Mathematik für Physiker, Informatiker und Ingenieure

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1 Mathematik für Physiker, Informatiker und Ingenieure Folien zu Kapitel V SS 2010 G. Dirr INSTITUT FÜR MATHEMATIK UNIVERSITÄT WÜRZBURG 1

2 1. Vektorräume und lineare Abbildungen 2. Lin. Gleichungssysteme und Determinanten 3. Eigenwerte, Eigenvektoren und das Spektrum 4. Selbstadjungierte Abbildungen 2

3 Literatur: Jedes gute Lineare-Algebra-Buch, z.b. Jänich, Lineare Algebra, Springer, Lorenz, Lineare Algebra I+II, Spektrum Akademischer Verlag, Kowalsky, Lineare Algebra, de Gruyter, Skripten: Menth-Skript (Heineken-Vorlesung, siehe Homepage) 3

4 Def. 1: Ein Vektorraum besteht aus einer nichtleeren Menge V (Menge der Vektoren), einem Körper K (Menge der Skalare) und zwei Verknüpfungen : V V V (Vektoraddition) und : K V V (Skalarmultiplikation) mit folgenden Eigenschaften: 1. (V, ) ist eine abelsche Gruppe 2. Für alle λ, µ K und alle x V gilt λ (µ x) = (λµ) x 3. Für alle x V gilt 1 x = x 4. Für alle λ, µ K und alle x, y V gilt (λ + µ) x = (λ x) + (µ x) λ (x y) = (λ x) (λ y) (Distributivgesetze) 4

5 Sprechweise: Falls (V, K,, ) ein Vektorraum ist, so bezeichnen wie V auch kurz als K-Verktorraum oder als Verktorraum über K. Konvention: (a) Wir schreiben im Weiteren einfach + statt und unterdrücken wir komplett, also λx := λ x für alle λ K und alle x V. (b) Ferner treffen wir die Konvention, dass stärker bindet als, d.h. also nach (a) λ x y := (λ x) y λx + y := (λ x) y. 5

6 Folgerung 1: Sei V ein beliebiger K-Vektorraum und sei 0 V der Nullvektor, d.h. das eindeutige neutrale Element der Vektoraddition. Dann gelten die folgenden Rechenregeln: (a) Für x V und λ K gilt λ 0 = 0, 0 x = 0 und ( 1) x = x λ x = 0 (λ = 0 x = 0) (b) Für alle x, y V und alle λ, µ K gilt (λ x = µ x x 0) λ = µ (λ x = λ y λ 0) x = y 6

7 Def. 2: Eine nicht-leere Teilmenge U eines K- Vektorraums V heißt Unterraum von V, wenn (U, K, U U, K U ) ein Vektorraum im Sinne von Def. 1 ist. Def. 3: Sei V ein K-Vektorraum und seien v 1,..., v n beliebige Vektoren aus V. Ferner seien λ 1,..., λ n K beliebige Skalare. Dann bezeichenen wir λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n = n k=1 λ k v k als eine linear Kombination der Vektoren v 1,..., v n. 7

8 Def. 5: (a) Sei M eine beliebige Teilmenge eines Vektorraums V mit der Eigenschaft M = V. Dann heißt M Erzeugendensystem von V. Falls es ein endliches Erzeugendensystem von V gibt, so bezeichnen wir V als endlich erzeugt. (b) Eine eindliche Folge v 1,..., v n von Vektoren aus V heißt linear unabhängig, wenn die Gleichung λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n = 0 nur die triviale Lösung λ 1 = λ 2 = = λ n = 0 besitzt. Eine Teilmenge von M von V heißt linear unabhängig, wenn jede endliche Folge v 1,..., v n von paarweise verschiedenen Vektoren aus M linear unabhängig ist. 8

9 Def. 5 (Fortsetzung): (c) Eine endliche Folge v 1,..., v n von Vektoren aus V heißt linear abhängig, wenn sie nicht linear unabhängig ist, d.h., wenn es eine nicht-triviale Lösung der Gleichung λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n = 0 gibt. Eine Teilmenge von M von V heißt linear abhängig, wenn sie nicht linear unabhängig ist. Def. 6: Sei V ein beliebiger Vektorraum. Eine Teilmenge B von V, die eine und somit alle Eigenschaften (a)-(d) aus Satz 3 erfüllt, bezeichnen wir als eine Basis von V. 9

