Digitale Übertragungstechnik

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1 Digiale Überragungsechnik Fachbereich 2 Lohar Klaas Elekroechnik / Bachelor / Nachrichen- und Kommunikaionsechnik

2 DIÜT 2 Inhalsverzeichnis Seie Lieraur 3 Srukur eines digialen Überragungssysems 4 2 Signale 6 2. Begriffsbesimmung Spezielle Signale 6 3 Die Falung 3. Auokorrelaion und Kreuzkorrelaion deerminierer Signale 3 4 Die Fourierreihe 4 5 Die Fourier-Transformaion 7 6 Beschreibung linearer, zeiinvarianer Syseme 2 7 Ideale Syseme Das ideale Überragungssysem - Lineare und nichlineare Verzerrungen Der ideale Tiefpass Der Gauß-Tiefpass 26 8 Beschreibung sochasischer Signale Grundlegende Definiionen Beschreibung im Zeibereich Beschreibung im Frequenzbereich Signalquanisierung Zeiquanisierung Ideale Zeiquanisierung Reale Zeiquanisierung Ampliudenquanisierung Gleichmäßige Ampliudenquanisierung Ungleichmäßige Ampliudenquanisierung 4. 2 Leiungscodierung 6 2. Leiungscodes und ihre Spekren Inersymbolinerferenz - Das erse Nyquiskrierium Das zweie Nyquiskrierium Das Cosinus -Roll-Off-Filer 66 3 Digiale Modulaionsverfahren Allgemeines Phase und Frequenz Basisbandmodulaion Die Pulscodemodulaion (PCM) Bandpassmodulaion m-fache Ampliudenumasung (m-ask) m-fache Phasenumasung (m-psk) Offse-QPSK und /4-Differenz-QPSK m-quadraurampliudenmod. (m-qam) m-fache Frequenzumasung (m-[cp]fsk) Minimum Shif Keying ( [G]MSK) Orhogonale Mehrfrequenz-Modulaion ([C]OFDM) 82 4 Vielfachzugriffsverfahren Zei- (TDMA) und Frequenzmuliplex (FDMA) Codemuliplex (CDMA) 88 5 Digiale Hierarchieebenen 9 5. Primärmuliplex PCM 3/ Synchrone dig. Hierarchie (SDH) 92 6 Beispiel ISDN (TDMA,Basisbandüberragung) 93 7 Beispiel GPS (TDMA, CDMA, BPSK) 96 8 Beispiel DAB (TDMA, COFDM) 9 Beispiel GSM (TDMA, FDMA, FH, GMSK) 7 Grundlagen der Informaionsheorie 42. Fehlerkorrekur und Verwürfelung 46. Blockcodierung 48.. Das Galoisfeld GF(2) Beispiel eines linearen Blockcodes 5..3 Codierung mi Generaor- und Prüfmarix 5..4 Der Hamming-Code 53.2 Falungscodierung 55.3 Pseudozufallsfolgen und Verwürfelung 58 Anhang : Formelzusammensellung, Rechenübungen Prof. Dr. L. Klaas Arbeisgebie Nachrichenechnik Technische Hochschule Bingen Berlinsraße 9 D-554 Bingen klaas@h-bingen.de Bearbeiungssand: A

3 DIÜT 3 Lieraur [] Bronsein : Taschenbuch der Mahemaik. Europa Lehrmiel Ediion Harri Deusch, 25 [2] Unbehauen : Sysemheorie, Oldenbourg 22 [3] Girod/Rabensein/Senger : Einführung in die Sysemheorie. Teubner 25 [4] Mildenberger : Sysem- und Signalheorie. Vieweg 995 [5] Roppel :Grundlagen der digialen Kommunikaionsechnik, Hanser 26 [6] Kammeyer : Nachrichenüberragung, Teubner 24 [7] Lüke : Signalüberragung, Springer 25 [8] Meyer : Signalverarbeiung. Vieweg 27 [9] Mildenberger: Überragungsechnik. Vieweg 997 [] Proakis/ Salehi : Grundlagen der Kommunikaions echnik, Pearson 24 [] Gerdsen : Digiale Nachrichenüberragung. Teubner 996 [2] Mäusl : Digiale Modulaionsverfahren. Hühig 995 [3] Weidenfeller/Vlcek : Digiale Modulaionsverfahren mi Sinusräger. Springer 996 [4] Reimers : DVB. Springer 25 [5] David/Benkner : Digiale Mobilfunksyseme. Teubner 996 [3] Sklar : Digial Communicaions, Prenice Hall 2 [5] Gerdsen/Kröger : Digiale Signalverarbeiung in der Nachrichenüberragung. Springer 997 [6] Mansfeld : Saellienorung und Navigaion. Vieweg 998 [7] Walke : Mobilfunkneze und ihre Prookolle. Band &2, Teubner 998 [8] Sweeney : Codierung zur Fehlererkennung und Fehlerkorrekur. Hanser 992 [9] Bluschke : Digiale Leiungs- und Aufzeichnungscodes. VDE-Verlag 992 [2] Tzschach/Haßlinger : Codes für den sörungssicheren Daenransfer. Oldenbourg 993 [2] Schneider-Obermann: Kanalcodierung. Vieweg 998 [22] Bosser : Kanalcodierung, Teubner 998 [23] Morgensern: Zur Berechnung der spekralen Leisungsdiche von digialen Basisband-Signalen. Der Fernmelde-Ingenieur, 2/979 [24] Oberg: Sochasische Signale. Wißner, Augsburg, 995 [25] Weinricher/ Hlawasch: Sochasische Grundlagen nachrichenechnischer Signale. Springer 99 [26] Bergmann/ Gerhard: Taschenbuch der Telekommunikaion. Fachbuchverlag Leipzig 999 [27] Eberspächer/ Vögel : GSM Global Sysem for Mobile Communicaion. Teubner 999 [28] Bocker : ISDN - Digiale Neze für Sprach-, Tex-, Daen-, Video- und Mulimediakommunikaion. Springer 997 [29] Hofmann-Wellenhof/ Lichenegger/ Collins : GPS, Theory and Pracice. Springer 997 [3] Radio Broadcasing sysems; Digial Audio Broadcasing (DAB) o mobile, porable and fixed receivers. ETSI Norm ETS 34; 5/97 [3] Jondral: Nachrichensyseme. Schlembach Fachverlag 2 [32] Klosermeyer: Digiale Modulaion. Vieweg 2 [33] Krüger: Transformaionen. Vieweg 22 [34] Torrieri : Principles of Spread-Specrum Communicaion Sysems. Springer 25 [35] Bahai/ Salzberg/ Ergen : Muli - Carrier Digial Communicaions. Springer 24 [36] Krüger, R. ; Mellein, H. : UMTS. Rohde & Schwarz 27 [37] Geßner, Ch. : Long Term Evoluion. Rohde & Schwarz 2

4 DIÜT 4 Srukur eines digialen Überragungssysems Die digiale Überragung von Informaionen ha in den ver gan ge nen Jahren durch Forschrie in der Mi kroelek ro nik erheblich an Bedeuung gewonnen. Der Voreil einer fas sörfreien Überragung wird in Zukunf zu einer weieren Verdrängung analoger Über ra gungs verfahren führen. Die digiale Überragung is an de rer seis viel aufwendiger als die analoge Überragung und nur mi komplexer Mikroelekronik kosengünsig um zu sezen. Um die nowendigen Schrie bei einer di gi a len Überragung zu erläuern, sind in Bild. und.2 jeweils die Blockschalbilder einer ypischen digialen Sen de- und Empfangseinrichung angegeben, im Ein zelfall kann eine digiale Überragungssrecke jedoch auch von diesem ypischen Blockschalbild erheblich abweichen. Quelle: Nachrichenquelle, kann ein Audio-, Video-, Mess- oder auch Daensignal sein, im lezen Fall enfäll der ADW. ADW: Analog- Digial-Wandler, nimm eine Am pli uden- sowie Zeiquanisierung und eine Codierung vor. Quellencodierung: (Source coding) Verfahren zur Daen re duk ion durch Enfernung redundaner und ir re levan er Informaion. MPEG is z. B. ein solches Ver fahren für Videosignale, MP3 für Audiosignale. Verwürfelung: (Scrambling) Verknüpfung der Daen mi einem Pseudozufallscode. Dien enweder der Formung des Spekrums oder der besseren Rückgewinnung des Taks (Vermeidung langer '' oder '' - Folgen). Quelle ADW Quellencodierung Verwürfelung Codierung zur Fehlerkorrekur Zeimuliplex Leiungscodierung Redundanz Irrelevanz Redundanz von anderen Quellen Kanalcodierung Codierung zur Fehlerkorrekur: (FEC, Forward Error Correcion) In diesem Block wird geziel Redundanz zu ge füg mi dem Ziel, ein- oder mehrfache Bifehler, die durch Sörungen auf dem Überragungskanal en sehen können, auf der Empfangsseie erkennen und korrigieren zu kön nen. Zeimuliplex: (TDMA, Time Division Muliple Access) In zeilicher Reihenfolge können die Daen verschie de ner Quellen nacheinander überragen (verschach el, gebündel) werden, man sprich auch vom Zei muli plex ver fahren. Leiungscodierung: (Line Coding) Umwandlung der Da en in einen für den Kanal geeigneen Leiungscode, d.h. Zuordnung der Daen zu nich selen mehr als zwei Spannungs pegeln. Pulsformungsfiler: (Pulse Shaping) Verform den am Ein gang anliegenden Recheckimpuls so, dass nach einan der überragene Impulse (Bis) sich möglichs wenig be ein flus sen und das Signal bandbegrenz is. Pulsformungsfiler Digiale Modulaion Frequenzmuliplex Codemuliplex Kanal Bild.: Digiale Überragung, Sendeseie von anderen Quellen Überragung im Basisband Sörungen

5 DIÜT 5 Digiale Modulaion: (Digial Modulaion) Ver än derung der Kenngrößen eines in der Regel sinusförmigen Trä gers, um das Spekrum vom Basisband in einen ande ren Frequenzbereich zu schieben. Frequenzmuliplex: (FDMA, Frequency Division Muli ple Access) Verschachelung der Signale ver schie dener Quellen (oder auch verschiedener Teile eines Signals) im Frequenzbereich durch Wahl verschiedener Trä ger fre quen zen bei der Modulaion. Codemuliplex: (CDMA, Code Division Muliple Access) Verschachelung verschiedener Quellen durch un er schied li che Verwürfelungscodes und Überragung im gleichen Spekralbereich zur gleichen Zei. Kanal: (Channel) Überragungskanal (Leiung, freier Raum, Richfunksrecke, Lichleier), in dem die Nachrich z. B. durch Rauschen gesör wird. Frequenzdemuliplex: Die Verschachelung im Frequenz be reich wird in diesem Block rückgängig gemach. Demodulaion: Rückversezung des Spekrums des zu em pfang en den Signals in das Basisband. Codedemuliplex: Die Verschachelung der Codes wird in diesem Block durch Korrelaion mi dem Verwürfelungs code rückgängig gemach. Takrückgewinnung: Rückgewinnung des Sysemaks aus dem Leiungscode. Enscheider: Triff mi Hilfe des Tak die En scheidung, welches Symbol überragen wurde. Zeidemuliplex: Die Verschachelung im Zeibereich wird in diesem Block rückgängig gemach. Fehlerkorrekur: Fehlererkennung und Korrekur von Ein- oder Mehrbifehlern je nach verwendeem Code. Die sendeseiig eingefüge Redundanz wird enfern. Enwürfelung: Das im Sender vorgenommene Scrambling wird rückgängig gemach. Quellendecodierung: Die sendeseiig beseiige Red undanz des Quellensignals wird wieder hinzugefüg. DAW: Digial - Analog - Wandler, wandel das digiale Si gnal in ein analoges Signal um, wenn der Empfänger ein analoges Signal benöig. Kanal Frequenzdemuliplex Demodulaion Codedemuliplex Takrückgewinnung Enscheider Zeidemuliplex Fehlerkorrekur Enwürfelung Quellendekodierung DAW Senke Sörungen zu anderen Senken Überragung im Basisband zu anderen Senken Sysemak zu anderen Senken Redundanz Redundanz Senke: Nachrichensenke (-empfänger). Kann das Auge, das Ohr oder auch z.b. ein Rechner sein. Nich in den Bildern enhalen is der Block Nachrichenvermilung. Er kann vor und hiner dem Kanal Bild.2: Digiale Überragung, Empfangsseie angeordne sein, es is aber auch möglich, dass die Vermilung Teil des Blocks 'Zeimuliplex' is.

6 DIÜT 6 2 Signale 2. Begriffsbesimmung Ein Signal is eine meis zeiabhängige Funkion oder Werefolge, die Informaion repräsenier. Man unerscheide folgende Signalklassen: (zei-)koninuierlich: Das Signal is zu jedem beliebigen Zeipunk besimm. Is der Sinus nur zu besimmem diskreen Zeipunken bekann, kann aber zu diesen Zeipunken jeden beliebigen Ampliudenwer annehmen, handel es sich um ein zeidiskrees Signal (Bild 2.2). 4 2 zeidiskre: Das Signal is nur zu diskreen Zeipunken besimm. y(nt) ampliudenkoninuierl.: Das Signal kann jeden Ampliudenwer annehmen. -2 ampliudendiskre: Das Signal kann nur diskree Ampliudenwere annehmen nt/ analog: digial: Das Signal is ampliudenund zeikoninuierlich. Das Signal is ampliudenund zeidiskre. zeibegrenz: Das Signal verschwinde außerhalb eines besimmen Zeibereichs idenisch. bandbegrenz: Das Spekrum des Signals verschwinde außerhalb eines besimmen Bereichs zu. deerminier: Das Signal is vorherbesimm (z.b. Sinus). sochasisch: Das Signal is nich vorherbesimm, also zufällig. Bild 2. zeig die Funkion 4sin(2) als Beispiel eines ampliuden- und zeikoninuierlichen, also analogen Signals. 4 2 Bild 2.2: Zeidiskrees Signal Kann die Ampliude des Sinus daneben nur z.b. ganzzahlige Were annehmen, lieg ein digiales Signal vor (Bild 2.3). Ein digiales Signal is also durch ganzzahlige (Ineger) Werepaare gekennzeichne. yd(nt) Bild 2.3: Digiales Signal 2.2 Spezielle Signale nt/ In diesem Kapiel werden spezielle Signale vorgesell, die bei der Beschreibung nachrichenechnischer Sy seme eine große Rolle spielen. y() Die si-funkion: Bild 2.: Analoges Signal si(x) sin(x) x (2.) Die Nullsellen der si-funkion liegen bei den gleichen Weren wie beim Sinus, mi Ausnahme des Wers bei x =. Hier ha die si-funkion den Grenzwer, wie sich leich mi der Regel von l'hospial fessellen läss.

7 DIÜT 7 Es gil: si(x) dx (2.2) e x2.8 dx (2.6) y(x).4 si(x) x Bild 2.4: si-funkion Der Inegralsinus: x Si(x) si() d Es gil (2.3) Bild 2.6: Gauß'sche Glockenkurve Das Gauß'sche Fehlerinegral erf(x) : erf(x) Es gil: x 2 e 2 d lim erf(x) x x (2.7) (2.8) lim Si(x) 2 x. (2.4).5. erf(x) -.5 Si(x) Bild 2.7: Gauß'sches Fehlerinegral x x Die Sprungfunkion (x): Bild 2.5: Inegralsinus Die Gauß'sche Glockenkurve: y(x) ex2 Es gil: (2.5) für x (x) 2 für x für x (2.9) Die Funkion wird auch gelegenlich als 'Einheissprungfunkion' bezeichne. Der Wer für x = is in der Lieraur nich immer definier. In der englischsprachigen Lieraur wird der Einheissprung mi u(x) (Uni sep) oder H(x) (Heaviside's uni sep funcion) bezeichne.

8 DIÜT 8 (x) f(x) A rec x B C. (2.4) Bild 2.8: Einheissprungfunkion Die Signum-Funkion sgn(x): für x sgn(x) für x für x Der Wer für x = is in der Lieraur nich immer einheilich definier. Es gil: sgn(x) 2 (x) x (2.) (2.) f(x) A B-C/2 C Bild 2.: Funkion f(x) nach (2.4) B Die Dreieckfunkion ri(x): x für x ri(x) für x B+C/2 x (2.5) sgn(x) ri(x) - x - x Bild 2.9: Signum-Funkion Bild 2.2: Dreieck-Funkion Die Recheckfunkion rec(x): für x 2 rec(x) 2 für x 2 für x 2 Der Wer bei x = /2 is in der Lieraur nich immer einheilich definier. Es gil: rec(x) (x 2) (x 2) Bild 2.: Recheck-Funkion rec(x) -/2 /2 (2.2) (2.3) Anhand dieser Funkion sei beispielhaf die Ver schiebung und Dehnung/ Sauchung von Funkionen er läuer. Bild 2. zeig die Recheckfunkion x Der Delaimpuls (x) : Der Delaimpuls (auch Soßfunkion, Impulsfunkion, Dirac soß genann) is keine Funkion im her kömm lichen Sinne, sondern eine sogenanne verallgemeinere Funk i on oder Disribuion. In der echnischen Li e ra ur wird (x) enweder über das Gleichungssysem (x) dx ; (x) x oder über den Grenzwer von Funkionenfolgen (2.6) (x) lim f n (x) ; lim f n (x) ; fn (x) dx x n n (2.7) definier. Es gib viele Funkionenfolgen, die (2.7) erfüllen. Bild 2.3 zeig die Folge f n (x) n rec n x 2, (2.8)

9 DIÜT 9 Bild 2.4 die Folge f 2n (x) n e n x2, (2.9) deren Grenzwere bei n als Disribuion (x) gedeue werden können. fn(x) n=5 n=5 n= Bild 2.3: Delaimpuls als Grenzwer einer Recheckfolge f2n(x) n= n= x n= x Die wichigse Eigenschaf des Delaimpulses is die sogenanne Ausblendeigenschaf: (x) f(x) dx f() (2.2) Alle anderen Eigenschafen des Delaimpulses lassen sich mi der Ausblendeigenschaf beweisen. In Woren aus ge drück besag diese Eigenschaf, dass (x) in der Form "Inegral über das Produk mi einer anderen Funk i on" den Wer der anderen Funkion f(x) aus blende, an der (x) ungleich Null is. Die Ausblendeigenschaf läss sich (für unsere Zwecke aus rei chend, wenn auch mahemaisch nich ganz korrek) dadurch verifizieren, dass f(x) uner dem Inegral durch f() ersez wird, da nur bei x = das Produk mi dem Delaimpuls von Null verschieden sein kann. Mi (2.6) is dann (2.2) bewiesen. Es muss dann auch gel en: (x a) f(x) dx f(a) (x) f(x a) dx f( a) (2.2) (2.22) Weiere wichige Rechenregeln des Delaimpulses sind: Bild 2.4: Delaimp. als Grenzw. einer Gaußimpulsfolge Die Fläche uner den Funkionen bleib bei sei gendem n, der Wer bei x = wächs gegen unendlich, bei anderen Weren gegen Null. () is unendlich oder un be simm, beide Aussagen sind richig. Beim Del aim puls wird ausschließlich die Auswirkung des In egrals des Produks von (x) mi anderen Funkionen uner such, der Wer () is daher für unsere An wen dungen völlig unerheblich. Graphisch wird (x) als Pfeil bei x = mi der Am pliu de dargesell. Diese Darsellung is lediglich als Sym bol zu versehen und darf nich zu der falschen Annah me verleien, () sei. (ax) a (x) (x) d (x) dx ' (x) f(x) dx f ' () (x) ( x) 2 (x) is nich definier! x ; (x) () d (2.23) (2.24) (2.25) (2.26) (2.27) (x) (2.23) läss sich mi der Ausblendeigenschaf (2.2) beweisen. Is a posiiv, gil: Bild 2.5: Delaimpuls x (ax)f(x)dx ()f(a)d a a f() Ein mi a muliplizierer Delaimpuls wird durch einen Pfeil der Höhe a symbolisier. Is a negaiv, muss das Vorzeichen der Inegraionsgrenzen verausch werden und man erhäl:

10 DIÜT ()f(a)d ()f(a)d a a a f() (2.24) kann man am einfachsen dadurch verifizieren, dass man sich (x) als Grenzwer des Inegrals der Funkionenfolge aus Bild 2.3 vorsell. (2.25) folg direk aus der Regel für die parielle Inegraion und der Ausblendeigenschaf: '(x)f(x)dx (x)f(x) (x) f '(x)dx f '() (2.26) folg aus (2.23) durch Einsezen von a =. Der Delakamm III(x) Der Delakamm is ein unendlich of in gleichem Ansand wiederholer Delaimpuls. III(x) (x n ) n (2.28) (x) x Bild 2.6: Delakamm Es gil: III( x a ) a (x n a) n (2.29) a III( x a ) (x n a) n (2.3)

11 DIÜT 3 Die Falung Uner der Falung (convoluion) zweier von der Zei abhängiger Funkionen verseh man das Inegral y() f() g() f() g( ) d (3.) Das Falungsinegral wird in der echnischen Lieraur mi dem Falungsoperaor " * " abgekürz. Die Falung ha große Bedeuung bei der Beschreibung linearer, zei in vari an er Syseme. Zum Versändnis der Falung muss man sich zunächs den Zusammenhang zwischen der abhängigen Variablen und der In e graions variablen klar machen, dies soll zunächs an einem ein fachen Beispiel erläuer werden. æ Beispiel: Es is y() = rec() * rec() zu ermieln. y() rec() rec( ) d Als Funkion der Inegraionsvariablen sind jez rec () und die gespiegele und um verschobene Funk i on rec (-) aufzuragen. Die abhängige Variable is nich die Inegraionsvariable, sondern eine Ver schie bungs vari able, von der das Ergebnis der Falung ab häng. y() kann als von der Verschiebungsvariablen abhängige Fläche uner dem Produk der beiden von abhängigen Funkionen versanden werden. Bild 3. ver deu lich den Zusammenhang. Eine der beiden Funkio nen wird gespiegel uner der anderen durch ge schoben, und die Fläche des Produks der beiden Funk io nen in Abhängigkei der Verschiebungsvariablen er mi el. Da in dem vorliegenden Beispiel die Fläche li ne ar mi anseig oder abfäll, is das Ergebnis die Drei eck funkion. rec () rec () ri () ø (3.2) Da es für das Ergebnis prinzipiell gleich is, welche der beiden Funkionen gespiegel uner der anderen durchgeschoben wird, gil bei der Falung das Kommu a ivgesez: f() g() g() f() (3.3) Sind die zu falenden Funkionen zeibegrenz, is auch das Falungsproduk zeibegrenz. Die Zusammenhänge der Zeigrenzen sind Bild 3.2 zu ennehmen. rec( ) -/2 /2 rec(-,5 - ) -,5 rec(- - ) - rec(-,875 - ) -,875 rec(-,75 - ) F -,75 rec(-,625 - ) F3 rec( - ) F F2F3F4 -,625 rec(-,5 - ) F2 -,5 F4 F5 rec( ) rec( ) rec( ) rec( - ) F5 = -x - x rec( ) rec( ) rec( ) rec( ) rec( ) ri() F6 - F7 rec(- x - ) rec( ) F6 rec(,25 - ),25 rec( ) F7 rec(,5 - ),5 Bild 3.: Falung von rec() mi sich selbs

12 DIÜT 2 f() a e f() * g() a+a2 g() a2 e+e2 e2 Abschni A: < -. In diesem Abschni überlappen sich ri() und die gespiegele, um verschobene Sprungfunkion nich. Es gil: y A () Abschni B: - < <.In diesem Abschni über lappen sich die Funkionen, die von abhängige Fläche errechne sich zu: Bild 3.2: Zeigrenzen der Falungsoperaion Im Zusammenhang mi dem Delaimpuls sind noch zwei wichige Rechenregeln der Falung zu erwähnen. y B () ()d f() () () f() f() (3.4) y B () Jede Funkion is als Falung mi dem Delaimpuls darsellbar. Der Beweis folg unmielbar aus (2.26) und (2.2): f()( )d f()()d f() Für die Falung mi einem verschobenen Delaimpuls gil: f() ( ) ( ) f() f( ) Die Falung einer Funkion mi einem verschobenen Delaimpuls verschieb die Funkion an die Selle des Delaimpulses. Der Beweis folg ebenfalls aus (2.26) und (2.2): (3.5) f()( )d f()([ ])d f( ) Da in dem Beispiel Bild 3. die Spiegelung der einen Funkion wegen der Symmerie von rec() nich sichbar war, soll die Falung an einem weieren Beispiel erläuer werden. æ Beispiel: Es is die Funkion y() = ri() * () zu berechnen. y() ri() ( ) d Abschni C: < < +. In diesem Abschni überlappen sich die Funkionen, die von abhängige Fläche errechne sich zu: y C () ( )d yb () Abschni D: > +. In diesem Abschni überlappen sich die Funkionen, die Fläche is gleich der Fläche uner ri(): y D () (- x - ) ri( ) - x - ri() * () A B C D Bild 3.3: Falung von Dreiecks- mi Sprungfunkion ø = -x Die Berechnung (oder näherungsweise grapische Besimmung) des Falungsinegrals erleicher man sich, wenn man die einfachere Funkion spiegel und uner der anderen durchschieb. Es gil das Kommu aivgesez! Nach Bild 3.3 kann die - Achse in 4 Abschnie eingeeil werden:

13 DIÜT 3 3. Auokorrelaion und Kreuzkorrelaion deerminierer Signale Die Auokorrelaionsfunkion (AKF) eines reellen, zeibe grenz en deerminieren Signals is definier zu r ff () f() f( ) d. (3.6) Sie gib die Korrelaion (Übereinsimmung, Ver wandschaf) eines Signals mi seiner um verschobenen Kopie in Abhängigkei der Verschiebung an. Äquivalen de fi nier man die Kreuzkorrelaionsfunkion (KKF) zu r fs () f() s( ) d. (3.7) Sie gib die Korrelaion zweier Signale in Abhängigkei ihrer Verschiebung an. AKF und KKF sind eng verwand mi der Falung. Um diese Verwandschaf besser zu verdeulichen, wurden in (3.6) und (3.7) zunächs einmal Bezeichnungen für die Variablen gewähl, die in der Lieraur unüblich sind. Vergleich man (3.6) und (3.7) mi (3.), sell man folgenden Zusammenhang zur Falung fes: r ff () f( ) f() f() f( ) r fs () f( ) s() s() f( ) (3.8) Während also bei der Falung eine Funkion gespiegel "un er" der anderen durchgeschoben wird, un er scheiden sich AKF und KKF von der Falung dadurch, dass die eine Funkion ungespiegel "uner" der anderen durch ge scho ben und die Fläche uner dem Produk in Ab hän gig kei der Verschiebung ermiel wird. Anmerkung: In der Lieraur wird üblicherweise anselle der Variablen "" die Variable "" und anselle der Variablen "" die Variable "" verwand. Dami lauen die Definiionsgleichungen der AKF und KKF: r ff () f() f() d r fs () f() s() d. (3.9). (3.) Diese Wahl der Variablennamen erschwer es dem Anfänger, die enge Verwandschaf zwischen Falung und AKF bzw. KKF korrek zu deuen. Man beache: Bei der Falung is "" die "Verschiebungsvariable", "" is die Inegraionsvariable. Bei der AKF bzw KKF is es umgekehr! Wir werden die in (3.9) und (3.) gewählen Bezeichnungen der Variablen in Zukunf auch benuzen, da sie allgemein üblich sind. æ Beispiel: Es is die AKF von s() = rec() () zu ermieln. Nach Bild 3.4 können vier Abschnie unerschieden werden: Abschni A: > /2. Hier gil r ss () =. Abschni B: /2 > >. Hier seig r ss () linear an und erreich bei = den Wer /2. Abschni C: > > - /2. Hier fäll r ss ( linear ab und erreich bei = - /2 den Wer. Abschni D: - /2 >. Hier gil r ss () =. Bild 3.4 verdeulich das Ergebnis. - x D s(x+) -/2 C s() r ss( ) B /2 /2 Bild 3.4: AKF einer Recheckfunkion ø = x Durch Variablensubsiuion kann leich fesgesell werden, dass r fs () r sf ( ) A (3.) gil. Bei der KKF gil also im Gegensaz zu der Falung das Kommuaivgesez nich. Die AKF bzw. KKF deerminisischer Signale haben Anwendungen z. B. bei der Synchronisaion von TDMA- oder der Verwürfelung von CDMA-Signalen. æ Beispiel: Bild 3.5 zeig die AKF zweier zeibegrenzer Rechecksignale.

