Kombinationen und Permutationen

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1 10 Kombinationen und Permutationen In den nächsten beiden Kapiteln wird die Abzählungstheorie der lassischen Abbildungstypen mit Nebenbedingungen entwicelt. Sie beschäftigt sich onret mit der Frage, auf wie viele Arten es möglich ist, N Kugeln auf R Fächer so zu verteilen, dass in jedes Fach höchstens eine Kugel, mindestens eine Kugel oder genau eine Kugel ommt oder aber beliebig viele Kugeln ommen. Dabei wird unterschieden, ob die Kugeln oder Fächer unterscheidbar (gefärbt) oder ununterscheidbar (ungefärbt) sind. Diese Fragestellung wird im Folgenden auf ein einheitliches Grundmuster zurücgeführt, das auf Wörtern basiert Kombinationen -Kombinationen und Mengen Seien und n natürliche Zahlen. Ein Wort x der Länge über n wird eine -Kombination von n genannt, wenn x streng mononton ist. Ein Wort x = x 1 x 2... x heißt streng monoton, wenn x 1 < x 2 <... < x. Die Anzahl der -Kombinationen von n wird mit ( n ) bezeichnet, sprich n über, und heißt Binomialzahl von n über. Beispiel Die 2-Kombinationen von 4 lauten 12, 13, 14, 23, 24 und 34. Jede -Kombination x = x 1 x 2... x von n beschreibt eine -Teilmenge f(x) = {x 1, x 2,...,x } von n. Die Zuordnung f : x f(x) liefert eine Bijetion von der Menge aller -Kombinationen von n auf die Menge aller -Teilmengen von n. Die Menge aller -Teilmengen von n wird mit ( n ) bezeichnet. Mit dem Gleichheitsprinzip folgt ( ) ( ) n = n. (10.1)

2 98 10 Kombinationen und Permutationen Satz Für alle natürlichen Zahlen und n gilt ( n ) ( = 0, falls > n. n ) ( 0 = 1, n ) ( n = 1 und n ) 1 = n. Für 1 n gilt ( ) ( ) ( ) n n 1 n 1 = +. (10.2) 1 Für 0 n gilt ( ) n = Für 0 n gilt n(n 1) (n + 1)! = n!!(n )!. (10.3) ( ) ( ) n n =. (10.4) n Beweis. Die ersten beiden Aussagen folgen aus den Definitionen. Für den Beweis der dritten Aussage ann aufgrund der zweiten Aussage n > 1 vorausgesetzt werden. Sei A die Menge aller -Kombinationen von n, die n enthalten, und B die Menge der übrigen -Kombinationen von n. Mit dem Additionsprinzip folgt ( n ) = A + B. Eine -Kombination x1 x 2... x von n liegt in A genau dann, wenn x = n und x 1 x 2... x 1 eine ( 1)-Kombination von n 1 ist. Also folgt A = ( n 1 1). Eine -Kombination x = x1 x 2... x von n gehört zu B genau dann, wenn x eine -Kombination von n 1 ist. Folglich ist B = ( ) n 1. Die vierte Aussage wird durch vollständige Indution nach n mithilfe der dritten Aussage bewiesen. Die letzte Aussage folgt diret aus der vierten. Satz Für jede natürliche Zahl n gilt ( ) n = 2 n. (10.5) Beweis. Es gilt =0 ( ) n = =0 =0 ( ) n = n =0 ( ) n = P(n) = 2 n, dabei ergibt sich die erste Gleichung aus (10.1), die zweite aus dem Additionsprinzip und die letzte aus dem Satz Satz Für jede natürliche Zahl n gilt ( ) n ( 1) = 0. (10.6) =0