10 Def. 7: (a) Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum. Dann bezeichnen wir die gemeinsame Mächtigkeit aller Basen (vgl. Folgerung 3) als die Dimension von V. (Schreibweise: dim V ) (b) Falls V keine endliche Basis besitzt, so sagen wir, dass V unendlich dimensional ist. Def. 7 : Sei V ein beliebiger Vektorraum. Die Summe U 1 + U 2 zweier Unterräume U 1 und U 2 von V ist definiert als die Menge U 1 + U 2 := {u 1 + u 2 u 1 U 1, u 2 U 2 } Falls zusätzlich U 1 U 2 = {0} gilt, so sagen wir, dass die Summe direkt ist und schreiben U 1 U 2 statt U 1 + U 2. 10

11 Def. 8: (a) Seien V und W Vektorräume über dem gleichen Körper K. Eine Abbildung f : V W heißt linear, wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt: (i) f(x + y) = f(x) + f(y) für alle x, y V (Additivität) (ii) f(λx) = λf(x) für alle λ K und x V. (Homogenität) (b) Eine Abbildung g : V W heißt affin, wenn es ein w 0 W und eine lineare Abbildung f : V W gibt, so dass g(x) = f(x) + w 0 für alle x V. 11

12 Def. 8 (Fortsetzung): Wir bezeichnen im Weiteren mit und L(V, W) := {f : V W f linear} Aff(V, W) := {f : V W f affin} die Menge aller linearen bzw. affinen Abbildungen von V nach W. Falls V = W, so schreiben wir und L(V ) := L(V, V ) Aff(V ) := Aff(V, V ). 12

13 Def. 9: Seien V und W K-Vektorräume und sei f : V W linear. Dann bezeichnen wir die Unterräume und ker f := f 1 {0} V Im f := f(v ) W als den Kern bzw. das Bild von f. Ferner ist der Rang von f, als die Dimension des Bildes von f definiert. Schreibweise: rg f := dim f(v ). 13

14 Def. 10: (a) Eine lineare Abbildung f : V W zwischen K-Vektorräumen V und W bezeichnent man auch als Homomorphismus. Falls V = W gilt, so heißt f auch Endomorphismus. (b) Falls f : V W zusätzlich bijektiv ist, so bezeichnen wir f als Isomorphismus und im Falls von V = W als Automorphismus. (c) Ferner bezeichnen wir zwei K-Vektorräumen V und W als isomorph, falls ein Isomorphismus von V nach W existiert. Bemerkung: Man zeigt leicht, dass die Umkehrabbildung f 1 einer bijektiven linearen Abbildung wiederum linear ist. 14

15 Def. 11: (a) Sei V ein endlich dimensionaler K- Vektorraum und sei B = {b 1,..., b n } mit paarweise verschiedenen b i eine Basis von V.Dann bezeichnen wir das n-tupel (b 1,..., b n ) als geordnete Basis von V. (b) Sei B = (b 1,..., b n ) eine geordnete Basis von V. Dann bezeichnen wir mit ϕ B : V K n die Umkehrabbildung des Isomorphismus ψ B : K n V, λ 1. λ n n i=1 λ i b i. Das n-tupel ϕ B (x) bezeichnen wir als den Koordinatenvektor von x bzgl. B. 15

16 Def. 12: Formal verstehen wir unter einer n m- Matrix über K eine Abbildung A : {1,..., n} {1,..., m} K. Dabei bezeichnen wir den Wert an der Stelle (i, j) mit a ij, also a ij := A(i, j). Umgekehrt schreiben wir auch ( aij ) für die Matrix A. i=1,...,n j=1,...,m Bildlich stellen wir uns A als ein rechteckiges Schema von n m Zahlen vor, d.h. A := a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Die Menge aller n m-matrix über K bezeichnen wir mit K n m. 16

17 Def. 14: Wir definieren auf der Menge K n m die folgenden Operationen. Seien A, B K n m und λ K: (A + B) ij := a ij + b ij (Addition) für i = 1,..., n und j = 1,..., m. (λa) ij := λa ij (Skalarmultiplikation) für i = 1,..., n und j = 1,..., m. (A ) ji := a ij (Transposition) für i = 1,..., n und j = 1,..., m. 17

