BC im rechtwinkeligen
Pythagoras. Suche ein rechtwinkliges Dreieck mit ganzzahligen Seitenlängen. ... c Roolfs
Pythgors Suhe ein rehtwinkliges Dreiek mit gnzzhligen Seitenlängen..... 1 Pythgors Für ein Dreiek mit den Seitenlängen = 3 und = 4 (in m) gilt vermutlih = 5. Weise diese Vermutung nh. Tipp: Bestimme den
3 Punkte, Ortsvektoren und Verbindungsvektoren. Zunächst im 2-dimensionalen: A 4 1 , C 2 4. und D 3 1 Koordinatensystem. in einem kartesischen
Punkte Ortsvektoren und Verindungsvektoren Punkte Ortsvektoren und Verindungsvektoren Zunähst im -dimensionlen: A 4 Gegeen sind die Punkte B 5 C 4 und D Koordintensystem. in einem krtesishen AB CD d Zu
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 17.11.2010
R. rinkmnn http://rinkmnn-du.de Seite 7..2 Grundegriffe der Vektorrehnung Vektor und Sklr Ein Teil der in Nturwissenshft und Tehnik uftretenden Größen ist ei festgelegter Mßeinheit durh die nge einer Mßzhl
Grundwissenkatalog / g8 Geometrie / 7. Jahrgangsstufe
Grundwissenktlog / g8 Geometrie /. Jhrgngsstufe Die folgende ufstellung enthält mthemtishe Grundfertigkeiten, die ein Shüler nh der. Jhrgngsstufe eherrshen sollte. Dieses Wissen wird in den folgenden Jhren
Dreiecke Vierecke 11. Lösungen B211-01
reieke Viereke 11 211-01 1 5 1 ei den Winkelhalbierenden sind zwei Seiten, ausgehend von einem Ekpunkt, aufeinanderzulegen. ei genauem Falten treffen sih die drei Winkelhalbierenden in einem Punkt, dem
Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 15 ORTHOGONALITÄT
Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 5. Semester ARBEITSBLATT 5 ORTHOGONALITÄT Ws versteht mn zunächst einml unter orthogonl? Dies ist nur ein nderes Wort für norml oder im rechten Winkel. Ws uns hier
Mathematik: Mag Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 5 5. Semester ARBEITSBLATT 5 VEKTORRECHNUNG IM RAUM
Mthemtik: Mg Schmid Wolfgng Arbeitsbltt 5 5. Semester ARBEITSBLATT 5 VEKTORRECHNUNG IM RAUM Bisher hben wir die Lge von Punkten und Gerden lediglich in der Ebene betrchtet. Nun wollen wir die Lge dieser
Der Begriff der Stammfunktion
Lernunterlgen Integrlrehnung Der Begriff der Stmmfunktion Wir gehen von folgender Frgestellung us: welhe Funktion F x liefert ls Aleitung eine gegeene Funktion f x. Wir suhen lso eine Umkehrung der Aleitung
Dreiecke können einerseits nach den Eigenschaften ihrer Seiten und andererseits nach ihren Winkeln benannt werden. Einteilung nach den Seiten:
gnz klr: Mthemtik 2 - s Ferienheft mit Erfolgsnzeiger 3 Rettungsring Eigenshften von reieken & Viereken Eigenshften von reieken Ein reiek ht immer 3 Ekpunkte, 3 Seiten un 3 Innenwinkel. ie eshriftung eines
2.2. Aufgaben zu Figuren
2.2. Aufgen zu Figuren Aufge 1 Zeihne ds Dreiek ABC in ein Koordintensystem. Bestimme die Innenwinkel, und und erehne ihre Summe. Ws stellst Du fest? ) A(1 2), B(8 3) und C(3 7) ) A(0 3), B(10 1) und C(8
Erkundungen. Terme vergleichen. Rechteck Fläche als Produkt der Seitenlängen Fläche als Summe der Teilflächen A B
Erkundungen Terme vergleihen Forshungsuftrg : Fläheninhlte von Rehteken uf vershiedene Arten erehnen Die Terme () is (6) eshreien jeweils den Fläheninhlt von einem der drei Rehteke. Ordnet die Terme den
Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Kohls Mathe-Tandem Geometrie - Partnerrechnen im
Unterrihtsmterilien in digitler und in gedrukter Form uszug us: Kohls Mthe-Tndem Geometrie - Prtnerrehnen im 9.-10. Shuljhr Ds komplette Mteril finden Sie hier: Shool-Sout.de Mthe-Tndem Geometrie für ds
Wir haben ein Koordinatensystem mit der x-achse und der y-achse. Nun wird ein Kreis gebildet mit dem Radius r=1.