3 10.1 Kombinationen 99 Beweis. Die Summe auf der linen Seite hat wegen (10.2) die Gestalt {( ) ( )} {( ) ( )} n 1 n 1 n 1 n {( ) ( )} {( ) ( )} n 1 n 1 n 1 n 1 + ±... + ( 1) n ( 1) n. 2 3 n 2 n 1 Jede Binomialzahl ( ) n 1, 1 n 2, ommt je einmal mit positivem und negativem Vorzeichen vor, weshalb nur folgende Teilsumme übrig bleibt ( ) ( ) n 1 n ( 1) n 1 + ( 1) n = ( 1) n 1 + ( 1) n = 0. 0 n 1 Die Binomialzahl ( n ) beschreibt die Anzahl der Möglicheiten, Elemente aus einer n-elementigen Menge auszuwählen, wobei jedes Element höchstens einmal ausgewählt wird und es nicht auf die Reihenfolge der Elemente anommt. Beispiel Beim Zahlenlotto werden 6 aus 49 Zahlen gezogen. Sechs Richtige bilden eine 6-Kombination von 49. Die Anzahl der 6-Kombinationen von 49 ist gleich ( ) Die Wahrscheinlicheit, sechs Richtige zu erhalten, ist 1/ ( ) Kombinationen und charateristische Wörter Jede -Kombination x = x 1 x 2... x von n beschreibt ein Wort χ(x) = c 1 c 2... c n der Länge n über dem Alphabet {0, 1}, wobei { 1 falls i in x vorommt, c i = 0 sonst. (10.7) Das Wort χ(x) besteht aus Einsen und n Nullen und wird charateristisches Wort oder (n, )-Wort von x genannt. Die Zuordnung χ : x χ(x) liefert eine Bijetion von der Menge aller -Kombinationen von n auf die Menge aller (n, )-Wörter. Diese Zuordnung verdeutlicht folgende Tabelle -Kombinationen von 4 (4, )-Wörter 0 ǫ , 2, 3, , 0100, 0010, , 13, 14, 1100, 1010, 1001, 23, 24, , 0101, , 124, 1110, 1101, 134, ,

4 Kombinationen und Permutationen 10.2 Repetitionen Repetitionen sind Kombinationen mit Wiederholung. Ein Wort x 1 x 2... x n der Länge n über N 0 heißt eine -Repetition von n, wenn x 1 + x x n =. Beispiel Die 2-Repetitionen von 4 lauten 2000, 1100, 1010, 1001, 0200, 0110, 0101, 0020, 0011 und Jede -Repetition x 1 x 2... x n von n ist eine endliche Folge f : n N 0 mit f(i) = x i für 1 i n. Folgen mit natürlichzahligem Wertebereich sind Multimengen. Beispiel Die 2-Repetitionen von 4 aus Beispiel 10.6 entsprechen der Reihe nach den Multimengen {1, 1} M, {1, 2} M, {1, 3} M, {1, 4} M, {2, 2} M, {2, 3} M, {2, 4} M, {3, 3} M, {3, 4} M und {4, 4} M. Satz Die Anzahl der -Repetitionen von n ist gleich ( n+ 1 Beweis. Jeder -Repetition x 1 x 2...x n von n wird ein Wort über {0, 1} zugeordnet: x 2 x n x 1 {}}{{}}{{}}{ Dieses Wort hat x 1 + x x n = Einsen und n 1 Nullen und ist somit ein (n + 1, )-Wort. Diese Zuordnung liefert eine Bijetion von der Menge aller -Repetitionen von n auf die Menge aller (n + 1, )-Wörter. Die Anzahl der (n+ 1, )-Wörter ist nach dem Gleichheitsprinzip identisch mit der Anzahl der -Kombination von n + 1, letztere ist ( ) n+ 1. Also folgt mit dem Gleichheitsprinzip die Behauptung. Die folgende Tabelle zeigt vier Darstellungsformen für Repetitionen 3-Repetitionen von 2 Multimengen (4, 3)-Wörter 3-Kombinationen von 4 30 {1, 1, 1} M {1, 1, 2} M {1, 2, 2} M {2, 2, 2} M Die Binomialzahl ( ) n+ 1 beschreibt die Anzahl der Möglicheiten, Elemente aus einer n-elementigen Menge auszuwählen, wobei jedes Element mehrfach ausgewählt werden darf und es nicht auf die Reihenfolge der Elemente anommt. Beispiel Die Anzahl der Würfe mit 5 nicht unterscheidbaren Würfeln ist identisch mit der Anzahl der 5-Repetitionen von 6, nämlich ( 10 5 ) = 252. ).

