Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium

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1 Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Fakultät Informatik / Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Kartographie/Geoinformatik Vermessung/Geoinformatik Dresden 205

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3 . Mengen Mengenbegriff, Teilmenge, Durchschnitt und Vereinigung von Mengen, Produktmenge, Zahlenmengen, Intervalle. Im folgenden bedeuten:.. Gegeben seien die Mengen A = {x IN x 6}, B = {x IR x 4}, C = {x IN x 4}, IR : Menge der reellen Zahlen, IN = {0,,2,...} : Menge der natürlichen Zahlen. Beschreiben Sie (gegebenfalls durch Aufzählung der Elemente oder am Zahlenstrahl) die Mengen: A B, A B, A B C, A B C, (A B) C, A (B C)..2. Gegeben seien die Intervalle J = {x IR 2 x 2} = [ 2,2], J 2 = {x IR 3 < x 4} = ( 3,4], J 3 = {x IR 0 x < } = [0, ), J 4 = {x IR 2 x < 4} = [2,4). Ermitteln Sie und schreiben Sie - wenn möglich - als Intervall: J J 2 J J 3 J J 4 J J 2 J J 3 J J 4 2. Elementare Rechenoperationen, Potenzen, Wurzeln, Logarithmen Kenntnisse und Fähigkeiten: Bruchrechnung, Multiplikation und Division von Polynomen, Binomische Formeln, Ausklammern von Faktoren aus Polynomen, Potenz- und Logarithmengesetze, Summenzeichen. Untersuchen Sie im folgenden zuerst, für welche Werte der vorkommenden Variablen die auftretenden Terme definiert sind. 2.. Kürzen Sie so weit wie möglich. a) 204a2 b 3 c 255ab 2 c 3 b) 5x2 + 5x 2 + a 3 a 2 c) 2a + a2 + 2a 2 2

4 2.2. Fassen Sie zu einem Bruch zusammen, und kürzen Sie so weit wie möglich. 2 a) 3x 2 4 2x a 2 b 2 b) 6x 2a(a + b) abc c) a b b a ( b)c a 2.3. Vereinfachen Sie. a) (2x2 y 3 ) 4 (4x 3 y 4 ) 2 b) ( x m y n z r+ x 2 y 2 n z r 2 ) 2, m, n,r IN c) x 2 y 2 xy 3 x 4 d) (x 3 y 2 ) 4 x 2 3 e) a n b n 3 3 a n b n a n 2 b n a n 3 b n, n IN 2.4. Vereinfachen Sie. a) 3 a 5 b a 3 b 4 6 (3ab ) a 5 b 4 2 n (9a2 ) n b b) 3 3 c c 2,n IN 2.5. Vereinfachen Sie die folgenden Terme so weit wie möglich. a) 2x + 5 x + 3 3x 4 x x2 + 6x + 0 x 2 + 5x + 6 a b b) c) a b + a a + b a + b + c a + b b a b d) (2ax + 2ay)m (bx by) n (cx 2 cy 2 ) m+n, m IN,n IN, m, n 0 e) a5x y a4x y : 6n 2 f) b b n 3, a + b a2 + b 2 a4 b 4 x,y IR, n IN g) ( p + q p q) 2 h) x x 2 y 2 x + x 2 y 2 2

5 i) 3 b 3 b 2 5 b 8 4 b Geben Sie die folgenden Zahlen exakt und als auf 4 Kommastellen gerundete Dezimalzahl an. Vereinfachen Sie dazu die Terme und rechnen Sie danach mit dem Taschenrechner. a) b) ( 5 3) 2 ( 5+ 3) 2 c) d) e) f) (63 ) 3 (8 4 ) g) ( 5) 2 h) 4 ( 2) ( ) Vereinfachen Sie und berechnen Sie mit dem Taschenrechner. a) 0 2,58925 b) 3 4 3, c), 08 0 d) sin(,5) e) log 25 (25) f) log 20 (00) + log 00 (20) 2.8. Vereinfachen Sie (ohne Benutzung eines Taschenrechners) so weit wie möglich. a) ln(e 2 )+ b) ln(e 2 +) c) lg( 3 00) d) 2e 2 ln(2) e) ln (ln(ln(e e ))) f) e 2+ln(9) g) (( 3 e) 2 ) ln(8) 2.9. Vereinfachen Sie. a) ln(2a) + 2 ln(b) 2 ln(2c), a,b, c > 0, b) 3 ln(a2 b 2 ) 2 ln(a b) 2 ln(a + b), a + b > 0, a b > 0, c) ln(a 2 2ab + b 2 ) 3 ln(a 2 b 2 ) + 3 ln ( a + b ), a > b > Ermitteln Sie alle x IR mit a) 3 x = 27 b) 0 x = 0,0 c) log x (3) = 8 d) log 2 (x) = 5 e) log x ( 5) = f) log8 ( 5 64 ) = x ( g) log x (6) = 5 h) log 3 27) = x i) log (3) = x. 27 3