14 DIÜT s() f() rss( ) r ff( ) 2 log. Wer log. Wer Bild 3.5: AKF zweier zeibegrenzer Rechecksignale Es handel sich um zeibegrenze Leiungscodes, die mi den beiden Pegeln + und - die beiden logischen Pegel und überragen. Das Signal s() weis im Gegensaz zu f() eine sehr geringe Verwandschaf zu verschobenen Kopien seiner selbs auf. Schon bei Verschiebung um mindesens einen Schri is der Berag der AKF immer kleiner. Es handel sich bei s() bzw. bei der zugehörigen Bifolge um einen sogenannen Barker-Code, dessen AKF bei Null gleich der Anzahl der Bis und sons beragsmäßig immer kleiner oder gleich is. Bei Zeimuliplexüberragung (TDMA) werden Signale verschiedener Quellen in verschiedenen Zeischlizen überragen. Der Empfänger muss wissen, in welchen Zeischliz welche Quelle überragen wird. Dazu wird zu Beginn eines Blocks von Zeischlizen (Rahmen) ein vereinbares Codewor überragen, das der Empfänger durch Korrelaion mi den empfangenen Daen erkennen muss. Ein Codewor, das ein ausgepräges schmales Maximum seiner AKF bei Null aufweis, eigne sich dazu viel besser als ein Codewor mi einem Maximum, das sich nur wenig von Nebenmaxima abheb. Ein Barker-Code wird also mi größerer Sicherhei erkann. Daneben solle sichergesell sein, dass die KKF dieses Leiungscodes mi den Daen der Quellen, die mi hoher Wahrscheinlichkei aufreen, gering is. ø 2 4 Die Fourierreihe Jede Funkion, die periodisch is und den Diri chle'- schen Bedingungen genüg (in der Praxis is das jede periodische Funkion, die sich physikalisch realisieren läss und deren Exisenz im Zeiinervall - < < + vorausgesez wird), kann in eine Fourierreihe en wickel werden. Anders formulier: Die Funkion is darsellbar als unendliche Reihe von Sinus- und Cosinusfunkionen, deren Frequenzen ganzzahlige Vielfache der Kreisfrequenz ó = 2Ü/T ; T Periodendauer; sind. Man unerscheide die reelle und die komplexe Schreibweise der Fourierreihe: Reelle Schreibweise: f() = a 2 + a n cos(n ) + b n sin(n ) n = n = mi +T/2 a n = 2 f() cos(n T ) d -T/2 +T/2 b n = 2 f() sin(n T ) d -T/2 (4.) (4.2) Das Inegraionsinervall kann um einen beliebigen Berag verschoben werden, es muss nur exak eine Periode beragen. Die Summe zweier sinusförmiger Größen un er schied licher Ampliude und unerschiedlicher Phase ergib wieder eine sinusförmige Größe der gleichen Frequenz. Es gil []: d sin( ) d 2 sin( 2 ) Csin( ) wobei C d 2 d2 2 2d d 2 cos( 2 ) d sin d 2 sin 2 arcan d cos d 2 cos 2 Mi 2 ; 2 ; d a n ; d 2 b n (4.3) (4.4). (4.5) (4.6)

15 DIÜT 5 Mi (4.3) läss sich (4.) in die sogenanne "Berags- Phasendarsellung" umformen: f() a 2 A n sin (n n ) n A n a 2 n b2 n n arcan ( a n b n ) Mi Hilfe der Euler'schen Formeln [] sin x 2j ( e jx e jx ) cos x 2 ( e jx e jx ) (4.7) (4.8) kann aus (4.) oder (4.7) eine komplexe Schreibweise der Fourierreihe abgeleie werden. Komplexe Schreibweise: n = + f() = c n e jn n = - mi +T/2 c n = f() e -jn d T -T/2 Zusammenhang zwischen c n und a n, b n bzw. An : c n = 2 a n ± j 2 b n ; + für n < ; c n A n 2 (4.9) (4.) (4.) Die komplexe Darsellung is mi (4.) völlig idenisch. Beweis: f() c c n e jn c n e jn n n a n f() c 2 j b n e jn a n 2 2 j b n e jn 2 n f() a 2 a n 2 e jn jn e jb n 2jsin(n ) n 2 2 cos (n ) qed. Die Fourierreihe is die "Spekraldarsellung" einer zeiabhängigen Funkion, sie gib an, aus welchen Frequenzen (nämlich ganzzahlige Vielfache von /T) mi welcher Ampliude (nämlich a 2 n b2 n) sich das Spekrum der Funkion zusammensez. a /2 is der arihmeische Mielwer (Gleichaneil) von f(). Da im Spekrum nur Vielfache von /T vorhanden sein können, läss sich folgender wichiger Saz formulieren: Jede periodische Funkion besiz ein diskrees Spekrum. Formal reen bei der komplexen Darsellung Spekrallinien bei negaiven Frequenzen auf, die physikalisch naür lich nich exisieren. Die Berechnung der Fourierkoeffizienen wird durch Sym merie ei gen schaf en der zu enwickelnden Funk i on f() erleicher. Die Auswirkungen von Sym me rie ei genschaf en sind in Tabelle 4. zusammengefass. Symmerieeigenschaf f() is gerade f() = f(-) f() is ungerade f() = -f(-) f ( T2) f () Auswirkung b n T2 a n 4 f() cos (n ) d T c n is reell. a n T2 b n 4 f() sin (n ) d T c n is imaginär. a n bzw. b n sind Null wenn n gerade. Tabelle 4.: Symmerieeigenschafen der Fourierreihe æ Beispiel: Es soll die in Bild 4. angegebene Funkion in eine Fourierreihe enwickel werden. +H -H f() Bild 4.: Recheck mi Tasverhälnis ungleich T

16 DIÜT 6 Es gil a 2 H (2T). Für n erhäl man: T a n 2H T a n a n T cos (n ) d cos (n ) d 2H n T sin (n ) sin (n T ) 4H n T sin (n ) Die Spekrallinien der Recheckfunkion dieses Beispiels sind also mi einer si-funkion gewiche, deren Nullsellen bei n T k, k ganzzahlig liegen. Da n und k ganzzahlig sind, verschwinde eine Spekallinie nur dann, wenn n/t ganzzahlig is. Andernfalls liegen die Nullsellen der Einhüllenden e() 4H T si ( 2 ) n2t wurde durch die koninuierliche Variable ersez. b n 2H T T sin (n ) d sin (n ) d zwischen den Spekrallinien. Bild 4.2 sell das Ergebnis für H= und /T = /6 graphisch dar..8 b n 2H n T cos (n ) cos (n T ).6 b n 4H n T cos (n ) An.4.2 A 2 n 2 4H sin n T 2 (n ) cos (n ) n A n 8H n T 2 ( cos (n ) sin n 2 3 n 2 A n 4H n sin (n T ) 4H T si (n T ) n c n 2H T si (n T ) sin (n2 T n arcan ) cos (n2 T ), n c(n) co (n T ) n arcan co (n T ) -2-2 Bild 4.2: Darsellung der Fourierkoeffizienen n

17 DIÜT 7 Sez man /T = /2 (Recheck mi Tasverhälnis :), verschwinden alle Spekrallinien mi geradem Index. Die Spekrallinie mi dem Index bezeichne man auch als Grundwelle, die anderen als Oberwellen. Ein Recheck mi dem Tasverhälnis : enhäl also nur ungerade Oberwellen. Man beache, dass das Spekrum umso breier wird, je kleiner wird. ø Eine bei endlichem n abgebrochene Fourierreihe kann die Funkion f() nur annähern, bei den Sprungsellen re en Überschwinger auf. Zunächs einmal würde man ver mu en, dass die Ampliude der Überschwinger umso klei ner wird, je mehr Glieder in der Reihe be rück sichig werden. Eine genauere Unersuchung zeig jedoch, dass die Ampliude der Überschwinger gleich bleib, ledig lich ihre Dauer wird kürzer. Ers der Grenz über gang n führ zu einer fehlerfreien Approximaion von f(). Dieses als Gibbs'sches Phänomen benanne Ver halen können wir ers mi der Fourier rans for ma ion im folgenden Kapiel erklären. Bild 4.3 veranschaulich das Gibbs'sche Phänomen an zwei Beispielen. Gezeig is die abgebrochene Fourierreihe des berechneen Beispiels, abgebrochen nach n = (fa) und nach n = 2 (fa2). fa. 5 Die Fourierransformaion Die Fourierransformaion liefer die "Spekral darsellung" einer nichperiodischen Funkion, man nenn die Spekraldarsellung die Fourierrans formiere der Originalfunkion. Durch Anwendung der inversen Fourierransformaion auf die Fourierransformiere erhäl man die Originalfunkion zurück. Aus (4.9), (4.) kann man durch den Grenzübergang T die Definiionsgleichungen für die Fourierransformaion ableien. Ausgehend von (4.) T2 c n f() e jn d T T2 geh bei T die Grundkreisfrequenz (5.) erhäl man: 2 c n T2 f() e jn d T2 (5.). Aus (5.2) Beim Grenzübergang geh n in die koninuierliche Variable über. lim T 2 c n F() lim T T2 f() e jn d T2 (5.3) fa F() f() e j d (5.4) F() wird als Fourierransformiere der Funkion f() bezeichne. Wegen der Verwandschaf zur Laplaceransformaion wird auch of F(j) geschrieben; F(j) is jedoch eine komplexe Funkion der reellen Variablen. Ähnlich kann aus (4.9) die Fourierrückransformaion abgeleie werden æ Beispiel: Die in Bild 5. oben gezeige periodische Recheckfunkion ha auch für n = die Fourierkoeffizienen Bild 4.3: Gibbs'sches Phänomen Periodische Funkionen sind in der Technik eher eine Ausnahme als die Regel, sie auchen häufig beim Sysemes, aber selen beim normalen Berieb eines Sysems auf. Will man das Spekrum einer nichperiodischen Funkion errechnen, muss man auf diese Funkion die Fourierransformaion anwenden, eine Fourierreihenenwicklung exisier nich mehr. c n T si( n 2 ) 2 c n si( n 2 ) Bild 5. zeig den Übergang von einer periodischen zu einer nichperiodischen Funkion, Bild 5.2 zeig die Darsellung von

18 DIÜT 8 - /2 f() /2 T T=3 = F n f() - /2 /2 T T=6 F n.8 T= n 5 f() T= /2 /2 T n 5 rec() -/2 /2 T= F n.8.6 T=6 Bild 5.: Übergang periodisch zu nichperiodisch F n 2 c n als Funkion von n bzw F() als Funkion von bei T. Die Fourierransformiere einer rec-funkion is also eine si-funkion. ø Nich für jede Funkion exisier eine Fourierransformiere. Hinreichende, aber nich nowendige Bedingung für die Exisenz der Fourierransformieren sowie der Möglichkei der Rückransformaion sind zwei Bedingungen: + a) Es muss f() d < gelen. Man sag auch,die - Ursprungsfunkion muss absolu inegrierbar sein, oder f()õ L, wobei L der "Raum" der absolu inegrierbaren Funkionen is. b) Die Funkion f() muss an Unseigkeissellen endlich sein n 5 T=2 F ( ) T= Bild 5.2: Übergang Fourierreihe zu Fourierransform. Die Sinusfunkion z.b. besiz sreng genommen keine Fourierransformiere. Um für die Sinusfunkion rozdem mi Hilfe der Fourierransformaion eine Spekralfunkion angegeben zu können, is man darauf angewiesen, den üblichen Funkionenbegriff zur "verallgemeineren Funkion" oder "Disribuion" zu erweiern. Nur mi Hilfe des in Kapiel 2 definieren Delaimpulses is es möglich, für Sinus- und Cosinus funkion eine Fourierranformiere anzugeben.

19 DIÜT 9 Es sind drei Syseme von Fourierransformaions-paaren in der Lieraur in Gebrauch: Sysem (5.5) + F (f) = f () e -j2f d - + f () = F (f) e j2f df - Sysem 2 (5.6) æ Beispiel: Originalbereich cos(2f ) Sys. cos( ) Sys. 2 cos( ø ) 2 Sys. 3 Bildbereich 2 (f + f ) + (f - f ) ( + ) + ( - ) (x + ) + (x - ) x = 2 + F 2 () = f2 () e -j d - + f 2 () = F2 () e j d 2 - Sysem 3 (5.7) F 3 () = f 3 () = + f3 () e -j d F3 () e j d 2 - f() F(jó) Ä() 2 () / j sgn() 2 2 e j 2( - ) ó ÕR sin( ) j ( + ) - ( - ) cos( ) ( + ) + ( - ) ) j + () ó ÕR ó ÕR Während in der echnischen Lieraur meis Sysem oder Sysem 2 verwand wird, benuzen die Physiker und Mahemaiker of Sysem 3. Bei Original funkionen und deren Fourierransformieren gelen folgende Relaionen zwischen den Sysemen: e -a () rec ( T ) Breie T j + a Re{a} > T si( T 2 ) T > Sind f () und F (f) ein Transformaionspaar in Sysem, so sind es f () und F (ó/2 in Sysem 2 und f (/ 2 ) und F (ó/ 2) in Sysem 3. Wir arbeien in dieser Vorlesung immer mi Sysem 2. Wir bezeichnen die Fourierransformiere von f() mi F(jó) bzw. mi F{f()} (Operaorenschreibweise). Tabelle 5. gib die Fourierransformieren einiger Funk ionen an, Tabelle 5.2 die wichigsen Eigenschafen der Fourierransformaion. ri( T ) Breie 2T si( ) exp( a 2 2 ) T si 2 ( T 2 ) rec ( 2 ) 2 exp( a 4a 2 ) + + ( + nt) ( + k) n=- k = - çt=2ü ç,t> Tab. 5.: Funkionen und ihre Fourierransform.

20 DIÜT 2. Lineariä a,b Õ C Operaion F{f()} F{g()} F{af()+bg()} Ergebnis F(jó) G(jó) af(jó)+bg(jó) Jede asymmerische Funkion läss sich als Summe eines geraden und eines ungeraden Aneils darsellen. Sind g und u (G und U) der gerade bzw. der ungerade Aneil von f() (bzw. F(jó)), gelen folgende Symmerie eigenschafen: f() = Re{u()} + jim{u()} + Re{g()} + jim{g()} 2. Zeiverschiebung 3. Frequenzverschiebung (Modulaion) F{f( )} F{f() e j } F(j) e -j F(j - j ) F(jó)=Re{U(ó)}+jIm{U(ó)}+Re{G(ó)} + jim{g(ó)} (5.8) Da in der Technik f() meis reell is, gil für F(jó): 4. Skalierung F{f(a)} F( j a a ) 5. Falung (Zei) 6. Falung (Fre.) F{f()*g()} F{f()g()} F(jó)G(jó) F(jó)*G(jó) /2Ü Der Realeil der Fourierransformieren einer reellen Funkion is gerade, der Imaginäreil is ungerade. Der Berag muss demnach gerade, der Phasenwinkel ungerade sein. 7. Diff. (Zei) 8. Diff. (Fre.) d F{ n f() } d n F{( j) n f()} 9. Inegraion { f() d }. Dualiä F{f()} F{F()}. Symmerien {f()} {f( )} {f ()} {f ( )} F(j) j (j) n F(j) d n F(j) d n F()() F(jó) 2Üf( jó) F( j) F( j) F ( j) F ( j) F(jó) = Re{F(jó)}+jIm{F(jó)} = F e j (5.9) Wir bezeichnen F als Beragsspekrum und als Phasespekrum. Im Tex dieses Skrips wird verbal häufig nich zwischen Frequenz und Kreisfrequenz unerschieden, mi f is die Frequenz, mi ó oder die Kreisfrequenz gemein. 2. Theorem von Parseval f() 2 d 2 F(j) 2 d Tab. 5.2: Eigenschafen der Fourierransformaion Symmerieeigenschafen: Im allgemeinen sind Originalfunkion und Fourierransformiere komplex. f()=re{f()}+jim{f()} F(jó)=Re{F(jó)}+jIm{F(jó)}

21 DIÜT 2 6. Beschreibung linearer, zeiinvarianer Syseme Ein Sysem is mahemaisch durch eine eindeuige Trans formaion (oder einen eindeuigen Operaor) definier, der einer Eingangsfunkion f() eine Ausgangsfunkion y() zuordne. Man schreib y() = S {f()} f() S {.} y() (6.) Man erhäl y() durch Anwendung des Operaors S auf f(), y() is die Sysemanwor auf f(). Lineariä: Ein Sysem, das auf die Eingangsfunkion f () mi der Ausgangsfunkion y () und auf f 2 () mi y 2 () anwore, heiß dann linear, wenn es auf die Eingangsfunkion af () + bf 2 () mi ay () + by 2 () anwore. Zeiinvarianz: Anwore ein Sysem auf die Eingangsfunkion f() mi y(), heiß es dann zeiinvarian, wenn es auf f( - ) mi y( - ) anwore. Lineare zeiinvariane Syseme werden auch als LTI- Syseme bezeichne (Linear Time Invarian). Ein LTI-Sysem läss sich eindeuig durch seine Anwor auf den Delaimpuls beschreiben. Man bezeich ne mi Da diese Gleichung für beliebige Eingangsfunkionen f() gil, muss g() das Sysem vollsändig beschreiben. Ein LTI-Sysem is durch seine Impulsanwor vollsändig beschrieben, die Anwor auf eine beliebige Eingangsfolge erhäl man durch die Falung mi der Impulsanwor. Kausaliä: Ein LTI-Sysem is kausal, wenn g() = < (6.6) gil, d.h. eine Wirkung auf den Delaimpuls kann nich vor der Ursache aufreen. Für kausale LTI-Syseme gil mi (6.5) : y() = f() g( ) d f( ) g() d (6.7) Die Fourierransformiere (FT) der Impulsanwor bezeichne man als Frequenzgang (Überragungsfunkion) G(j) {g()} (6.8) g() = S{()} (6.2) Aus (6.5) erhäl man mi Tab. 5.2 sofor die Impulsanwor (Soßanwor, Gewichsfunkion) des Sysems, wegen der Zeiinvarianz gil auch S{( - )} = g( - ) Wegen der Lineariä muss mi (3.4) gelen: S{f()} = S f() ( ) d = f() S{( )} d f() g( ) d (6.3) (6.4) Man erhäl also die Anwor des Sysems auf eine beliebige Funkion f() durch Falung von f() mi der Impulsanwor g(), y() = S{f()} = f() g( ) d y() = f() * g() = g() * f() (6.5) Y(j) = F(j) G(j). (6.9) Die FT der Ausgangsfunkion erhäl man aus der FT einer beliebigen Ein gangs funkion durch Mul i pli kai on mi dem Frequenz gang. Der Frequenzgang is die FT der Impulsanwor. Anmerkung: In der Regelungsechnik wird sreng zwischen der Überragungsfunkion (Sysemfunkion) und dem Frequenzgang (Frequenzgangsfunkion) unerschieden. Die Überragungsfunkion is dor die Laplace ransformiere der Impulsanwor, die Fre quenzgangs funkion die Fourierransformiere der Impulsanwor. Da in der Überragungsechnik die Laplaceransformaion selen zur Anwendung komm, wird dor auch die Frequenzgangsfunkion häufig als Überragungsfunkion bezeichne. Wir werden für G(j) in dieser Vorlesung kurz den Begriff Frequenzgang verwenden. Bild 6. verdeulich die Zusammenhänge. Mi dem Delaimpuls werden alle Frequenzen mi gleicher Ampliude an den Eingang des Sysems gegeben, die Fourierransformiere des Ausgangssignals gib dami die Anwor des Sysems (Ampliudenänderung, Phasenänderung) auf diese Frequenzen an.

22 DIÜT 22 Analoges Sysem () S{ } g() Erregung an. Der Arkusangens des Quoienen aus Imaginär- zu Realeil des Frequenzgangs wird als Phasenfrequenzgang (PFG) bezeichne. Er gib die Phasenverschiebung einer besimmen Frequenz zwischen Aus- und Eingang bei sinusförmiger Erregung an. L G(j) Re{G} j Im{G} G(j) e j() (6.) F G(s) s = j ó Die graphische Darsellung von AFG und PFG als Funk i on der Frequenz bezeichne man als Bode diagramm. Beim AFG wird im Bodediagramm an einer ver i kal linear geeilen Skala der 2-fache Berag des de ka di schen Logarihmus von G in db aufgeragen. G( j ó) g(): Impulsanwor (Gewichsfunkion, Soßanwor) G(s): Überragungsfunkion G(j ): Frequenzgang(sfunkion) (Überragungsfunkion, Spekrum der Impulsanwor) Bild 6.: Sysemheoreische Zusammenhänge Ein LTI-Sysem kann auf eine sinusförmige Größe am Ein gang nur mi einer sinusförmigen Größe anderer Am pli u de und anderer Phasenlage am Ausgang anwor en. Beweis: Es sei f() 2 cos(), mi (4.8) und (6.5) folg y() g() [e j() e j() ] d y() e j g() e j d e j g() e j() d G(j) G(j) Da g() reell is, ha G(j) nach (5.8) einen geraden Realeil und einen ungeraden Imaginäreil. y() (e j e j ) Re{G} j (e j e j ) Im{G} y() 2 Re{G} cos() 2 Im{G} sin() Mi (4.4), (4.5) und (4.6) kann diese Gleichung wie folg umgform werden: y() qed. Re 2 {G} Im 2 {G} G(j) 2 cos( arcan Im{G} ) Re{G} () Man bezeichne mi h() S{()} (6.) die Sprunganwor des Sysems. Die Sprunganwor läss sich mi Tab. 5. und Tab. 5.2 aus der Impulsanwor durch Inegraion besimmen: h() g() () þ H(j) G(j) [ j ()] H(j) G(j) G() () ÿ h() g() d j (6.2) Bei kausalen Sysemen is die unere Ine gra ions grenze. Es sei noch vermerk, dass in der Über ra gungs echnik Syseme selen durch ihre Impuls- oder Sprung anwor, sondern meis durch ihren Fre quenz gang charakerisier werden. Sabiliä: Ein LTI-Sysem bezeichne man dann als bibo-sa bil (bounded inpu - bounded oupu), wenn eine be schränk e Eingangsfunkion immer zu einer beschränk en Ausgangsfunkion führ. Es gib zwei Sabili äs krierien, die ohne Beweis angegeben werden (Es sei auf die Vorlesung RETE verwiesen): Ein kausales LTI-Sysem is dann sa bil, wenn g() d < gil. Diese Bedingung is gleich be deu end mi der Aussage, dass alle Pol sellen der Überragungsfunkion in der linken offenen s-halbebene liegen. Die Lage der Nullsellen der Überragungsfunkion ha also keinen Einfluss auf die Sabiliä. Die erse Bedingung is i.a. wesenlich schwieriger zu überprüfen als die zweie Bedingung, die Laplaceransformaion räg also hier wesenlich zur einfacheren Lösung dieser Frage bei. Der Berag des Frequenzgangs G(j) wird als Ampliudenfrequenzgang (AFG) bezeichne. Er gib das Verhälnis von Ausgangsampliude zur Eingangsampliude einer besimmen Frequenz bei sinusförmiger

23 DIÜT 23 æ Beispiel : Der in Bild 6.2 dargeselle RLC-Tiefpass 2.Ordnung ha die Überragungsfunkion G(s) 2 s 2 s Q 2 ; ; Q LC R L C G db - -2 U R L C U2-3 Bild 6.2 : RLC-Tiefpass 2.Ordnung Es sei das Bodediagramm sowie die Impuls- und Sprunganwor für Q = 2 und = /s darzusellen w Bild 6.2: AFG des TP's nach Bild 6.2 G(j) (j) 2 j 2 ( 2 ) j 2 - G G(j) ( 2 ) (jp )(jp 2 ), arcan[ 2( 2 ] ) A (jp ) B (jp 2 ) mi p 4 j 5 6, p 2 4 j 5 6 Die Parialbruchzerlegung liefer: G(j) p p 2 (jp ) (jp 2 ) Durch Rückransformaion ergib sich g(): g() g() () () e p p e 2 p p e 4 sin( 5 6 ) phi rad -4 - w Bild 6.4: PFG des TP's nach Bild 6.2 g() Bild 6.5 : Impulsanwor des TP's nach Bild 6.2 Durch Inegraion von g() ergib sich h(): h() 6 5 e 4 sin( 5 6 ) Die Lösung dieses Inegrals [] liefer: h() mi k e 4 k 5 6 d sin( k ) k cos( k ) 4 h() Bild 6.6 : Sprunganwor des TP's nach Bild 6.2 Æ

24 DIÜT 24 7 Ideale Syseme 7. Das ideale Überragungssysem - Lineare und nichlineare Verzerrungen Von einem idealen Überragungssysem wird en sprechend Bild 7. geforder, dass das vom Sender ab ge gebene Signal den Empfänger lediglich zeiverzöger, sons aber unveränder erreich. ideales f() Überragungssysem f( - ) Bild 7. : Ideales Überragungssysem Mi (6.5) und Tab. 5.2 läss sich der für ein ideales Überragungssysem gefordere Frequenzgang angeben: f( ) f() g() þ F(j) e j F(j) G(j) G(j) e j ; G ; () g() ( ) (7.) (7.2) (7.3) Neben dem AFG von oder zumindes einem konsanen AFG wird also ein linearer PFG geforder. Da sich bei Sysemkomponenen die Abweichung des PFG von der geforderen Lineariä schlech überprüfen läss, wird anselle des PFG meis die Gruppenlaufzei Tg (Differenial des PFG) angegeben. T g d () d (7.4) Die Gruppenlaufzei kann in vielen Fällen als Laufzei einer dich beieinanderliegenden Gruppe von Frequenzen durch das Sysem inerpreier werden. Bei dieser Inerpreaion is jedoch Vorsich geboen, sie is nur für Syseme mi monoon fallendem Phasenfrequenzgang gülig, da auch einfache Schalungen eine sückweise negaive Gruppenlaufzei haben können. Für ein ideales Überragungssysem muss dami bezüglich der Gruppenlaufzei gelen:! T g cons. (7.5) Die Forderung nach konsaner Gruppenlaufzei is besonders dann wichig, wenn Informaion als Phasenoder Frequenzänderung eines sinusförmigen 'Trägers' übermiel wird. Es gib in der Elekroechnik nur einen einzigen Fileryp (Digiales FIR-Filer), der heoreisch eine konsane Gruppenlaufzei aufweis. Abweichungen der Gruppenlaufzei vom konsanen Verlauf führen zu sogenannen linearen Verzerrungen. Ein einzelner Sinus am Eingang des Sysems erschein dann immer noch als Sinus anderer Ampliude und Phase am Ausgang, eine Gruppe von Frequenzen wird dann jedoch unerschiedlich verzöger und sez sich am Ausgang zu einem anderen Funkionsverlauf zusammen als am Eingang. Ein Puls wird also nich formreu überragen. Nichlineare Verzerrungen ensehen dagegen durch eine nichlineare Kennlinie des Sysems, d.h. durch einen nichlinearen Zusammenhang zwischen Ausgangsund Eingangsampliude. Dies ha eine Verformung des Funkions ver laufs auch eines einzigen sinusförmigen Si gnals zur Folge. Der verzerre Sinus am Ausgang des Sysems (bei sinus förmigem Eingangssignal) kann in eine Fourierreihe enwickel werden. Durch die Nichlineariä sind ne ben der "Grundwelle" mi der Frequenz f = /T ganz zah li ge "Oberwellen" der Frequenzen n/t en sanden, deren Ampliuden zur Charakerisierung der Nichlineariä herangezogen werden. Man definier den Klirrfakor als Verhälnis des Effekivwers der Oberwellen zum Effekivwer des Gesamsignals: k c n 2 n 2 c n 2 n (7.6) In der Praxis muss die Summaion naürlich bei endlichem n abgebrochen werden. Wenn nur die Wirkung der Nichlineariä auf eine Harmonische angegeben werden soll, definier man: k 3 c 3 c n 2 n (7.7) Die Angabe des Klirrfakors charakerisier die Nichlineariäen nur unzureichend, da er keinen Rückschluss auf die Ar der Nichlineariä zuläss. Bei Ausseuerung mi mehreren Frequenzen werden durch Nichlineariäen auch disharmonische (keine geradzahligen Vielfachen einer der Frequenzen) Fre quenzen erzeug, deren Ampliuden von der Ar der Nichlineariäen (quadraisch, kubisch, 4.Ordnung usw.) abhängen. Da disharmonische Frequenzen bei gleicher Ampliude mehr sören können als harmonische Frequenzen, wird neben dem Klirrfakor auch häufig ein Inermodulaionsfakor angegeben, der bei Zweion ausseuerung ermiel wird.