18 Folgerung 9: (a) Für alle A K n m, B K m p und C K p r gilt (A B) C = A (B C) Für alle A, B K n m und C K m p gilt (A + B) C = A C + B C Für alle A K n m und B, C K m p gilt A (B + C) = A B + A C (b) K n m versehen mit der Addition und Skalarmultiplikation aus Def. 14 ist ein K-Vektorraum der Dimension n m. (c) Für alle A K n m und B K m p gilt (A B) = B A 18

19 Def. 16: Sei n N. Dann bezeichnen wir I n := als die Einheitsmatrix des K n n. Ferner heißt A K n n invertierbar, wenn es eine Matrix B K n n gibt mit AB = I n. ( ) Man Kann zeigen: (i) Wenn ( ) erfüllt ist, so gilt auch BA = I n. (ii) Falls B existiert, so ist B ist eindeutig und heißt die zu A inverse Matrix. Schreibweise: A 1 := B 19

20 Def. 16 (Fortsetzung): Wir definieren nun GL n (K) als die Menge aller invertierbaren n n-matrizen über K, d.h. GL n (K) := {A K n n A invertierbar} Bemerkung: GL n (K) ist für n 2 eine nicht kommutative Gruppe (bzgl. der Matrixmultiplikation). Für n = 1 können wir GL n (K) mit der multiplikativen Gruppe von K, also mit K \ {0} identifizieren. 20

21 2. Lineare Gleichungssysteme Def. 20: Gegeben sei ein lin. Gleichungssystem a 11 x 1 + a 12 x a 1m x m = b 1.. =. ( ) a n1 x 1 + a n2 x a nm x m = b n Unter einer elementaren (Zeilen-)Umformung von ( ) versteht man eine der folgenden drei Operationen: 1. Vertausche die i-te und j-te Zeile (und behalte alle anderen unverändert bei). 2. Ersetze die i-te Zeile durch ihr λ-faches mit λ K \ {0} (und behalte alle anderen unverändert bei). 3. Addiere zur i-te Zeile das λ-fache der j-te Zeile mit i j (und behalte alle anderen unverändert bei). 21

22 2. Determinanten Def. 23: Sei K ein beliebiger Körper mit Charakteristik ungleich 2 (d.h ) und sei V ein K-Vektorraum mit dim V = n. Eine Determinantenform ist eine nicht-triviale, alternierende multilineare Abbildung : V V V }{{} n mal K, d.h. erfüllt folgende Eigenschaften: D0: 0. D1: Für alle i = 1,..., n und v 1,..., v n V ist die Abbildung (v 1,..., v i 1,, v i+1,..., v n ) : V K linear, d.h.... D2: Für alle i, j = 1,..., n mit i j und für alle v 1,..., v n V gilt (v 1..., v i,..., v j,..., v n ) = (..., v j,..., v i,...) 22

23 2. Determinanten Def. 23 (Fortsetzung): Falls V = K n, so können wir auf natürliche Weise jede Determinantenform : V V V K mittels der Definition (A) := (a 1,..., a n ), A = [a 1... a n ] K n n auch als Abbildung vom K n n nach K interpretieren. Folgerung 12: Sei : V V V K. (a) Dann gilt (v 1,..., v i 1, v i + λv j, v i+1,..., v n ) = (v 1,..., v i 1, v i, v i+1,..., v n ) für alle i j, v 1,..., v n V und λ K. (b) Falls v 1,..., v n linear abhängig sind, so gilt (v 1,..., v n ) = 0. 23

24 2. Determinanten Satz 15/Def. 24: (a) Zwei Determinantenformen 1 und 2 auf V unterscheiden sich höchstens durch einen nicht-trivialen skalaren Faktor, d.h. es existiert ein λ 0 mit 2 = λ 1. (b) Es gibt genau eine Determinantenform auf dem K n (bzw. dem K n n ) mit (e 1,..., e n ) = 1 (bzw. (I n ) = 1). Diese Determinantenform bezeichnen wir im Weiteren als die Determinante auf dem K n (bzw. dem K n n ) und schreiben det statt. Insbesondere gilt folgende Darstellung det(a) = π S n sign(π) n i=1 a π(i)i. 24

25 2. Determinanten Satz 15/Def. 24 (Fortsetzung): (b) Dabei bezeichnet S n die Menge aller Permutationen der Menge {1,..., n} und sign(π) das Vorzeichen der Permutation π. Dieses ist definiert durch sign(π) := ( 1) t(π), wobei t(π) die Anzahl der Transpositionen ist, die man braucht um π zu darzustellen. 25