Trigonometrie In diesem Themenereih wenden wir uns den Winkeln im rehtekigen Dreiek zu. Du hst uf deinem Tshenrehner siher shon die Tsten sin, os und tn gesehen. Doh ws edeuten sie? Ds wollen wir herusfinden.
Ober- und Untersummen, Riemann Integrale
Oer- und Untersummen, Riemnn Integrle 1. Ds Prolem des Fläheninhlts Ausgngspunkt für die Entwiklung des Integrlegriffs wren vershiedene Frgestellungen, u.. ds Prolem der Messung des Fläheninhltes eines
Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 14 MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR
Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt. Semester ARBEITSBLATT MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR Zunächst einml müssen wir den Begriff Sklr klären. Definition: Unter einem Sklr ersteht mn eine
Geometrische Figuren und Körper
STNRUFGEN Geometrishe Figuren und Körper Geometrishe Figuren und Körper Welhe Shreiweisen geen den Winkel β des neenstehenden reieks PQR rihtig wieder? β = Qrp β = rp β = PQR R β = QRP β = pq q p P r Q
Konstruktion mit Zirkel und Lineal
Alert Ludigs Universität Freiurg Institut für Mthemtik Ateilung für Reine Mthemtik Prof Dr D Wolke Dipl Mth S Feiler Üungen ur Vorlesung Ergänungen ur Elementren Zhlentheorie Wintersemester 9/ 9 Üungsltt
Ein Winkel zwischen 0 und 90 heißt spitzer Winkel, ein Winkel zwischen 90 und 180 heißt stumpfer Winkel.
Geometrie 1 3 Winkelsummen Der von zwei Nhrseiten eines Vieleks geildete Winkel heißt Innenwinkel. Die Summe der Innenwinkel eines Dreieks eträgt 180. + + = 180 Die Summe der Innenwinkel eines Viereks
Die Näherung ist umso genauer, je kleiner die Zellen sind. Der Grenzwert ist
Höhere Mthemtik Mehrfhintegrle sind Integrle üer eiete R n Zweifhintegrle treten B ei der Berehnung des Fläheninhltes und von Flähenträgheitsmomenten uf Dreifhintegrle kommen ei der Berehnung des Volumeninhltes
Grundwissen Mathematik 8.Klasse Gymnasium SOB. Darstellung im Koordinatensystem: Der Kreisumfang ist direkt proportional zu seinem Radius.
Gymso 1 Grundwissen Mthemtik 8.Klsse Gymnsium SOB 1.Funktionle Zusmmenhänge 1.1.Proportionlität Ändern sih ei einer Zuordnung die eiden Größen im gleihen Verhältnis, so spriht mn von einer direkten Proportionlität.
Muss der Umfang (u) oder der Flächeninhalt (A) berechnet werden? Kreuze an! Der Umfang (u) ist die Länge des Weges um eine Fläche herum.
9 Rettungsring Umfng und Fläheninhlt von Figuren Begriffe: Umfng und Fläheninhlt 1 Muss der Umfng (u) oder der Fläheninhlt () erehnet werden? Kreuze n! u B C D E F G H Zun eines Grundstüks Rsenflähe eines
Gleichung: 11 + x = 35 Welcher Zahlenwert steckt hinter der Variablen x?