25 DIÜT Der ideale Tiefpass Uner einem idealen Tiefpass verseh man ein Sysem mi dem Frequenzgang fg G(j) rec [ ] 2 g (7.8) g().2. /(2 fg) G g g Bild 7.3 : Impulsanwor des idealen TP's Bild 7.2 : AFG eines idealen TP's Der AFG is in Bild 7.2 dargesell, der PFG is. Mi Tab. 5. ergib sich die Impulsanwor zu. g() g si( g ). (7.9) h() Da sich si(x) von - bis + ersreck, is die Impulsanwor schon vor dem Einreffen der Ursache von Null verschieden. Es handel sich also um ein nichkausales und dami nichrealisierbares Sysem. Mi (2.2) und (2.3) läss sich die Sprunganwor errechnen: h() g si( g) d h() [ si(x) dx 2 h() 2 Si( g ) g si(x) dx g si(x) dx ] (7.) Imuls- und Sprunganwor sind in den Bildern 7.3 und 7.4 für g = /s dargesell. Man beache, dass das Überschwingen der Sprunganwor unabhängig von der Grenzfrequenz des TP's is (Gibbs'sches Phänomen), und dass Breie und Höhe der Impulsanwor von der Grenzfrequenz abhängig sind. Unabhängig von der Grenzfrequenz gil: g() d g si(g ) d si(x) dx (7.) Läss man zusäzlich eine Verzögerung zwischen Ausund Eingang zu (linearer Phasenfrequenzgang), bleib Bild 7.4 : Sprunganwor des idealen TP's der Tiefpass wegen der unendlichen Ausdehnung der si- Funkion nichkausal. Die Impulsanwor is lediglich verschoben und es gil dann (Tab. 5.2): G(j) e j rec [ ] 2 g g() g si[ g ( )] (7.2). (7.3) Soll der TP realisierbar sein, muss die Impulsanwor für < verschwinden (Kausaliä). Sezen wir z.b. g() rec( 2 ) g si( g ) ( ) erhäl man folgenden Frequenzgang: 2 G(j) si() rec( ) e 2 2 g j Man errechne dann folgenden AFG: G x rec( ) si[(x)] dx 2 g, (7.4) (7.5)

26 DIÜT 26 g G si[(x)] dx g Nach einer Variablensubsiuion man: (g) G si(y) dy ( g ) y (x) erhäl realisierbare TP's gil. Die Ansiegsgeschwindigkei der Sprunganwor is umgekehr proporional der Grenzfrequenz. Man definier die Einschwingzei e 2f g g. (7.7) Bei einer Reihe von Anwendungen is ein Überschwingen des Ausgangssignals bei einer sprungförmigen Änderung des Eingangssignals unerwünsch. Man erkenn, dass ein konsaner AFG und eine konsan e Gruppenlaufzei eines TP's im Durchlassbereich nich genügen, um ein Überschwingen der Sprung anwor zu vermeiden. G Si[( g)] Si[( g )] (7.6) 7.3 Der Gauß-Tiefpass Bild 7.5 und 7.6 zeigen die Impulsanwor und den AFG dieses realisierbaren TP's für g = /s und = 7,5s. Der AFG is jez unendlich ausgedehn, die Fourierransformiere eines zeibegrenzen Signals kann nich bandbegrenz sein (und umgekehr). Die Gruppenlaufzei dieses TP's is konsan und beräg nach (7.5). Man kann zeigen, dass Voraussezung dafür eine zu symmerische Impulsanwor is. Uner einem Gauß-Tiefpass verseh man einen Tiefpass, dessen AFG der Gauß'schen Glockenkurve ensprich. Lassen wir eine konsane Gruppenlaufzei zu, muss gelen: ( ) 2 G(j) e g e j. (7.8) g() au Bild 7.5 : Kausale und zeibegrenze Impulsanwor.75 G Bild 7.7 : AFG des Gauß-TP's für g = /(s) Mi Tab. 5. und 5.2 erhäl man die Impulsanwor:. g() g 2 e 2 g () 2 4 (7.9) G. Bild 7.6 : AFG nach (7.6) Abschließend sei noch auf einen wichigen Zusammenhang hingewiesen, der sich aus der Sprunganwor (7.) ablesen läss und sinngemäß auch für Als Sprunganwor erhäl man mi (2.6) und (2.7): h() g e 2 g (x) Mi der Variablensubsiuion y g (x ) 2 ergib sich: dx

27 DIÜT 27 h() h() 2 2 [ e y2 dy 2 erf ( 2 g ) 2 g e y2 dy ] (7.2) 8 Beschreibung sochasischer Signale 8. Grundlegende Definiionen Energiesignale und Leisungssignale: Die in einem ohm'schen Widersand innerhalb des Zeiraums 2 - von einer Spannung u() umgeseze Energie kann mi Impuls- und Sprunganwor sind in den Bildern 7.8 und 7.9 für g = /s und = 5s dargesell. E u R 2 u 2 () d (8.).75 berechne werden. Äquivalen definier man für Signale die gesame Fläche uner dem Quadra des Signals als die im Signal enhalene gesame Energie: g().25 E s 2 () d (8.2) Bild 7.8 : Impulsanwor des Gauß-TP's h() Bild 7.9 : Sprunganwor des Gauß-TP's AFG und Impulsanwor haben prinzipiell den gleichen Funkionsverlauf und die Sprunganwor weis nich nur keine Überschwinger auf, sie is auch "symmerisch verschliffen". Man sprich auch von einem opimalen Pulsüberragungsverhalen. Es gib eine Reihe von Anwendungen, die ein solches Pulsüberragungs verhalen fordern: Ein Oszilloskop solle z. B. auf einen Sprung am Eingang mi einer Funkion gemäß Bild 7.9 reagieren, und in der Videoechnik is ein solches Verhalen ebenfalls wünschenswer. Der Gauß-TP is wie der ideale TP ein nichkausales Sysem, da g() für < nich verschwinde. Allerdings sreb die Gauß'sche Glockenkurve sehr viel schneller gegen Null als die si-funkion, so dass die Beschneidung der Impulsanwor hier nur geringe Auswirkungen ha. Das geschildere Verhalen kann durch Filer sehr gu approximier (realisier) werden. Das Inegral muss nich in jedem Fall konvergieren, für periodische Signale konvergier es z. B. nich. Falls jedoch E < gil, sprich man von einem Energiesignal. Zei- und ampliudenbegrenze Signale sind immer Energiesignale. Für Signale mi E = kann eine endliche milere Leisung pro Zeiinervall definier werden: s 2 lim T T2 T s 2 () d T2 (8.3) Falls s 2 gil, sprich man von einem Leisungssignal. Saionariä und Ergodiziä: Man berache eine große Anzahl von Versärkern gleicher Bauar, die ohne Eingangssignal die Rauschspannungen u (), u 2 (), u 3 (), u 4 () usw. am Ausgang abgeben, wobei der Index die Nummer des Versärkers markier. Keine der Rauschspannungen is deerminier, man kann ihren zeilichen Verlauf also nich durch eine Gleichung beschreiben. Die Beschreibungen der Spannungen is auf saisische Aussagen beschränk. Miss man z.b. zum Zeipunk (Bild 8.) die Ampliuden aller Spannungen u i ( ), kann man eine Aussage über die Häufigkei und dami über die Wahrscheinlichkei des Aufreens einer besimmen Ampliude reffen. Die Gesamhei der Funkionen nenn man einen sochasischen Prozess. Sind die aufgrund einer Messung ermielen saisischen Kenngrößen unabhängig von dem gewählen Zeipunk der Messung, sprich man von einem saionären Prozess oder von Saionariä.

28 DIÜT Beschreibung im Zeibereich u u 2 Ziel dieses und des nachfolgenden Kapiels is eine kurzgefasse Abhandlung der Kenngrößen, die zur Beschreibung sochasischer Signale verwand werden. Für ein iefergehendes Versändnis sei auf die Lieraur und auf die Vorlesung WAHR verwiesen. Wahrscheinlichkei bei diskreen Ereignissen: u 3 4 Is in einem diskreen sochasischen Prozess, bei dem die sich ausschließenden Ereignisse A, B, C usw. aufreen können, N die Zahl der Versuche und n A die Anzahl des Aufreens des Ereignisses A is, bezeich ne man mi 2 3 u 4 P(A) lim N n A N (8.4) die Wahrscheinlichkei des Aufreens des Ereignisses A.Da N und n A größer und n A N gil, muss Bild 8.: Sochasische Spannungsverläufe P(A) (8.5) Bei sochasischen Prozessen lassen sich saisische Kenngrößen auch durch Messung an einer einzigen Größe des Prozesses zu verschiedenen Zeipunken ermieln. Eine Aussage über die Häufigkeisvereilung der Ampliude der Spannung u 3 z.b. läss sich durch Messung zu vielen verschiedenen Zeipunken u 3 ( ), u 3 ( 2 ), u 3 ( 3 ), u 3 ( 4 ),gewinnen. Wenn die auf diese Weise ermielen saisischen Kenngrößen einer Spannung idenisch sind mi den saisischen Kenngrößen, die bei vielen gleicharigen Spannungen durch Messung zu einem einzigen Zeipunk ermiel wurden, sprich man von einem ergodischen Prozess oder von Ergodiziä. Handel es sich in unserem Beispiel um einen saionären, ergodischen Prozess, heiß das, dass folgende Messungen zur Ermilung der Wahrschein lichkei des Aufreens besimmer Ampliuden zu dem gleichen Ergebnis führen: a) Messung von u i ( ), b) Messung von u i ( + ), c) Messung von u 3 ( i ), d) Messung von u 3 ( i + ), e) Messung von u 4 ( i + ) usw. Die meisen sochasischen Prozesse in der Überragungsechnik sind saionär und ergodisch, wir werden im folgenden diese beiden Eigenschafen voraussezen. Die Beschreibung sochsischer Vorgänge vereinfach sich dadurch erheblich, "Scharmielwere" und "Zeimielwere" führen zum gleichen Ergebnis. Ergodiziä schließ Saionariä ein, umgekehr gil das nich. sein. P(A) = repräsenier ein unmögliches, P(A) = ein absolu sicheres Ereignis. Weierhin muss gelen, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeien aller Ereignisse gleich is. æ Beispiel: Bei einem Würfel können die sich ausschließenden zufälligen Ereignisse "" bis "6" einreen. Is der Würfel homogen, gil P("") = /6 auch für das Aufreen der anderen 5 Ereignisse. Wird z. B. 3-mal gewürfel, is N so groß, dass die Summe aller gewürfelen Ereignisse "" nur wenig von 5 abweich. Æ Schließen sich die Ereignisse A, B, C usw. nich gegenseiig aus, nenn man die Wahrscheinlichkei des gemeinsamen Aufreen z.b. von A und B verbundene Wahrscheinlichkei. P(AB) lim N n AB N (8.6) æ Beispiel: Beim Würfeln mi zwei Würfeln verschiedener Farbe gib es 6 2 mögliche Zahlen kombi na ionen ("6" blau & "2" ro sei eine andere Zahlenkombinaion als "2" blau & "6" ro). Homogene Würfel und saisische Unabhängigkei der beiden Würfel vor ausgesez, is die Wahrscheinlichkei, eine "2" (r) und eine "5" (b) zu würfeln, P("2""5") 36. Das gil auch für alle anderen Kombinaionen.Æ

29 DIÜT 29 Die Wahrscheinlichkei, dass ein Ereignis B einri, wenn das Ereignis A schon eingereen is, bezeichne man als bedinge Wahrscheinlichkei und definier: P(BA) lim N Äquivalen gil : P(AB) P(AB) P(B) n AB N n A N P(AB) P(A) (8.7) (8.8) Eine Kombinaion dieser beiden Definiionen führ auf die Gleichung P(AB) P(B) P(AB) P(BA) P(A), (8.9) woraus sich der als "Theorem von Bayes" benanne Zusammenhang ergib: koninuierlichen Zufallsprozessen geh die se Zahlenfolge in die Wahr schein lich keis diche funkion (of mi PDF von Probabiliy Densiy Funkion ab ge kürz) über. Dieser Übergang soll zunächs an ei nem Beispiel erläuer werden. Wahrscheinlichkeisdiche funkion bei koninuierlichen sochasischen Funkionen: æ Beispiel: Gegeben sei ein koninuierliches Signal s(), das z.b. das Rauschen am Ausgang eines Versärkers darselle (Bild 8.3). An diesem Signal sei der Übergang von einer diskreen zu einer koninuierlichen Wahrscheinlichkeisdichefunkion durch Zeimielung erläuer. Die Verikalachse wird zunächs in äquidisane Inervalle der Breie s um die Were s i aufgeeil. Über einen langen Zeiraum T wird jez die Summenzei i ermiel, in der die Ampliude des Signals im Inervall s i s2 lieg. P(AB) P(BA) P(A) P(B) (8.) Is das Einreffen der Ereignisse A und B saisisch unabhängig, muss s2 s s() s P(AB) P(A) und P(BA) P(B) gelen, so dass mi (8.9) (8.) -s3 2 T P(AB) P(A) P(B) (8.2) folg. Die Güligkei der Gleichung (8.2) wird umgekehr als Beweis der saisischen Unabhängigkei zweier Ereignisse A und B herangezogen. æ Beispiel: Werden zwei Würfel beim Würfeln nacheinander geworfen und is saisische Unab hängigkei vorausgesez, is die bedinge Wahrschein lichkei nach einer "5" eine "2" zu würfeln P("2""5") 6, und es gil P("2""5") P("2") P("5") 36 ø P /6 Wahrscheinlichkei "" "2" "3" "4" "5" "6". Ereignisse Bild 8.3: Ermilung der Ampliudendiche In Bild 8.3 is dieses Vorgehen für das 2. Inervall markier. 2 is die Summe der Zeien, in denen s() im Inervall s 2 s2 lieg. Man definier nun eine Dichefunkion f(s i ) so, dass f(s i ) s i T (8.3) gil und räg f(s i ) über s i auf (Bild 8.4). Man beache, dass die in Bild 8.4 markiere Fläche gleich 2 /T is und dami die Wahrscheinlichkei angib, dass die Ampliude von s() im Inervall s 2 s2 lieg. f(s ) i f(s ) 2 s s i Bild 8.2:Diskree Wahrscheinlichkeisdiche -s 3 -s 2 -s s s 2 s 3 Beim Würfeln mi einem Würfel kann die Wahr scheinlich kei des Aufreens der Ereignisse "" bis "6" über den Ereignissen aufgeragen werden (Bild 8.2). Bei Bild 8.4: Diskree Dichevereilung

30 DIÜT 3 Eine Wiederholung für alle anderen Inervalle führ zu der in Bild 8.4 angegebenen Treppenkurve. Diese Treppenkurve geh für T und s in die in Bild 8.5 gezeige Wahrscheinlichkeisdichefunkion (in diesem Fall Ampliudendiche) über: p(s) lim s T i T s p(s) (8.4) s Mi (8.5) und (8.7) muss gelen: P[s A s() s B ] c(s B ) c(s A ) (8.8) Bild 8.7 verdeulich den Zusammenhang zwischen PDF und CDF. p(s) c(s ) A s Bild 8.5: Wahrscheinlichkeisdichefunkion ø Bei einer Wahrscheinlichkeisdichefunkion (PDF für Probabiliy Densiy Funkion) gib die Fläche uner der Funkion zwischen den Grenzen s A und s B die Wahrscheinlichkei an, dass s() in diesem Bereich lieg (Bild 8.6). c(s ) A s A c(s) s A s s B P[s A s() s B ] p(s) ds s A Eine PDF is so normier, dass p(s) ds (8.5) (8.6) Bild 8.7: PDF und CDF Linearer und quadraischer Mielwer, Varianz und Sandardabweichung Ordne man den möglichen Ereignissen eines sochasischen Prozesses die Were x i zu, is der lineare Mielwer definier zu gil. Man beache, dass p(s) selbs keine Wahrscheinlichkei is und daher p(s) > sein kann. p(s) is aber immer posiiv. p(s) s s A B Bild 8.6: PDF und Wahrscheinlichkei Aus der PDF läss sich eine Vereilungsfunkion ( CDF für Cumulaive Disribuion Funcion ) ableien, die angib, wie groß die Wahrscheinlichkei is, dass s() unerhalb einer besimmen Schranke lieg. Es gil P s x lim N N N y i i, (8.9) wobei y i das beim N-en Versuch einreende Ereignis is (ein zufälliges der möglichen Ereignisse x i ). Is die Wahr scheinlichkei des Eineffens des i-en Ereignisses be kann, kann der lineare Mielwer auch folgendermaßen berechne werden: n x x i P i i (8.2) æ Beispiel: Da beim Würfelspiel die Wahr schein lichkei gleichvereil is, beräg der lineare Mielwer x 6 6 i 3,5 i Æ c(s) s p(x) dx ; p(s) d c(s) ds (8.7) Bei einem zeiabhängigen, sochasischen Signal kann der Mielwer einerseis über die Grenzwerbildung

31 DIÜT 3 T2 s() lim s() d T T T2, (8.2) andererseis aber auch über die Wahrscheinlich keisdichefunkion definier werden: s() s p(s) ds (8.22) Der lineare Mielwer wird auch Erwarungswer von s() oder Anfangsmomen.Ordnung oder Schwer punk genann. Bei einer auf einer Linie s vereilen Masse mi der Diche p(s) errechne sich nach (8.22) der Schwerpunk der Masse. In der Elekroechnik is der lineare Mielwer der "Gleichaneil" des Signals. Die rechs und links vom linearen Mielwer liegenden Flächen (Wahrscheinlichkeien) uner p(s) sind im allgemeinen Fall ungleich (Bild 8.8). s s() p(s) F F 2 Bild 8.8: Linearer Mielwer s Ensprechend (8.2) bezeichne man bei diskreen Prozessen mi x 2 n x 2 i P i i s (8.23) den quadraischen Mielwer, er is als Mielwer des Quadras der Were x i immer posiiv. Der quadra ische Mielwer eines sochasischen Signals kann en weder über den Grenzwer Der quadraische Mielwer wird auch Erwarungswer von s 2 () oder Anfangsmomen 2.Ordnung genann. In der Elekroechnik is der quadraische Mielwer propor ional der Leisung des Signals. Is s() eine Spannung, so is der quadraische Mielwer die Leisung, die s() in einem Widersand von umsez. Gemäß (8.3) wird bei Signalen unabhängig von der Dimension der quadraische Mielwer als Leisung des Signals bezeichne. Die Abweichung vom Mielwer einer diskreen Zufalls variablen x i x i x (8.26) wird Abweichung vom Mielwer genann und is als Differenz einer Zufallszahl und einer fesen Zahl ebenfalls zufällig. Der lineare Mielwer von x i (auch Zenralmomen.Ordnung genann) is Null. Der quadraische Mielwer von x i (auch Zenralmomen 2.Ordnung genann) is ungleich Null und so wichig für die Beschreibung von Zufallsgrößen, dass man ihm einen eigenen Namen, die Varianz, gegeben ha. 2 n (x i x) 2 P i i (8.27) Die Varianz is als Summe der Quadrae der Abweichungen vom Mielwer immer posiiv und ein Maß dafür, wie dich die x i beim Mielwer liegen. Man bezeichne sie daher auch als Sreuung. Die Wurzel aus der Varianz heiß Sandardabweichung. Äquivalen wie oben beschrieben läss sich auch die Abweichung vom Mielwer eines sochasischen Signals definieren: s() s() s() (8.28) Der lineare Mielwer von s() is Null, wie sich leich durch Einsezen in (8.22) zeigen läss. Der quadraische Mielwer von s() wird auch bei sochasischen Signalen als Varianz oder Sreuung bezeichne und kann mi (8.25) enweder zu 2 ( s s ) 2 p(s) ds (8.29) s 2 lim T T2 s 2 () d T T2 oder mi Hilfe der PDF errechne werden: (8.24) oder mi (8.24) zu 2 lim T T2 T [s() s() ] 2 d T2 (8.3) s 2 () s 2 p(s) ds (8.25) angegeben werden. Wie bei diskreen Signalen heiß die Wurzel aus der Varianz Sandardabweichung.

32 DIÜT 32 Die Varianz is ein Maß für die quadraische Abweichung vom Mielwer und dami auch ein Maß für die Breie der PDF. Bild 8.9 verdeulich dies an zwei Signalen unerschiedlicher Varianz, die den gleichen linearen Mielwer besizen. s () s () 2 s () p (s) s () 2 p (s) 2 s () s () 2 Bild 8.9: Varianz und PDF 2 2 æ Beispiel: Die Temperaurverläufe in Arizona und auf Madeira sind sochasische, von der Zei abhängige Signale. Der Mielwer über mehrere Jahre (linearer Mielwer) beräg in beiden Fällen 22 C. Während beding durch den Golfsrom auf Madeira die Temperaur im Jahresmiel nur um 5 C schwank, beräg die Schwankung in Arizona mehr als 2 C (Landklima). Der Temperaurverlauf in Arizona is also ein sochasisches Signal mi (im Vergleich zu Madeira) hoher Varianz und breier Wahrscheinlich keisdichefunkion. Æ Auokorrelaionsfunkion (AKF) und Kreuzk. (KKF) Wir haen bereis in Kap 3. die AKF und KKF für reelle, zeibegrenze, deerminiere Signale kennengelern. Solche Signale sind Energiesignale und die dor geroffenen Definiionen gelen allgemein für Energiesignale, sie seien an dieser Selle wiederhol: AKF : r ff () f() f( ) d s s (8.3) KKF : r fs () f() s( ) d (8.32) Sochasische Signale sind, da sie für nich verschwinden, i. A. keine Energiesignale, sondern Leisungssignale. Die in (8.3) und (8.32) definieren Funkionen konvergieren für Leisungssignale jedoch nich, so dass man gezwungen is, die Definiionen der AKF und KKF für Leisungssignale zu modifizieren. Man führ die Inegraion zunächs über ein begrenzes Inervall aus und bezieh das Inegral auf dieses Inervall, um anschließend in einem Grenzübergang das Inervall ins Unendliche auszudehnen. Dami lauen die Definiionsgleichungen der AKF und KKF für Leisungs signale: T2 AKF : r ff () lim f() f( ) d T T T2 T2 KKF : r fs () lim f() s( ) d T T T2 (8.33) (8.34) Auch bei Leisungssignalen is die so definiere AKF ein Maß für die Übereinsimmung eines Signals mi verschobenen Kopien seiner selbs. Die wichigsen Eigenschafen der AKF bzw. KKF lauen: r ff () r ff ( ) (AKF is gerade) (8.35) r fs () r sf ( ) (Kommuaivgesez gil nich) (8.36) r ff () r ff () f() 2 r ff () enhäl keine Phaseninformaion. (8.37) (8.38) (8.35) und (8.36) beweis man durch Variablensubsiuion wie in Kap. 3.. Dass die AKF für = ein Maximum ha, kann wie folg bewiesen werden: T2 lim [f() f( )] 2 d 2[r T ff () r ff ()] T T2 Da r ff () posiiv sein muss, ergib sich (8.37). Bild 8. zeig ein Blockschalbild zur näherungs weisen Berechnung der AKF. Da das Inegraions inervall endlich sein muss, kann die AKF grund säzlich nur näherungsweise ermiel werden.

33 DIÜT 33 f() T T Bild 8.: Korrelaor r ff (,T) r ff ( ) æ Beispiel: Gesuch is r ff () für f() A sin( ). r ff () lim T A 2 T T2 sin( ) sin( ) d T2 Mi sin sin [cos() cos()] 2 erhäl man: A r ff () lim 2 T2 cos() cos(2 2) d 2T T T2 Der Grenzwer des zweien Summanden liefer Null, da /T vor dem beschränken Ergebnis des Inegrals seh. Dami ergib sich: r ff () A2 2 cos() Æ (8.39) Dieses Ergebnis is unabhängig von der Phasenverschiebung und gil daher für alle sinusförmigen Größen. Da sich periodische Signale als unendliche Summe sinusförmiger Signale (Fourierreihe) darsellen lassen, kann man allgemein formulieren: Die AKF eines sinusförmigen Sinals is ein Cosinus. Die AKF eines periodischen Signals is periodisch mi gleicher Periode. Bei sochasischen Signalen nimm die Abhängigkei zwischen f() und f( ) bei seigendem in der Regel ab, so dass für die AKF gegen Null geh, wenn das Signal einen linearen Mielwer von Null ha. Da die AKF periodischer Signale bei nich gegen Null geh, eigne sich ein Korrelaor dazu, ein periodisches Signal aus (sochasischem) Rauschen zu exrahieren. 8.3 Beschreibung im Frequenzbereich Energiespekraldiche Es sei f() ein Energiesignal gemäß Kap. 8., dessen Fourierransformiere exisiere. Wenn f() die Dimension V ha, besiz F(j) die Dimension Vs und kann auch "Ampliuden spek raldiche" genann werden. Das Inegral 2 A() F(j) d (8.4) ha dann die Dimension V und liefer die Ampliude des Spekralaneils im Frequenzinervall. 2 Die Funkion W() F(j) F (j) F(j) 2 (8.42) kann als "Energiespekraldiche" bezeichne werden, sie ha die Dimension V 2 s 2. W() is reell und posiiv. Das Inegral 2 E() W() d (8.43) liefer die im Frequenzinervall 2 im Spek- rum enhalene Energie und ha die Dimension V 2 s. Es soll nun der Zusammenhang zwischen der Energiespekraldiche und der Auokorrelaions funkion für Ener giesignale abgeleie werden. Mi (3.8) und und Tab. 5.2 gil: {r ff ()} {f() f( )} F(j) F( j) (8.44) Sez man f() reell voraus, is der Realeil von F(j) gerade, der Imaginäreil ungerade. [Re{G(j)} jim{u(j)] [Re{G( j)} jim{u( j)] [Re{G(j)} jim{u(j)] [Re{G(j)} jim{u(j)] (8.45) {r ff ()} F(j) F( j) F(j) F (j) F(j) 2 (8.46) Die Fourierransformiere der AKF für Energiesignale is also die Energiespekraldiche. Dieser Zusammenhang gil nur für reelle Signale, für komplexe Signale muss die AKF anders definier werden. Die Energiespekraldiche spiel bei der Berechnung von Signalen und Sysemen keine große Rolle, da bei Energiesignalen in der Regel die Fourierransformiere, also die Ampliudenspekraldiche exisier. Die Fourier ransformiere is dann die Funkion zur Spekraldarsellung. {f()} F(j) ÿ f() (8.4)

34 DIÜT 34 Leisungsspekraldiche Anders verhäl es sich mi Leisungssignalen, also z. B. sochasischen Signalen, deren Fourierransformiere in der Regel nich exisier. Es sei jez f() ein Leisungssignal gemäß Kap. 8., dessen Fourierransformiere nich exisiere. Dami is es nich möglich, die Ampliudenspekraldiche des Signals anzugeben. Begrenz man f() in der Zei, is es jedoch möglich, die Fourierransformiere dieses zeibegrenzen Signals anzugeben. {f() rec( T )} {f T ()} F T (j) (8.47) rec[(x+ )/T] -T/2 T/2 T/2 - Bild 8.2: Darsellung zu (8.59) Dami erhäl man: {r ff ()} lim T rec(x/t) T {f T () f T ( )} x (8.53) Man definier nun die auf T bezogene Energiespek raldiche des zeibegrenzen Signals als "Leisungs spekraldiche" S(), wenn T gegen unendlich geh. S() lim (8.48) T F T (j) 2 T {r ff ()} lim T T F T (j) F T ( j) (8.54) Sez man f() reell voraus, kann mi der gleichen Argumenaion von (8.45, 8.46) die Fourierransformiere der AKF wie folg dargesell werden: Wenn f() die Dimension V ha, besiz Dimension V 2 s. Das Inegral S() die {r ff ()} lim T T F T (j) 2 S() (8.55) 2 L() S() d (8.49) liefer die im Frequenzbereich 2 im Spekrum enhalene Leisung und ha die Dimension V 2. Es soll nun der Zusammenhang zwischen der Leisungsspekraldiche und der AKF für Leisungs signale abgeleie werden. T2 {r ff ()} { lim f(x) f(x) dx } T T T2 (8.5) Wegen des Grenzübergangs gegen unendlich änder sich an dem Ergebnis nichs, wenn die obere Grenze des Inegrals um - verschoben wird. (T2) {r ff ()} { lim f(x) f(x) dx } T T T2 (8.5) Dieses Inegral kann wie folg dargesell werden (Bild 8.2 veranschaulich diese Operaion): {r ff ()} { lim rec( x T T T x )f(x)rec( )f(x) dx } T (8.52) Die Fourierransformiere der AKF reeller Leisungssignale is also die Leisungsspekraldiche. Dieser Zusammenhang is als Theorem von Wiener und Kinchine bekann. Theorem von Wiener und Kinchine: Die Leisungsspekraldiche is die Fourierransformiere der Auokorrelaionsfunkion. Die Leisungsspekraldiche (LSD) spiel bei der Spekraldarsellung von Leisungssignalen eine große Rolle, da bei Leisungssignalen in der Regel die Fourierransformiere, also die Ampliudenspekral diche nich exisier. Da die AKF bei gegen geh, exisier jedoch deren Fourierransformiere, sie is dann die Funkion zur Spekraldarsellung. Leisungssignale und LTI-Syseme Wir berachen ein LTI-Sysem gemäß Bild 8.3, dessen Impulsanwor reell und ein Energiesignal sei. Das Eingangs signal f() und dami das Ausgangs signal y() seien Leisungssignale, deren Fourierrans formiere nich exisiere. f() G(j ) Bild 8.3: LTI-Sysem y() = f() * g()