5 10.3 Permutationen Permutationen Ein Wort x der Länge über n heißt eine -Permutation von n, wenn x einen Buchstaben mehrfach enthält. Die Anzahl der -Permutationen von n wird mit (n) bezeichnet, sprich unter n. Beispiel Die 2-Permutationen von 4 lauten 12, 21, 13, 31, 14, 41, 23, 32, 24, 42, 34 und 43. Jede -Permutation x 1 x 2... x von n entspricht einer injetiven Abbildung f : n mit f(i) = x i für 1 i, und umgeehrt. Also ist die Menge aller -Permutationen von n identisch mit der Menge aller injetiven Abbildungen von nach n. Satz Für jede natürliche Zahl n gilt (n) 1 = n und (n) n = n!. (10.8) Für alle natürlichen Zahlen n und mit 1 < < n gilt (n) = (n 1) + (n 1) 1. (10.9) Beweis. Die 1-Permutationen von n sind die Ziffern 1, 2,...,n. Für eine n- Permutationen von n gibt es n Möglicheiten, den ersten Buchstaben zu wählen. Für den zweiten Buchstaben verbleiben n 1 Möglicheiten. Auf diese Weise fortfahrend ergeben sich n! Möglicheiten, die n-permutationen von n zu erzeugen. Sei A die Menge aller -Permutationen von n, die n enthalten, und B die Menge der übrigen -Permutationen von n. Mit dem Additionsprinzip folgt (n) = A + B. Jede ( 1)-Permutation y = y 1 y 2...y 1 von n 1 lässt sich zu einer -Permutation y (i) von n fortsetzen, indem n an der Position i eingefügt wird. Die Zuordnung (i, y) y (i) definiert eine Bijetion des artesischen Produts von und der Menge aller ( 1)-Permutationen von n 1 auf die Menge A. Mit dem Multipliations- und Gleichheitsprinzip folgt A = (n 1) 1. Die Elemente von B entsprechen den -Permutationen von n 1. Mit dem Gleichheitprinzip folgt B = (n 1). Durch vollständige Indution erhalten wir das folgende Korollar Für alle natürlichen Zahlen n und mit 1 n gilt (n) = n (n 1) (n + 1). (10.10) Die Zahl (n) beschreibt die Anzahl der Möglicheiten, Elemente aus einer n-elementigen Menge auszuwählen, wobei jedes Element höchstens einmal ausgewählt wird und es auf die Reihenfolge der Elemente anommt. Beispiel Wie viele dreistellige Dezimalzahlen lassen sich mit den Ziffern 2, 3, 4, 5 und 6 bilden, so dass eine Ziffer mehrfach auftritt? Diese Dezimalzahlen entsprechen den 3-Permutationen von 5. Die Antwort lautet (5) 3 = 60.