Rettungsring Vrilen & Gleihungen gnz klr: Mthemtik - Ds Ferienheft mit Erfolgsnzeiger Vrilen & Gleihungen Vrilen (,, ) werden uh Uneknnte oder Pltzhlter gennnt. Sie smolisieren einen estimmten Zhlenwert
Einführung in die Mathematik des Operations Research
Universität zu Köln Mthemtishes Institut Prof. Dr. F. Vllentin ufge ( + 7 = 0 Punkte) Einführung in die Mthemtik des Opertions Reserh Sommersemester 0 en zur Klusur (7. Juli 0). Es seien M = {,..., n },
Konstruktion des regulären Fünfecks mit dem rostigen Zirkel (rusty compass)
onstruktion des regulären Fünfeks mit dem rostigen Zirkel (rusty ompss) Vrinte 1 Oliver ieri ie hier vorliegende Methode zur onstruktion eines regulären Fünfeks unter Zuhilfenhme eines rostigen Zirkels
Analytischen Geometrie in vektorieller Darstellung
Anltische Geometrie Anltischen Geometrie in vektorieller Drstellung Anltische Geometrie Gerden Punkt-Richtungs-Form () Mit Hilfe von Vektoren lssen sich geometrische Ojekte wie Gerden und Eenen eschreien
VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, LÖSUNGEN. Dienstag
Lösungen Dienstg -- VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, LÖSUNGEN Dienstg Blok.. - 4 3y 6 3-6y 3-3 y -. - 3y 4 - y 9 - y -93. y 0,,y Sämtlihe Lösungsmethoden liefern hier whre Aussgen. Z. Bsp. «0 0».
Arbeitsblatt Geometrie / Trigonometrie
Fhhohshule Nordwestshweiz (FHNW) Hohshule für Tehnik Institut für Geistes- und Nturwissenshft reitsltt Geometrie / Trigonometrie Dozent: Roger urkhrdt Klsse: rükenkurs 2010 Winkeleziehugen 1. ufge üro:
Mathematische Probleme, SS 2013 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/15 09:12:15 hk Exp hk $ 1.4 Dreiecksberechnung mit Seiten und Winkeln
Mthemtishe Proleme, SS 2013 Montg 15.4 $Id: dreiek.tex,v 1.5 2013/04/15 09:12:15 hk Exp hk $ 1 Dreieke 1.4 Dreiekserehnung mit Seiten und Winkeln In der letzten Sitzung htten wir egonnen die vershiedenen
Download. Basics Mathe Flächenberechnung. Fläche von Rechteck, Quadrat, Drachen, Raute, Parallelogramm, Dreieck. Michael Franck
Downlod Mihel Frnk sis Mthe Flähenerehnung Flähe von Rehtek, Qudrt, Drhen, Rute, Prllelogrmm, Dreiek Downloduszug us dem Originltitel: sis Mthe Flähenerehnung Flähe von Rehtek, Qudrt, Drhen, Rute, Prllelogrmm,
20 % mit dem Rad. 60 % mit dem Bus 5 % zu Fuß. Eltern
2.1.12 420 Shüler kommen uf vershiedene rt und Weise in die Shule: 252 mit dem us, 84 mit dem Rd, 63 mit den Eltern, 21 zu Fuß. Stelle diesen Shverhlt in einem Prozentkreis dr! 20 % mit dem Rd 60 % mit
Aufgaben Mikroökonomie (mit Lösungen) 3 Wahl des Konsumenten
Aufgen Mikroökonomie (mit Lösungen) 3 Whl des Konsumenten Budgetgerde Ein Konsument verfügt üer ein Einkommen von 300, ds er gnz für den Kuf des Gutes A und/oder B usgit. Eine Einheit A kostet 3 und eine
gehört ebenfalls zu einem Paar. Da 5 eine Primzahl und kein anderes Quadervolumen ein Vielfaches von 5 V o
Lndeswettewer Mthemtik Bden-Württemerg 999 Runde ufge Ein Würfel wird durh je einen Shnitt rllel zur order-, Seiten und Dekflähe in ht Quder zerlegt (siehe Skizze) Können sih die Ruminhlte dieser Quder
Wurzel b bedeutet: Suche die Zahl, die mit sich selbst multipliziert gerade die Zahl ergibt, die unter der Wurzel steht.