35 DIÜT 35 Es is dami nich möglich, den Frequenzgang als Quoienen der Fourierransformieren aus Ausgangs- und zugehörigem Eingangssignal darzusellen. Dann gil folgende Gleichung: r yy () r ff () g() g( ) (8.56) Die Fourierransformiere von (8.56) laue mi (8.55) und Tab. 5.2: S y () S f () G(j) G( j) (8.57) Da g() reell vorausgesez wurde, gil uner Beachung von (8.46): T2 r yy () g(x) lim y() f( x) d dx T T T2 r yy () g() r yf () r yf (x) (8.6) Die Gleichungen (8.59), (8.6) sind als Wiener-Lee- Beziehungen bekann. Mi ihrer Hilfe kann (8.56) leich bewiesen werden. Es gil mi (8.59) und (3.): r fy () r yf ( ) g( ) r ff ( ) (8.6) S y () S f () G(j) 2 (8.58) Da die AKF gerade is, folg: Die LSD am Ausgang is gleich der LSD am Eingang muliplizier mi dem AFG zum Quadra. Diese wichige Beziehung ri für Leisungssignale an die Selle der Beziehung Y(j) F(j) G(j), die für Energiesignale gil. Zum Beweis dieser Beziehung muss (8.56) bewiesen werden. Wir berechnen zunächs die KKF zwischen Eingangs- und Ausgangssignal: r fy () g( ) r ff () (8.62) eingesez in (8.6) liefer r yy () g() g( ) r ff () (8.62), (8.63) womi (8.56) bewiesen is. Bild 8.4 mach die Zusammenhänge bei LTI-Sysemen mi einem sochasischen Signal am Eingang noch einmal deulich. T2 r fy () lim f() y( ) d T T T2 f() Leisungssignale G(j ) Energiesignal y() = f() * g() T2 r fy () lim f() g(x) f( x) dx d T T T2 AKF AKF r ( ) ff r ( ) yy G(j ) T2 r fy () g(x) lim f() f( x) d dx T T T2 r ff (x) F F S ( ) f 2 G(j ) = S ( ) y Bild 8.4: LTI-Sysem mi sochasischem Eingangssignal r fy () g() r ff () (8.59) Nun wird die AKF des Ausgangssignals ermiel, wobei die gleichen Rechenschrie angewand werden: T2 r yy () lim y() y( ) d T T T2 T2 r yy () lim y() g(x) f( x) dx d T T T2

36 DIÜT 36 9 Signalquanisierung 9. Zeiquanisierung 9.. Ideale Zeiquanisierung Gegeben sei ensprechend Bild 9. eine Funkion f(), deren Fourierransformiere F(jó) exisiere und die in äquidisanen Zeiabsänden T mi einer Folge aus Delaimpulsen "abgease" werde. Die Abasung mi einem solchen Delakamm wird als ideale Abasung im Zeibereich bezeichne. Das abgeasee Signal laue: + + f a () = f() ( - nt) = f(nt) ( - nt) n = - n = - (9.) F a (j) F(jk j) (9.6) T k Das Spekrum einer mi -Impulsen abgeaseen Funkion is also periodisch mi der Periode ; 2T ; das ursprüngliche Spekrum wiederhol sich bei Vielfachen der Abasfrequenz (Bild 9.2). Fa Man beache, dass der Wer von f a () an den Sellen nt nich angegeben werden kann. Gesuch is die Fourierrans formiere von f a (). -4T -3T -2T -T Bild 9.: Ideale Abasung f() T f () a 2T 3T 4T 5T Bild 9.2: Spekrum bei idealer Abasung Daraus folg direk das Abasheorem: Das ursprüngliche Spekrum läss sich (durch einen idealen TP) nur dann aus dem Spekrum der abgeaseen Funkion zurückgewinnen, wenn sich die periodisch sich wiederholenden Spekren nich überlappen, wenn also das Spekrum von f() oberhalb 2 verschwinde. Es gil also bei auf Frequenzen 2 bandbegrenzem Signal f(): Es sei F(j) rec( ) T F a (j) (9.7) 2T (9.2) Die Rückransformaion liefer: die Abaskreisfrequenz. Mi Tab 5. und 5.2 gil: + F a (j) = f(nt) e -jnt n = - (9.3) f() T 2 si( 2 ) f(nt) ( nt) n Mi (3.5) erhäl man: (9.8) bzw. F a (j) = + f( - nt) e jnt n = - (9.4) f() f(nt) si[ ( nt)] 2 n (9.9) Jede bandbegrenze Funkion is also als unendliche Summe verschobener si-funkionen darsellbar. Eine andere Darsellung des Spekrums erhäl man, wenn man den ersen Teil von (9.) direk einer Fourierransformaion unerzieh. Mi Tab. 5. und 5.2 ergib sich: F a (j) F(j) 2 Mi (3.5) folg: (k) k (9.5) Abasheorem von Shannon: Die Abasfrequenz muss mindesens das Doppele der in dem abzuasenden Signal maximal enhalenen Frequenz beragen. In der Praxis wähl man die Abasfrequenz % höher als heoreisch geforder, da die Rekonsrukions- und Anialiasingfiler endliche Flankenseilhei besizen.

37 DIÜT Reale Zeiquanisierung Eine ideale zeiliche Abasung kann in der Praxis naürlich nich durchgeführ werden, da man Delaimpulse nich generieren kann. Die in Bild 9.3 dargeselle koninuier liche Funkion f() mi der Fourierransformieren F(jó) werde jez mi Rech eckfunkionen (Abas- und Haleglied) in äqui disanen Zeiabsänden T abgease. mi einem Filer vorgenommen werden, dessen Ampliudenfrequenzgang dem Kehrwer der si-funkion in (9.3) ensprich (Bild 9.4). si-korrekur ~ Fa si-funkion f() ~ f a () -4T -3T -2T -T Bild 9.3: Abasen und Halen T 2T 3T 4T 5T Gesuch is die Fourierransformiere von f a (), die mi F a (j) bezeichne werde. Das durch das Abas- und Hale glied gewonnene Signal kann wie folg beschrieben werden: f a () f(nt) rec n Mi Tab 5. und 5.2 erhäl man nt T2 T F a (j) f(nt) e j(ntt2) T si ( T ) 2 n F a (j) f(nt) e jnt n F a (j) mi (9.3) Mi (9.6) ergib sich: e jt2 T si ( T 2 ) F a (j) = e -j T2 si( T + 2 ) F(j - jn) n = - (9.) (9.) (9.2) (9.3) Das Spekrum weis also die gleiche Periodiziä wie bei Abasung mi einer -Folge auf. Der Fakor exp{ jót/2} weis auf eine zusäzliche frequenzunabhängige Zeiverschiebung um T/2 (Allpassfakor, siehe Zeiverschiebungsgesez Tab. 5.2) hin. Außerdem is das Spekrum mi einer si-funkion bewere, deren erse Nullselle bei der Abasfrequenz lieg. Will man das ursprüngliche Spekrum fehlerfrei zurück gewinnen, muss nich nur das Abasheorem einge halen werden, sondern es muss neben dem idealen Rekonsrukionsiefpass auch eine Korrekur des Spekrums Bild 9.4: Spekrum bei realer Abasung Das Spekrum des Signals am Ausgang eines Abas- und Halegliedes mi der Haledauer T is periodisch mi der Abasfrequenz, das ursprüngliche Spekrum wiederhol sich bei ganzzahligen Vielfachen der Abasfrequenz. Zusäzlich is das Spekrum mi einer si-funkion bewere, deren. Nullselle bei der Abasfrequenz lieg. Die maximale Ampliudenverzerrung ri demnach bei der maximal nuzbaren Frequenz (halbe Abasfrequenz) auf und beräg db. Is der Recheck, mi dem abgease wird, schmaler als die Abasperiode T und bezeichne man die Breie des Rechecks mi T r, gil anselle von (9.) nt T r 2 f a () f(nt) rec, (9.4) T n r und man erhäl anselle von (9.3) F a (j) = e -j T r 2 si( T + r 2 ) F(j - jn) n = - (9.5) Die Nullsellen der si-funkion liegen jez bei ganzzahligen Vielfachen von 2T r, und die Ampliudenverzerrung des Spekrums wird umso geringer, je schma ler die Abasimpulse sind. Das si-korrekurfiler is bei analoger Filerung mi dem Rekonsrukionsiefpass des DA-Wandlers kombinier, es handel sich also um einen TP mi nichkonsanem AFG im Durchlassbereich. Bei Abasfrequenzen uner MHz is das Filer meis als Digialfiler ausgeführ und Teil der nowendigen Filer bei der Abasraenerhöhung ( DISI).

38 DIÜT Ampliudenquanisierung 9.2. Gleichmäßige Ampliudenquanisierung Die Ampliudenquanisierung ha einen Fehler zwisch en dem rekonsruieren und ursprünglichen Si gnal zur Folge, den man kurz als "Quanisierungsfehler" be zeich ne. Es gib zwar ein Abasheorem für die Zei quanisierung, aber kein Abasheorem für die Ampli udenquanisierung. Der Ampliudenquanisier ungs fehler läss sich also nich vermeiden, sondern le diglich durch Erhöhung der Anzahl der Quanisierungssufen verringern. Der Fehler is von Verlauf und Ampliude des quanisieren Signals abhängig; er ver häl sich wie zusäzliches Rauschen; im Gegensaz zu Rauschen is er jedoch nich vorhanden, wenn kein Eingangs signal vorhanden is ÇQ T s () x q s ( T/2) x q * s ( T/2) = q() x q * s ( T /2) x q : x nach Rekonsrukionsiefpass q Bild 9.5: Ampliudenquanisierungsfehler Bild 9.5 zeig den Quanisierungsfehler für ein sinusförmiges Eingangssignal bei 6 Ampliuden quanisierungssufen. Nach Tiefpassfilerung des abgeaseen Signals bleib ein Fehler, der allein darauf zurückzuführen is, dass das abzuasende Signal zum Abaszeipunk Were aufweis, die nich der Mie ei nes Ampliudenquanisierungsinervalls ensprechen. Bei den folgenden Berachungen wird vorausgesez, dass - das Eingangssignal s() den darsellbaren Ampli udenbereich nich überschreie (-S A /2 < s() < S A /2), die sons aufreenden Begrenzungsverzerrungen sind also nich berücksichig; - der ausgangsseiig erzeuge Ampliudenwer immer der Mie des Quanisierungsinervalls ensprich; - der gesame Ampliudenbereich S A in N gleichgroße Quanisierungsinervalle Q aufgeeil wird (gleich förmige Quanisierung), d. h. S A = (N) Q gil. Man definier den sogenannen Signal- zu Quanisierungsgeräuschabsand: D SQ = log(p s /P q ) (9.6) wobei P s die Leisung des rekonsruieren Signals bei maximaler Ampliude und P q die Leisung des Quanisierungsgeräuschs is. Daneben is die Angabe des Signal- zu Ruhegeräuschabsands eines digialen Sysems gebräuchlich, der wie folg definier is: D SR = log(p s /P r ) (9.7) P s is die Leisung des rekonsruieren Signals bei maximaler Ampliude und P r die Leisung des "Ruhegeräuschs", das enseh, wenn durch Rauschen oder Übersprechen der Ausgang des ADW's sändig zwischen zwei benachbaren Quanisierungssufen hin und her kipp. D SR kann für den Fall eines sinusförmigen Eingangssignals leich berechne werden. Da die meisen DAW's und ADW's mi Dualzahlen angeseuer werden, is die Anzahl der Quanisierungssufen eine Poenz von 2. Is n die Anzahl der Bis (Worbreie), gil N = 2 n (9.8) Die maximale Ampliude eines Sinussignals beräg uner den genannen Voraussezungen : U = SA/2 = (N) ÇQ/2 (9.9) Der Effekivwer ergib sich zu U s = ÇQ (N)/(2È2) (9.2)

39 DIÜT 39 Der Effekivwer des Rechecksignals, das durch das Kippen um eine Quanisierungssufe enseh, berechne sich uner der Annahme eines mileren Tasverhälnisses von 5% und uner der Ver nachlässigung des Gleichaneils zu U r = ÇQ/2. (9.2) Dami erhäl man für den Signal- zu Ruhegeräuschabsand bei sinusförmigem Eingangssignal D SR = log[(n) 2 /2] = 2log(2 n ) db 3, db (9.22) Wenn 2 n >> angenommen wird, ergib sich näherungsweise D SR n 6,2 db 3, db (9.23) Der Signal- zu Quanisierungsgeräuschabsand D SQ häng davon ab, mi welcher Wahrscheinlichkei eine Quanisierungssufe bei einem besimmen Eingangssignal aufri und wie die Ampliuden des Quanisierungsfehlers innerhalb des Quanisierungs inervalls vereil sind. Bei einer gleichförmigen Quanisierung (lineare Quanisierungskennlinie) und S A >>Q is die Annahme gerech ferig, dass die Ampliuden des Quanisierungsfehlers im Quanisierungsinervall gleichvereil sind. Die Wahrscheinlichkeisdiche funkion (PDF) ergib sich dann mi (8.6) zu p q (q) Q rec( q Q ) und is in Bild 9.6 dargesell. / Q Q/2 p (q) q Q/2 Bild 9.6: PDF des Quanisierungsfehlers Mi (8.25) errechne sich der quadraische Mielwer (Leisung) des Quanisierungsfehlers dann zu: q 2 q 2 p q (q) dq Q2 Q q 2 dq Q2 Q2 2 q (9.24) (9.25) Für sinusförmige Signale ergib sich dann der Signalzu Quanisierungsgeräuschabsand mi (9.2) zu: D SQ log [,5 (N ) 2 ] (9.26) D SQ 2 log (N ),76 db In der Regel is N>>, so dass man näherungsweise SINUS: D SQ (6,2 n,76) db (9.27) (9.28) sezen kann. Bei sochasischen Signalen muss zur Berechnung von D SQ die Ampliuden-PDF bekann sein und das Inegral (9.25) gelös werden. Sind die Ampliuden gleichvereil (z. B. Dreiecksignal, Bild 9.7), gil ensprechend: p s (s) S A rec( q S A ) /SA -S A p (s) s /2 S A /2 Bild 9.7: Konsane PDF eines Signals Der quadraische Mielwer des Signals ergib sich dann äquivalen zu (9.25): s 2 s 2 p s (s) ds S A 2 S A s 2 ds S A 2 S A 2 2 s (9.29) (9.3) Mi (9.9) erhäl man dann näherungsweise für N>>: p s (s) cons.: D SQ (6,2 n ) db (9.3) Die Ampliude von Sprache is nich begrenz. Man läss deshalb eine gewisse Überlasung zu und rechne mi SPRACHE: D SQ (6,2 n 7,27) db (9.32) Da der prakisch erreichbare Signal- zu Quanisier ungsgeräuschabsand immer 3 bis 4dB uner dem heoreisch errechneen Wer lieg, wird häufig mi der Näherungsformel D SQ (6 n ) db (9.33) gerechne. Tabelle 9. gib den nach dieser Formel ereichbaren Wer von D SQ an. Wegen des geringen Dynamikumfangs des "Empfängers" Auge von ewa 4dB kann im Videobereich mi 8 Bi Ampliudenquanisierung gearbeie werden. Das Ohr is dagegen in der Lage, einen Dynamikumfang von db zu

40 DIÜT 4 verarbeien. Deshalb wird bei der CD mi 6Bi gearbeie. n N D SQ db Tab. 9.: D SQ als Funkion von n nach (9.33) Man beache, dass die genannen Were für D SQ nur bei Vollausseuerung gülig sind, D SQ fäll linear mi dem Eingangspegel des Sysems. Bei sochasischen Signalen weich aufgrund gelegenlicher Überseuerung bereis bei 5 bis db uner Vollausseuerung (db) der erreichbare Wer vom heoreischen Wer ab, bei Überschreiung der Vollauseuerung sink D SQ rapide gegen db (Bild 9.8). s() Kompressor f(s) s x() n() Kompander Bild 9.9 : Prinzip des Kompanders Expander g(x) Bei der digialen Überragung wird die Kompandierung eingesez, um in einem möglichs weien Ampliudenbereich ein annähernd konsanes Signal-Rauschverhälnis zu erreichen. Dies wird durch eine ungleichförmige Quanisierung erreich, bei niedrigen Signalampliuden wird eine feinere Quanisierung als bei hohen Signalampliuden gewähl (Bild 9.). x D SQ db Ua Ua 9 8 Ue Ue 7 6 Bi Bi Eingangspegel db Bild 9.8: Abfall von D bei sochasischen Signalen SQ Ungleichmäßige Ampliudenquanisierung Physiologische Unersuchungen des Hörvorgangs haben gezeig, dass der als sörend empfundene Geräuschpegel vom Pegel des Nuzsignals abhäng. Je lauer das Nuzsignal, umso lauer kann auch das Sörsignal sein, d. h. in erser Linie solle das Signal- Rauschverhälnis konsan sein. Dies kann die Anwendung einer Kompressorkennlinie im Sender leisen, die durch eine ensprechende Expanderkenn linie im Empfänger wieder linearisier wird (Bild 9.9). Das Prinzip läss sich auch dazu nuzen, das auf dem Überragungsweg addiere Rauschen zu vermindern. Da im Expander die senderseiige Anhebung niedriger Ampliuden rückgängig gemach werden muss, wird auch das Rauschen des Überragungskanals reduzier. Bild 9.: Gleichmäßige und ungleichmäß. Quanisierung Eine ungleichmäßige Quanisierung könne man dadurch erreichen, dass man das Signal vor der Quanisierung verzerr (i. a. logarihmisch) und anschließend gleich mäßig quanisier. Da es aber echnisch sehr aufwendig is, zwei genau zueinander inverse Kennlinien analog zu realisieren, führ man die Kompandierung digial durch. Dazu wird das Signal zunächs mi einer hohen Auflösung (im Telefon verkehr 2 oder 3Bi) gleichförmig quanisier und anschließend mi einer Zuord nungsabelle auf eine ungleichförmige (Telefon 8Bi) Quanisierung umcodier. Die seige Kompanderkennlinie wird dabei durch Geradensücke (Segmene) unerschiedlicher Seigung angenäher. Im europäischen Sysem wird die sogenanne A-Kennlinie verwende, die in normierer Form im ersen Quadranen laue: A x ln (A) y(x) ln (Ax) ln (A) für x A für A x (9.34) In der Praxis wurde A = 87,56 eingeführ. Die Annäherung der A-Kennlinie erfolg durch 3 lineare Segmene (Umcodierung 2Bi linear in 8Bi komprimier), wobei das Verhälnis der Seigungen

41 DIÜT 4 benachbarer Segmene gleich 2 is. Tab 9.2 gib die Vorschrif der Umcodierung an, Bild 9. zeig die Kennlinie im ersen Quadranen. Die Kennlinie is ungerade im 3.Quadranen zu ergänzen. Die Seigung des Segmens bleib beim Durchgang durch die Nullinie gleich, so dass sich insgesam 3 Segmene ergeben. Segmen Linearer Code (2Bi) Vabcd Vabcd Verlorene Bis (x) Komprimierer Code (8Bi) Vabcd Vabcd Vabcdx Vabcd 2 Vabcdxx 2 Vabcd 3 Vabcdxxx 3 Vabcd 4 Vabcdxxxx 4 Vabcd 5 Vabcdxxxxx 5 Vabcd 6 Vabcdxxxxxx 6 Vabcd Tab. 9.2: Codierungsabelle der A-3-Segmen-Kennlinie Komprimierer Ausgangscode Linearer Eingangscode Im Segmen ergib sich der gleiche Signal- zu Quanisierungsgeräusch absand wie bei linearer Quanisierung mi 2 Bi. Da bei Überschreiung der Segmengrenzen immer ein Bi verloren geh, fäll der Signal- Rauschabsand dor immer um 6dB. Bild 9.2 zeig den sich für die 3-Segmen-A-Kennlinie ergebenden Signal- zu Quani sierungs geräuschabsand für ein sinusförmiges Ein gangs signal. D SQ bleib über einen weien Bereich des Eingangspegels weigehend konsan. Die Umcodierung von linear nach komprimier und umgekehr is für die A- und -Kennlinie in vielen digialen Signalprozessoren hardwaremäßig implemen ier D SQ db -5 G K -4 2 Bi Linear 8 Bi Linear Eingangspegel db Bild 9.2: D SQ bei der 3-Segmen-A-Kennlinie Bild 9.: A-3-Segmen-Kennlinie (.Quadran) In den USA is im Telefonverkehr die sogenanne - Kennlinie im Einsaz, bei der ein linearer 3-Bi-Code uner Einsaz von 5 Segmenen in einen kompri mieren 8-Bi-Code gewandel wird. Es gil: y ln( x) ln( ) ; 255 (9.35) Die Wirkung der Kompandierung wird durch den Kompandergewinn G K charakerisier. G K is die Seigung der Kompanderkennlinie im Nullpunk. Für die A- Kennlinie mi A=87,56 gil: G K A ln(a) 6 j 24dB (9.36)

42 DIÜT 42 Grundlagen der Informaionsheorie Bild. zeig ein einfaches Modell einer Nachrichenüberragung. Die Quelle sende Zeichen über ein Medium (Kanal), die vom Empfänger (Senke) ver sanden werden müssen. Quelle Kanal Senke Bild.: Modell einer Nachrichenüberragung Dazu muss die Senke den gleichen Zeichenvorra haben. Der Begriff der Nachrich is sysemheoreisch sreng von dem der Informaion zu rennen. Informaion enseh auf der Empfangsseie dadurch, dass eine Nachrich versanden und die Kennnis der Senke vergrößer wird. Zieh der Empfang einer Nachrich A mi einer Wahrscheinlichkei von den Empfang einer Nachrich B nach sich, vergrößer Nachrich B nich die Kennnis der Senke, enhäl also keine Informaion. Auf die Überragung des Zeichens "q" folg in der deuschen Sprache z.b. immer das Zeichen "u", diese folgende Nachrich enhäl also keine Informaion. Eine Nachrich heiß irrelevan, wenn sie von der Senke nich versanden wird, z. B. durch nich über einsimmenden Zeichenvorra. Eine Nachrich heiß redundan, wenn sie ganz oder eilweise durch bereis gesendee Nachrichen vorhersagbar is. Informaion sez eine relevane und nich redundane Nachrich voraus. Bis zur Mie des lezen Jahrhunders blieben diese Aussagen qualiaiver Naur. Ers Shannon gelang es 948 in einer grundlegenden Arbei, ein absrakes Modell der Nachrichenüberragung aufzusellen, das die Quanisierung dieser Aussagen erlaub. Er verknüpfe die Nachrich mi der Wahrscheinlichkei ihres Aufreens und definiere so deren Informaions gehal. Eine mi der Wahrscheinlichkei aufreende Nachrich ha den Informaionsgehal, der Infor maionsgehal einer Nachrich is umgekehr propor ional zur Wahrscheinlichkei ihres Aufreens. In diesem Kapiel sollen einige grundlegende Aussagen Shannon's ohne Beweise und ohne Anspruch auf Vollsändigkei dargesell werden. Wir berachen eine Quelle mi einem endlichen Zeichen vorra von N Zeichen. X ( x, x 2, x 3,... x N ) (.) Das können z. B. die Zeichen des Alphabes (N=27), die ersen 8 Zahlen (N=8) oder auch nur die binären Zeichen und (N=2) sein. Mi P i sei die Wahrschein lichkei des Aufreens des Zeichens x i bezeichne. p ( P, P 2, P 3,... P N ) (.2) Die Zeichen schließen sich gegenseiig aus, so dass N P i i (.3) gil. Außerdem sezen wir vereinfachend voraus, dass bei der Überragung keine saisischen Abhängigkeien der Wahrscheinlichkei des Aufreens aufeinander folgender Zeichen besehen. bi is die kleinse mögliche Informaionseinhei (ja - nein - Enscheidung). Den Informaionsgehal eines Zeichens x i definier Shannon zu I(x i ) log 2 ( P i ) log 2 (P i ) [bizeichen], (.4) er is also nur von der Wahrscheinlichkei des Aufreens eines Zeichens abhängig. æ Beispiel: Der Zeichenvorra besehe aus den Zahlen bis 7, die Aufriswahrscheinlichkei aller Zeichen sei gleich und beräg dami /8. Der Infor ma ionsgehal eines Zeichens beräg dami 3bi/Zeichen und is für alle Zeichen gleich. Die Auswahl eines beliebigen Zeichens aus einer Menge von 8 Zeichen, die mi gleicher Wahrscheinlichkei aufreen, läss sich mi log 2 (8) = 3 Binärenscheidungen durchführen. Die Auswahl eines Zeichens kann mi Hilfe des in Bild.2 dargesellen Codebaumes verdeulich werden. Zeichen x i Enscheidung Bild.2: Enscheidung miels Codebaum ø Sind die Aufriswahrscheinlichkeien der Zeichen einer Quelle nich gleichvereil, ineressier weniger der Informaionsgehal eines einzelnen Zeichens als der lineare Mielwer des Informaionsgehals aller Zeichen, den man mi Enropie bezeichene. Mi (8.2) gil:

43 DIÜT 43 N H(x) I(x i ) P i I( x i ) i (.5) N H(x) P i log 2 bizeichen. (.6) P i i Die Enropie gib die milere Anzahl von En scheidungen an, mi der ein Zeichen einer Quelle dekodier werden kann, wenn die Aufriswahr scheinlichkeien aller Zeichen bekann sind. Sind die Aufriswahrscheinlichkeien aller Zeichen gleich, gil P i = /N. Die Enropie H(x) ha dann ein Maximum H und es gil wegen (.3) H log 2 N. (.7) H wird auch als Enscheidungsgehal der Quelle bezeichne. Die Differenz zwischen H und H(x) nenn man Redundanz der Quelle R Q (nich zu verwechseln mi der späer zu definierenden Redundanz eines Codes). R Q H H(x) (.8) æ Beispiel: Wir berachen eine binäre Quelle mi den Zeichen und (N=2), die Aufriswahr scheinlichkei der sei P, die Aufriswahr scheinlichkei der sei P = - P. Dann gil für die Enropie nach (.6): H(x) ( P ) log 2 ( ) P P log 2 P - Zeichen überragen. Die milere Anzahl von nowendigen Enscheidungen zur Dekodierung eines Zeichens is kleiner, und es sell sich die Frage nach der opimalen Codierung der Quelle. Die bloße Überragung der Zeichen selbs führ zu einer Enscheidung pro Zeichen und is bei P =,9 nich opimal; die in der Quelle enhalene Redundanz wird dann bei der Quellencodierung nich ausgenuz. Æ Die Aufgabe der Quellencodierung is es, einen opimalen Code bei gegebener Aufriswahrschein lichkei der Zeichen einer Quelle so zu finden, dass die milere Codeworlänge minimal wird. Gib L [L(x ), L(x 2 ), L(x 3 ),...L(x N )] (.9) die Länge des Codewors für jedes Zeichen x i an, so is die milere Codeworlänge der lineare Mielwer aller Codeworlängen. N L L(x i ) P i L(x i ) i (.) Werden für die unerschiedlichen Zeichen verschiedene binäre Codeworlängen zugelassen, können die Codewörer auf der Empfangsseie eindeuig erkann werden, wenn kein Wor mi dem Anfang eines anderen übereinsimm. Man bezeichne diese Eigen schaf eines Codes als Präfix-Eigenschaf. Shannon bewies den nach ihm benannen Shannon'schen Quellencodierungssaz, wonach für jede Quelle eine Binärcodierung gefunden werden kann, deren milere Codeworlänge der Ungleichung H(x) L H(x) (.) H(x) P.6.8 Bild.3: Enropie einer Binärquelle H(x) is in Bild.3 dargesell, für P =,5 erreich H(x) sein Maximum H. Für P = bzw P = wird H(x) =, es wird dann keine Informaion mehr überragen. Für P =,9 z. B. is der Informaionsgehal der Quelle sehr viel niedriger, als dies mi einer gleichvereilen - - Folge der Fall wäre. In diesem Fall werden sehr viel mehr - Zeichen als genüg. Mi R C wird die Redundanz eines Codes bezeichne, es gil R C L H(x). (.2) Shannon ha allerdings keine Vorschrif zur Konsrukion eines opimalen Codes angegeben. Ers Huffman ha 952 ein rekursives Verfahren zur Konsrukion eines solchen Codes veröffenlich, den man heue als 'Huffman-Code' bezeichne. Die Kon srukion eines Huffman-Codes sei in dem folgenden Beispiel verdeulich. æ Beispiel: Gegeben sei eine Zeichenmenge mi den 8 Zeichen A - H, deren Aufriswahrscheinlichkeien in der folgenden Tabelle angegeben sind. i xi A B C D E F G H Pi,,5,5,,5,9,8,3 H 3 ; H(x) 2,35