6 Kombinationen und Permutationen Korollar Die Anzahl der Permutationen vom Grad n ist gleich n!. Beweis. Die injetiven Abbildungen f : n n sind nach Satz 6.8 bijetiv. Also entsprechen die n-permutationen von n genau den Permutationen vom Grad n. Mit dem Satz folgt die Behauptung Permutationen und Zyeltypen Jede Permutation vom Grad n ist als Produt von disjunten Zyeln darstellbar (Abs. 6.4). In diesem Abschnitt werden Permutationen vom Grad n hinsichtlich ihrer Zyelstrutur lassifiziert. Stirling-Zahlen erster Art Die absolute Stirling-Zahl erster Art (James Stirling, ) beschreibt die Anzahl der Permutationen vom Grad n, die aus disjunten Zyeln bestehen. Sie wird mit s 0 (n, ) bezeichnet. Da eine Permutation vom Grad n höchstens n disjunten Zyeln besitzt, ergibt sich s 0 (n, ) = 0, falls > n. Satz Für jede natürliche Zahl n gilt ( ) n s 0 (n, 1) = (n 1)!, s 0 (n, n 1) = 2 und s 0 (n, n) = 1. (10.11) Für alle natürlichen Zahlen n und mit 1 < < n gilt s 0 (n, ) = s 0 (n 1, 1) + (n 1) s 0 (n 1, ). (10.12) Beweis. In einem Zyel der Länge n ann die Eins als Anfangselement festgehalten und die restlichen n 1 Zahlen beliebig permutiert werden. Die letzten n 1 Zahlen bilden eine Permutation vom Grad n 1. Mit dem Korollar folgt s 0 (n, 1) = (n 1)!. Eine Permutation vom Grad n mit n 1 disjunten Zyeln besteht aus einer Transposition und n 2 Fixpunten. Die Transpositionen entsprechen den 2-Kombinationen von n. Also gibt es ( n 2) derartige Transpositionen. Schließlich gibt es eine Permutation mit n Fixpunten, die identische Abbildung (1)(2)...(n). Die Menge aller Permutationen vom Grad n mit disjunten Zyeln wird in zwei Teilmengen zerlegt. Sei A die Menge aller Permutationen vom Grad n mit disjunten Zyeln, die n als Fixpunt enthalten, und sei B die Menge der übrigen Permutationen vom Grad n mit disjunten Zyeln. Mit dem Additionsprinzip folgt s 0 (n, ) = A + B. Jeder Permutation in A wird durch Fortlassen des Fixpunts n zu einer Permutation vom Grad n 1 mit 1 disjunten Zyeln. Dadurch ergibt sich eine Bijetion von A auf die Menge aller Permutationen vom Grad n 1 mit 1 disjunten Zyeln. Mit dem Gleichheitsprinzip folgt A = s 0 (n 1, 1).

7 10.4 Permutationen und Zyeltypen 103 Jeder Permutation π =...(..., i, n, j,...)... B wird ein Paar zugewiesen, bestehend aus dem Urbild i von n unter π und einer Permutation... (..., i, j,...)... vom Grad n 1, die aus π durch Entfernen von n entsteht. Dadurch erhellt sich eine Bijetion von B auf das artesischen Produt von n 1 und der Menge aller Permutationen vom Grad n 1 mit disjunten Zyeln. Mit dem Multipliations- und Gleichheitsprinzip folgt B = (n 1) s 0 (n 1, ). Die Stirling-Zahlen erster Art sind gegeben durch s(n, ) = ( 1) n s 0 (n, ). (10.13) Für die Stirling-Zahlen erster Art gilt n ( )( ) n 1 l 2n s(n, ) = ( 1) l S(n + l, l), (10.14) n + l n l l=0 wobei die S(n, ) Stirling-Zahlen zweiter Art bezeichnen (Abs. 11.2). Zyeltypen Eine Permutation π vom Grad n hat den Zyeltyp n n, wenn die Zyeldarstellung von π aus i Zyeln der Länge i besteht. Der Zyeltyp ist als symbolischer Ausdruc zu verstehen. Eine Permutation vom Zyeltyp n n hat den Grad und die Anzahl ihrer Zyeln ist n = n n (10.15) = n. (10.16) Beispiel Die Permutationen vom Zyeltyp lauten (1)(23), (2)(13) und (3)(12). Satz Die Anzahl der Permutationen vom Zyeltyp n n ist gleich n!. (10.17) 1! 2!... n! n... n Beweis. Die Permutationen vom Zyeltyp n n resultieren durch Füllen des untenstehenden Gerüsts mit den n-permutationen von n 1 2 {}}{{}}{{}}{ ( )( )...( ) ( )( )...( ) ( )( )...( )... Nach Korollar ist die Anzahl der n-permutationen von n gleich n!. Dieselbe Permutation wird auf zwei Arten erhalten: Erstens, wenn Zyeln gleicher Länge vertauscht werden, wofür es 1! 2!... n! Möglicheiten gibt. Zweitens, wenn die Elemente eines Zyels zylisch verschoben werden, wofür n n Möglicheiten existieren. 3