6 2.. Faktorisieren Sie, d.h. schreiben Sie als Produkt. a) 5a 5 b 3 c 2 35a 3 b 5 c a 4 b 4 c 3 b) (4x + y)(a + 2b) + (y 4x)( 2b a) c) (x + 2y)(x y)( 2x + y) y(6x 3y)(2y 2x) 2.2. Faktorisieren Sie unter Verwendung binomischer Formeln. a) 6a ab + 9b 2 b) ( a )(a ) (a 2 ) c) - 4 x2 4y 2 2xy 2.3. Schreiben Sie mittels quadratischer Ergänzung als Summe bzw. Differenz von Quadraten. a) x 2 4x + 3 b) x 2 + x 6 c) 4x 2 + 4x + 2 d) x 2 + 4ax + 9b 2 e) x 2 2x + y 2 + 6y f) 4x 2 + 8x 3y 2 + 2y 2.4. Klären Sie, unter welchen Bedingungen die folgenden Quotienten definiert sind und führen Sie die Division aus. a) (2a 2 + ab 7ac 20b bc 5c 2 ) : (3a + 4b 5c) b) (x 4 y 4 ) : (x y) c) (q n ) : (q ), n IN \ {0} d) (2x 4 x x 2 32x + 20) : (2x 2 7x + 6) 2.5. Lösen Sie die folgenden Formeln auf: a) I = nu nr i + R a nach n, R i, R a, b) K = K 0 q n + R qn q nach R, K 0, n, c) f = f + f 2 d f f 2 nach f, f, f 2, d) X = ωl ωc nach L, C, ω. 4

7 2.6. Ermitteln Sie die folgenden Summenwerte. 6 a) i c) 0 i 2 d) 00 2 e) f) i= 5 n= i i+3 b) 00 i= nx n für x = 2 i= g) 50 (5i + 3) i= 2.7. Berechnen ( ) Sie die Binomialkoeffizienten. ( ) ( ) a) b) c) d) ( ) ( ) ( ) 0,5 2 5 f) g) h) i) k= Beweisen Sie die Gültigkeit der Gleichung für n k 0,n IN,k IN. ( ) ( ) ( ) n n n + + = k k + k + 3. Vektoren ( ) 4,5 3 ( ) 2 0,5 e) j) 5 ( k) k k= ( ) 2,8 4 ( ) π 0 Kenntnisse und Fähigkeiten: Definition und Darstellung von Vektoren, Betrag eines Vektors, Winkel zwischen Vektoren. 3.. Gegeben seien die Vektoren a = i+2 j, b = 4 i 2 j. Bestimmen Sie die Vektoren a+ b, b a sowie den Winkel zwischen a und b. Stellen Sie die Vektoren a, b, a + b, b a zeichnerisch dar. Berechnen Sie b a, und interpretieren Sie das Ergebnis anschaulich. 5

8 4. Gleichungen für eine reelle Veränderliche Kenntnisse und Fähigkeiten: Umformen von Gleichungen, lineare Gleichungen, quadratische Gleichungen, Bruchgleichungen, Wurzelgleichungen, Exponentialgleichungen, Logarithmusgleichungen. 4.. Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden Gleichungen. a) 2x (5 4x) = 3x (2x + 8) b) (5 x)(x + 3) = (x 2)(8 x) c) 2x + 3x x = 7x d) a(2x b) + bc = b(2x a) bc 4.2. Lösen Sie die folgenden Gleichungen. a) x 2 5x + 6 = 0 b) 6x 2 + x = 0 c) x 2 + 4x + 3 = 0 d) 3x 2 = 2x + 2 e) (x 2 4x 5)(x 3) = 0 f) 5x 6 20x 4 = 0 g) x 3 4x 2 + 4x = 0 h) x 4 + 3x 2 4 = Lösen Sie die folgenden Gleichungen. a) x x + = x 3 x 5 c) x x = 3x + 2 b) x + x + = 5 2x + 2 d) x + x x + 3 x = Bestimmen Sie die Lösungsmengen folgender Gleichungen. a) b) c) d) x x 2 4 = x x x = x x 2 + 2x 2x 2 + 2x 4 = x + 6 3x 4 x 2 = 3x 54 2x 8 3x + 6 2(x + 6) 6