44 DIÜT 44 Die Redundanz der Quelle beräg R Q =,65, das ensprich 2,6% bezogen auf das Maximum der Enropie. Anders formulier: Würde man jedes Zeichen mi 3 Bi codieren, wäre die Daenrae bezogen auf H(x) um 2,6% höher als heoreisch geforder. Zur Konsrukion des Huffman-Codes müssen die Zeichen zunächs nach abfallender Aufriswahr schein lichkei sorier werden. Dann werden die beiden Zeichen mi der geringsen Aufriswahrscheinlichkei mi der vorläufigen Codierung und versehen und zu einem neuen Zeichen zusammengefass. Der nun um ein Zeichen reduziere Zeichensaz muss erneu nach abfallender Aufriswahrscheinlichkei sorier werden, das Verfahren wird rekursiv forgesez, bis nur mehr zwei Zeichen übrig bleiben. Die Aneinanderreihung der vorläufigen Codierung für ein Zeichen ergib sein Codewor. Das Verfahren is für den oben angegebenen Zeichensaz in Bild.4 durchgeführ. B,5 A, D, F,9 G,8 C,5 E,5 H,3 B,5 FG,7 EHC,3 A, D, B A D F G EH C B,5 FGEHC,3 AD,2,5,,,9,8,8,5 B,5 AD,2 FG,7 EHC,3 B,5 EHC,3 A, D, F,9 G,8 B,5 ADFGEHC,5 Bild.4: Konsrukion eines Huffman-Codes Die folgende Tabelle gib die Codewörer, ihre Länge und ihre Aufriswahrscheinlickeien an. Zeichen Code L(xi) Pi A 3, B,5 C 4,5 D 3, E 5,5 F 4,9 G 4,8 H 5,3 L 2,38 ; R C,3 Die Redundanz des Codes beräg jez,3, d. h. die mi le re Daenrae bei der Überragung is nur noch,2% höher als heoreisch nowendig. Bild.5 zeig den Codebaum zur Deekierung eines Zeichens in der Sen ke. Is ein Zeichen erkann, kehr der Enscheidungsalgorihmus wieder an die Wurzel des Bau mes zurück. Die Enscheidungen sind eindeuig, da kein Codewor mi dem Beginn eines anderen Codewores übereinsimm (Präfixeigenschaf). D A Bild.5: Codebaum des Codes im Beispiel ø Codewor x i C H Is die Zei, in der H(x) bi den Kanaleingang passieren, dann bezeichne man mi H ' H(x) bis B E G F (.3) den Informaionsfluss. Ensprechend is der Nach richen fluss zu L ' L bis (.4) definier. Die Einhei bi/s is idenisch mi der Schrianzahl pro Sekunde eines Leiungscodes, wenn einzelne Bis in einen Zusand (Schri eines Leiungscodes) umgesez werden. Die Schrigeschwin digkei eines Leiungscodes wird in Baud (Bd) angegeben, benann nach dem französischen Erfinder Baudo. Bei mehrsufigen Leiungscodes mi mehr als zwei Sufen is deshalb baud bi/s, siehe dazu auch Kap. 2. Die folgende Tabelle gib den Nachrichenfluss (Daenrae) unerschiedlicher Überragungssrecken an. Zeizeichensender DCF77 Navigaionssaelli GPS ISDN (pro Kanal) Digialer Rundfunk DAB (pro Quelle) Digiales Fernsehen DVB (MPEG) Dig. Fernsehen PAL (unkomprimier) bi/s 5 bi/s 64 kbi/s 25 kbi/s 2-8 Mbi/s 4 Mbi/s

45 DIÜT 45 In einem durch Rauschen gesören Überragungskanal können Zeichen verfälsch werden. Man unerscheide zwei verschiedene Sörungen: Wird das gleiche Zeichen der Quelle zu verschiedenen Zeichen der Senke verfälsch, sprich man von Irrelevanz. Führen verschiedene Zeichen der Quelle durch Sörungen des Kanals zum gleichen Zeichen der Senke, sprich man von Äquivokaion. Bild.6 verdeulich diese beiden Sörungen. X Quelle X Senke die Nachrichenmenge, so kann M als Volumen eines Quaders mi den Kanenlängen B (Bandbreie des Kanals), T (Dauer der Überragung) und D (Dynamik des Kanals) dargesell werden (Bild.7). Die Nachrichenmenge M läss sich uner Beibehalung des Volumens des Quaders bei Änderung der Länge der Kanen überragen. Eine geringere Dynamik erforder eine höhere Bandbreie bei gleichbleibender Dauer der Überragung. Eine geringere Bandbreie erforder eine längere Überragungsdauer bei gleichbleibender Dynamik. Man bezeichne diese Zusammenhänge auch als 'Zei- Bandbreie-Gesez' der Nachrichen über ragung. x i Äquivokaion Irrelevanz x i Bild.6: Irrelevanz und Äquivokaion Eine sörungsfreie Überragung bei gesörem Kanal kann dadurch erreich werden, dass nich alle sendeseiig möglichen Zeichen Informaion enhalen. In der Quelle wird den zu überragenden Zeichen geziel Redundanz zugefüg, die empfangsseiig zur Er kennung oder auch sogar zur Korrekur von Überra gungsfehlern dien. Die Frage der Berechnung der Redundanz und der Fehlererkennung und -korrekur is eine Aufgabe der "Kanalcodierung", die im nächsen Kapiel behandel wird. Je größer das Rauschen, je kleiner also die Dynamik eines Kanals is, um so größer is auch die Redundanz, die quellenseiig zugefüg werden muss, um die Bifehlerrae konsan zu halen. Mi seigender Redundanz seig aber auch die Daenrae und dami die nowendige Bandbreie des Kanals. Bezeichne man bei einer endlichen Überragungsdauer T mi M L ' T (.5) D T D T B B Bild.7: Nachrichenquader

46 DIÜT 46 Fehlerkorrekur und Verwürfelung Bei der digialen Überragung von Daen wird heue eine Bifehlerrae von uner - geforder. Auch bei der digialen Überragung von Sprache oder Bildern muss eine ähnlich niedrige Bifehlerrae geforder werden, da durch den Einsaz von Quellenkodierungsverfahren (z. B. MPEG) ein großer Teil der Redundanz aus dem ursprünglichen Daensrom enfern wurde und Bifehler dadurch das rekonsruiere Signal erheblich sören können. Zur Reduzierung der Bifehlerrae sehen im wesenlichen drei Verfahren zur Verfügung: - Auomaische Sendewiederholung (ARQ, Auomaic Repea Reques). Im Sender werden Zeichen zur eigenlichen Informaion hinzugefüg, die es dem Empfänger erlauben, Überragungsfehler zu erkennen. Ha der Empfänger einen Fehler erkann, forder er den Sender auf, die Überragung zu wiederholen. Das Verfahren erforder naurgemäß einen Duplexkanal und soll hier nich weier berache werden. - Vorwärsfehlerkorrekur (FEC, Forward Error Correcion). Im Sender werden Zeichen zur eigen lichen Informaion hinzugefüg, die es dem Empfänger erlauben, Überragungsfehler nich nur zu erkennen, sondern auch bis zu einer besimmen Grenze zu korrigieren. Man unerscheide die grundsäzlich verschie denen Verfahren der Blockcodierung und der Falungscodierung. Bei der Blockcodierung beseh ein überragenes Symbol aus einem Informaionsblock mi k Bis, dem ein Prüfblock mi m Bis angehäng wurde. Die Gesamzahl der überragenen Bis pro Zeichen beräg n=k+m, man sprich auch von einem (n,k)- Blockcode. Bei der Falungscodierung beseh ein Symbol aus n Bis, die aus k Informaionsbis und m vorhergehen den Informaionsbis errechne wurden (n, k, m - Falungscode). Ein Falungscoder besiz ein endliches Gedächnis. - Verschachele Überragung (Inerleaving). Im Sender werden die Symbole, besehend aus mehreren Bis, zunächs in einem Speicher abgeleg. Die Überragung erfolg dann in anderer Reihenfolge, z. B. zunächs die ersen Bis aller Symbole, dann die zweien usw. Auf diese Weise können Bursfehler (mehrere nebeneinanderliegende Bis sind gesör) nich zu einer Verfälschung des Symbols, sondern nur noch zu Einzelbifehlern innerhalb eines Symbols führen. Die Mehoden werden nich selen gleichzeiig angewand, so kommen z. B. beim digialen Fernsehen Blockcodierung, Falungscodierung und Inerleaving zum Einsaz. æ Beispiel: Anhand eines einfachen Beispiels soll zunächs ohne Theorie das Prinzip der Fehler korrekur bei der Blockcodierung erläuer werden. Die Anzahl der möglichen zu überragenden Symbole berage 4, die Codierung der Informaion erfolge im Dualzahlensysem (k=2). Jedem überragenen Symbol werde ein Prüfblock besehend aus drei Prüfbis ensprechend folgender Tabelle angehäng, es handel sich also um einen (5,2)-Blockcode. Symbole Informaionsblock k = 2 Prüfblock m = 3 S S2 S3 S4 Uner der Hamming-Disanz zweier Codewörer verseh man die Anzahl der verschiedenen Bis dieser beiden Code wörer. Die folgende Tabelle gib die Hamming-Disanz aller möglichen 2 5 Codewörer des genannen Blockcodes zu den vier güligen Wörern an, die den Symbolen S bis S4 zugeordne sind. mögliche Disanz zu Blöcke S S S S

47 DIÜT 47 Wird in einem überragenen Symbol Bi gesör, führ das zu einem ungüligen Wor, das eine Hamming- Disanz von zu dem güligen Wor ha. Da es kein Wor gib, das gleichzeiig eine Hamming-Disanz von zu zwei verschiedenen Wörern ha, sind -Bi- Fehler eindeuig korrigierbar. Der Em pfänger muss lediglich die Disanz zu den vier güligen Codewörern errechnen und das empfangene Wor durch das gülige Wor ersezen, zu dem es eine Disanz von aufweis. Bei 2-Bi-Fehlern versag dieser Blockcode, weil eine Disanz von 2 zu mehreren güligen Wörern bei einem ungüligen Wor beseh und weil eine Disanz von 2 auch in Verbindung mi einer Disanz von aufri, der Empfänger riff dann eine falsche Enscheidung. ø Bild. zeig den prinzipiellen Aufbau eines sysemaischen (n,k)-blockcodes. Ein Blockcode heiß sysemaisch, wenn die Informaion direk im Code en halen is. Den k Informaionssellen der Quelle wer den m Prüfsellen angehäng, die der Fehlerer kennung und Kor rekur dienen. Informaionssellen Bild.: (n,k)-blockcode k Redundanz Prüfsellen Das Wor "Informaion" wird hier nich im Sinne der Informaionsheorie des Kap. benuz, es werden alle Daen der Quelle als Informaion bezeichne, Informaion also mi Nachrich gleichgesez. Das Wor Code bezeichne alle güligen Wörer eines k+m = n-bi langen Binärsymbols. Da in der Regel alle 2 k möglichen Kombinaionen der Informaion aufreen können, is 2 k auch die Anzahl der güligen Wörer eines (n,k)-blockcodes. (2 n -2 k ) mögliche Wörer eines (n,k)-blockcodes werden also nich genuz, der Code enhäl Redundanz. Die relaive Redundanz des Blockcodes is zu R r m n n k n k n n m (.) definier. Uner der Coderae verseh man das Verhälnis C r is kleiner. Je näher C r an lieg, umso geringer is die Redundanz und dami die durch die Prüfsellen benöige zusäzliche Bandbreie des Kanals. Coderae und relaive Redundanz sind über die Gleichung C r R r (.3) verknüpf. Blockcodes können Bi- oder symbol orien ier sein. Biorieniere Blockcodes erkennen oder korrigieren Fehler einzelner Binärsellen des Codes, symbol orieniere Blockcodes ganze Symbole (meis 8 Bi). Bild.2 zeig einen ypischen Falungscoder. Er beseh in diesem Beispiel aus einem viersufigen Schieberegiser und vier modulo-2 Addierern. Informaionssellen (k Bi) Bild.2: Falungscoder + + T T T T + + Ausgangsdaen (n Bi) T/2 Nachdem ein neues Bi in das Schieberegiser eingelesen wurde, werden am Ausgang durch Beäigung des Umschalers zwei Bi ausgelesen. Aus einer Informaion mi k Sellen werden dadurch Ausgangsdaen mi 2k Sellen erzeug, wobei der Fakor 2 beliebig is und nur für dieses Beispiel gil. Die Eingangsdaen sind in den Ausgangsdaen dieses Beispiels nich direk enhalen, und jede Selle der Ausgangsdaen is von vier Sellen der Eingangsdaen abhängig. Die Codierung eines Falungscoders erfolg koninuierlich. Nach k Sellen der Informaion werden in der Regel m Nullen nachgeschoben, um den Coder in einen definieren Zusand zu bringen, wobei m die Länge des Schieberegisers is. Die Coderae is beim Falungscoder wie beim Blockcoder das Verhälnis einer besimmen Zahl von Eingangssellen zu der Zahl der Ausgangssellen, im Beispiel Bild.2 beräg die Coderae also /2. Falungscodes gesaen eine sehr leisungs fähige Fehler korrekur und werden in vielen nach richen echnischen Sysemen eingesez (of in Verbindung mi Blockcodes). C r k n n m n m n. (.2)

48 DIÜT 48. Blockcodierung.. Das Galois-Feld GF(2) Ein Galois-Feld GF(q) is ein endliches Feld (endliche Menge) von q verschiedenen Elemenen, für die folgende Rechenregeln exisieren: - Addiion und Muliplikaion sind so definier, dass das Ergebnis dieser Operaionen mi zwei Elemenen aus GF(q) wieder ein Elemen aus GF(q) is. - Die Elemene und sind im Feld enhalen und bilden die neuralen Elemene der Addiion bzw. Muliplikaion. - Für jedes Elemen aus GF(q) exisier ein addiiv inverses Elemen (-), das zu addier ergib. Ebenso exisier für jedes Elemen ein muliplikaiv inverses Elemen -, das mi muliplizier ergib. Auf diese Weise werden Subrakion und Division erklär. - Es gil das Kommuaiv-, das Assoziaiv- und das Disribuivgesez. Galois-Felder lassen sich aufbauen, wenn q eine Primzahl oder eine ganzzahlige Poenz einer Primzahl is. Besondere Bedeuung für die Fehlerkorrekur haben Galois-Felder, bei denen q eine Poenz der Primzahl 2 is. In diesem Kapiel berachen wir zunächs den Fall q=2, bei dem das Feld nur zwei Elemene enhäl. GF(2) {,} (.4) Die Addiion in GF(2) is mi folgender Tabelle erklär: (.5) Es handel sich um eine modulo-2 Addiion, die mi dem Zeichen gekennzeichne wird, sie ensprich der logischen Verknüpfung Exclusiv-Oder (EXOR). Die addiiv inversen Elemene zu bzw. sind die Elemene selbs. Die Muliplikaion in GF(2) is mi folgender Tabelle erklär: û (.6) Die Muliplikaion wird mi dem Zeichen û gekennzeichne, sie ensprich der logischen Verknüpfung Und (AND). Das muliplikaiv inverse Elemene is das Elemen selbs. Wie beim Rechnen mi reellen Zahlen gelen folgende Geseze:,, GF(2) ; ûû () () ; (û)ûû(û) û() (û)(û) (.7) Über einem Galois-Feld kann ein Vekorraum definier werden. Ein Vekor x über GF(2) beseh aus n Elemenen, die aus GF(2) sind, also nur oder sein können. x (x, x, x 2...x n ) ; x i {,} Is ein zweier Vekor y (y, y, y 2...y n ) ; y i {,} (.8) (.9) gegeben, so is die Vekoraddiion wie folg definier: x y (x y, x y,...x n y n ) (.) Daraus folg mi (.5), dass die Addiion zweier gleicher Vekoren immer zum Nullvekor führ. x x ; (,,,...) (.) Die Muliplikaion eines Elemens aus GF(2) mi einem Vekor aus GF(2) is wie folg definier: x (ûx, ûx,...ûx n ) (.2) Daraus folg mi (.6) für die Muliplikaion eines Vekors mi den Elemenen bzw. : x ; x x (.3) Allgemein kann gesag werden, dass im Vekorraum über GF(2) alle bekannen Rechenregeln der Marizenrechnung des rellen Zahlenraums angewand werden können, wenn dabei die Operaionen mi Elemenen der Marizen nach den in (.5) und (.6) angegebenen Regeln ausgeführ werden. So gil für das Skalarproduk zweier Vekoren: x y x ûy x ûy...x n ûy n (.4) Das Ergebnis is ein Elemen aus GF(2), kann also nur oder sein! Auch für Vekoroperaionen gil das Kommuaiv-, Assoziaiv- und Disribuivgesez.

49 DIÜT 49 Wir wenden uns nun wieder der Blockcodierung zu und reffen einige Definiionen. In Bild.3 is die Blockcodierung als Überragung von Vekoren, die über GF(2) definier sind, dargesell. Fehlervekor a b x Quelle Redundanz f Kanal Bild.3: Vekoren bei der Blockcodierung. y Senke Wir bezeichnen den von der Quelle sammenden Informaionsvekor mi a, er ha k Sellen. a (a, a, a 2,...a k ) (.5) b is der bei der Blockcodierung angehänge Prüfvekor, er ha m Sellen. b (b, b, b 2,...b m ) (.6) Der dadurch ensandene Codevekor wird mi x bezeichne, er besiz k+m = n Sellen. x (a, a, a 2,...a k, b, b, b 2,...b m ) x (x, x, x 2,...x n ) (.7) Die Sörung des Vekors x im Kanal wird durch Addiion eines Fehlervekors f beschrieben, er besiz ebenfalls n Sellen. f (f, f, f 2,...f n ) (.8) Die Senke empfäng die Summe der beiden Vekoren x und f: y x f (.9) Wie bereis erwähn, is im folgenden mi der kurzen Bezeichnung Code die Menge der güligen Vekoren x gemein. Ein Code heiß linear, wenn die Addiion zweier güliger Codevekoren (Codewörer) wieder ein güliges Codewor ergib. Wegen (.) muss ein linearer Code immer den Nullvekor enhalen. Uner dem Hamming-Gewich oder auch Gewich W(x) eines Codewors verseh man die Summe der - Elemene des Codewors: n W(x) x i i (.2) Die Summe in (.2) is keine modulo-2 Summe, W(x) is also eine ganze Zahl n. Uner dem Mindesgewich w(x) verseh man das minimale Ge wich aller güligen Codewörer mi Ausnahme des Nullvekors. w(x) min x j O W(x j ) (.2) Uner der Disanz D zweier Codewörer x j, x p ver seh man die Anzahl der Sellen, die sich uner scheiden. n D(x j, x p ) W(x j x p ) x ji x pi i (.22) Uner der Mindesdisanz d(x) eines Codes verseh man die minimale Disanz aller güligen verschiedenen Codewörer. d(x) min x j x p D(x j, x p ) Es gil: d(x) w(x) Die Mindesdisanz eines Codes is gleich seinem Mindesgewich. (.23) (.24) Diese Eigenschaf is für die Codekonsrukion wichig, da die Konsrukion eines Codes mi definierem Mindesgewich einfacher sein kann als die mi einer definieren Mindesdisanz. Beweis: d(x) min x j x p D(x j, x p ) min x j x p W(x j x p ) min W(x r ) w(x) x r O q.e.d. Diese Definiionen reichen aus, um die grundsäzlichen Prinzipien der Codekorrekur bei einem linearen, sysema ischen Code zu erklären. Dies soll zunächs ohne Theorie an einem konkreen Beispiel geschehen.

50 DIÜT 5..2 Beispiel eines linearen Blockcodes Gegeben sei der folgende (7,3)-Blockcode: Informaion a (a,a,a 2 ) Prüfsellen b (b,b,b 2,b 3 ) Nummer x (x,x,x 2,x 3,x 4,x 5,x 6 ) W(x j ) Von den 28 möglichen Codewörern sind nur 8 gülig, sie bilden den Code. Der Code ha das Mindesgewich und dami die Mindesdisanz 3. Er is linear, z. B. ergib die Summe der Vekoren mi den Nummern 5 und 6 den Vekor mi der Nummer 3. x 5 () x 6 () x 3 () Die Prüfsellen wurden nach folgenden Gleichungen errechne: b a b a b 2 a 2 b 3 a a a 2 Da die modulo-2 Addiion zweier gleicher Elemene aus GF(2) immer ergib, können die vier Gleichungen um geschrieben werden. a b a b a 2 b 2 a a a 2 b 3 Dieses Gleichungssysem kann so ergänz werden, dass es als Marixgleichung geschrieben werden kann. ûa ûa ûa 2 ûb ûb ûb 2 ûb 3 ûa ûa ûa 2 ûb ûb ûb 2 ûb 3 ûa ûa ûa 2 ûb ûb ûb 2 ûb 3 ûa ûa ûa 2 ûb ûb ûb 2 ûb 3 H x T T a a a 2 b b b 2 b 3 Das T im Exponenen bezeichne einen ransponieren Vekor (Marix, Verauschung von Spalen und Zeilen). Die Gleichung sell eine Prüfbe dingung für fehlerfreie Überragung dar, H heiß Prüfmarix. Die Prüfmarix is eine Marix mi m Zeilen und n Spalen. Da bei der Berechnung der Prüfsellen die einzelnen Sellen nur einmal in der Gleichung aufauchen, muss der reche Teil der Marix H eine mm Einheismarix enhalen. Die Prüfbedingung wird nun in der Senke auf den Vekor y angewand. H y T H (x f) T H x T T T H f s T Das Ergebnis dieser Berechnung häng nur vom Fehlervekor ab und is ein Vekor mi m Elemenen, den man als Syndrom bezeichne. Die Muliplikaion der Prüfmarix mi dem em pfangenen Vekor liefer das gleiche Ergebnis, als häe man die Prüfmarix nur mi dem Fehlervekor muliplizier. Das Syndrom is, wenn der Fehler vekor is. Tri nur ein einziger Fehler an der i-en Selle auf, liefer das Syndrom die i-e Spale der Prüfmarix. Beispiel: Es sei ein Fehler an der zweien Selle aufgereen. H f T s T Da die Spalen der Prüfmarix alle verschieden sind, kann ein einziger Fehler an beliebiger Selle lokalisier und dami korrigier werden. Der Code versag jedoch bereis bei zwei Fehlern in einem Wor. Zwei Fehler liefern die Summe der

51 DIÜT 5 ensprechenden Spalen der Prüfmarix. Da z.b. die Summe der beiden lezen Spalen die drie Spale ergib, sind zwei gleichzeiig aufreende Einzelfehler in den beiden lezen Sellen nich von einem Fehler an der drien Selle zu unerscheiden. Um 2-Bi-Fehler zumindes eindeuig erkennen zu können, muss sich also die Summe zweier beliebiger Spalen der Prüfmarix von allen anderen Spalen unerscheiden. Der zu überragende Vekor x kann aus dem Vekor a mi Hilfe einer Marix G berechne werden, die man Generaormarix nenn. x a G Bei einem (n,k)-blockcode is G eine kn Marix. In unserem Beispiel gil: x a a a 2 Da die ersen k Sellen des Vekors x den Vekor a enhalen, muss die Generaormarix auf der linken Seie eine kk Einheismarix enhalen...3 Codierung mi Generaor- und Prüfmarix Ausgehend von Bild.3 werden in diesem Kapiel die allgemeinen Prinzipien der Blockcodierung für einen linearen sysemaischen Code mi Hilfe der Generaorund Prüfmarix besprochen. Wir gehen von einem k Informaionsvekor a aus, der keine Redundanz enhäl, bei dem also alle 2 k möglichen Kombinaionen aufreen können. Der n Codevekor (Code) x soll in den ersen k Sellen den Vekor a enhalen. Die den Code erzeugende kn Marix G heiß Generaormarix. x a G (.25) Die k Zeilen der Generaormarix müssen linear unabhängige Vekoren des Codes selbs sein. Die Generaormarix muss auf der linken Seie eine kk Einheismarix E k enhalen. G läss sich also in zwei Teilmarizen zerlegen und an allen anderen Sellen eine enhalen, erzeugen die Summe zweier Zeilen von G. Daher müssen die Zeilen von G linear unabhängig sein. Da a auf der linken Seie von x enhalen sein muss, muss G links eine Marix E k enhalen. Diese Marix sell ihrerseis die lineare Unabhängigkei der Zeilen von G sicher. q.e.d. Der n Empfangsvekor y is nach (.9) die Summe von x und einem n Fehlervekor f. Aufreende Fehler, also f O, sollen dadurch erkann werden, dass eine mn Prüfmarix H mi dem ransponieren Empfangsvekor y muliplizier wird. H y T H (x f) T H x T H f T s T (.27) Der so ensandene m Vekor s T bezeichne man als Syndrom. Dami das Syndrom nur vom Fehlervekor abhängig is, muss H x T T (.28) gelen. Diese Bedingung liefer einen Zusammenhang zwischen Generaormarix und Prüfmarix. Da die Zeilen von G selbs gülige Codevekoren sind, muss, wenn (.28) gelen soll, H G T O ( G H T ) T (.29) gelen. O is dabei eine mk Nullmarix. Man kann zeigen, dass wegen der linearen Unabhängigkei der k Zeilen von G die Gleichung (.28) für jeden güligen Codevekor x gil, wenn (.29) eingehalen wird [2]. Die Bedingung (.29) wird bei gegebenem G erfüll, wenn V H [ V T E m ] H T E m gewähl wird. (.3) G [ E k V ], (.26) Beweis: Es sei wobei V eine km Marix is, die die Prüfsellen erzeug. Beweis: Die Informaionsvekoren, die an einer einzigen Selle eine und an allen anderen Sellen eine aufweisen, erzeugen eine Zeile von G. Daher müssen die Zeilen von G selbs Codevekoren sein. Die Informaionsvekoren, die z. B. an zwei Sellen eine E H G T [ V T k E m ] ( G H T ) T Z V T V ( G H T ) T ( [ E k V ] ) T Z E m

52 DIÜT 52 Für jedes Elemen z ij der Marix Z muss dann gelen: z ij v ij v ij Z is dami eine mk Nullmarix. q.e.d. Dami is eine Vorschrif angegeben, die bei gegebener Generaormarix die Berechnung der Prüfmarix (oder umgekehr) erlaub. æ Beispiel: Der Zusammenhang zwischen Generaorund Prüfmarix sei an dem (7,3)-Blockcode des Kapiels..2 verdeulich. G V H [ V T E 4 ] E 3 G T V T V H T E 4 ø [ E 3 V ] Aufgabe des Codeenwurfs is es nun, bei gegebenem Informaionsvekor a eine Generaormarix G so anzugeben, dass eine besimme Anzahl von Fehlern (bei möglichs geringer Redundanz) korrigierbar is. Der Codeenwurf kann auch zunächs die Prüfmarix zur Korrekur einer besimmen Anzahl von Fehlern angeben und daraus dann mi Hilfe von (.26), (.3) die Generaormarix besimmen. Ohne Beweis seien zunächs die Grenzen der Fehlerkorrekur für lineare Blockcodes angegeben. Bezeichne man mi S : die Anzahl der erkennbaren Fehler ohne Korrekur und mi E : die Anzahl der richig korrigierbaren Fehler, dann gelen folgende Ungleichungen: S d(x) E in d(x) 2 Die Anzahl S der erkennbaren Fehler eines Blockcodes immer kleiner oder gleich als die um vermindere Mindesdisanz. (.3) (.32) Man kann sich die güligen Codevekoren als Punke in der Ebene vorsellen, die von den Punken der ungüligen Codevekoren umgeben sind. Die güligen Codevekoren sind durch die Mindesdisanz gerenn, in Bild.4 is dies in der Ebene für d = 3 und d = 5 dargesell. Jeder gülige Codevekor is von einem Korrekurkreis umgeben, innerhalb dessen Fehler richig korrigier werden können. Wird der Kreis verlassen, können Fehler evenuell noch erkann, aber nich mehr richig korrigier werden. d = 3 d = 5 Codewor gülig ungülig Korrekurkreis Bild.4: Korrekurkreise bei Codes mi d=3 und d=5 Bei der Konsrukion eines Codes gib es u. U. die Möglichkei, S auf Kosen von E zu vergrößern oder umgekehr. Es gil folgende Ungleichung zwischen E, S und d(x): d(x) 2E S (.33)

53 DIÜT 53 Nachdem nun der Zusammenhang zwischen der An zahl der korrigierbaren Fehler und der Mindesdisanz ei nes Codes bekann is, muss noch erklär werden, wel cher Zusammenhang zwischen der Mindesdisanz und der relaiven Redundanz beseh, d. h. wie viele Sel len m zu einem Informaionsvekor hinzugefüg wer den müssen, um eine besimme Mindesdisanz zu er reichen. Hierzu sind in der Lieraur verschiedene Schranken angegeben worden, von denen nur die Singleon - Schranke erwähn sei. Sie gib eine absolue obere Grenze der minimalen Disanz eines Blockcodes als Funkion der Anzahl der Prüfsellen an, es gil d(x) m. (.34) Die Singleon-Schranke is nur eine Obergrenze, ein Code mi z. B. 8 Prüfsellen kann naürlich auch eine Mindesdisanz von nur haben. Das Gleichheis zeichen in (.34) wird nur von wenigen Codes erreich. Kombinier man (.34) mi (.3) bzw. (.32), gil S m ; E in m 2. (.35) Zum Erkennen von S Fehlern sind mindesens m=s Prüfsellen, zur Korrekur von E Fehlern mindesens m=2e Prüfsellen nowendig. Ohne Beweis sei noch folgende Aussage zur Minimaldisanz d(x) angegeben: Die Minimaldisanz d(x) eines Codes is gleich der minimalen Anzahl linear abhängiger Spalen der Prüfmarix H. æ Beispiel: Die Prüfmarix sei H Dann gil h 5 h 6 h 2 oder h 2 h 5 h 6 T h h 2 h 3 h 4 h 5 h 6. (.36) Dami beräg die minimale Anzahl linear abhängiger Spalen 3. Die minimale Disanz und das minimale Gewich des durch die ensprechende Generaormarix erzeugen Codes beräg dann auch 3. ø...4 Der Hamming - Code Hamming - Codes sind über die Prüfmarix definier. Es sind einfehlerkorrigierende Codes, bei denen die Prüfmarix alle 2 m - möglichen Spalenvekoren mi Aus nah me des Nullvekors enhäl. Da H eine mn Ma rix is, sind mi dieser Definiion die Codeworlänge und die Länge des Informaionsvekors fes ge leg. n 2 m k n m 2 m m (.37) Da die Spalen von H alle möglichen Kombinaionen mi Ausnahme des Nullvekors enhalen, gib es bei jeder Länge des Codes drei Spalen, die die Summe ergeben. Nach (.36) ha dami der Code eine Mindesdisanz von 3 und kann einen Fehler korrigieren, zwei Fehler erkennen, jedoch nur falsch korrigieren. Da die Spalen der Prüfmarix alle verschieden sind und das Syndrom den Spalenvekor an der Selle liefer, an der ein einziger Fehler aufgereen is, kann er korrigier werden. Zwei Fehler liefern als Syndrom die Summe zweier Spalenvekoren, sie is wegen der linearen Abhängigkei dreier Spalenvekoren gleich einem drien Spalenvekor. Zwei Fehler an ver schiedenen Sellen liefern dami das gleiche Syndrom wie ein Fehler an einer anderen Selle. Die folgende Tabelle gib die möglichen Codeworlängen an. m n k Rr 2 3, ,43 4 5, , , , , ,8 23 3, Tab..: Codeworlängen und relaive Redundanz von Hamming - Codes Die Anordnung (Reihenfolge) der 2 m - Spalenvekoren in der Prüfmarix is prinzipiell beliebig. Benuz man die im Kap...3 vorgeselle Sysemaik, dann enhäl die Prüfmarix auf der rechen Seie eine mm Einheismarix. Es verbleiben dann 2 m --m Spalen, die beliebig in der Marix V T ange ordne werden können.