/0 Areitsltt Wurzel edeutet: Suhe die Zhl, die mit sih selst multipliziert gerde die Zhl ergit, die unter der Wurzel steht. Also: - suhe eine Zhl, die mit sih selst multipliziert, genu ergit. Die Lösung
( 3 ( 5. Grundwissen. Die Lösungen zum Grundwissen stehen im Anhang. Mit Brüchen rechnen. 1 Vervollständige die Additionsmauern im Heft.
6 Die Lösungen zum stehen im nhng. Mit rühen rehnen 1 Vervollständige die dditionsmuern im Heft. ) ) 3 10 3 5 2 erehne. ) 13 65 88 d) 7 13 : 1 65 3 20 3 ) 2 7 1 36 e) 2 1 7 : 15 2 2 15 1 20 ) 2 7 2 1 36
a b = a b a b = 0 a b
Vektorlger Zusmmenfssung () Sklrprodukt weier Vektoren im Rum Unter dem Sklrprodukt os os weier Vektoren und versteht mn den Sklr woei der von den eiden Vektoren eingeshlossene Winkel ist ( 8) * os Rehenregeln
Download. Hausaufgaben: Trigonometrie. Üben in drei Differenzierungsstufen. Otto Mayr. Downloadauszug aus dem Originaltitel:
Downlod Otto Myr Husufgen: Üen in drei Differenzierungsstufen Downloduszug us dem Originltitel: Husufgen: Üen in drei Differenzierungsstufen Dieser Downlod ist ein uszug us dem Originltitel Husufgen Mthemtik
ARBEITSBLATT 5L-8 FLÄCHE ZWISCHEN FUNKTION UND X-ACHSE
Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem RBEITSBLTT 5L-8 FLÄCHE ZWISCHEN FUNKTION UND X-CHSE Wie wir die Fläche zwischen einer Funktion und der -chse erechnen, hen wir rechentechnische ereits geklärt.
DOWNLOAD. Lernzirkel Dreieck. Albrecht Schiekofer. Downloadauszug aus dem Originaltitel:
DOWNLOD lreht Shiekofer Lernzirkel Dreiek Downloduszug us dem Originltitel: 1 4 5 6 7 8 9 10 Lernzirkel Grundlgen der Geometrie Koordintensystem (Fhegriffe) Koordinten estimmen Koordinten eintrgen Spiegelpunkte
M3 Übung: Strahlensatz, Teilungsrechnung, Strecken teilen Name: 1)Stelle eine Verhältnisgleichung auf und berechne x!
M Üung: Strhlenstz, Teilungsrehnung, Streken teilen Nme: 1)Stelle eine Verhältnisgleihung uf und erehne! 1,5 4,0,0 2)Berehne mit einer Proportion! (Mße in m!) 6,0 6,5 1, )Stelle eine Verhältnisgleihung
Seite 50. Einstieg. 1 a) α und γ sind Scheitelwinkel. b) α und α sind Stufenwinkel. c) β und δ sind Scheitelwinkel. d) β und δ sind Wechselwinkel.