26 2. Determinanten Satz 16: Die Abbildung det : K n n K besitzt folgende Eigenschaften: (a) deti n = 1. (b) det(ab) = det A det B für alle A, B K n n. (c) det A 0 genau dann, wenn A invertierbar ist. (d) det A 1 = (det A) 1 für alle A GL n (K). (e) det A = det A für alle A K n n. (f) det a a 21 a a n a nn = det a 11 a a 1n 0 a a nn = n i=1 a ii. 26

27 2. Determinanten Folgerung 12 : Die Spalten (bzw. Zeilen) von A K n n sind genau dann linear unabhängig, wenn det A 0 gilt. Satz 17: Sei A K n n, n 2 und bezeichne Âij die (n 1) (n 1)-Matrix, die durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte von A entsteht. Dann gilt: (a) Entwicklung von det A nach der j-ten Spalte: det A = n i=1 ( 1) i+j a ij det Âij, wobei j {1,..., n} beliebig, aber fest gewählt ist. (b) Entwicklung von det A nach der i-ten Zeile: det A = n j=1 ( 1) i+j a ij det Âij, wobei i {1,..., n} beliebig, aber fest gewählt ist. 27

28 3. Eigenwerte, Eigenvektoren und das Spektrum Def. 25: (a) Sei A K n n. Ein Skalar λ K heißt Eigenwert von A, falls es ein v K n, v 0 gibt mit ( ) Av = λv. Falls ( ) gilt, so bezeichnen wir v 0 als Eigenvektor von A zum Eigenwert λ. Die Menge aller Eigenwerte einer Matrix A bezeichnen wir als ihr Spektrum σ(a), d.h. σ(a) := {λ K v K n \ {0} : Av = λv}. (b) Eine Matrix A K n n heißt diagonalisierbar (über K), falls es eine invertierbare Matrix T K n n gibt, so dass T 1 AT diagonal ist. 28

29 Eigenwerte, Eigenvektoren und das Spektrum Satz 18: Eine Matrix A K n n ist genau dann diagonalisierbar, wenn es n linear unabhängige Eigenvektoren v 1,..., v n K n von A gibt. Insbesondere ist dann T := [v 1 v 2... v n ] GL n (K) eine diagonalisierende Transformation, d.h. es gilt T 1 AT = λ 1 λ 2... λ n, wobei λ i den Eigenwerte zum Eigenvektor v i bezeichne. Satz 19: Sei A K n n. Ein Skalar λ K ist genau dann ein Eigenwert von A, wenn det(a λi n ) = 0 gilt. 29

30 Eigenwerte, Eigenvektoren und das Spektrum Def. 26: (a) Sei A K n n. Wir bezeichnen das Polynom χ A (x) := det(a xi n ) P n (K) als das charakteristische Polynom von A. (b) Für jedes λ σ(a) definieren wir E A (λ) := ker(a λi n ) K n als den Eigenraum von A zum Eigenwert λ. 30

31 Eigenwerte, Eigenvektoren und das Spektrum Folgerung 13: Sei A K n n. Dann gilt: (a) v E A (λ) \ {0} v ist Eigenvektor von A zum Eigenwert λ (b) σ(a) = {λ K χ A (λ) = 0}, d.h. die Eigenwerte von A sind genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Folgerung 14: Sei A K n n und sei T GL n (K). Dann gilt χ A = χ T 1 AT. Satz 20: Sei A K n n und seien v 1,..., v k Eigenvektoren von A zu paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,..., λ k. Dann sind v 1,..., v k linear unabhängig. 31

32 Eigenwerte, Eigenvektoren und das Spektrum Folgerung 15: (a) Sei A K n n. Wenn das charakteristische Polynom χ A genau n paarweise verschiedene Nullstellen besitzt, so ist A diagonalisierbar. Allgemeiner gilt: (b) Die Matrix A ist genau dann diagonalisierbar, wenn E A (λ 1 ) E A (λ 2 ) E A (λ k ) = K n, wobei λ 1,..., λ k die paarweise verschiedene Nullstellen von χ A bezeichne. Satz 21 (Satz von Cayley/Hamilton) Sei A K n n und sei χ A (x) = x n +a n 1 x n a 1 x+a 0. Dann gilt A n + a n 1 A n a 1 A + a 0 I n = 0 K n n, oder kurz χ A (A) = 0. 32

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