54 DIÜT 54 æ Beispiel: Es soll ein (5,)-Hamming-Blockcode konsruier werden, die Prüfmarix und die Generaormarix sind anzugeben. Es is m=4, die Prüfmarix is eine 45 Marix, die nach der in Kap...3 angegebenen Sysemaik rechs eine 44 Einheismarix enhäl. Die übrigen möglichen Spalenvekoren können beliebig angeordne wer den. Uner der Marix H sind die äquivalenen Hex-Zahlen der Spalenvekoren angegeben, wenn sie als Dualzahlen (MSB oben) inerpreier werden. H [ V T E m ] H A B C D E F Die Generaormarix is nach (.26) eine 5 Marix, die links eine Einheismarix enhäl. G [ E k V ] G ø Die in Kap...3 angegebene Sysemaik is nich zwin gend. Man kann z. B. den Informaionsvekor auch auf der rechen Seie von x anordnen. Die Gene raormarix besiz dann rechs eine Einheismarix E k, während die Einheismarix in H links erschein. Man kann auch die Prüfsellen zwi schen die Sellen des Informaionsvekors einfügen, we der Prüf- noch Genera ormarix enhalen dann eine Einheismarix, weil auch die Spalen mi einer sich dann über die Marix vereilen. Eine solche Vor ge hens wei se gesae es jedoch, bei einem Hammingcode die Spal en der Prüfmarix in der Reihenfolge der Hex-Zah len anzu ordnen, so dass das Syndrom die Fehlerselle in Form einer Dualzahl codier liefer. Die minimale Disanz eines Hamming-Codes kann durch Verlängern der Prüfsellen (z. B. durch Zufügen ei nes Pariäsbis) oder durch Verkürzen des Informaionsvekors bei gleichbleibender Anzahl der Prüfsellen erhöh werden.

55 DIÜT 55.2 Falungscodierung Die Falungscodierung soll nur noch an einem einfachen Beispiel erklär werden, das in vielen Büchern zu finden is ([4], [8], [2]). Bild.5 zeig einen einfachen, mi einem zweisufigen Schiebere gis er aufgebauen Falungscoder. Der Eingang des Coders befinde sich rechs, das erleicher die Überprüfung der nachfolgenden Diagramme. Digialechnik üblich durch das in Bild.6 darge selle Zusandsdiagramm angeben. Voreilhafer kann das Verhalen eines Falungscoders durch das sogenanne Nezdiagramm (Trellisdia gramm) dargesell werden, weil am Nezdiagramm der Vorgang der Dekodierung anschaulicher zu erklären is. Bild.7 zeig das Nezdiagramm des Coders. v + + Ausgang T c b T/2 + w Bild.5: Falungscoder T Informaion a Zusände Ein einreffendes Bi a (Falungscoder sind immer biorien ier) wird um eine Selle im Schieberegiser verscho ben, anschließend werden 2 Bi durch Beäigung des Umschalers ausgelesen. Ein Falungscoder is durch folgende Merkmale gekennzeichne: Coderae : Verhälnis der Eingangsbis zu den Ausgangsbis, C r = k/n, hier C r = /2. Gedächnis : Zahl der Speicherpläze S p, hier S p = Bild.7: Nez- (Trellis-) diagramm Take Beeinflussungslänge : Zahl der Eingangsbis B e, von denen ein Ausgangsbi abhäng, hier B e = 3. Generaorpolynom : G (z) z 2 z. Generaorpolynom 2 : G 2 (z) z 2. cb vw Zusand Bild.6 Zusandsdiagramm des Falungscoders Ausgang vor Verlassen des Zusands Ein Falungscoder kann als Auoma gedeue werden, der 2 S p Zusände, in unserem Fall also 4 Zusände annehmen kann. Das Verhalen läss sich wie in der In einem Nezdiagramm sind an der verikalen Achse die Zusände, an der horizonalen Achse die Anzahl der Take aufgeragen. Beginnend mi dem Zusand () wird mi Pfeilen auf die Zusände hingewiesen, die der Coder nach Einreffen einer (gesrichel) oder (durch gezogen) einnehmen kann. Aus jedem Zusand weisen in unserem Fall zwei Pfeile. Die Ausgangsbis, die der Coder abgib, sind in Bild.7 der Übersichlichkei wegen weggelassen. Nach zwei Taken kann der Coder alle vier möglichen Zusände einnehmen, so dass sich das Trellisdia gramm ab dem drien Tak wiederhol. Bild.8 zeig eine leich modifiziere Version des Trellisdiagramms, an der nachfolgend das Prinzip der Dekodierung eines Falungscodes erklär werden soll. In Bild.8 sind die Zusände nur noch durch Punke gekennzeichne, und an den Pfeilen is nich mehr zu erkennen, ob eine Zusandsänderung durch eine oder eine am Eingang ausgelös wurde. Sadessen sind am Pfeil die Ausgangsbis (vw) des Coders angegeben, die er vor Verlassen des Zusands abgab. Die Falungscodierung fand ers breie Anwendung, nach dem Vierbi 967 den nach ihm benannen Decodierungsalgorihmus vorgesell hae. Der Al gorih mus sei nun an einem konkreen Beispiel erklär. Wir gehen davon aus, dass der Coder zu Beginn der Nachrichenüberragung den Zusand () aufweise und dass die Senke sowohl den Zeipunk des Beginns als auch das Ende der Überragung kenne.

56 DIÜT 56 Zusände 2 3 Bild.8: Modifizieres Trellisdiagramm Take Die Informaion besehe aus sieben Bi, die codiere Nachrich demnach aus 4 Bi. Wir nehmen an, dass durch ein 4 Bi breies Fehlerwor, das zwei Einsen enhale, die Nachrich an zwei Sellen verfälsch werde (modulo-2 Addiion). Bis wird auch als Merik bezeichne. An dieser Selle muss der Decoder nun ersmals eine Enscheidung reffen. Er geh davon aus, dass nur möglichs wenig Bis gesör sind und verwirf den zurückliegenden Pfad mi der höheren Merik als den unwahrschein licheren Weg. Verworfene Pfade sind in Bild.9 mi & gekennzeichne. Is die Merik an zwei Pfaden gleich, kann ein beliebiger gesrichen werden. Das Verfahren wird sinngemäß bis zur lezen empfangenen Nachrich forgesez. Dann wird, beginnend mi der kleinsen Merik, der Weg zurückverfolg, wobei es an Verzweigungspunken infolge der vorher vorge nommenen Sreichung von Pfaden eine eindeuige Richung gib. Dieser Weg, in Bild.9 durchgezogen markier, is der wahrscheinlichse Weg des Coders auf der Sendeseie. An den Pfeilen kann die am wahrscheinlichsen gesendee Bifolge abgelesen und dami auch die am wahrscheinlichsen gesendee Informaion ermiel werden. In unserem Beispiel wurden auf diese Weise die beiden Fehler korrigier. Informaion: Codiere Nachrich: Fehlerwor: Empfangswor: Das Verfahren der Vierbi-Decodierung des Empfangswors wird nun mi Hilfe des modifizieren Trellisdiagramms in Bild.9 erklär. Der Decoder sez vor Beginn der Nachrich den Zusand () des Coders voraus. Nach den ersen beiden empfangenen Bis () kann er deshalb fessellen, dass nur ein Bi richig sein kann, weil der Zusand () nur mi den Ausgangsbis () oder () (recheckig gerahm) verlassen werden kann. Der Decoder kann naürlich nich fessellen, welches Bi falsch is, und noier am Ende eines möglichen Zweigs die Anzahl der falsch empfangenen Bis (oval gerahm). Nach den nächsen beiden empfangenen Bis () sell er durch Vergleich der Ausgangsbis bei allen möglichen Zweigen die Anzahl der falsch empfangenen Bis fes, wenn der Coder den ensprechenden Zweig durchlaufen häe. Am Ende des Zweigs wird nun die Summe der bis dahin falsch empfangen Bis noier. Eine Korrekur von Fehlern is auch an dieser Selle noch nich möglich. Das Verfahren wird sinngemäß nach dem zweien Tak forgesez. Hier ri nun ersmals der Fall auf, dass ein Zusand aus zwei verschiedenen Sarposiionen eingenommen werden kann, dass also zwei Pfeile in einem Zusand enden. An beiden Pfeilen is (oval gerahm) die Summe der bis dahin falsch empfangenen Bis eingeragen, häe der Coder auf der Sendeseie diesen Weg genommen. Die Summe der falsch empfangenen

57 DIÜT 57 Zusände Empfangene Folge 2 & & & 3 & & & & 2 2 & & & 2 5 & 4 3 & 5 2 & & & & & Wahrschein- lichse Folge Take Bild.9: Trellisdiagramm einer Vierbi-Decodierung

58 DIÜT 58.3 Pseudozufallsfolgen und Verwürfelung In der Überragungsechnik benöig man z. B. bei der Messung der Bifehlerrae --Folgen, die den saisischen Eigenschafen eines Nachrichensignals sehr nahe kommen. Dazu gehör die saisische Gleichvereilung der und der, eine Auokorreliere, die möglichs nur bei von verschieden is sowie das daraus resulierende mögliche Aufreen langer - oder -Folgen. Zu diesen Zwecken werden sogenanne Pseudozufallsgeneraoren eingesez, deren Ausgangsfolge zwar periodisch is, die aber aufgrund sehr großer Periode die geforderen Eigenschafen sehr gu annähern. Solche Folgen werden auch beim Codemuliplex (CDMA) eingesez, siehe dazu Kap. 4. Pseudozu fällige Folgen lassen sich mi einem Schieberegiser erzeugen, dessen Eingang die modulo-2 Summe verschiedener Sufen des Schieberegisers selbs is. Bild. zeig eine allgemeine Schalung. Schalung A Schalung B T T T + z + z 3 T + T T 2 3 Z(z) Bild.: Dreisufige Pseudozufallsgeneraoren Bei Schalung B gil: Z(z) T T T T T 2 3 n- n Bild.: Pseudozufallsgeneraor Z(z) Zusände () Ausgangsfolge () () n=3 () Periode 2 n - = 7 () Anzahl aufeinanderfolgender '' : 3 () Anzahl aufeinanderfolgender '' : 2 () () () Die Eigenschafen der Pseudozufallsfolge sind davon abhängig, welche Abgriffe des Schieberegisers über die EXOR-Gaer an den Eingang zurückgeführ werden. Das Schieberegiser kann 2 n Zusände haben, wobei der Zusand vermieden werden muss, weil er sich in dieser Schalung selbs reproduzier. Die Periode von Z(z) muss deshalb Periode [Z(z)] 2 n (.38) beragen. Da sich eine Pseudozufallsfolge mi wachsender Periode den eingangs erwähnen Foderungen näher, versuch man, die maximale Periode 2 n - bei gegebenem n zu erreichen. æ Beispiel: Bild. zeig zwei Schalungen eines dreisufigen Pseudozufallsgeneraors. Bei Schalung A gil: Zusände () Ausgangsfolge () () n=3 () Periode 2 n - = 7 () Anzahl aufeinanderfolgender '' : 3 () Anzahl aufeinanderfolgender '' : 2 () () () Die Schalungen durchlaufen die 7 Zusände zwar in anderer Reihenfolge, die Ausgangsfolgen sind aber ledig lich gegeneinander "phasenverschoben". Als Pseudo zu fallsgeneraor sind die Schalungen daher idenisch. ø In der englischsprachigen Lieraur sind für Pseudo zufalls fol gen (PZ-Folgen) folgende synonyme Ab kür zungen gebräuchlich: PN-Sequence (Pseudo noise) PRN-Sequence (Pseudo random number) m-sequence (maximum period) PRBS (Pseudo random binary sequence) LRS (Linear recursion sequence) Für jede Zahl n kann mindesens eine Möglichkei angegeben werden, maximale Periode zu erreichen. Tab..2 gib die Lage der Abgriffe bei Schieberegiser längen von 2 bis 3 für die Schalung A an. Es kann allerdings bei besimmem Längen mehrere Möglichkeien geben, von denen nur eine angegeben is. Die so generieren Folgen haben maximale Periode und enhalen eine -Folge der Länge n und eine -Folge der Länge n

59 DIÜT 59 n Abgriffe nach n Abgiffe nach n Abgriffe nach 2 2, 2 2,,8, ,2 3 3,2 3 3,2,, ,8 4 4,3 4 4,3,8, ,23,22,7 5 5,3 5 5, ,22 6 6,5 6 6,5,3, ,25,24,2 7 7,6 7 7, ,26,25,22 8 8,6,5,4 8 8, 28 28,25 9 9,5 9 9,8,7, ,27,7 2 2,7 3 3,29,28,7,9 2 2,9 Tab..2 Lage der Abgriffe für max. Periode Mi relaiv kurzen Schieberegisern können roz hoher Takfrequenz große Periodendauern erreich werden T T T T T n- n Scrambler Daen Kanal Descrambler Daen T T T T T n- n Bild.2: Addiiver Scrambler/ Descrambler æ Beispiel: Ein Schieberegiser der Länge 3 werde als PZ-Generaor geschale und mi 8kHz geake. Dann beräg die Periode der PZ-Folge + Daen (2 3 ) 8 s 37,28 h T T T 2 3 T T n- n Bereis mi einer Schieberegiserlänge von 5 wird bei dieser Takfrequenz eine Periodendauer von über 4 Jahren erreich. ø Kanal + Daen + + Scrambler Descrambler + Die saisischen Kenngrößen der Daen sind bei einer Nachrichenüberragung häufig nich bekann. So können nich gleichvereile Aufriswahrscheinlichkeien der Elemene oder oder periodische Aneile dazu führen, dass der zur Verfügung sehende Spekralbereich ungleichmäßig ausgenuz wird. Lange -Folgen oder -Folgen können zudem die Takrückgewinnung erschweren. Um dies zu verhindern, werden die Daen sendeseiig mi einer PZ-Folge verwürfel und empfangsseiig wieder enwürfel. Auch in der deuschen Lieraur wird dafür häufig der englische Begriff Scrambler/ Descrambler benuz. Werden die Daen zur PZ-Folge modulo-2 addier, sprich man von einem addiiven Scrambler (Bild.2). Addiive Scrambler erfordern die Synchronisaion des PZ-Generaors im Empfänger und werden daher selener angewand. Von einem muliplikaiven Scrambler sprich man, wenn der Eingang des PZ-Generaors mi den Daen verknüpf wird (Bild.3). Man sprich in diesem Fall auch von selbssynchronisierenden Scramblern, weil der Descrambler sich späesens nach n Taken (Länge des Schieberegisers) selbs synchronisier. Dies is der Grund für die häufigere Anwendung dieses Scrambleryps. T T T T T 2 3 n- n Bild.3: Muliplikaiver Scrambler/ Descrambler

60 DIÜT 6 2 Leiungscodierung 2. Leiungscodes und ihre Spekren Wir berachen einen Laufindex n längs einer Zeiachse, eine binäre INFO I n und eine Zahlenfolge a n, die nur die Were + und annehmen kann, wenn die INFO oder is, z. B. : n In an Es sei nun f() a n q( nt q ) n T q 2 q() für T q 2 mi (2.) (2.2) eine unendlich lange Folge gleicher zeibegrenzer Funkionen q() mi den Wichungsfakoren. a n f() is ein analoges (!) Signal zur Überragung einer digialen (dualen) Zahlenfolge im Basisband. Die logischen Zusände "" und "" sind den Ampliudenfakoren "" und "+" zugeordne, die Funkion q() kann im einfachsen Fall eine rec- Funkion sein. Bild 2. zeig für diesen Fall den Verlauf von f() bei den in der Tabelle oben angegebenen Ampliudenfakoren. Dieser "Leiungscode" räg die Bezeichnung "BNRZ" (Bipolar No Reurn o Zero). -Tq/2 f() Tq/2 Bild 2.: Leiungscode "Bipolar NRZ" + - Während q() ein Energiesignal is, handel es sich bei f() um ein Leisungssignal, dessen Fourierransformiere nich exisier. Das Spekrum is durch die Leisungsspekraldiche charakerisier, wobei nach dem Theorem von Wiener & Kinchine zunächs die AKF und dann deren Fourierransformiere berechne werden muss. Die Berechnung der AKF von 2.) liefer (s. Anhang): r ff () T q Dabei is R aa (k) r qq (kt q ) k N R aa (k) lim a N 2N n a nk n N (2.3) (2.4) die Auokorreliere der Zahlen folge a n. Wie bei Funk- ionen wird die Zahlenfolge gegenüber ihrem Original verschoben, wobei die Summe des Produks der beiden Folgen ermiel wird. Die Beschränkung auf endliche Indizes wird in einem Grenzübergang aufgehoben. Es sei nun R aa (k) für k sons (2.5) Dies gil, wenn die aufeinander folgenden Elemene der Zahlenfolge saisisch völlig unabhängig und dami auch unkorrelier sind. Bei einer Verschiebung um nur eine Zahl ha die verschobene zahlenfolge keine Ähnlichkei mehr mi der nich verschobenen Folge. (2.3) liefer dann das einfache Ergebnis r ff () T q r qq () Mi (8.53) und (8.62) erhäl man:. (2.6) T q nenn man die Schridauer des Leiungscodes, in unserem Beispiel is die Schridauer gleich der Bidauer T B. Innerhalb der Schridauer änder der Leiungscode seinen Pegel nich. S f () T q Q(j) 2 Gil q() rec(t q ), ergib sich mi Tab.5.: (2.7) Leiungscodierung is die Zuordnung einer dualen Informaion zu einer Zahlenfolge und einer Funkion q(). Ein Leiungscode bilde die logische Informaion auf die physikalische Ebene ab. S f () T q si 2 ( T q 2 ) (2.8) Bild 2.2 zeig die LSD für T q =. Allgemein liegen die Nullsellen der Funkion bei ganzzahligen Vielfachen von 2T q.

61 DIÜT 6 S f Bild 2.2: LSD des Leiungscodes BNRZ Engegen der Erwarung besiz die Leisungsspekraldiche des Leiugscodes BNRZ bei keine Nullselle, sondern ihr Maximum. Man kann das dami erklären, dass bei saisischer Unabhängigkei von Nullen und Einsen in der logischen Informaion auch sehr lange Null- oder Einsfolgen nich mi der Wahrscheinlichkei Null aufreen. Bei der Berechnung der Leisungsspekraldiche is nich die Fourierransformaion, sondern die Berechnung der AKF der schwierigere Teil der Rechnung, weil gerade durch die Leiungscodierung häufig kompliziere saisische Abhängigkeien der Zahlenfolge a n eingebrach werden, die in der INFO nich vorhanden waren. Neben dem koninuierlichen Aneil der LSD, der hier für den einfachen Fall des Leiungscodes BNRZ abgeleie wurde, exisier im Falle von R aa () ein diskreer Aneil, der hier nich näher berache werden soll (siehe [], [23]). Von einem Leiungscode werden, wenn er in größeren Kommunikaionssysemen eingesez werden soll, meis folgende Eigenschafen geforder: - Der Code muß "coderansparen" sein, d. h. bei der Überragung von langen Null- oder Einsfolgen darf eine Informaion über T q für den Takgeneraor auf der Empfangsseie nich verloren gehen. Der Tak wird in der Regel nich miüberragen und muss aus dem Code zurückgewonnen werden. - Die Leisungsspekraldiche des Codes solle eine Nullselle bei der Frequenz Null aufweisen, dami der Code auf Srecken, die Kondensaoren oder Überrager enhalen, eingesez werden kann. - Die Leisungsspekraldiche solle einen möglichs großen Aneil ihrer Fäche bei kleinen Frequenzen aufweisen, dami die unumgängliche Bandbegrenzung des Codes nur einen kleinen Einfluss ausüb. Die folgende Tabelle 2. enhäl einige einfache Leiungscodes mi Beispielcodierung und Codierungsvorschrif, die LSD dieser Codes is in Bild 2.3 dargesell. Die dargesellen LSD's gelen uner den beiden Bedingungen, dass die digiale duale Informaion saisisch unabhängig und q() eine rec-funkion is. In allen Diagrammen gil y 2 S f (f T q ) T q P ; f 2, (2.9) wobei P die in der Tabelle angegebene milere Leisung des ensprechenden Leiungscodes is. Der einfachse Code BNRZ wird in der Praxis kaum eingesez, weil er zwei schwerwiegende Nacheile besiz: - Die LSD besiz bei der Frequenz ihr Maximum. Die Überragungssrecke darf daher keine Überrager oder Kondensaoren enhalen, sons sind Daenverluse unvermeidlich. - Der Code is nich "coderansparen", d. h. bei langen ''- oder ''-Folgen der Informaion fehl für den Takregenerierer auf der Empfangsseie jegliche In forma i on für die Rückgewinnung des Taks. BNRZ wird beim Rechner z. B. auf der RS232- Schniselle mi einem Pegel von 9V bis 2V eingesez Einen opimalen Leiungscode gib es nich, es häng vom Anwendungsfall ab, welcher Code günsiger is. Alle eingesezen Codes versuchen jedoch, die o.g. Nacheile zu beseiigen oder zu minimieren. Der zweie Nacheil kann allerdings bei jedem Leiungscode durch den Einsaz eines Scramblers beseiig werden. Sellverreend für eine Vielzahl von Leiungscodes seien an dieser Selle noch zwei vielgenuze Codes erwähn, die sehr viel aufwendiger sind als die in Tab. 2. genannen. Der HDB3-Code (High Densiy Bipolar 3rd Order) is wie der AMI-Code ein pseudoernärer Code, der die duale Informaion in eine Leiungsinformaion mi drei Zusänden +A, -A und umwandel. Wie bei AMI wird die duale Informaion '' alernierend mi +A bzw. -A codier, jedoch nur solange, wie die aufeinanderfolgende Anzahl von ''- Informaionen kleiner oder gleich drei bleib. Ein Block von vier Nullen wird durch den Block V oder V ersez. V sell dabei eine '' mi Verlezung (Violaion) der alernierenden Codierungsregel dar. Der Block V wird benuz, wenn die Anzahl der ''- Informaionen bis zur vorhergehenden Verlezung gerade oder war, andernfalls wird der Block V genuz. Bild 2.4 zeig zwei Beispiele mi den Codierungsregeln, in Bild 2.3 is die LSD uner den o. g. Voraussezungen dargesell.

62 DIÜT 62 Name Beispiel Codierungsvorschrif P BNRZ (Bipolar-No_ Reurn To Zero) +A -A '' wird durch A dargesell '' wird durch -A dargesell A 2 URZ (Unipolar- Reurn To Zero) +A '' wird durch A mi halber Schridauer dargesell '' wird nich dargesell A 2 4 Bi--L (Bi-Phase-Level oder Spli-Phase oder Mancheser Code) +A -A '' wird durch einen Impuls -A,A mi halber Schridauer dargesell, bei '' wird die Polariä verausch A 2 AMI (Alernae Mark Inversion) +A -A '' wird durch +A oder -A (alerniernd) dargesell, '' wird durch dargesell A 2 2 DM (Delay-Modulaion oder Miller-Code) +A -A '' wird durch einen Übergang in der Mie des Codeschris dargesell, '' wird nich dargesell, es sei denn, es folg eine weiere ''. Dann erfolg ein Übergang am Ende der vorhergehenden '' A 2 CMI (Coded Mark Inversion) +A -A '' wird durch +A oder -A (alernierend) dargesell '' wird durch einen Übergang von -A nach +A in der Mie des Codeschris dargesell A 2 Tab. 2.: Einfache Leiungscodes

63 DIÜT 63 2 HDB3 wird bei PCM und ISDN in den oberen Muliplexebenen eingesez. y.5.5 URZ BNRZ 2 3 f Tq Polariä bei der lezen '' Polariä bei der lezen Verlezung Anzahl von '' nach der lezen Verlezung Subsiuion durch Block gerade ungerade ungerade gerade y AMI Bi- -L f Tq leze V + V VV leze V - V VV +A -A +A -A y y DM CMI HDB3 MMS43 f Tq 2 3 f Tq Bild 2.3: Leisungsspekraldichen von Leiungscodes Bild 2.4: HDB3 - Leiungscode Ein weierer aufwendiger Code is der Code MMS43- (Modified Monioring Sum). Der MMS43- is ein pseudoernärer 4B3T- Viermoden-Blockcode, bei dem jeweils vier binäre Codeelemene in drei ernäre umcodier und dann überragen werden. -,, + sind die Kennzusände eines ernären Codeelemens, denen man die Werigkeien -,, + zuordnen kann. Die Summe der Werigkeien der drei ernären Kennzusände eines Blocks wird als Dispariä D bezeichne. Sie kann die Were -3, -2, -,,, 2 und 3 annehmen. Die Summe der Dispariäen aller Blöcke bis zum n-en überragenen Block wird mi Gesamdispariä ( RDS, Running Digial Sum) bezeichne. Die Codierungsvorschrif für den MMS43- - Code is in Tabelle 2.2 angegeben. In welchen ernären Block der vier möglichen Tabellen ein binärer Block umcodier wird, häng von der Gesamdispariä RDS nach dem vorangegangenen Block ab. Die Codierungsabelle is so aufgebau, dass für RDS nur die Were -2, -, und + aufreen können. Die LSD des MMS43- - Codes is ebenfalls in Bild 2.3 graphisch dargesell. Da der Code die Schri geschwin dig kei (und dami auch die nowendige Bandbrei e des Kanals) auf 3/4 der binären Schri ge schwindig kei reduzier, is zu beachen, dass die normiere Dar sel lung auf der x-achse sich immer auf die Dauer T q eines Codeelemens des Leiungscodes bezieh.