Dreieke Shüleruhseite 8 5 Dreieke uftkt Seiten 8, 9 Seite 8 Ds Rehtek knn niht mehr verformt werden, wenn mn zwei gegenüerliegende Eken mit einem 5er-Streifen verindet. Dmit ds Sehsek seine Form ehält,
Automaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien
5 Ds Pumping Lemm Shufhprinzip (Folie 137) Automten und formle Sprhen Notizen zu den Folien Im Blok Ds Shufhprinzip für endlihe Automten steht m n (sttt m > n), weil die Länge eines Pfdes die Anzhl von
ARBEITSBLATT 14 ARBEITSBLATT 14
Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng reitsltt. Semester RBEITSBLTT RBEITSBLTT RBEITSBLTT RBEITSBLTT DS VEKTORPRODUKT Definition: Ds vektorielle Produkt (oder Kreuprodukt) weier Vektoren und ist ein Vektor mit
GMFH - Gesellschaft für Mathematik an Schweizer Fachhochschulen SMHES - Société pour les Mathématiques dans les Hautes Ecoles Spécialisées suisses
GMFH - Gesellshft für Mthemtik n Shweizer Fhhohshulen SMHES - Soiété pour les Mthémtiques dns les Hutes Eoles Spéilisées suisses Mthemtik-Referenzufgen zum Rhmenlehrpln für die Berufsmturität (RLP-BM 2012)
Symmetrien und Winkel
5-04 1 10 mthuh 1 LU reitsheft + weitere ufgen «Grundnforderungen» Symmetrien 301 Zeihne Grossuhsten des lphets, sortiert nh vier Typen: hsensymmetrish punktsymmetrish hsen- und punktsymmetrish weder hsen-
Polynominterpolation (Varianten)
HTL Slfelden Polynominterpoltion Seite von Wilfried Rohm Polynominterpoltion (Vrinten) Mthemtishe / Fhlihe Inhlte in Stihworten: Lösen von Gleihungssysteme, Mtrizenrehnung, Mthd-Progrmm Kurzzusmmenfssung
Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN
Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN Wir wollen eine Gerde drstellen, welche durch die Punkte A(/) und B(5/) verläuft. Die Idee ist folgende:
EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS DEISSLER skript05-temp.doc
EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS 05 50 DEISSLER skript05-temp.do 5 Dreiekslehre 5.1 edeutung der Dreieke Durh Tringultion lssen sih Vieleke in Dreieke zerlegen ( n Ek in n- Dreieke) eweis von Sätzen mittels
Seitenmittenvierecke. von Sven Klein
von Sven Klein von Sven Klein liederung: 0. Worum geht es? 1. die qudrtishe etrhtung 2. ezug uf ds Rehtek 3. ds unvollständige us der Viereke 4. der Spezilfll: ds llgemeine Vierek 5. esetzmäßigkeiten 6.
1 Algebra. Addition und Subtraktion. Minuend. Differenz. Subtrahend. In einer Summe darf man die Summanden vertauschen. (Kommutativgesetz)
TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 1 1 Alger Addition und Sutrktion In einer Summe drf mn die Summnden vertushen. (Kommuttivgesetz) + + Summnd Summ nd Beim ddieren drf mn die Summnden zu Teilsummen zusmmenfssen.
2 Die Bildsprache Der relevante Winkel im grünen Dreieck ist stumpf; die gleichschenkligen Dreiecke haben den Basiswinkel 180 :
Hns Wlser, [20080409] Eine Visulisierung des Kosinusstzes 1 Worum es geht Es wird eine zum Pythgors-Piktogrmm nloge Figur für niht rehtwinklige Dreieke esprohen. Dei werden ähnlihe gleihshenklige Dreieke
Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Lernzirkel / Stationenlernen: Höhensätze (Pythagoras und Euklid)
Unterrihtsmterilien in digitler und in gedrukter Form uszug us: Lernzirkel / Sttionenlernen: Höhensätze (Pythgors und Euklid) Ds komplette Mteril finden Sie hier: Downlod ei Shool-Soutde SHOOL-SOUT Lernzirkel
01 Proportion Verhältnis Maßstab