8 Kombinationen und Permutationen Satz Die Anzahl der fixpuntfreien Permutationen vom Grad n ist gleich ( ) n ( 1) i (n i)!. (10.18) i i=0 Beweis. Sei A die Menge aller Permutationen vom Grad n. Sei A i die Menge derjeniger Permutationen vom Grad n, die i n als Fixpunt enthalten. Die Menge aller fixpuntfreien Permutationen vom Grad n ist dann n A \ ( A i ). i=1 Sei I eine Teilmenge von n. Die Menge aller Permutationen vom Grad n, die alle Elemente aus I invariant lassen, ist A j. j I Diese Menge entspricht der Menge aller Permutationen von n \ I, die nach Satz die Mächigeit (n I )! besitzt. Diese Zahl hängt nur von der Mächtigeit von I ab. Deshalb die vereinfachte Siebformel 9.12 anwendbar ist, so dass für die Anzahl der fixpuntfreien Permutationen von Grad n gilt n A \ ( A i ) = n! + i=1 ( ) n ( 1) i (n i)! = i i=1 ( n ( 1) i i i=0 ) (n i)! Variationen Variationen sind Permutationen mit Wiederholung. Ein Wort der Länge über n wird eine -Variation von n genannt. Beispiel Die 2-Variationen von 4 lauten 11, 12, 21, 13, 31, 14, 41, 22, 23, 32, 24, 42, 33, 34, 43 und 44. Eine -Variation x 1 x 2...x von n entspricht einer Abbildung f : n mit f(i) = x i für 1 i, und umgeehrt. Die Menge aller -Variationen von n ist also identisch mit der Menge aller Abbildungen von nach n. Satz Die Anzahl der Abbildungen von nach n ist gleich n. Beweis. Es gilt n = n = n = n, (10.19) wobei die erste Identität aus Satz 6.10 und dem Gleichheitsprinzip folgt, während sich die zweite Gleichung aus Multipliationsprinzip ergibt.

9 10.5 Variationen 105 Die Zahl n beschreibt die Anzahl der Möglicheiten, Elemente aus einer n-elementigen Menge auszuwählen, wobei jedes Element mehrfach ausgewählt werden darf und es auf die Reihenfolge der Elemente anommt. Eine -Variation von n heißt vom Typ n n, wenn sie i Buchstaben i enthält. Der Typ einer Variation ist ebenfalls als symbolisches Produt zu verstehen. Für jede -Variation vom Typ n n gilt = n. (10.20) Die Anzahl der -Variationen vom Typ n n wird Multinomialzahl von über 1,..., n genannt, urz ( ). (10.21) 1, 2,..., n Satz Für natürliche Zahlen, 1,..., n mit = n gilt ( )! = 1, 2,..., n 1! 2!... n!. (10.22) Beweis. In einem Wort der Länge önnen 1 Buchstaben 1 auf ( ) 1 Arten platziert werden. In den verbliebenen 1 freien Stellen lassen sich 2 Buchstaben 2 auf ( 1 ) 2 Arten platzieren. Auf diese Weise fortfahrend ergibt sich ( ) ( )( ) 1 = 1, 2,..., n 1 2 ( 1... n 1 n ). Daraus folgt mit Hilfe von (10.3) die Behauptung. Im Falle n = 2 werden aus Multinomialzahlen Binomialzahlen ( ) ( ) ( ) = =. (10.23) 1, Die Multinomialzahl ( ) 1,..., n beschreibt die Anzahl der Möglicheiten, Objete, von denen jeweils 1,..., n Objete gleich sind, in beliebiger Reihenfolge anzuordnen. Beispiel Das Wort MISSISSIPPI entspricht dem Wort , einer 11-Variation vom Typ Die Anzahl der Wörter, die sich mit den Buchstaben des Wortes MISSISSIPPI bilden lassen, orrespondiert zur Anzahl der 11-Variationen vom Typ ( ) 11 = , 4, 4, 2 Die Multinomialzahl ( ) 1,..., n beschreibt die Anzahl der Abbildungen von nach n, in denen jeweils i Elemente aus auf i abgebildet werden.

