Gliederung. Algorithmen und Datenstrukturen II. Graphen: All-pairs shortest paths. Graphen: All-pairs shortest paths. Graphen: Kürzeste Pfade III

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1 Gliederung Algorithmen und Datenstrukturen II : Kürzeste Pfade III D. Rösner Institut für Wissens- und Sprachverarbeitung Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke Universität Magdeburg 1 Problem Transitiver Abschluss Sommer 2010, 26. April 2010, c 2010 D.Rösner D. Rösner AuD II D. Rösner AuD II : All-pairs shortest paths Gesucht: Kürzeste Pfad zwischen allen Paaren in einem Graph Erinnerung: Dkstra bzw. Bellman-Ford bestimmt für festen Startknoten alle kürzesten Pfade zu allen anderen Knoten und deren Länge. : All-pairs shortest paths Problem der kürzesten Pfade zwischen allen Knotenpaaren (engl.: All-pairs shortest paths) Gegeben: gewichteter Graph G=(V, E, W) mit V = {v 1,..., v n } und Gewichtsmatrix mit w definiert als w = W (v i v j ), wenn v i v j E w =, wenn v i v j / E und i j w = min(0, W (v i v i )), wenn v i v i E w = 0, wenn v i v i / E Gesucht: n x n - Matrix D mit d = Distanz eines kürzesten Pfads von v i nach v j Variante: zusätzlich Tabelle, aus der die kürzesten Pfade ausgelesen werden können D. Rösner AuD II D. Rösner AuD II

2 : All-pairs shortest paths : All-pairs shortest paths Ansatz mit brute force : Algorithmus von Dkstra wiederholt, d.h. für jeden Knoten als Startknoten, anwenden. Problem: zahlreiche Berechnungen würden immer wieder durchgeführt. Auf R.W.Floyd geht ein Algorithmus zur Lösung des Problems zurück, der mit dem Ansatz des sog. dynamischen Programmieren arbeitet. Um diesen Algorithmus herzuleiten, betrachten wir zunächst ein einfacheres, aber verwandtes Problem: Bestimmung der transitiven Hülle (engl. transitive closure) einer binären Relation D. Rösner AuD II D. Rösner AuD II : Transitiver Abschluss Problemstellung: Sei S eine Menge (mit n Elementen) und sei A eine binäre Relation auf S. G = (S,A) kann als gerichteter Graph (Digraph) mit der Knotenmenge S und der Kantenmenge A interpretiert werden. Definition: Die reflexive transitive Hülle von A ist die binäre Relation R (auf S) mit: s i Rs j genau dann, wenn gilt: es existiert ein Pfad von s i nach s j in G. Bemerkung: Die transitive Hülle der Nachbarschaftsrelation eines gerichteten wird auch als Erreichbarkeitsrelation (engl. reachability relation) bezeichnet. s.a. [BG99], 9.2 : Transitiver Abschluss Warshalls Algorithmus für transitiven Abschluss (Transitive Closure) Input: A und n mit A nxn-matrix für binäre Relation Output: R, die nxn-matrix für den transitiven Abschluss von A transitiveclosure (boolean[][] A, int n, boolean[][] R) int i, j, k; Kopiere A nach R. Setze alle Einträge der Hauptdiagonale r ii auf true. for (k = 1; k n, k++) for (i = 1; i n; i++) for (j = 1; j n; j++) r = r (r ik r kj ) D. Rösner AuD II D. Rösner AuD II