5 Ähnlihkeit und Strhlensätze LS 01.M1 01 Proportion Verhältnis Mßst 1 Lies die folgende Informtion sorgfältig. Mrkiere wihtige egriffe und Formeln. ) Proportionle Zuordnung ei einer proportionlen Zuordnung
Mathematische Probleme, SS 2018 Dienstag 5.6. $Id: dreieck.tex,v /06/05 15:41:51 hk Exp $ 2.1 Dreiecksberechnung mit Seiten und Winkeln
Mthemtishe Proleme, SS 2018 Dienstg 5.6 $Id: dreiek.tex,v 1.43 2018/06/05 15:41:51 hk Exp $ 2 Dreieke 2.1 Dreiekserehnung mit Seiten und Winkeln Am Ende der letzten Sitzung htten wir den sogennnten Kongruenzstz
II Orientieren und Bewegen im Raum
Schüleruchseiten II Orientieren und ewegen im Rum Erkundungen Seite Seite ( ), ( ), D ( ), E ( ), F ( ), G ( ), H ( ) Ich sehe ws, ws Du nicht siehst Individuelle Lösungen Rechnen mit Vektoren uftrg )
Flächenberechnung. Aufgabe 1:
Flächenerechnung Aufge : Berechnen Sie den Flächeninhlt zwischen dem Funktionsgrphen und der -Achse in den Grenzen von is von: ) f() = ) f() = - Skizzieren Sie die Funktionsgrphen und schrffieren Sie die
Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra I WS 2003/2004 Musterlösung zu Blatt 4
Prof. Dr. Helmut Lening Pderorn, den 0. Novemer 00 Mrkus Diekämper, Andrew Huer, Mr Jesse Age is. Novemer 00, Ur Üungen ur Vorlesung Linere Alger I WS 00/004 Musterlösung u Bltt 4 AUFGABE (4 Punkte): Gegeen
Vektorrechnung in der Ebene Beweis des Satz des Thales. u v ACB. = a b a a + b b b a. = a b a + b a b. Beispiel 3 Satz des Thales
Vektorrehnung in der Eene Beweis des St des Thles Beispiel 3 St des Thles Mn eweise den St des Thles: Jeder Peripheriewinkel üer einem Kreisdurhmesser AB ist ein rehter Winkel. C 1 C C 3 Beweis: A M B
Übungen zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Lösungsvorschlag
MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner SS 2015 Bltt 6 26.05.2015 Üungen zur Vorlesung Grundlgen der Mthemtik II Lösungsvorschlg 21. ) Ein Qudrt mit der Seitenlänge + und dmit dem
Wir wählen einen Punkt O des zwei- bzw. dreidimensionalen euklidischen Raums als Ursprung oder Nullpunkt. b 3 c. b 2
IV. Teilung und Teilverhältnis im Punktrum ================================================================ 4.1 Der Punktrum Wir wählen einen Punkt O des zwei- zw. dreidimensionlen euklidischen Rums ls
2. Landeswettbewerb Mathematik Bayern 2. Runde 1999/2000
Lndeswettewer Mthemtik Bern Runde 999/000 Aufge Ein Würfel wird durh je einen Shnitt rllel zur order-, Seiten und Dekflähe in ht Quder zerlegt (siehe Skizze) Können sih die Ruminhlte dieser Quder wie :
DEMO. Dreiecke: Geometrie INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. Konstruktionen. Kongruente Dreiecke. Datei Nr
Geometrie Dreieke: Konstruktionen Kongruente Dreieke Dtei Nr. 11111 DEM Friedrih ukel Stnd: 19. Juni 2017 INTERNETILITHEK FÜR SHULMTHEMTIK www.mthe-d.shule 11111 Dreieke 1 Kongruenz 2 Inhlt 1. Konstruktion
Übungen zur Vorlesung Modellierung WS 2003/2004 Blatt 11 Musterlösungen
Dr. Theo Lettmnn Pderorn, den 9. Jnur 24 Age 9. Jnur 24 A x, A 2 x, Üungen zur Vorlesung Modellierung WS 23/24 Bltt Musterlösungen AUFGABE 7 : Es sei der folgende prtielle deterministishe endlihe Automt
Der Vektor lebt unabhängig vom Koordinatensystem: Bei einer Drehung des Koordinatensystems ändern zwar die Komponenten, der Vektor v aber bleibt.
Vektorlger Vektorlger Vektoren sind Grössen, die einen Betrg sowie eine Rihtung im Rum hen. Im Gegenstz zu den Vektoren estehen Sklre nur us einer Grösse ls Zhl. In Bühern wird nsttt v oft v geshrieen.