9 4.5. Lösen Sie die folgenden Wurzelgleichungen. a) x = x 2 b) x + 4 = x + 2 c) x x = 2x x 2 d) = x + x e) 2 + x + 2 x = 2 x 4.6. Geben Sie die Lösungen der folgenden Gleichungen exakt und als Dezimalzahl auf 4 Kommastellen gerundet an. a) ln(x + 3) = 2 b) (x + )(ln(x) + ) = 0 c) ln(x) 2 ln(x ) = 0 d) log 2 (x 2 + x + 6) = Lösen Sie die Gleichungen, und geben Sie die Lösungen exakt und als Dezimalzahl auf 4 Kommastellen gerundet an. a) 2 0 x = 3 b) e 2x+3 = 0 c) 2 6x 2 = 4 2x+3 d) = 0,25 + e x 4.8. Lösen Sie die Gleichungen und geben Sie die Lösungen exakt und als Dezimalzahl auf 4 Kommastellen gerundet an. a) 2 2x 2 x+ 3 = 0 b) x ln(x) = 2 c) (ln(x)) x = d) x lg(x) = 0 9 e) 2 x 5 2x = 0 2x+ f) lg(2 x ) + lg(3 x ) + lg(4 x ) = 5 7

10 5. Ungleichungen und Beträge für eine reelle Veränderliche Kenntnisse und Fähigkeiten: Definition des absoluten Betrages, Umformen von Ungleichungen, Ungleichungen mit Beträgen. 5.. Lösen Sie die folgenden Ungleichungen. a) 2x 4 < 4x b) x 3 4 x 5 c) (2 x)( + x) (3 x)(4 + x) d) ax < x + a, a IR 5.2. Bestimmen Sie die Lösungsmengen. a) x 2 b) x + 3 6x c) x 2 3x 2 < 4x + 2x Ermitteln Sie die Lösungsmengen folgender Ungleichungen auf rechnerischem und auf grafischem Wege. a) x 3 < 4 b) x + 2 c) x + 00 < 0,00 d) 2x 4 < x + 2 e) x > x Ermitteln Sie die Lösungsmengen folgender Ungleichungen. a) x x 2 2 x + 3 b) x < 4 c) x x Lösen Sie die folgenden Ungleichungen. a) x 2 5x + 6 > 0 b) 6x 2 + x c) x 2 + 4x d) x 5 x 2 e) 2 x > + x f) x x 2 g) + x < h) x + + x x 8

11 6. Gleichungssysteme für zwei reelle Veränderliche Kenntnisse und Fähigkeiten: Gleichungen mit 2 Unbekannten, Einsetzungsverfahren und Gleichsetzungsverfahren. 6.. Lösen Sie die Gleichungssysteme. a) 3x 2y = 8 2x + 3y = 4 x c) 5 + y 3 = x 3 + y 2 = 0 e) x + y = 0 xy = 9 b) 2x = 9 4y x = 4 2y d) x + y = x 2 + y 2 = 3 7. Geometrie Kenntnisse und Fähigkeiten: Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal (z.b. Senkrechte auf Gerade im Punkt P, Tangente vom Punkt P an einen Kreis); wesentliche geometrische Eigenschaften des Dreiecks, Flächenberechnungen für Dreieck und Kreis; Gleichungen für Gerade, Kreis, Ellipse, Parabel. 7.. Ermitteln Sie für die durch die folgenden Gleichungen gegebenen Kurven den Typ und zugeörige charakteristische Größen (Mittelpunkt, Achse, Scheitel usw.): a) x 2 + 6x + y 2 8y = 0 b) 3x 2 + 4y 2 + 6x 24y + 27 = 0 c) x 2 6x + 4y + 7 = 0 d) y 2 6y + 4x + 7 = 0 e) (x 3)(y x) = xy 7.2. Die Gerade g: y = 2x+b werde mit dem Kreis k: x 2 +y 2 = 9 zum Schnitt gebracht. Für welche Werte von b ergibt (ergeben) sich: kein Schnittpunkt, genau ein Schnittpunkt, genau 2 Schnittpunkte? 9