3 : Transitiver Abschluss Bemerkungen: die Berechnungen in r = r (r ik r kj ) werden auch als Verarbeiten des Tripels (i, k, j) bezeichnet. : Transitiver Abschluss Definition: Zwischenknoten mit höchster Nummer Sei G ein Digraph, dessen Knoten mit den Zahlen 1, 2,..., n indiziert sind und als geordnete Sequenz (s 1, s 2,..., s n ) angegeben werden. Für jeden nichtleeren Pfad in G ist der Zwischenknoten mit höchster Nummer (highest-numbered intermediate vertex) dieses Pfads ein Knoten, der weder der initiale noch der finale Knoten des Pfads ist und der unter allen solchen Knoten des Pfads den höchsten Index hat. Wenn der Pfad nur aus einer einzelnen Kante besteht, dann wird der Zwischenknoten mit höchster Nummer als mit 0 indiziert betrachtet. D. Rösner AuD II D. Rösner AuD II : Transitiver Abschluss : Transitiver Abschluss Lemma: Sei in Warshalls Algorithmus für Transitive Closure r (0) der Wert von r nach den Initialisierungen und für jedes k in 1,..., n sei r (k) der Wert von r nachdem der Körper der Schleife for (k... ) zum k-ten Mal ausgeführt wurde. Wenn es einen einfachen Pfad von s i nach s j (mit i j) gibt, für den der Zwischenknoten mit höchster Nummer s k ist, dann ist r (k) = true. Beweis des Lemmas: durch vollständige Induktion über k, die Zahl der Ausführungen der Schleife for (k... ) Ind.anfang: k = 0 In diesem Fall sind die Initialisierungen erfolgt. Für i j ist r (0) = a, d.h. r (0) = true genau dann wenn wenn eine Kante s i s j in A existiert. Nach Definition ist der höchstnumerierte Knoten dann 0. D. Rösner AuD II D. Rösner AuD II

4 : Transitiver Abschluss Fortsetzung des Beweises des Lemmas: Ind.schritt: Für k > 0 gelte das Lemma für 0 h < k. Der einfache Pfad P von s i nach s j mit höchstnumeriertem s k kann in zwei nichtleere Pfade P ik von s i nach s k und P kj von s k nach s j zerlegt werden. Da P ein einfacher Pfad (ohne Zyklen), können die höchstnumerierten Knoten von P ik und P kj nur echt kleiner k sein. Nach Ind.annahme gilt dann r (h) ik = true für ein h < k. Da sich dieser Wert nicht mehr verändert, gilt auch r (k 1) ik = true analog: r (k 1) kj = true Damit: r (k) = r (k 1) (r (k 1) ik r (k 1) kj ) = true : Transitiver Abschluss Die Korrektheit von Warshalls Algorithmus liefert Theorem: Nach Beendigung von Warshalls Algorithmus repräsentiert R den transitiven Abschluss von A. D. Rösner AuD II D. Rösner AuD II : Transitiver Abschluss Beweis: Ein Pfad von s i nach s j existiert genau dann, wenn ein einfacher Pfad von s i nach s j existiert. Nach Initialisierung sind alle r ii true. Nach dem Lemma ist r true für alle Paare so dass ein nichtleerer einfacher Pfad von s i nach s j existiert (denn der finale Wert von r ist r (n) auch r (n) true). und sobald für ein k r (k) true, ist Für s i s j gilt: da r als false initialisiert, sofern keine Kante (s i, s j ) existiert, und da r nur true werden kann, wenn ein einfacher Pfad gefunden wurde, ergibt sich, dass r false ist, wenn es keinen Pfad von s i nach s j gibt. Der im folgenden betrachtete Algorithmus von R.W.Floyd verallgemeinert den Algorithmus von Warshall. Kernfrage für den Ansatz des dynamischen Programmierens hier: Mit welcher Rekurrenzbeziehung lassen sich die D[i][j] berechnen? D. Rösner AuD II D. Rösner AuD II

5 Kern der Lösung ist, die Pfade nach dem höchstnumerierten Zwischenknoten zu klassifizieren. Desweiteren wird ausgenutzt: Wenn ein kürzester Pfad von v i nach v j durch einen Zwischenknoten v k geht, dann sind die Segmente dieses Pfads von v i nach v k und von v k nach v j selbst kürzeste Pfade (sog. shortest path property). Einschub: Shortest path property Betrachtet wird ein gewichteter Graph G. Sei P kürzester Pfad von x nach y. Sei Q kürzester Pfad von y nach z. Frage: Ist P gefolgt von Q kürzester Pfad von x nach z? Antwort:... s.a. [BG99], D. Rösner AuD II D. Rösner AuD II Einschub: Shortest path property Lemma (vgl. [BG99], Lemma 8.5): Shortest path property In einem gewichteten Graph G existiere ein kürzester Pfad von x nach z, der aus einem Pfad von x nach y gefolgt von einem Pfad Q von y nach z bestehe. Dann: P ist ein kürzester Pfad von x nach y und Q ist ein kürzester Pfad von y nach z. Begründung: Wäre o.b.d.a. P kein kürzester Pfad, dann würde kürzester Pfad P existieren von x nach y und mit Q ließe sich dann ein Pfad von x nach z bilden, dessen Länge kleiner als die des angenommenen Pfads wäre. Widerspruch zur Voraussetzung. s.a. [BG99], Fortsetzung der Herleitung des Algorithmus von Floyd: Wird k mit höchstem Index eines Zwischenknoten auf dem Pfad von v i nach v j gewählt, dann muss jedes Segment einen höchstnumerierten Knoten haben, dessen Index strikt kleiner ist. Damit lassen sich die folgenden Rekurrenzbeziehungen definieren: D (0) [i][j] = w D (k) [i][j] = min(d (k 1) [i][j], D (k 1) [i][k] + D (k 1) [k][j]) Der Algorithmus von Floyd nutzt diese Beziehungen, um in n Runden die Distanzmatrix D zu bestimmen. D. Rösner AuD II D. Rösner AuD II