G2.3 Produkte von Vektoren
G Grundlgen der Vektorrechnung G. Produkte von Vektoren Ds Sklrprodukt Beispiel: Ein Schienenfhrzeug soll von einem Triler ein Stück s gezogen werden, der neen den Schienen fährt (vgl. Skizze). Wir wollen
Vektorrechnung im R 3 mit dem Voyage 200:
Wir legen einen neuen Folder n: VAR-LINK F, 5 (CREATE FOLDER) Nme: vektor3 Wechseln in den Folder: MODE Current Folder vektor3 uswählen Vektorrechnung im R 3 mit dem Voge 00: Punkte und Vektoren werden
Änderungen in Zweitauflagen von Buch, Arbeits- und Theorieheft und Begleitordner
Änderungen in Zweituflgen von uh, reits- und Theorieheft und egleitordner lle uflgen des Shüleruhes, des reits- und Theorieheftes und des egleitordners lssen sih prolemlos neeneinnder verwenden. Shüleruh
1.7 Inneres Produkt (Skalarprodukt)
Inneres Produkt (Sklrprodukt) 17 1.7 Inneres Produkt (Sklrprodukt) Montg, 27. Okt. 2003 7.1 Wir erinnern zunächst n die Winkelfunktionen sin und cos, deren Wirkung wir m Einheitskreis vernschulichen: ϕ
Darstellung von Ebenen
Drstellung von Ebenen. Ebenengleichung in Prmeterform: Sei E eine Ebene. Dnn lässt sich die Ebene drstellen durch eine Gleichung der Form p u x = p + r v u + s v (r, s R). p u v Der Vektor p heißt Stützvektor
Übungsaufgaben 2 Klasse - S.1
0 = Üungsufgen Klsse - S. Lernzielüersicht: ) 6G.0-E / 00-e 0 Konstruiere ds Rechteck mit den Eckpunkten (/), (9/), (9/) und zeichne die Digonlen ein. Wie groß sind die Winkel, die die Digonlen miteinnder
Umstellen von Formeln und Gleichungen
Umstellen von Formeln und Gleihungen. Ds Zusmmenfssen von Termen edeutet grundsätzlih ein Ausklmmern, uh wenn mn den Zwishenshritt niht immer ufshreit. 4 6 = (4 6) =. Steht eine Vrile, nh der ufgelöst
5.6 Gleichsetzungsverfahren
.6 Gleihsetzungsverfhren Verfhren: Beide Gleihungen des Gleihungssystems werden nh derselen Vrilen ufgelöst und die entsprehenden Terme werden einnder gleihgesetzt. Beispiele (G x ) ) () x + y () x - y
Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck
Flähensätze m rehtwinkligen Dreiek ufge: Zeihne ein rehtwinkliges Dreiek us = 7 m, = 5 m γ = 90 o und zeihne die Höhe h ein. γ Kthete h Kthete q Hypotenusenshnitte Hypotenuse p MERKE: Ktheten: Hypotenuse:
Download. Hausaufgaben Geometrie 1. Üben in drei Differenzierungsstufen. Otto Mayr. Downloadauszug aus dem Originaltitel:
ownlod Otto Myr Husufgen Geometrie 1 Üen in drei ifferenzierungsstufen ownloduszug us dem Originltitel: Husufgen Geometrie 1 Üen in drei ifferenzierungsstufen ieser ownlod ist ein uszug us dem Originltitel
Eine Anmerkung zur Neuberg-Kurve
Eine nmerkung ur Neuerg-Kurve Ekrt hmidt Die usreitung etrifft ds PM-Prolem P1059 PM 5/45.Jg.00,.44 Der Punkt P in der Eene des Dreieks wird n dessen eiten gespiegelt. Die piegelpunkte P, P, P ilden ds
Das kleine 9er-Einmaleins mit den 10 Fingern lernen.
Ws? Multiplizieren 9er-Finger-Einmleins Wozu? Ds kleine 9er-Einmleins mit den 10 Fingern lernen. 1. Beide Hände mit usgestrekten Fingern zeigen nh oen. 2. Die Dumen zeigen nh ußen (Hndflähen zum Gesiht).