10 Kombinationen und Permutationen Beispiel Die 4-Variationen vom Typ lauten 1123, 1132, 1213, 1231, 1312, 1321, 2113, 2131, 2311, 3112, 3121 und Diese Wörter entsprechen den Abbildungen f : 4 3, in denen jeweils zwei Elemente auf 1 und je ein Element auf 2 und 3 abgebildet werden. Die Anzahl dieser Abbildungen ist gleich ( ) 4 = 12. 2, 1, 1 Selbsttestaufgaben Ein Bauer auft drei Kühe, zwei Schweine und vier Hennen von einem Händler, der sechs Kühe, fünf Schweine und acht Hennen anbietet. Wie viele Möglicheiten der Auswahl hat der Bauer? In einem Behälter befinden sich fünf weiße und sechs rote Kugeln. Wie viele Möglicheiten gibt es, vier Kugeln zu ziehen, so dass zwei Kugeln weiß und zwei Kugeln rot sind? Eine Studentin hat in einer Prüfung sechs von acht Fragen richtig zu beantworten. Wie viele Möglicheiten gibt es, sechs dieser Fragen auszuwählen? Wie viele Möglicheiten gibt es, wenn die Studentin die ersten drei Fragen richtig beantworten muss. Wie viele Möglicheiten gibt es, wenn die Studentin mindestens vier der ersten fünf Fragen orret beanworten soll Zeige, dass für alle natürlichen Zahlen n 0 und m 1 gilt ( ) ( ) m + i m + n + 1 =. m m + 1 i= In einer Disussionsrunde mit drei Jungen und zwei Mädchen sollen alle Jungen und Mädchen in einer Reihe sitzen. Wie viele Anordnungen gibt es, wenn beide Mädchen nebeneinander sitzen? Bestimme die Anzahl der Wörter der Länge vier, die aus den Buchstaben des Wortes NUMERICAL gebildet werden önnen Wie viele Wörter önnen in der vorigen Aufgabe gebildet werden, wenn jedes Wort mit einem Konsonanten beginnen und enden soll? Bestimme die Anzahl der Möglicheiten, fünf große Bücher, vier mittelgroße Bücher und drei leine Bücher auf einem Regal so anzuordnen, dass alle Bücher gleicher Größe nebeneinander stehen Beweise die Gleichung (10.14) Aus einer n-elementigen Menge sind Elemente auszuwählen mit bzw. ohne Berücsichtigung der Reihenfolge und mit bzw. ohne Wiederholung der Elemente. Gib die Anzahl in jedem der vier Fälle an.

11 10.5 Variationen Berechne die Anzahl der Wörter der Länge sechs, die aus den Buchstaben A, C, D, H, I und U ohne Wiederholung gebildet werden önnen, wobei die Wörter ICH und DU nicht als Teilwörter enthalten sein dürfen Wie viele Wörter önnen mit dem Wort HUGENOTTEN gebildet werden? Wie viele Wörter gibt es, die das Bigramm TT enthalten?