12 8. Funktionen Kenntnisse und Fähigkeiten: Funktionsbegriff, lineare und quadratische Funktionen, Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktionen, Nullstelle, Maximum, Minimum, Monotonie, Grenzwerte von Funktionen. 8.. Gegeben seien die Terme: a) f(x) = 0,x, b) f(x) = 2x 0,5 + x, c) f(x) = + e 0,x. Bilden Sie die folgenden Terme und vereinfachen Sie sie, falls möglich. f (x) = f(x + ) f 2 (x) = f(x) + f 3 (x) = f(x) f 4 (x) = f( x) f 5 (x) = f(x) f 6 (x) = f(x 2 ) f 7 (x) = [f(x)] Bilden Sie zu den Funktionen f : IR IR mit a) f(x) = + 0,5x, x IR, b) f(x) = x 2, x IR, c) f(x) = e x, x IR jeweils die Funktionen f i : IR IR,i =,..., 6, mit f (x) = f(x + ), f 2 (x) = f(x) +, f 3 (x) = f(x), f 4 (x) = f( x), f 5 (x) = 2f(x), f 6 (x) = f(2x), und skizzieren Sie die Graphen der Funktionen Für welche x sind die folgenden Terme definiert? Ermitteln Sie jeweils den größtmöglichen Definitionsbereich. a) f(x) = x 2 4 b) f(x) = ln(x + 5) ln(x + 4) c) f(x) = d) f(x) = (x )(x + 2) e 0,x 8.4. Skizzieren Sie die folgenden Geraden in einem geeigneten Koordinatensystem. a) y = 3x 4 b) 0x + 5y = 30 c) x 0 + y = d) k = 0, t +,2 5 e) s = 2 (2 8t)/3 0

13 8.5. Skizzieren Sie jeweils den Graphen der Funktion für x IR. a) y = (x + ) 2 4 b) y = x 2 4x + 3 c) y = 6 x x Skizzieren Sie jeweils den Graphen der Funktion. Versuchen Sie, möglichst ohne Wertetabelle auszukommen. a) y = x 2, x [0; ) b) y = x 4, x IR c) y = x, x ( ;0) d) y = x 2 4x 8, x IR e) y = x 3 + 3x 2 + 8x 40, x IR f) y = ln(x 2), x (2; ) g) y = x +, x x (; ) h) y = ln x, x IR\{0} i) y = x 4, x [4; ) 0 für < x j) y = (x + ) 2 für < x < 0 2 x + für 0 x < 8.7. Skizzieren Sie jeweils den Graphen der Funktion für den größtmöglichen Definitionsbereich, und bestimmen Sie den Wertebereich der Funktion. a) y = 3 + x b) y = x 2 c) y = x Skizzieren Sie jeweils den Graphen der Funktion, und geben Sie den Wertebereich an. a) y = e x,x IR b) y = 2 e x,x IR c) y = e x+,x IR d) y = e x + e x,x IR 8.9. Skizzieren Sie jeweils den Graphen der Funktion für x IR, und bestimmen Sie den Wertebereich der Funktion. a) y = 3 + sin(x) b) y = sin(x ) c) y = sin(2(x )) d) y = 3 + 4sin(2(x ))

14 8.0. Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen für jeweils eine Teilaufgabe in einem gemeinsamen Koordinatensystem. a) y = e ax für a = 0, ± 2, ±, ±2, x IR b) y = e x + a für a = 0, ±, ±2, x IR c) y = e x+a für a = 0, ±, ±2, x IR 8.. In welchen Intervallen sind folgende Funktionen monoton wachsend? a) y = 3x + 6, x IR b) y = x 2 2x +, x IR 8.2. Ermitteln Sie (ohne Differentialrechnung) die Maxima/Minima (soweit vorhanden) der Funktionen nach Lage, Art und Größe. a) y = x 2 5, x IR b) y = x 2 4x + 5, x IR c) y = e x2, x IR d) y = x 2 +, x IR e) y = sin 2 (x), x IR f) y = + cos 2 (x), x IR 9. Differentialrechnung Kenntnisse und Fähigkeiten: Ableitungsregeln (Faktor- und Additionsregel, Produkt-, Quotientenund Kettenregel) für Funktionen y = f(x), Extremwertermittlung, Kurvendiskussion. 9.. Ermitteln Sie jeweils die erste Ableitung f (x). a) f(x) = 3 x x, x > 0 b) f(x) = + x 2 3x 4, x 0 c) f(x) = ( x)(x 2 + 6x + 8), x IR d) f(x) = 3 x 2 + 5x 4 x 3 3, x > 0 2

