2. Stabilitätsprobleme und Theorie II. Ordnung
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- Paula Kalb
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1 Baustatik (Master) - WS 2013/ Stabilitätsprobleme und Theorie II. Ordnung 2.5 Weggrößenverfahren (WGV) Weggrößenverfahren nach Th. I. Ordnung Weggrößenverfahren nach Th. II. Ordnung
2 Baustatik (Master) - WS 2013/ Weggrößenverfahren nach Th. I. Ordnung Weggrößenverfahren (WGV) wird auch als Verschiebungsgrößenverfahren (VV) bezeichnet. Hier wird nur eine Variante des WGV behandelt, die auch als direkte Steifigkeitsmethode bekannt ist.
3 Ablauf des WGV
4
5
6 Zuordnungsvektoren, Inzidenztabelle
7 Zusammenbau von K
8 Zusammenbau von F
9 Zusammenbau von F Bemerkung: Vorzeichenwechsel beim Zusammenbau von F E, da die Elementlasten nicht am Element sondern als Knotenlasten am System wirken! Zuordnungsvektor
10
11
12 Zusammenfassung Rechenschritte
13 Baustatik (Master) WS 2013/ Weggrößenverfahren nach Th. II. Ordnung
14 WGV nach Th. II. Ordnung Bei geometrischer Nichtlinearität (hier Th. II. Ordnung) ist die Last- Verschiebungsbeziehung nichtlinear. Daher ist es nicht mehr möglich, das Superpositionsprinzip anzuwenden. Es ist aber möglich, alle Lasten um den gleichen Faktor zu steigern (proportionale Laststeigerung). F w
15 WGV nach Th. II. Ordnung Ein nichtlineares Problem muss im Allgemeinen iterativ gelöst werden. Bei der linearisierten Th. II. Ordnung wird angenommen, dass die Stablängskräfte innerhalb eines Iterationsschrittes konstant sind. Dies führt dazu, dass die Kraft- Verschiebungsbeziehung in einem Iterationsschritt wieder linear ist. Somit können die üblichen Berechnungsverfahren (KGV, WGV, usw.) verwendet werden. Th. I.Ord. (linear): S, K (0) (0) F (1) (2) (n) Gesuchte Lösung! w S, K (0) (1) (1) w S, K ( n ) ( n 1) ( n 1) w
16 VV nach Th. II. Ordnung Bemerkungen: Innerhalb eines Iterationsschrittes werden die Stablängskräfte als konstant angenommen. Die Steifigkeitsmatrix und der Lastvektor sind nach der Th. II. Ordnung aufzustellen. Innerhalb eines Iterationsschrittes ist die Vorgehensweise des WGV wie bei der Th. I. Ordnung. Die Stablängskräfte werden zuerst geschätzt (z.b. nach der Th. I. Ordnung). Sie werden iterativ ihrem endgültigen Wert angenähert.
17 Ablauf des WGV nach Th. II. Ordnung n=0 Schätzen von S (0) ( n 1) ( n Stabkennzahl l S ) /( EI) WGV nach Th. II. Ordn. (n+1) D Stabendmomente ( n 1) M ik, Konvergenzkontrolle Transversalkräfte ( n T 1) (n+1) ( n) S S? nein Normalkräfte N(x), Momente M(x) und Querkräfte Q(x) im Element ik, Stablängskräfte S ( n 1) ja
18 Ausführlicher Ablauf des WGV nach Th. II. Ordnung 1. Bestimmung der lokalen Elementgrößen (0) # Schätzen von S (0) S # Bestimmung der Stabkennzahl l A, B, C, D, E EI # Bestimmung der lokalen Elementsteifigkeitsmatrizen k L # Bestimmung der lokalen Elementlastvektoren 2. Bestimmung der globalen Elementgrößen # Bestimmung der globalen Elementsteifigkeitsmatrizen G # Bestimmung der globalen Elementlastvektoren 3. Zusammenbau # Zusammenbau von K und F # Berücksichtigung der Auflagerbedingungen 0 s L 0 s G k
19 Ausführlicher Ablauf des WGV nach Th. II. Ordnung 4. Lösung des Gleichungssystems K D= F 5. Rückrechnungen und Konvergenzkontrolle D # Stabendmomente M i, M k # Transversalkräfte 0 M i Mk wk wi Ti Ti S l l 0 M M w w Tk Tk S l l i k k i S i 0 T i q l aus Elementbelastung F k 0 T k S
20 Ausführlicher Ablauf des WGV nach Th. II. Ordnung # Stablängskräfte aus Knotengleichgewicht am verformten System (1) S # Konvergenzkontrolle (Abfrage) (1) (0) S S ja? nein Abbruch der Iteration Nächste Iteration 6. Endergebnisse nach dem Abbruch der Iteration # Normalkräfte: N S (Vorzeichen nach KGV/TM!) # Querkräfte: Q T S (Vorzeichen nach KGV/TM!) # Schnittgrößenverläufe: Z( x) U( x) Z Z ( x) 0 p
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