12 Kombinationen und Permutationen

13 11 Partitionen In diesem Kapitel wird die im letzten Kapitel begonnene Abzählungstheorie der lassischen Abbildungstypen mit Nebenbedingungen fortgesetzt Mengenpartitionen Wachstumsbeschränte Wörter Ein Wort x = x 1... x n der Länge n über N heißt wachstumsbeschränt, wenn x 1 = 1 und x i max{x 1,...,x i 1 } + 1 für 2 i n. (11.1) Beispiel Die wachstumsbeschränten Wörter der Länge 3 lauten 111, 112, 121, 122 und 123. Eine Partition der Menge n, die aus Blöcen besteht, wird -Partition von n genannt. Beispiel Die 2-Partitionen von 3 lauten {{1}, {2, 3}}, {{2}, {1, 3}} und {{3}, {1, 2}}. Satz Seien und n natürliche Zahlen mit 1 n. Die -Partitionen von n entsprechen den wachstumsbeschränten Wörtern x = x 1,...,x n der Länge n mit der Eigenschaft = max{x 1,...,x n }. (11.2) Beweis. Sei P = {P 1,...,P } eine -Partition von n. O.B.d.A. seien die Blöce von P so nummeriert, dass 1 P 1 und P j die leinste Zahl enthält, die in P 1,...,P j 1 nicht vorommt. Einer solchen Partition P wird ein Wort x = x 1...x n wie folgt zugeordnet x i = j : i P j. (11.3)

14 Partitionen Das so definierte Wort x ist nach Definition von P wachstumsbeschränt und erfüllt die Bedingung (11.2). Diese Zuordnung liefert eine bijetive Abbildung von der Menge aller -Partitionen von n auf die Menge aller wachstumsbeschränten Wörter der Länge n mit der Eigenschaft (11.2). Beispiel Die Beziehung zwischen den Partitionen von 3 und den wachstumsbeschränten Wörtern der Länge 3 zeigt folgende Tabelle Partitionen Wörter {{1, 2, 3}} 111 {{1}, {2, 3}} 122 {{1, 2}, {3}} 112 {{1, 3}, {2}} 121 {{1}, {2}, {3}} 123 Blocstrutur von Partitionen Wir lassifizieren Partitionen hinsichtlich ihrer Blocstrutur. Eine -Partition von n hat den Typ n n, wenn sie i Blöce der Mächtigeit i enthält. Für jede -Partition vom Typ n n gilt n = und n n = n. (11.4) Beispiel Die Partitionen vom Typ sind {{1}, {2, 3}}, {{2}, {1, 3}} und {{3}, {1, 2}}. Satz Die Anzahl der -Partitionen vom Typ n n ist gleich n!. (11.5) 1! 2!... n (1!) 1 (2!) 2 n... (n!) Beweis. Die -Partitionen vom Typ n n werden erhalten durch Füllen des untenstehenden Gerüsts mit den n-permutationen von n 1 {}}{... 2 {}}{... 3 {}}{ Nach Korollar ist die Anzahl dieser Permutationen gleich n!. Dieselbe Partition entsteht auf zwei Arten. Erstens, wenn Blöce gleicher Kardinalität vertauscht werden, wofür es 1! 2!... n! Möglicheiten gibt. Zweitens, wenn die Elemente eines Bloces vertauscht werden, wofür (1!) 1 (2!) 2... (n!) n Möglicheiten existieren. Die Anzahl der Partitionen vom Typ n n beschreibt die Anzahl der Möglicheiten, n unterscheidbare Kugeln auf ununterscheidbare Behälter so zu verteilen, dass i Behälter jeweils i Kugeln enthalten.