15 e) f(x) = 2 ln(x) 3e x + 5 x, x > 0 f) f(x) = 2x 0,5 + x, x > 0 g) f(x) = 2 x lg(x) + 3x 2, x > 0 0. Integralrechnung Kenntnisse und Fähigkeiten: Unbestimmtes und bestimmtes Integral, Grundintegrale, Flächenberechnungen. 0.. Ermitteln Sie die folgenden unbestimmten Integrale. a) (3x 4 5x 2 + 0)dx b) (x + 5x 2x ) 2 dx c) ( 3 x 3 x 3 ) dx d) (3 5e x )dx e) f) g) 3 x7 3 5 x 2 dx x 6 t 4 + t 3 + t 2 dt t 3 e 2x + e x 2 dx e x 3

16 Lösungen.. {4,5,6}, {,2,3} [4; ), {4}, {0,,2,3} [4; ), {0,,2,3,4,5,6}, A.2. J J 2 = J J J 3 = [0;2] J J 4 = {2} J J 2 = J 2 J J 3 = [ 2; ) J J 4 = [ 2;4) 2.. a) 4ab 5c 2, a,b,c 0 b),a 2 c) a +, a, a 2(a ) 5x 3 + 4x a) 6x 4, x 0 b) a + b, a 0, a b 2a c), a,b, c 0, a b 2.3. a) x 2 y 4, x,y 0 b) x 2m 4 y 4n 4 z 6, x,y, z 0 c) xy, x,y 0 d) y8 (b a)3, x 0 e) x4 a n b n, a,b 0 ( ) n 3ab 2.4. a) a 4 b 3, a,b 0 b), a,b 0, c > 0 c 2.5. a) 0x + 32, x IR\{ 2; 3} (x + 3)(x + 2) b) a2 + 2ab b 2 a 2 2ab b 2, a2 b 2, a b( ± 2) abc c) ab + ac + bc, abc 0, a + b + c 0 ( ) m ( ) n 2a b d) c c (x + y) n (x y) m, c(x2 y 2 ) 0 e) a x b 5n, a > 0,b > 0 f), a b a + b > 0, a b > 0 g) 2p 2 p 2 q 2, p + q 0, p q 0 h) y, x 0, x 2 y 2 i) b 3/8, b 0 4

17 2.6. a) 2 7/8,8340 b) 4 c) 8 = 0,25 d) 4 7 0,5830 e) , f) 3 3 8,9630 g) 5 h) 2 2 2, a), 08 b), c) 2, 589 d) 0, 9975 e), 5 f) 2, a) 3 b) - c) ( ) ab a) ln 2c d) 8 e) 0 f) 3e g) 4 b) 6 ln(a2 b 2 ) c) ln ( (a 2 b 2 ) a + b ) 2.0. a) 3 b) 2 c) 8 3 d) 32 e) 5 2 f) 5 g) / 5 6 h) 3 i) a) 5a 3 b 3 c 2 ( a 2 9b 2 c 2 + 5abc) b) 8x(a + 2b) c) (x y)(y 2x)(x 4y) 2.2. a) (4a + 3b) 2 b) 2(a 2 ) c) ( 2 x + 2y) a) (x 2) 2 +9 b) (x+ 2 ) c) 2 2 (x+ 2 )2 + d) (x + 2a) 2 4a 2 + 9b 2 e) (x ) 2 + (y + 3) 2 0 f) 4(x + ) 2 3(y 2) a) 4a 5b + c, 3a + 4b 5c 0 b) x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3, x y c) q n + q n q +, q und n IN \ {0} d) x 2 2x + 2,5 + 2,5x+5 2x 2 7x+6, x 2,x, a) n = R ai U R i I, b) R = (K K 0 q n ) R i = nu R ai ni, R a = n(u R ii) I q q n, n = ln q ln ( K(q )+R K 0 (q )+R ) K 0 = K q n R q n qn q, c) f = f f 2 f +f 2 d, f = f(d f 2) f f 2, f 2 = f(d f ) f f d) L = X ω + ω 2 C, C = ω 2 L ωx, ω = 2L ( X ± X 2 + 4L C ) 5