Markieren Sie die Integralausdrücke, die den Flächeninhalt der markierten Fläche berechnen:
Aufge C (X/N) Mrkieren Sie ie Integrlusrüke, ie en Fläheninhlt er mrkierten Flähe erehnen: A) f () g() g() f () B) ( f () g() ) + ( f () g() ) C) f () g() D) ( f () g() ) ( g() f () ) E) f () g() F) f
ping karlsruhe Mining Software Call Graphs Frank Eichinger
ping krlsruhe Motivtion Softwre Mining Cll-Grphen Grph Mining Trnsformtionen Auslik Mining Softwre Cll Grphs Frnk Eihinger Lehrstuhl Prof. Böhm Institut für Progrmmstrukturen und Dtenorgnistion (IPD) Universität
Vektoren. b b. R heißt der Vektor. des. und b. . a b
6 Vektoren 66 Ds Vektorprodukt Definition des Vektorprodukts Wir etrchten im dreidimensionlen Rum zwei nicht kollinere Vektoren R, \{0} Gesucht ist ein Vektor x R, der uf jedem der eiden Vektoren und senkrecht
Nullstellen quadratischer Gleichungen
Nullstellen qudrtischer Gleichungen Rolnd Heynkes 5.11.005, Achen Nch y ufgelöst hen qudrtische Gleichungen die Form y = x +x+c. Zeichnet mn für jedes x uf der rechten Seite und ds drus resultierende y
Mathematik Trigonometrie Einführung
Mthemtik Trigonometrie Einführung Ws edeutet ds Wort Trigonometrie und mit ws eshäftigt sih die Trigonometrie? Eine kleine Wortkunde: tri edeutet 'drei' Beispiel: Trithlon,... gon edeutet 'Winkel'/'Ek'
Ausarbeitung zum Satz von Brahmagupta. Thimo Wanders Dozent: Dr. Marco Sobiech Proseminar Lineare Algebra
usreitung zum Stz von rhmgupt Thimo Wners ozent: r. Mro Soieh Proseminr Linere lger Sommersemester 2018 Inhltsverzeihnis 1 Einleitung 2 1.1 Nottion..................................... 2 2 Sehnenviereke
Algorithmen II Vorlesung am
Algorithmen II Vorlesung m 29.11.2012 Algorithmishe Geometrie: Shnitte von Streken Sweep-Line INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Lndes Bden-Württemberg und
5.2 Quadratische Gleichungen
Mthemtik mit Mthd MK..0 0_0_Qud_Gleih.xmd Einfhe qudrtishe Gleihungen. Qudrtishe Gleihungen ef.: Eine Gleihung, in der x höhstens qudrtish (in der zweiten Potenz) vorkommt, heißt qudrtishe Gleihung. Gewöhnlihe
2.2. Figuren Dreiecke Winkelsumme in Dreiecken Besondere Dreiecke Vierecke
.. Figuren Figuren sind zweidimensionle Geilde in der Eene. Die einfhsten Figuren sind Dreieke und Viereke.... Dreieke Bezeihnungen in Dreieken werden die Ekpunkte A, B, sowie die dzugehörigen Innenwinkel,,
DOWNLOAD. Lernzirkel Viereck. Albrecht Schiekofer. Downloadauszug aus dem Originaltitel:
OWNLO lreht Shiekofer Lernzirkel Vierek ownlouszug us em Originltitel: 5 6 7 8 9 0 Lernzirkel Grunlgen er Geometrie Koorintensystem (Fhegriffe) Koorinten estimmen Koorinten eintrgen Spiegelpunkte estimmen
Rechnerlösungen gibt es zu den Aufgaben 6 bis 10. Ausführliche Berechnungsbeispiele und vieles mehr gibt es unter
R. Brinkmnn http://rinkmnn-du.de eite.0.0 Lösungen Bruhrehnung I mit dem GTR CAIO fx-cg 0 Rehnerlösungen git es zu den Aufgen 6 is 0. Ausführlihe Berehnungseispiele und vieles mehr git es unter http://www.freiurger-verlg.de/
Funktionen und Mächtigkeiten
Vorlesung Funktionen und Mähtigkeiten. Etws Mengenlehre In der Folge reiten wir intuitiv mit Mengen. Eine Menge ist eine Zusmmenfssung von Elementen. Zum Beispiel ist A = {,,,,5} eine endlihe Menge mit
Ähnlichkeitssätze für Dreiecke
Klsse 9 Mth./Ähnlihkeitssätze S.1 Let Ähnlihkeitssätze für Dreieke Def.: Die Verkettung (Hintereinnderusführung) einer zentrishen Strekung mit einer Kongruenzbbildung heißt Ähnlihkeitsbbildung. Zwei Figuren,