64 DIÜT 64 Vergleich man die LSD für die Codes HDB3 und MMS43- bei gleicher Schrigeschwindigkei der dualen Informaion, müsse die LSD für den Code MMS43 um 25% gesauch werden, da HDB3 die Schrigeschwindigkei nich reduzier. 4B 3T wenn RDS=-2 RDS=- RDS= RDS= Tabelle 2.2: Leiungscode MMS43- Der Code MMS43- wird bei ISDN auf der U-Schniselle eingesez. Zur Beureilung, mi welcher Fehlerwahrscheinlichkei bei zusäzlichem Rauschen des Überragungskanals diese Enscheidung geroffen werden kann, dien das sogenanne Augendiagramm. Ein Augendiagramm enseh, wenn Teile des sochasischen empfangenen Signals für eine Dauer T q (Schridauer des Leiungscodes) auf dem Oszilloskop immer wieder übereinander geschrieben werden, wobei das Oszilloskop exern durch den Tak im Absand T q gerigger wird. Bild 2.5 zeig das Augendiagramm des Codes UNRZ, wenn Recheckimpulse zur Überragung verwand werden. Das Augendiagramm ha in diesem Fall Recheckform mi opimaler (möglichs breier) Öffnung T q in horizonaler Richung und opimaler (möglichs hoher) Öffnung in verikaler Richung. Werden bei der überragenen Funkion f() a n q( nt q ) n gemäß (2.) Impulsformen q() verwand, Sprünge oder Knicke aufweisen,, kann die LSD von f() niemals bandbegrenz sein Wegen der endlichen Bandbreie des Überragungskanals is man jedoch gezwungen, die in Bild 2. für Recheckimpulsform dargeselle LSD in der Bandbreie zu beschränken. Wähl man zunächs Recheckimpulse für q(), dann führ eine Bandbe grenzung von q() und dami von f() zu einem unendlich ausgedehnen Impuls, der durch Beein rächigung der Nachbarimpulse zu sogenanner Iner symbolinerferenz (ISI) führ. Bild 2.6 mach dies deulich. 2.2 Inersymbolinerferenz - Das erse Nyquiskrierium Ausgangspunk dieses Kapiels sei ein unipolarer NRZ- Leiungscode mi der normieren Ampliude ensprechend Bild 2.5. Mi Hilfe des regenerieren Takes muss auf der Empfängerseie enschieden werden, ob zu den Zeipunken n = n T q das empfangene Signal '' oder '' is. TP TP TP Tq Bild 2.6: Augendiagramm bei Bandbegrenzung Tq Das Augendiagramm is dann kein Recheck mehr, sondern ha die Form eines Auges (Name). Für geringse Symbolfehlerwahrscheinlichkei muss das Auge in verikaler und horizonaler Richung möglichs wei Bild 2.5: Augendiagramm bei Recheckimpulsform

65 DIÜT 65 geöffne sein. Je geringer die Öffnung in verikaler Rich ung is, umso geringer kann die Ampliude des auf dem Überragungsweg zusäzlich wirksamen Rauschens sein, das zu einer Über- oder Uner schreiung der Enscheidungsschwelle /2 führ. In horizonaler Richung muss das Auge deswegen möglichs wei geöffne sein, weil der regeneriere Tak immer einer gewissen Schwankung (Jier) unerworfen is, was bei kleinerer Öffnung des Augen diagramms eher zu einer Fehlenscheidung führ. Das. und 2. Nyquiskrierium geben an, welche Bedingungen der Tiefpass zur Bandbegrenzung erfüllen muss, dami die Augenöffnung in verikaler und horizonaler Richung ihr mögliches Maximum er reich. Für die weieren Berachungen is es zur Vereinfachung der Rechnung zunächs sinnvoll, anselle von Recheckimpulsen Delaimpulse als Impulsform q() zu verwenden. Ers am Schluss der Berachung werden die Unerschiede bei der Verwendung von Recheckimpulsen abgeleie. Wenn f() a n ( nt q ) n (2.) am Eingang eines TP's anlieg, dann errechne sich bei einem LTI-Sysem mi (3.5) und (6.5) das Ausgangssignal zu y() a n [( nt q ) g()] a n g( nt q ), n n (2.) wobei g() die Impulsanwor des TP's is. Dami die Öffnung des Augendiagramms in verikaler Richung den Wer erreich, muss offensichlich folgende Forderung an die Impulsanwor gesell werden: g() T q g() für nt q, n (2.2) Die Impulsanwor des TP's muss also bei Vielfachen von T q Nullsellen und bei den Wer /T q auf weisen. Diese Bedingung wird als. Nyquiskrierium im Zeibereich bezeichne. Eine Impulsanwor, die diese Bedingung erfüll, is z. B. die Funkion g() si( q ) mi T q 2 T q 2 q (2.3). (2.4) Es handel sich dabei um einen idealen TP (Kap. 7.2) mi dem Frequenzgang G(j) rec( q ) (2.5) und der Grenzkreisfrequenz q /2. Man kann also die in Bild 2.3 dargesellen LSD's mi einem idealen TP auf f g T q (2.6) 2 f g f q 2 bandbegrenzen, ohne dass die maximale Öffnung des Augendiagramms in verikaler Richung reduzier wird. Man kann sich leich überlegen, dass die Bandbreie f q /2 auch die minimal mögliche Bandbreie zur Überragung eines digialen Signals mi der Schridauer T q is. Wird nämlich die Informaion... überragen, läss sich das Signal in eine Fourierreihe mi der Grundfrequenz f q /2 enwickeln. Häe in diesem Fall der TP eine Grenzfrequenz < f q /2, würde nur noch der Gleichaneil des Leiungscodes UNRZ überragen. Die minimale Bandbreie zur Überragung eines Leiungscodes der Schridauer T q beräg > /(2T q ). Die si-funkion is keine sehr günsige Wahl für die Impulsanwor des TP's, weil sie eine relaiv große Seigung in den Nulldurchgängen aufweis. Geringe Schwankungen des Abaszeipunks können daher leich zu Fehlenscheidungen führen. Das. Nyquiskrierium im Zeibereich läss sich mi Hilfe der idealen Abasung der Impulsanwor in eine Forderung an den Frequenzgangs des TP's übersezen. Wird g() ideal im Absand von T q abgease, gil mi (9.3) und (9.6) für das Spekrum des ideal abgeaseen Signals: G a (j) T q G(jjk q ) k g(nt q ) e jnt q n Sez man (2.2) in (2.7) ein, erhäl man: G(jjk q ) k (2.7) (2.8) Diese Beziehung bezeichne man als. Nyquis krierium im Frequenzbereich. In Woren ausgedrück besag dieses Krierium, dass die Summe der um q verschobenen Frequenzgänge des TP's eins ergeben muss. Mi dieser Beziehung lassen sich beliebig viele Frequenzgänge finden, die das. Nyquis krierium erfüllen, siehe dazu Kap. 2.4.

66 DIÜT Das zweie Nyquiskrierium Das 2. Nyquiskrierium gib die Bedingungen an, die eine maximale Öffnung des Augendiagramms in horizonaler Richung gewährleisen. Aus den in Bild 2.7 dargesellen drei aufeinanderfolgenden Impuls anworen des TP's lassen sich die Bedingungen für das 2. Nyquiskrierium leich ablesen. Alle Impulsan woren müssen die in Bild 2.7 dargesellen schwarzen Punke schneiden. Außerhalb der zugehörigen Schridauer G a (j) 2 T q G(jj2k q ) k g(n T q 2 ) e jn T q 2 n Sez man (2.2) in (2.2) ein, erhäl man: G(jj2k q ) k 2 2 cos( T q 2 ) (2.2) (2.22) Tq Tq Tq T q 2T q Die Summe der um 2 q verschobenen Frequenzgänge des TP's muss also eine verschobene Cosinusfunkion ergeben. Verlang man außerdem, dass die maximale Bandbreie des Kanals q beräg, und dami G(j) für > q verschwinde, gib es nur einen einzigen Frequenzgang, der das. und 2. Nyquiskrierium erfüll: Bild 2.7: Forderungen des 2. Nyquiskrieriums G(j) 2 [ cos( T q )] rec( ) 2 2 q (2.23) muss die Impulsanwor Nullsellen bei den blau eingezeichneen Kreisen aufweisen. Für maximale Augenöffnung in horizonaler Richung muss demnach gelen: g() 2T q für T q 2 g() für T q 2 nt q ; n (2.9) (2.9) bezeichne man als 2. Nyquiskrierium im Zeibereich. Zur Einhalung des. Nyquiskrieriums müssen die Impulsanworen außerdem die in Bild 2.7 eingezeichneen roen Kreise schneiden. Fass man die Forderungen des. und 2. Nyquiskrieriums zusammen, muss gelen: g() T q g( T q 2 ) 2T q g( n T q 2 ) ; n (2.2) Tase man eine Impulsanwor mi diesen Eigenschafen im Absand von T q /2 ideal ab, können die Bedingungen an den Frequenzgang des TP's abgeleie werden, der das. und 2. Nyquiskrierium erfüll. Mi (9.3) und (9.6) gil für das Spekrum der so ideal abgeaseen Impulsanwor g(): 2.4 Das Cosinus-Roll-Off-Filer Nach (2.8) lassen sich TP's mi beliebig vielen Frequenzgängen finden, die das. Nyquiskrierium erfüllen. Bild 2.8 zeig drei mögliche Beispiele. G A(j ) q q q q G B(j ) q q q q G C(j ) q q q q Bild 2.8: Mögliche Frequenzgänge des TP's Allerdings erfüll nur der Frequenzgang G C auch das 2. Nyquiskrierium. Die Frequenzgänge G B und G C haben demgegenüber den Nacheil, dass der Über ragungs kanal die doppele Bandbreie benöig wie bei

67 DIÜT 67 Einsaz des idealen TP's mi dem Frequenzgang G A.In der Praxis wird daher häufig mi dem sogenannen Cosinus-Roll-Off-Filer gearbeie, bei dem Bandbreie auf Kosen einer geringeren Öffnung des Augen dia gramms in horizonaler Richung eingespar werden kann. Der Frequenzgang des Cosinus-Roll-Off-Filers laue: für ( r) q 2 für ( r) G r (j) q 2 2 { cos[ r ( r )]} sons q 2 (2.24) Der Roll-Off-Fakor r kann zwischen r gewähl werden, für r = ergib sich der ideale TP mi der Grenzfrequenz f q /2, für r = ergib sich das Filer, das auch die 2. Nyquisbedingung erfüll: G (j) 2 rec( 2 q ) 2 rec( 2 q ) cos( q ) (2.25) Die Frequenzgänge und die Augendiagramme für das Cosinus-Roll-Off-Filer sind bei verschiedenen Roll- Off-Fakoren in den Bildern 2./ 2. dargesell. Gr r=,9 Tq= r=, r=, q Bild 2.: Frequenzgang des Cosinus-Roll-Off-Filers Mi Tabelle 5. und 5.2 erhäl man nach Rückransformaion: g () 2 si(2 ) si(2 ) si(2 ) 2T q T q T q T q (2.26) In Bild 2.7 is diese Impulsanwor dargesell, man erkenn, dass die Bedingungen gemäß (2.9) erfüll sind. r =,.8.6 g /Tq r =,5 g /T q Bild 2.9: Impulsanwor bei Roll-Off-Fakor (T q =) r =,9 Bild 2. : Augendiagramme bei Cosinus-Roll-Off-Filer

68 DIÜT 68 Recheckimpulse sa Delaimpulse Bei der Herleiung der Frequenzgänge bandbegrenzender Filer, die das. und 2. Nyquiskrierium erfüllen, waren wir bisher davon ausgegangen, dass der Leiungscode vor dem Filer aus -Impulsen zusammengesez is. Abschließend soll nun noch die Frage geklär werden, was an dem Frequenzgang des Filers zu ändern is, wenn der Einzelimpuls q() des Leiungscodes ein Recheckimpuls is. Bild 2.2 sell die beiden Blockschalbilder gegenüber. T q () G(j ) T q g() rec( ) T G (j ) q k y() T q g() Bild 2.2 Bandbegrenzung von - oder rec-impuls Da alle Forderungen der beiden Nyquiskrierien von der Impulsanwor des TP's g() bei -Impulsen am Eingang ausgingen, muss bei rec-impulsen am Eingang geforder werden, dass y() g k () rec( T q ) T q g() (2.27) gil. Mi Tabelle 5. und 5.2 erhäl man nach Fourierransformaion: Man beache, dass das Korrekurfiler nich nur von der Form, sondern auch von der Dauer des Eingangsimpulses q() abhäng. Bei rec-impulsen der halben Schridauer lieg die erse Nullselle des si-korrekurfilers nich bei q, sondern bei 2 q. In der Praxis werden die Frequenzgänge von Impulsformungsfilern durch kausale, digiale Filer endlicher Impulsanwor (FIR-Filer, s. DISI) angenäher. Dabei kann die Dauer des Eingangsrecheckimpulses durch aus nur /2 der Schridauer beragen. Der Uner schied zwischen den Frequenzgängen eines Cosinus-Roll-Off- Filers mi und ohne si-korrekur is dann sehr gering. Aus anderen als den hier genannen Gründen wird zur Bandbegrenzung des Leiungscodes manchmal auch ein Gauß-TP eingesez, der weder das. noch das 2. Nyquiskrierium heoreisch erfüll. siehe dazu auch Kap Der Frequenzgang und die Impulsanwor des Gauß-TP's lauen: 2 G(j) exp,3466 q BT q g() 2 exp T 2 T q q 2 2 ; (2.3) ln2 2 BT q (2.3) Beide Funkionen sind für verschiedene Zei-Bandbreie-Produke B T q in den Bilder 2.4 und 2.5 darge sell, B is die -3dB Bandbreie des Filers. G k (j) T q si( T q 2 ) T q G(j) (2.28) G k (j) si( T G(j) q 2 ) (2.29) Dem Cosinus-Roll-Off-Filer muss also ein si-korrekurfiler vor- oder nachgeschale werden. Bild 2.3 zeig den Frequenzgang des Cosinus-Roll-Off-Filers mi und ohne si-korrekur für r =. Gr r= Tq= o hne si-k o rrekur m i si-k o rrekur q Bild 2.3: Cosinus-Roll-Off-Filer nach si-korrekur G.8 BTq=2.6.4 BTq=,2 BTq= q 4 5 Bild 2.4: AFG des Gauß-TP's g() BTq=,2.5 BTq=2 BTq= /q.5 Bild 2.5: Impulsanwor des Gauß-TP's

69 DIÜT 69 3 Digiale Modulaionsverfahren 3. Allgemeines Sollen mehrere Nachrichen, die den gleichen Spek ralbe reich belegen, über einen einzigen Nachrichenkanal über ra gen werden, is dies analog nur durch Zei- oder Fre quenz muli plex möglich. Beim Frequenzmuliplex müs sen die Spekren der Nachrichen auf der Fre quenzachse versez werden. Das klassische Verfahren dazu is die Modulaion eines sinusförmigen Trägers. Uner Mo du la i on verseh man die Änderung der Parameer ei nes sinus- oder pulsförmigen Trägers in Ab hän gig kei eines Nachrichensignals. Die Rückgewinnung der Nach rich aus dem modulieren Signal bezeichne man als Demodulaion. Bei der Modulaion wird das Spekrum des modulierenden Signals (Nachrich) in der Regel nich nur versez, sondern auch völlig veränder Modulaionsverfahren eil man heue meis in zwei Grup pen ein: Die analogen und die digialen Verfahren. Von analoger Modulaion sprich man, wenn das mo dulier ende (Nachrichen-) Signal zei- und am pli u den koni nu ier lich is. Bei der digialen Modulaion is die Nach rich zei- und ampliudendiskre, der Träger is aber ebenfalls in der Regel zei- und ampliudenkoninuierlich (Si nus). In dieser Vorlesung werden nur die digialen Mo du la ions ver fahren behandel, die Verfahren sind in den Bildern 3. und 3.2 ge gen über gesell. Nachrich is ampliuden- und zeikoninuierlich Nachrich is ampliuden- und zeidiskre Sinusförmiger Träger Sinusförmiger Träger Ampliudenmodulaion (AM) Winkelmodulaion Phasenmodulaion (PM) Frequenzmodulaion (FM) Einseienbandmodulaion (SSB) Resseienbandmodulaion (VSB) Quadraurampliudenmodul. (QAM) Ampliudenumasung (ASK) Phasenumasung (PSK) Frequenzumasung (FSK) M-Quadraurampliudenm. (M-QAM) Codiere orhogonale Frequenzmuliplexmod. (COFDM) Pulsförmiger Träger Pulsförmiger Träger Digiale Basisbandüberragung Pulsampliudenmodulaion (PAM) Pulsphasenmodulaion (PPM) Pulsfrequenzmodulaion (PFM) Pulsweienmodulaion (PWM) Pulscodemodulaion (PCM) Delamodulaion (DM) Sigma-Dela-Modulaion (SDM) Bild 3.: Analoge Modulaionsverfahren Bild 3.2: Digiale Modulaionsverfahren

70 DIÜT 7 Die digialen Modulaionsverfahren kann man in zwei Gruppen aufeilen: Die Basisbandmodulaions- und die Bandpassmodulaionsverfahren. Bei den Verfahren der Basisbandmodulaion wird das Spekrum im Basisband belassen, es ersreck sich also von (oder nahe ) bis zu einer oberen Frequenzgrenze. Jede Zuordnung einer binären ''-''-Informaion zu einem Leiungscode is also im Prinzip ein Basisbandmodulaionsverfahren. Bei den Bandpassmodulaionsverfahren werden die Kenngrößen eines sinus- oder cosinusförmigen "Trägers" in Abhängigkei der digialen Informaion geänder. Dadurch wird das im Basisband liegende Spekrum z. B. eines NRZ-Codes in die Umgebung der Trägerfrequenz versez, wobei das Spekrum je nach Modulaionsar auch geänder wird. Bei dem modulieren Signal handel es sich um ein Bandpass signal, das einen Spekralbereich von einer uneren Grenze größer Null bis zu einer oberen Grenze beleg. Bei der digialen Modulaion is die Nachrich zei- und ampliudendiskre, der Träger jedoch zei- und ampliuden koninuierlich. Bei einem sinusförmigen Träger können die Phase oder die Ampliude alleine oder gleichzeiig geänder werden, wobei eine Phasenänderung immer auch eine Frequenzänderung zur Folge ha (s. Kap 3..). Da die Nachrich diskre is, sprich man hier von Zusänden des Trägers. Der Träger kann z. B. 2 oder auch 4 "Phasenzusände" haben. Man sprich dann von 2-facher (binärer) oder 4-facher (quaernärer, Quadraur-) Phasenumasung. In der deuschen Lieraur haben sich die englischen Abküzungen der grundlegenden digialen Modulaionsverfahren durchgesez. m-ask (m-ampliude Shif Keying) seh für m-fache Ampliudenumasung, m- PSK (m-phase Shif Keying) für m-fache Phasenumasung und m-fsk (m-frequency Shif Keying) für m-fache Frequenzumasung. Allgemein formulier is die digiale Modulaion die Zuordnung von Blöcken von k Bis zu m=2 k verschiedenen Zusänden eines analogen Signals, Bild 3.3 verdeulich dies. Zusände Phasen- (Frequenz-) oder Ampliudenzusände oder beides sein. 3.. Phase und Frequenz Sind die Absände der Nullsellen einer sinusförmigen, von der Zei abhängigen Funkion s() sin() (3.) konsan, bezeichne man als Periodendauer T den Absand zwischen zwei Nulldurchgängen gleicher Seigung. Das Argumen () durchläuf in einer Periode einen Werebereich von 2. Bei konsaner Periodendauer muss () linear von der Zei abhängen, es gil mi Bild 3.4 T s( ) s() ) T = /f T Seigung DIBITS 2 3 Modulaor mi 4 verschiedenen Ausgangssignalen T + s (), s (), s (), s () 2 3 Bild 3.3: 4-fach Modulaion mi k=2, m=4 Bild 3.4: Zeiunabhängige Frequenz () 2 T (3.2) Die Blöcke bezeichne man auch als Dibis (Tribis, Quadrubis usw.). Handel es sich bei dem Träger um ein hochfrequenes, sinusförmiges Signal, können die s() sin2. (3.3) T

71 DIÜT 7 Den Quoienen 2/T bezeichne man als Kreisfrequenz, den Kehrwer von T als Frequenz f der Funkion s(), lezere gib die Anzahl der Perioden pro Zeieinhei [s] an. Nach Bild 3.4 kann die Kreisfrequenz in diesem Fall bei beliebigem und beliebigem durch den Differenzen quoienen ( ) lim ( ) ( ). (3.6) Die (zeiabhängige!) Kreisfrequenz zu jedem beliebigen Zeipunk is dami durch das Differenial des Argumens des Sinus gegeben: ( ) ( ) (3.4) () d() d (3.7) angegeben werden. Bei der Phasen- und Frequenzmodulaion sind die Absände zwischen den Nullsellen einer sinusförmigen Funkion nich konsan, sondern von der Zei abhängig. Dies mach eine klare Definiion der zu einem beliebigen Zeipunk vorliegenden Momenan frequenz erforderlich. s() 3.2 Basisbandmodulaion 3.2. Die Pulscodemodulaion (PCM) Uner Pulscodemodulaion verseh man die serielle Überragung der von einem Analog-Digial-Wandler gelieferen parallelen (zei-und ampliudendiskreen) Wore miels eines Leiungscodes. Die gesame Theorie der PCM wurde dami bereis in den Kapieln 9.., 9.2 und 2 behandel. Zur Mehrfachausnuzung eines Kanals wird bei PCM nur das Zeimuliplex verfahren angwand (PCM3/32), siehe dazu die Kapiel 4 /5. ) Die Sigma- Dela-Modulaion wird hier nich mehr behandel, da sie in der Überragungsechnik keine Rolle mehr spiel. Sie ha allerdings große Bedeuung bei der Konzepion von AD- und DA- Wandlern (-Bi- Wandler) Bild 3.5: Zeiabhängige Frequenz + Seigung M Is gemäß Bild 3.5 () nichlinear von der Zei abhängig und is die Frequenzänderung gering im Inervall, so gib der Differenzenquoien M ( ) ( ) (3.5) die mi 2 mulipliziere Anzahl der Perioden im Zeiabschni bezogen auf an, M kann als milere Kreisfrequenz im Inervall inerpreier werden. Zur exaken Momenankreisfrequenz zum Zei punk komm man durch den Grenzübergang (Differenialquoien): 3.3 Bandpassmodulaion 3.3. m-fache Ampliudenumasung (m-ask) Wir nehmen im folgenden einen cosinusförmigen Träger an, f() sei der die Nachrich repräsenierende Leiungscode, s() das moduliere Signal. Bei 2-ASK (auch BASK für Bi-ASK genann) wird ein unipolarer NRZ-Leiungscode (UNRZ) mi dem cosinusförmigen Träger muliplizier, Bild 3.6 zeig den Modulaor. UNRZ f() Bild 3.6: Modulaor für 2-ASK cos T s() In Bild 3.7 is das Ergebnis der Modulaion dargesell. Da der Träger bei Überragung einer '' eingeschale, bei Überragung einer '' jedoch ausge schale is,sprich man auch von "On-Off-Keying". Die Informa ion is wie bei jeder Ampliudenmodu laion aus schließ lich in der Ampliude des modulieren Signals enhalen.

72 DIÜT 72 UNRZ - 2 /Tq Ss/Tq db f T = 5/Tq ASK - 2 /Tq T.5 2 Bild 3.7: 2-ASK Zur Berechnung der LSD muss die Fourierransformiere der AKF des modulieren Signals s() ermiel werden. Mi (8.62) erhäl man S s () {r ss ()}. (3.8) Sez man f() und den Träger als saisisch unab hängig voraus, is die AKF von s() gleich dem Produk der AKF's der beiden Funkionen. r ss () r ff () 2 cos( T) (3.9) Nach Fourierransformaion erhäl man mi Tab. 5. und 5.2: S s () S f () 2 {cos( T) 2 (3.) S s () S f () 4 [( T) ( T )] (3.) S s () 4 [ S f ( T) S f ( T )] (3.2) Bild 3.8: Leisungsspekraldiche bei 2-ASK U-2B4Q 4-ASK - 2 /Tq /Tq Bild 3.9: 4-ASK Reine ASK spiel in der Überragungsechnik keine große Rolle. Bild 3.9 zeig als Beispiel einer höhersufigen ASK den Verlauf von s() bei 4-ASK. Die Symbolrae und die Bandbreie werden dadurch halbier, allerdings seig bei höhersufiger Modulaion auch die Bifehlerrae bei gleichem Signal- zu Rauschabsand. Bild 3. mach das deulich, es is das Augendiagramm bei 4-ASK und Roll-Off-Fakor,5 dargesell. Die LSD des Leiungscodes wird also durch die Modulaion vom Basisband an die Selle der Trägerfrequenz verschoben. Die zur Überragung nowendige Bandbreie beräg also das Doppele der Bandbreie des Leiungscodes. Da der Leiungscode UNRZ aus dem Code BNRZ durch verikales Verschieben um A und halbieren hervorgeh, besiz die LSD den gleichen Verlauf mi /4 der Ampliude (si 2 -Funkion). Allerdings ri zusäz lich bei der Frequenz eine Spekrallinie mi der Ampliude A/4 (linearer Mielwer) auf. Bild 3.8 zeig die LSD bei recheckförmigem Leiungscode. Die Bandbegrenzung wird in der Regel im Basisband vorgenommen, d. h. es wird z. B. ein Cosinus-Roll-Off- Filer dem Muliplizierer vorgeschale Bild 3.: Augendiagramm bei 4-ASK, r =,5

73 DIÜT 73 Mi Synchrondemodulaion bezeichne man eine De modu laion sar, bei der der Träger empfängerseiig phasensarr zur Verfügung sehen muss. Synchron demo dulaion is bei ASK nich unbeding nowendig, da die Informaion nur in der Ampliude seck und durch Komparaoren zurückgewonnen werden kann m-fache Phasenumasung (m-psk) Bei PSK wird nur die Phase des Trägers geänder, nich jedoch die Ampliude. Allerdings is in der Praxis auch bei jeder PSK die Modulaion mi einer unerwünschen Ampliudenänderung verbunden, da der Leiungscode bandbegrenz werden muss. 2-PSK oder BPSK von Binary - PSK Ein BPSK-Modulaor (Bild 3.) unerscheide sich von einem 2-ASK-Modulaor nur durch den anderen Leiungscode BNRZ. BNRZ f() Bild 3.: Modulaor für BPSK cos T s() Der bipolare Leiungscode inverier das Trägersignal bei der Überragung einer '', das Verfahren kann daher auch als Ampliudenumasverfahren (Inverierung der Ampliude) inerpreier werden. Bild 3.2 zeig den Signalverlauf. BNRZ 2-PSK - 2 /Tq /Tq Bild 3.2: BPSK Da der Modulaor mi dem für 2-ASK idenisch is, gil (3.2) auch bei BPSK zur Berechnung der LSD. Der Verlauf der LSD des Leiungscodes BNRZ is idenisch mi dem für UNRZ (bei doppeler Ampliude), allerdings fehl die diskree Spekrallinie bei. Die relaiven, auf db normieren LSD's von BPSK und 2- ASK sind also idenisch (Bild 3.8) bis auf den Unerschied, dass bei BPSK die Spekrallinie bei der Trägerfrequenz fehl. Da die Informaion in der Phase des modulieren Signals enhalen is, kann sie nur durch Synchrondemodulaion zurückgewonnen werden, dazu muss der Träger phasensarr im Empfänger zur Verfügung sehen. Wegen des fehlenden Trägers im Spekrum is die Rückgewinnung nur mi einem Filer oder einer PLL nich möglich, hier müssen andere Verfahren eingesez werden (s. u.). BPSK wird z.b. zur Überragung der Informaion der GPS-Saellien eingesez. 4-PSK oder QPSK von Quadraur-PSK Soll der Träger mehr als zwei Phasenzusände haben, is das nich mi nur einem Muliplizierer erreichbar. Prinzipiell is das Problem mi einem Phasenmodulaor ensprechend Bild 3.3 lösbar, der die m=2 k Blöcke der digialen Informaion m verschiedenen Phasenlagen zuordne. In der Praxis erweis sich ein Phasenmodulaor jedoch schwieriger zu realisieren als der im folgenden beschriebene I-Q-Modulaor. m() cos T Bild 3.3: Modulaor für m-psk Mi PM cos() cos() cos() sin() sin() gil: cos[ T (m)] cos[(m)] InphaseKomponene i() sin[(m)] QuadraurKomponene q() cos[ + (m)] T sin( T ) (3.3) cos( T ) (3.4) Die Phasenmodulaion is also durch zwei Mulipli zierer mi anschließender Addiion durchzuführen. Im ersen Muliplizierer wird der Träger mi der soge nannen Inphase-Komponene (weil mi dem Träger in Phase) i() muliplizier, im zweien Muliplizierer wird das Produk des um +9 verschobenen Trägers mi der Quadraur-Komponene q() gebilde. Bild 3.4 zeig den so ensandenen I-Q-Modulaor, der Grundlage aller noch zu besprechenden höherwerigen Modulaionsverfahren is. Im Demuliplexer wird der Daensrom in m-bi- Blöcke zerleg, bei QPSK sind das Dibis. Die Zuordnung der Dibis zu den Phasenzusänden und die Berechnung der Signale i() und q() bezeichne man als

74 DIÜT 74 UNRZ f() D E M U X M A P P I N G i() cos( T ) -sin( T) q() 9 s() Die m Zusände des modulieren Signals können in einem karesischen Koordinaensysem mi den Achsen i() und q() als Vekoren dargesell werden (Bild 3.6). Aus dieser Darsellung sind zwei häufig genuze Diagramme zur Darsellung höherweriger Modulaionsverfahren abgeleie. q() q() q() i() i() i() Bild 3.4: I-Q-Modulaor Mapping. Tabelle 3. zeig das Mapping bei Sandard- QPSK, es sind naürlich beliebig viele andere Zuordnungen möglich. Bild 3.5 zeig den Verlauf des modulieren Signals. DIBIT m (m) i(m) q(m) Tabelle 3.: Zuordnung der Modulaionsparameer (Mapping) bei QPSK Bild 3.6: Vekordars., Zusands- und Vekordiagramm Im Zusands- oder Signalraumdiagramm (Consell aion- Diagramm) sind die Endpunke der Vekoren als Punke in der I-Q-Ebene zum Abaszeipunk dargesell. Im Vekordiagramm sind alle möglichen Zusände während einer Überragung bei beliebiger Informaion durch Linien dargesell. Eine Bandbegrenzung wird durch Tiefpässe in den I- und Q-Zweigen vorgenommen. Durch Überschwingen der Signale i() und q() komm es dabei unweigerlich zu einer unerwünschen Ampliudenmodulaion. Bild 3.7 zeig den Ampliuden- und Phasenverlauf beim Einsaz eines Cosinus-Roll-Off-Filers mi r=,5. In Bild 3.8 is das dann sich ergebende Vekor diagramm dargesell, das Zusandsdiagramm zeig dann immer noch 4 Punke in der I-Q-Ebene. i() q() /Tq /Tq /Tq 4 QPSK /Tq 4 Bild 3. 5: QPSK Bild 3.7: Ampliude und Phase bei QPSK mi r=,5 Die Leisungsspekraldiche eines QPSK-Signals is die Summe der LSD's am Ausgang der beiden Muliplizierer, die LSD ha dami die doppele Ampliude der LSD eines BPSK-Signals. Im Vergleich zu BPSK is aller dings zu beachen, dass sich die Schrigeschwindigkei halbier ha, QPSK benöig nur die halbe Bandbreie.