18 2.6. a) b) 5050 c) 385 d) 202 e) 2893 f) 29 g) a) 6 b) 56 c) 0 d) 05 6 = 6,5625 e) -0,0336 f) 0,375 6 = 0,0625 g) -6 h) - i) - j) 3.. a + b = 5 i; b a = 3 i 4 j; <)( a; b) = 90 0 ; b a = a) L = { 3 5 } b) L = {3 8 } c) L = {0} d) L = { bc a b }, falls a b, L = IR, falls (a = b) und (b c = 0), L =, falls a = b und bc a) L = {2;3} b) L = { 2 ; 3 } c) L = d) L = {2 + 8;2 8} e) L = { ;3; 5} f) L = {0;2; 2} g) L = {0;2} h) L = { ;} 4.3. a) L = {2} b) L = {2} c) L = { 4 3 } d) L = 4.4. a) L = { ; 2 2 7} c) L = {2} b) L = { ; } d) L = {4} 4.5. a) L = {} b) L = {0} c) L = {} d) L = e) L = {2} 4.6. a) e 2 3 4,389 b) e 0,3679 c) ,680 d) L = {; 2} 4.7. a) 0 log 2 (3) 8,450 b) 3 2 =,5 c) 4 d) ln(7), a) log 2 (3),5850 b) L = {e ln(2) ;e ln(2) } c) e 2,783 d) L = {0 3 ;0 3 } e) log 2 (5) 3,329 f) 5 lg(24) 3, a) ( 3 2 ; ) b) ( ;30] c) [5; ) x > a a für a < d) x < a a für a > x IR für a = 5.2. a) (;,5] b) (2;7] c) ( ; 2 ) ( 4 5 ; 2 3 ) 6

19 5.3. a) ( ; 7) b) ( ; 3] [; ) c) ( 00,00; 99,999) d) e) ( ; 2 ) 5.4. a) [ 6;6] b) ( ;) ( 7 3 ; ) c) IR\{ 3} 5.5. a) ( ;2) (3; ) b) [ 2 ; 3 ] c) d) ( ; 3] [2; ) e) ( ; 2) (0;) f) [ ;0] (;3] g) ( 2;)\{0} h) [ 3;0] 6.. a) (4; 2) b) - c) ( 45; 30) d) (3; 2), ( 2;3) e) (9;), (;9) 7.. a) Kreis: MP( 3;4), r = 5, b) Ellipse: MP( ;3), a = 2, b = 3, c) Parabel: Achse x = 3, S(3; 2), nach unten offen, d) Parabel: Achse y = 3, S( 2;3), nach links offen, e) Parabel: Achse x = 3 2, S(3 2 ; 3 4 ), nach unten offen b > 3 5 kein Schnittpunkt b = 3 5 genau ein Schnittpunkt b < 3 5 zwei Schnittpunkte 8.. a) b) c) f (x) 0,9 0,x 2(x + ) 0,5 + x+ f 4 (x) + 0, x 2( x) 0,5 x +e 0,x f 6 (x) 0, x 2 2x + x 2 +e 0,x2 +e 0,(x+) 8.3. a) x 2, b) ( 5; ), c) ( 4; )\{ 2;}, d) IR\{0} 8.. a), b) [; ) 8.2. a) Min(0; 5), b) Min(2;), c) Max(0;), d) Max(0;), e) Max( π 2 + kπ;), Min(kπ;0), k ZZ, ZZ = Menge der ganzen Zahlen, f) Max( π 2 + kπ;), Min(kπ; 2 ), k ZZ. 9.. a) 2x b) 2 x 2 x x 5 c) 3x 2 2 0x 2 d) 3 3 x e) 2 x 3ex 5 x f) x 2 x 2 g) 2 x ln(2) x ln(0) 6 x x 3

20 0.. a) 3 5 x5 5 3 x3 + 0x + C b) 2 x2 + 5 ln x + 2 x + C c) 3 4 x x C d) 3x 5e x + C e) 3 8 x 2 3 x x 4 5 x 3 + C f) 2 t2 + t + ln t + 2t 2 + C g) e x + xe 2 + C 8

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