6 : Floyds Algorithmus : Floyds Algorithmus Floyds Algorithmus Input: W, die Gewichtsmatrix für einen Graph mit Knoten v 1,..., v n und n Output: D, eine nxn-matrix, so dass D[i][j] die Länge eines kürzesten Pfads von v i nach v j. allpairsshortestpaths (float[][] W, int n, float[][] D) int i, j, k; Kopiere W nach D. for (k = 1; k n, k++) for (i = 1; i n; i++) for (j = 1; j n; j++) D[i][j] = min(d[i][j], D[i][k] + D[k][j]) s.a. [BG99], Algorithm 9.4; [RL99], Ch. 9.5 Für den Beweis der Korrektheit von Floyds Algorithmus: Lemma: Für jedes k in 0,..., n sei d (k) das Gewicht eines kürzesten einfachen Pfads von v i nach v j mit höchstnumerierten Zwischenknoten v k und sei D (k) [i][j] definiert wie oben. Dann gilt: D (k) [i][j] d (k) Beweis: als Übung; analog zum Beweis des obigen Lemmas unter Verwendung der Eigenschaft kürzester einfacher Pfade s.a. [BG99], Ch. 9.4 D. Rösner AuD II D. Rösner AuD II : Floyds Algorithmus : Floyds Algorithmus Bemerkungen: Bemerkung: es gibt Fälle, bei denen D (k) [i][j] < d (k) (mit anderen Worten: die Hinzunahme von v k als höchstnumeriertem Zwischenknoten liefert einen längeren Pfad). Floyds Algorithmus ist Verallgemeinerung von Warshalls Algorithmus: aus D kann R einfach dadurch gewonnen werden, dass alle Einträge kleiner als auf true und alle Einträge auf false gesetzt werden s.a. [BG99], Ch. 9.4 Bemerkungen: Der Algorithmus kann so modifiziert werden, dass nicht nur die Distanzen aller kürzesten Pfade, sondern auch eine sog. routing table bestimmt werden, aus der die kürzesten Pfade extrahierbar sind: eine routing table ist eine nxn-matrix go derart, dass, wenn go[i][j] = k, dann existiert kürzester Pfad von v i nach v j, dessen erste Kante (v i, v k ) ist. (Für die nächste Kante zur Fortführung des Pfads wird dann also go[k][j] konsultiert). s.a. [BG99], Ch. 9.4 D. Rösner AuD II D. Rösner AuD II

7 Literatur: I Literatur: II Sara Baase and Allen Van Gelder. Computer Algorithms: Introduction to Design and Analysis. Addison Wesley Longman, Inc., Reading, MA, USA, ISBN-10: ; ISBN-13: Kurt Mehlhorn and Peter Sanders. Algorithms and Data Structures The Basic Toolbox. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, ISBN ; im Uninetz auch als e-book: e-isbn Fethi Rabhi and Guy Lapalme. Algorithms A Functional Programming Approach. Pearson Education Ltd., Essex, nd edition, ISBN Gunter Saake and Kai-Uwe Sattler. Algorithmen und Datenstrukturen Eine Einführung mit Java. dpunkt.verlag, Heidelberg, ISBN D. Rösner AuD II D. Rösner AuD II