75 DIÜT 75 i() 2 i() 2 i() cos(2 T ) 2 q() sin(2 T ) (3.8) q() 2 q() 2 q() cos(2 T ) 2 i() sin(2 T ) (3.9) Bild 3.8: Vekordiagramm bei QPSK mi r=,5 Demodulaion von PSK-Signalen Uner kohärener oder synchroner Demodulaion verseh man eine Demodulaion uner Zuhilfenahme des phasensarren Trägersignals. PSK kann nur kohären demodulier werden, weil die Informaion in der Absoluphase in Bezug zur Trägerphase enhalen is und die Ampliude keinerlei Informaion enhäl. Bild 3.9 zeig den Demodulaor für QPSK. Es gil mi (3.4): s() i() cos( T ) q() sin( T ) s() cos( T ) 9 ~ i() ~ q() TP TP i()/2 q()/2 Bild 3.9: Synchrondemodulaor für PSK i() i() cos 2 ( T ) q() sin( T ) cos( T ) Wegen D E M A P P I N G (3.5) M U X f() (3.6) Die Aneile bei der doppelen Frequenz werden mi einem TP beseiig. Das Cosinus-Roll-Off-Filer wird dazu häufig auf Sende- und Empfangsseie vereil, so dass ein "Wurzel-aus-Cosinus-Roll-Off-Filer" zum Einsaz komm. Zur Demodulaion muss der Träger mi seiner im Sender vorliegenden Phasenlage (Referenzphase) zurück ge wonnen werden. Dazu sehen zwei Möglichkeien zur Verfügung: Quadrieren des Signals (bei BPSK) und anschließende Frequenzeilung (Bild 3.2) und die Cosas-Schleife, eine spezielle Phasenregelschleife (PLL, Phase Locked Loop). Wir beschränken uns hier auf die Erklärung der Trägerrückgewinnung durch Quadrierung. s() a() Bild 3.2: Trägerrückgewinnung durch Quadrierung Es gil mi (3.7): BP :2 Träger a() cos 2 ( T k) 2 2 cos(2 T k 2) (3.2) a() enhäl also keine Phasenmodulaion mehr. Bei QPSK muss zweimal quadrier und die Frequenz durch vier geeil werden Offse-QPSK und /4-Differenz-QPSK Werden die Signale i() und q() bei QPSK bandbegrenz, weis das moduliere Signal nich nur Ampliudenschwankungen auf, sondern bei 8 -Phasensprüngen auch Einbrüche bis auf Null. Diese Einbrüche erschweren die Rückgewinnung des Trägers im Empfänger. Die in diesem Kapiel besprochenen Modulaionsverfahren sind Abwandlungen von QPSK, bei denen die Ampliude des Trägers nich Null werden kann. cos 2 (x) [ cos(2x)] 2 sin 2 (x) [ cos(2x)] 2 sin(x) cos(x) 2 sin(2x) ergib sich: (3.7) Offse-QPSK (O-QPSK) O-QPSK weis das gleiche Mapping wie QPSK auf, es wird im Modulaor lediglich q() um die halbe Schridauer T q /2 verzöger. Ein Übergang vom Symbol zum Symbol (8 -Phasensprung) vollzieh sich daher in zwei Schrien von 9. Bild 3.2 mach das Verfahren deulich, Bild 3.22 zeig das Zusands- (idenisch mi QPSK) und das Vekordiagramm.

76 DIÜT 76 i() q() q(-tq/2) QPSK O-QPSK Phase bei QPSK 8 -Phasensprünge Phase bei O-QPSK Bild 3.2: O-QPSK /4-Differenz-QPSK (/4-DQPSK) /4-DQPSK (/4-Shifed Differenially Encoded QPSK) is eine differenielle QPSK mi zusäzlicher 45 -Verschiebung, bei der die Überragung der Informaion nich durch Codierung der absoluen Phase, sondern der Differenz der Phasenlage erfolg. Tabelle 3.2 gib die Phasendifferenzen für /4-DQPSK an. Dibi Symbol Phasendifferenz Tabelle 3.2: Phasendifferenzen bei /4-DQPSK Durch die zusäzliche Phasenverschiebung von 45 weis /4-DQPSK ach verschiedene Phsenzusände auf, Bild 3.24 zeig das Zusands- (idenisch mi 8-PSK) und das Vekordiagramm. q() q() q() q() i() i() i() i() Bild 3.22: Zusands- und Vekordiagramm bei O-QPSK Bei Verwendung ensprechender Filer können die Übergänge fas ganz auf dem Einheiskreis erfolgen. Bild 3.23 zeig das Vekordiagramm bei Verwendung eines Gauß-TP's mi BT q =,5. Bild 3.23: Vekordiagr., O-QPSK, Gauß-TP, BT q =,5 Bild 3.24: Zusands- und Vekordiagr. bei /4-DQPSK Wie bei O-QPSK werden 8 -Phasensprünge und dami Einbrüche des modulieren Signals auf Null vermie den, ausserdem kann DQPSK inkohären demodulier werden, da die Informaion in der Phasenänderung seck. Tabelle 3.3 zeig das Mapping von 8-PSK. Ein /4- DQPSK-Modulaor eneh aus einem 8-PSK-Modulaor durch Vorschalen einer einfachen Logik (Bild 3. 25). TRIBIT m (m) i(m) q(m) Tabelle 3.3: Mapping bei 8-PSK

77 DIÜT 77 Tq modulo 8 DIBITS M A P P I N G 8 - P S K i() cos( T ) -sin( T) q() Bild 3.25: /4 - DQPSK-Modulaor 9 s() Zunächs werden die Dibis durch Anhängen einer '' zu einem Tribi mi ungerader Zahl m=,3,5,7 erweier. Zu diesen Tribis werden modulo-8 die um Tq verzögeren Tribis des vorherigen Zusands addier, so dass Phasenänderungen nur in den in Tabelle 3.2 angegebenen Schrien erfolgen können. Bild 3.26 zeig das Vekordiagramm beim Einsaz eines Cosinus-Roll-Off-Filers, man erkenn, dass Ampliudeneinbrüche auf Null vermieden werden. /4- DQPSK wird im europäischen Bündelfunksysem TETRA sowie im japanischen (JDC) und nordamerikanischen (D-AMPS) Mobilfunksysem eingesez.,8 q() i(),8 Bild 3.27: Zusandsdiagramm von 6-QAM QU.-BIT m (m) i(m) q(m) s ,333 +8, , , , Tabelle 3.4: Mapping bei 6-QAM (.Quadran) i() q() /Tq /Tq Bild 3.26: Vekordiagramm bei /4-DQPSK und r=, m-quadraurampliudenmodulaion (m-qam) Bei der m-qam kann der Träger nich nur verschiedene Phasenzusände, sondern gleichzeiig auch verschiedene Ampliudenzusände annehmen. Der Modulaor is mi dem in Bild 3.4 dargesellen Modulaor für PSK idenisch, allerdings können die Signale i() und q() mehr als zwei verschiedene Ampliudenzusände annehmen. Bild 3.27 zeig das Zusandsdiagramm für 6-QAM, Tabelle 3.4 enhäl das Mapping für 6- QAM im.quadranen, die Tabelle is durch Vorzeichenumkehr der Were von i(m) und q(m) gemäss Bild 3.27 in den übrigen drei Quadranen forzusezen s() /Tq Bild 3.28: 6-QAM /Tq Bild 3.28 zeig als Beispiel die Überragung von 4 Symbolen (Quadrubis). Obwohl verschiedene Ampliuden zusände vorkommen, is eine inkohärene Demo dulaion durch Komparaoren nich möglich, da gleiche

78 DIÜT 78 Ampliudenzusände mi verschiedenen Phasenzu sänden kombinier werden. Ein Demodulaor für m-qam ensprich dem in Bild 3.9 dargesellen Synchrondemodulaor für PSK, allerdings müssen hiner den Tief pässen Fenserkomparaoren zur Deekion der Ampliudensufen von i() und q() angeordne werden. Da bei m-qam die Schrigeschwindigkei auf log 2 (m) reduzier wird, benöig 6-QAM nur ein Vierel der Bandbreie von BPSK. Mi seigender Anzahl der Zusände seig allerdings auch die Bi fehlerrae bei gleichbleibendem Signal-Rauschabsand, da die Augen des Augendiagramms für i() bzw q() immer kleiner werden. Bild 3.29 zeig als Beispiel das Augendiagramm für i() bei 256-QAM und Cosinus- Roll-Off-Filer mi r=,5. f UNRZ s().5 2 T q. (3.22) 2 /Tq /Tq 3 4 Bild 3.3: 2-FSK mi =2 Ensprechend Bild 3.3 kann 2-FSK einerseis mi einem spannungsgeseueren Oszillaor (VCO) reali sier werden, andererseis kann man 2-FSK jedoch auch als die Addiion zweier 2-ASK-Signale berach en. u() u() VCO s() Bild 3.29: Augendiagramm bei 256-QAM, r=,5 m-qam wird häufig eingesez, so benuzen z. B. Modems nach dem Sandard V.32 und die digiale Fernsehüberragung über Kabel (DVB, Digial Video Broadcas) eine 32-QAM, allerdings mi unerschiedlichem Mapping. UNRZ cos[( )] T cos[( )] T s() m-fache Frequenzumasung (m-[cp]fsk) Bei m-fsk wird die Frequenz eines cosinusförmigen Trägers in Abhängigkei des zu überragenden Symbols umgeschale. FSK is so definier, dass, ausgehend von der Trägerfrequenz T, die Frequenz um angehoben oder abgesenk wird. Bei keinem Symbol wird also die Trägerfrequenz selbs überragen. 2-fache Frequenzumasung (2-FSK) Bild 3.3 zeig den Verlauf des modulieren Signals bei 2-FSK. Bei einer '' wird die Frequenz T, bei einer '' die Frequenz T überragen. Man definier den Modulaionsindex der 2-FSK zu Bild 3.3: 2-FSK-Modulaoren Die zweie Berachungsweise erlaub die einfache Besimmung der Leisungsspekraldiche von 2-FSK: Sie beseh demnach aus der Summe der LSD's zweier 2- ASK-Signale, die um symmerisch zur Trägerfrequenz T verschoben sind. æ Beispiel: Es soll die LSD des in Bild 3.3 dargesellen 2-FSK-Signals errechne werden. Die LSD is die Summe der LSD's zweier 2-ASK-Signale unerschiedlicher Trägerfrequenzen. Wird eine '' überragen, beräg die Trägerfrequenz des 2-ASK - Signals: f 2 T q 4 f q 2 q 2 q 2 f T q (3.2)

79 DIÜT 79 Wird eine '' überragen, beräg die Trägerfrequenz des 2-ASK - Signals: f 4 T q 8 f q 4 q Es gil also: T 3 q q T 3 q q 2 q 2 Nach (3.2) erhäl man die LSD's der beiden 2-ASK- Signale zu 2 ASK : S () 4 S f ( ) 4 S f ( ) 2 ASK : S () 4 S f ( ) 4 S f ( ) wobei S f () die LSD des Leiungscodes UNRZ is, dessen koninuierlicher Aneil (2.8) S f () T q 4 si2 ( T q 2 ) laue. Der Code UNRZ ha zusäzlich bei = eine diskree Spekrallinie (linearer Mielwer). Sa -2 db -4 2 q 4 6 db Sb q 4 6, Berache man nur den posiiven (einseiigen) Aneil der LSD des modulieren Signals, erhäl man: S s () T q 6 si2 [ (2 q)t q ] si 2 [ (4 q)t q ] 2 2 S s () T q 6 si2 [( q 2)] si 2 [( q 4)] S a S b Die Terme S a und S b sowie S s /T q ( 6 æ db) sind im Bild 3.32 mi den diskreen Aneilen logarih misch dagesell. ø Die 2-FSK, wie sie bisher beschrieben wurde, ha in der Überragungsechnik keine große Bedeuung. Das gil auch für FSK-Verfahren höherer Ordnung, die hier nich behandel werden. Große Bedeuung erlang haben jedoch Verfahren, die aus einer speziellen Form der 2- FSK (2-CPFSK) abgeleie sind. Zunächs bespechen wir daher das 2-CPFSK-Verfahren. 2-Coninuous-Phase -FSK (2-CPFSK) Die beiden in Bild 3.3 dargesellen Verfahren zur Erzeug ung von 2-FSK liefern nich die gleichen Signale. Beim Umschalen zweier Oszillaoren uner schiedlicher Frequenz, die nich mieinander gekoppel sind, kann es beim Umschalen zu großen Phasen sprüngen kommen, wie sie in Bild 3.3 dargesell sind. Beim VCO dagegen kann die Phase beim Umschalen der Frequenz nich springen, die Bauele mene erzwingen Phasenkoninuiä. Eine 2-FSK, bei der beim Umschalen der Frequenz keine Phasen sprünge aufreen, wird als 2-CPFSK bezeichne (Bild 3.33). Bei zwei gerennen Oszillaoren müsse man beim Umschalen die Phase in Abhängigkei der vorher überragenen Informaion korrigieren, um 2-CPFSK zu erhalen. Ss/Tq db UNRZ s().5 2 /Tq q 4 6 Bild 3.32: LSD von s() in Bild /Tq 3 4 Bild 3.33: 2-CPFSK mi =2

80 DIÜT 8 Anders formulier: Der VCO liefer ein Signal, dessen Phasenlage in einem Inervall T q von der vergangenen Informaion abhängig is, der Modulaor is dami gedächnisbehafe. Da der Modulaor selbs dafür sorg, dass das moduliere Signal von seiner Vergangenhei abhängig is, kann man das Spekrum von 2-CPFSK auch nich aus dem Basisband errechnen. Man muss zur Berechnung der LSD die Auokorrelaionsfunkion des modulieren Signals einer Fourierransformaion unerziehen. 2-CPFSK führ nich nur zur Verschiebung verschiedener Spekren des Basisbandsignals wie 2-FSK, sondern läss andere Spekralaneile ensehen. Man sprich auch im Gegensaz zu den bisherigen Verfahren von einem nichlinearen Modulaionsverfahren. 2-CPFSK wird häufig anhand eines sogenannen "Phasen diagramms" charakerisier. Zur Herleiung dieses Diagramms berachen wir zunächs noch einmal 2- FSK. Das moduliere Signal kann bei 2-FSK wie folg beschrieben werden: 2 FSK im Inervall nt q (n )T q s() s cos [{ T k } z (nt q )] s cos[()] mi k ; z (nt q ) beliebig (sochasisch) (3.23) Bild 3.34 zeig den Phasenverlauf als Funkion der Zei, man beache Gl. (3.7)! z (Tq) Seigung T Seigung T x Tq 2Tq 3Tq 5Tq Seigung Bild 3.35: Phasendiagramm von 2-FSK INFO Bei 2-CPFSK kann das moduliere Signal wie folg beschrieben werden: 2 CPFSK im Inervall nt q (n )T q s() s cos [ T k ] s cos[ T ()] mi k ; () seig (3.26) Die gefordere Seigkei von () wird mahemaisch durch das Inegral der Frequenzänderung beschrieben: s() s cos[ T k d ] (3.27) Der Modulaor selbs is dami gedächnisbehafe, die momenane Phase häng von allen vorher überragenen Informaionen ab. Bild 3.36 zeig das Phasendiagramm. Seigung T Tq 2 Tq 3 Tq 4 Tq INFO Bild 3.34: Phasenverlauf bei 2-FSK Der Aneil koninuierlicher Seigung Phasendiagramm weggelassen. T wird im x Tq 2Tq 3Tq 4Tq 5Tq s() s cos[ T k z (nt q ) ] (3.24) Seigung () Im Phasendiagramm wird nur () dargesell. Es gil (Bild 3.35) : Bild 3.36: Phasendiagramm von 2-CPFSK Es gil mi (3.25) : x T q 2 q (3.25) s() s cos[ T k T q ] (3.28)

81 DIÜT 8 Im Gegensaz zu 2-FSK weis 2-CPFSK wegen der fehlenden Phasen sprünge beim Umschalen der Frequenz geringere Ampliuden der LSD in größerem Absand vom Maximum auf. Die Leisung wird also auf ein engeres Frequenzband konzenrier, was zu einer geringeren Beeinflussung der Nachbarkanäle führ. Dies is der Grund, weshalb CPFSK gegenüber FSK bevorzug wird. sin(2 T q ) 2 sin(2 T T q ) 2 T (3.35) Da in der Regel T bzw. T is, kann man den zweien Term in (3.35) vernachlässigen. sin(2 T q ) sin(2 ) (3.36) Minimum Shif Keying ([G]MSK) 2 k ; k ganzzahlig (3.37) Bei CPFSK sell sich die Frage, wie der Modulaionsindex gewähl werden muss, dami die Bifehlerrae BER (Bi Error Rae) minimal wird. Die BER wird sicherlich umso kleiner, je weniger ähnlich sich die m=2 verschiedenen Funkionsausschnie des modulieren Signals bei 2-CPFSK sind, mi denen eine '' oder eine '' überragen wird. Man definier dazu die sogenanne Euklidische Disanz D zweier Zusände des modulieren Signals. T q D 2 [s () s ()] 2 d (3.29) s bzw s sind die Funkionsausschnie des modu lieren Signals, mi denen eine '' oder '' überragen wird. Man erhäl: T q T q T q D 2 s 2 () d s 2 () d 2 s () s () d E E 2 FSK; 2 CPFSK : E E E T q D 2 2 E 2 s () s () d Man definier den Korrelaionskoeffizienen zu T q s () s () d E (3.3) (3.3) (3.32) (3.33) Soll D maximal werden, muss der Korrelaionskoeffizien bzw. das Inegral in (3.32) verschwinden. T q! cos[( T ) ] cos[( T ) ] d (3.34) k 2 ; {,5 ; ;,5 ; 2 ; 2,5 usw.} (3.38) Das kleinse für maximale euklidische Disanz und dami minimale Bandbreie bei minimaler BER is dami = /2. Diese Modulaionsar bezeichne man als Minimum Shif Keying (MSK). MSK is 2-CPFSK mi einem Modulaionsfakor von /2. Bild 3.37 zeig das zugehörige Phasendiagramm. Tq 2Tq 3Tq 4Tq 5Tq Seigung Bild 3.37: Phasendiagramm von MSK INFO Wegen zu geringer Genauigkei wird bei der Erzeu gung von MSK häufig sa eines VCO ein I - Q -Modu laor ensprechend Bild 3.4 eingesez. Mi (3.4) gil: cos[ T ()] cos[()] InphaseKomponene i() sin[()] QuadraurKomponene q() sin( T ) cos( T ) (3.39) Da () während der Überragung eines Bis jez keine Konsane mehr is, sind auch i() und q() innerhalb einer Schridauer zeiveränderlich. Bild 3.38 gib ein Beispiel des zeilichenverlaufs der beiden Funkionen. Mi [] erhäl man:

82 DIÜT 82 Tq INFO LSD/dB BT = BT =,5 BT =,3 BT =, (MSK) (DECT) (GSM) i() ,3 f/mhz 5,6 q() Bild 3.4: Einseiige LSD's von GMSK, Parameer BT Orhogonale Mehrfrequenz - Modulaion ([C]OFDM) Bild 3.38: Verlauf von i() und q() bei MSK Eine analoge Erzeugung der Signale i() und q() is mi ausreichender Genauigkei nich mehr möglich, die Signale werden mi einem DSP errechne. Wegen der nichlinearen Funkionen darf eine Basisbandfilerung zur Bandbegrenzung nich auf die Signale i() und q() angewand werden, sondern muss beim Signal () erfol gen. Wird zur Basisbandfilerung ein Gauß - TP eingesez (Bild 2.4), bezeichne man diese Modulaionsar als GMSK (Gaussian Minimum Shif Keying). GMSK wird bei GSM (Global Sysem for Mobile Communicaions, in Deuschland D- und E-Nez) mi BT =,3 sowie bei DECT (Digial Enhanced Cordless Telecommunicaions) mi BT =,5 eingesez. Die Bilder 3.39 und 3.4 zeigen eine vergleichende Darsellung der LSD's der angesprochenen Modulaions verfahren. Elekromagneische Wellen erreichen bei erdgebundener Kommunikaion auf verschiedenen Wegen den Empfänger, da sie in den Frequenzbereichen oberhalb von ewa 5MHz durch Berge, Gebäude usw. reflekier werden. Dieser sogenanne Mehrwegeempfang (Mulipah, Bild 3.4) kann den Empfang einzelner Bis beeinrächigen. LSD/dB QPSK MSK Bild 3.4: Mehrwegeempfang Ein vom Sender abgesrahles Symbol der Dauer T q erreich den Empfänger einerseis direk, andererseis zeiversez durch Reflexionen in Form von einem oder mehreren Echos (Bild 3.42) ,3 f/mhz 5,6 Bild 3.39: Einseiige LSD's von QPSK und MSK Man erkenn, dass MSK zwar ein ewas breieres Haup maximum des Spekrums aufweis als QPSK, aufgrund der geringeren Ampliude der Nebenmaxima jedoch geringere Nachbarkanalsörungen aufreen. s() max Echos Tq Bild 3.42: Echos infolge von Reflexionen

83 DIÜT 83 Ob diese Echos zu einer Sörung nachfolgender Symbole (Inersymbolinerferenz, ISI) führen, häng vom Ver häl nis der maximal möglichen Echoverzögerung max zur Symboldauer T q ab. æ Beispiel: Bei einem GSM-Handy berage die Symbol dauer 3,69 s (27kbi/s, das is nich die Neodaenrae, sondern die Geschwindigkei, mi der die Bis gesende werden). Bei einer Aus breiungs geschwindigkei der elekromagneischen Wellen von 3km/s und einem angenommenen maximalen Echo weg von 3km beräg max s. Dami können maximal 3 Symbole durch Mehrwegeempfang gesör werden. Diese Sörungen können durch FEC und einen Kanalenzerrer problemlos beseiig werden. Völlig anders verhäl es sich z.b. bei DVB (Digial Video Broadcas). Wegen der höheren Leisung der Sender muss man mi einem längeren Echoweg rechnen, bei 3km beräg max s. Die Daenrae von ca. 8Mbaud führ zu einer Symboldauer von 25ns, so dass maximal 8 Symbole durch Mehr wege empfang gesör werden können. Eine Sörung so vieler Symbole läss sich nich mehr nur mi FEC oder einem Kanalenzerrer be kämpfen, der Rechenaufwand wäre zu hoch. ø Die Auswirkungen von Mehrwegeempfang auf den Frequenzgang eines Kanals lassen sich leich ableien. Angenommen, es gebe nur den direken Empfangsweg und einen einzigen zusäzlichen Reflexionspfad mi der Dämpfung /r, <r<. Dann kann das empfangene Signal durch f e () f s ( s ) r f s ( s ) (3.4) beschrieben werden, wobei f s () das gesendee Signal, s die Laufzeiverzögerung des direken Wegs und die durch den längeren Reflexionspfad zusäzlich aufreende Laufzeiverzögerung darsellen. Bild 3.43 zeig das Blockschalbild des ensprechenden Sysems. f s () s r f e() Bild 3.43 Mehrwegeempfang mi einem Reflexionspfad Mi Tab 5.2 ergib sich das Spekrum des empfangenen Signals zu F e (j) F s (j) [ e js r e j( s) ], (3.4) und dami der Frequenzgang des Überragungswegs zu G(j) F e (j F s (j) e js [ r e j ]. (3.42) Man erhäl dami folgenden Ampliudenfrequenzgang: G(j) r 2 2r cos() Im Fall von r= erhäl man: G(j) 2 cos( 2 ) (3.43) (3.44) Der Ampliudenfrequenzgang is in Bild 3.44 für r= und r=,5 grafisch dargesell. Bild 3.44: AFG bei Mehrwegeempfang Die Einbrüche im AFG sind periodisch und reen dami in jedem Frequenzbereich auf. Bei Mehrwegeempfang handel es sich im Prinzip um ein aus der digialen Signalverarbeiung bekannes FIR-Filer, das analog "aufge bau" is. Is groß (großer Versorgungsbereich) und die Bandbreie des benuzen Kanals groß (DVB-T), dann fallen u. U. viele solcher Einbrüche in einen einzigen Kanal. Sie lassen sich dann nich mehr durch ein Filer mi umgekehrem Frequenzgang kompensieren, weil der Rechen aufwand für ein solches Filer zu hoch wäre. Im Kurzwellenbereich reen diese Probleme durch Mehrwegereflexionen an der Ionosphäre ebenfalls auf, wie das folgende Bild des Frequenzgangs einer digialen Rundfunküberragung (DRM, Digial Radio Mondiale) in einer Kanalbandbreie von khz bei einer Überragungsfrequenz von 38kHz zeig. Ein möglicher Ausweg aus diesem Dilemma is die Benuzung mehrerer Träger und die dami verbundene Redu zierung der Symbolrae eines einzelnen Trägers. Bild 3.46 mach das Verfahren deulich, man sprich in diesem Fall von Frequenzmuliplex - Überragung (FDM, Frequency Division Muliplex).

84 DIÜT 84 T B Rahmen (N=8) Rahmen Bild 3.45: Mehrwegeempfang im Kurzwellenbereich, AFG (grün) und Tg (blau) Der zu sendende Bisrom wird in N - Bi breie Rahmen unereil, indem er in ein Schieberegiser geake und dessen Inhal nach N Taken in einen Speicher mi parallelen Ausgängen übernommen wird. Die Einhei Schieberegiser/ Speicher wird in Blockschalbildern auch kurz seriell - parallel - Wand ler genann. Subsymbol a,7 Subsymbol a,6 Subsymbol a,5 Subsymbol a,4 Subsymbol a,3 Subsymbol a,2 Subsymbol a, Subsymbol a, Subsymbol a,7 Subsymbol a,6 Subsymbol a,5 Subsymbol a,4 Subsymbol a,3 Subsymbol a,2 Subsymbol a, Subsymbol a, Symbol Symbol Tq Tq Bild 3.47: Bildung von Symbolen bei FDM TAKT S R INFO UNRZ /N N- R E G S - P - WANDLER cos( + [N-] ) cos( + ) cos( ) Bild 3.46: Frequenzmuliplex - Überragung (FDM) s() Die Daenrae an jedem Ausgang des Speichers beräg jez nur noch das /N - fache der Eingangsdaenrae. Jeder der Ausgänge modulier einen Träger unerschiedlicher Frequenz. In Bild 3.46 haben die Träger gleichen Absand (was nich zwingend is), und es is die Modulaionsar 2-ASK für jeden der Träger gewähl, jede andere Modulaionsar is denkbar. Bild 3.47 mach die Zerlegung des Bisroms in Rahmen bei 2-ASK (oder auch BPSK) noch einmal deulich. Jedes der N (hier N=8) Bis eines Rahmens seh für die Dauer von T q = NT B parallel zur Verfügung, die Gesamhei der während der Dauer T q überragenen Bis bezeichne man bei FDM als Symbol. Ein einzelnes Bi wird als Subsymbol bezeichne, jedes Subsymbol modulier einen anderen Träger. Ein Subsymbol kann bei einer höhersufigen Modulaions ar für einen einzelnen Träger auch mehr als nur die Informaion eines einzelnen Bis enhalen. Wird z. B. jeder der Träger in QPSK modulier, werden je zwei Bis eines Rahmens zu einem Subsymbol zusammengefass. Die Summe der einzelnen modulieren Träger bilde das moduliere Gesamsignal s(), wobei der Absand der Träger so gewähl werden muss, dass sich die Spekren nich überlappen. Eine fehlerfreie Demo dulaion würde sons u. U. gesör (Bild 3.48). Die dazu nowendige Filerung des Basisbandes is in Bild 3.43 weggelassen. LSD Bild 3.48: LSD bei FDM + Das moduliere Signal kann mahemaisch folgendermaßen beschrieben werden: N s() f m,k () cos[( k )] m k mi f m,k () a m,k rec { T q 2 mt q T q } (3.45) (3.46) m is die forlaufende Nummerierung der Symbole (Rahmen), k der Index des Trägers (Subsymbols). a 2,7 is demnach das Subsymbol des 7. Trägers im 2. Symbol (Rahmen), es kann bei 2-ASK + oder sein. OFDM unerscheide sich von FDM durch die folgenden beiden Änderungen in (3.45):

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