15 11.2 Stirling-Zahlen Stirling-Zahlen Stirling-Zahlen zweiter Art Die Anzahl der -Partitionen von n heißt Stirling-Zahl zweiter Art und wird mit S(n, ) bezeichnet. Eine Partition von n ann höchstens n Blöce enthalten. Also ist S(n, ) = 0, falls > n. Satz Für jede natürliche Zahl n gilt S(n, 1) = 1 und S(n, n) = 1. (11.6) Für alle natürlichen Zahlen n und mit 1 < < n gilt S(n, ) = S(n 1, 1) + S(n 1, ). (11.7) Beweis. Die einzige 1-Partition von n ist {n} und eine einzige n-partition von n ist {{1},..., {n}}. Die Menge aller -Partitionen von n wird in zwei Teilmengen zerlegt. Sei A die Menge aller -Partitionen von n, die {n} enthalten, und sei B die Menge der übrigen -Partitionen von n. Mit dem Additionsprinzip folgt S(n, ) = A + B. Jedes Element {P 1,..., P 1, {n}} A wird durch Fortlassen von {n} zu einer ( 1)-Partition {P 1,..., P 1 } von n 1. Diese Zuordnung liefert eine bijetive Abbildung von A auf die Menge aller ( 1)-Partitionen von n 1. Mit dem Gleichheitsprinzip folgt A = S(n 1, 1). Jede -Partition P = {P 1,...,P } von n 1 ist fortsetzbar zu n Partitionen P (1),..., P (n) von B, so dass in P (i) der Bloc P i um das Element i erweitert wird. Die Zuordnung (i, P) P (i) liefert eine bijetive Abbildung des artesischen Produts von und der Menge aller -Partitionen von n 1 auf die Menge B. Mit dem Multipliations- und Gleichheitsprinzip folgt B = S(n 1, ). Die Stirling-Zahl S(n, ) beschreibt die Anzahl der Möglicheiten, n unterscheidbare Kugeln auf ununterscheidbare Behälter zu verteilen. Bell-Zahlen Die Anzahl der Partitionen einer n-elementigen Menge wird n-te Bell-Zahl genannt und mit B(n) bezeichnet. Für jede natürliche Zahl n gilt B(n) = S(n, ). (11.8) =1 Die ersten fünf Bell-Zahlen lauten B(1) = 1, B(2) = 2, B(3) = 5, B(4) = 15 und B(5) = 52. Ferner wird B(0) = 1 gesetzt. Die Bell-Zahl B(n) beschreibt nach den Sätzen 5.5 und 5.6 die Anzahl der Äquivalenzen auf einer n-elementigen Menge.

16 Partitionen Satz Für jede natürliche Zahl n 1 gilt B(n) = =1 ( ) n 1 B(n ). (11.9) 1 Beweis. Sei eine natürliche Zahl mit 1 n. Sei T = {i 1,..., i 1, n} eine -Teilmenge von n. Die Partitionen von n, die T als Element enthalten, entsprechen den Partitionen von n. Die Anzahl solcher Partitionen ist definitionsgemäß B(n ). Die Anzahl aller -Teilmengen von n, die n als Element besitzen, ist per definitionem ( n 1 1). Mit dem Multipliationsprinzip folgt, dass ( n 1 1) B(n ) die Anzahl der Partitionen von n beschreibt, die eine -Teilmenge von n der Form {i 1,...,i 1, n} als Element enthalten. Daraus folgt die Behauptung. Stirling-Zahlen erster und zweiter Art Die Stirling-Zahlen erster und zweiter Art sind eng vernüpft. Satz Für alle natürlichen Zahlen n und mit n gilt S(n, l)s(l, ) = s(n, l)s(l, ) = δ n,, (11.10) l= l= wobei δ n, das Kronecer-Symbol bezeichnet { 1 falls n =, δ n, = 0 sonst. (11.11) Der Beweis wird durch vollständige Indution nach n mithilfe der bewiesenen Formeln für die Stirling-Zahlen geführt. Um den Satz in der Sprache der Linearen Algebra zu formulieren, betrachten wir eine n n-matrix A mit den Einträgen S(i, j) und eine n n-matrix B mit den Einträgen s(i, j). Beide Matrizen sind untere Dreiecsmatrizen, denn im Falle i < j gilt S(i, j) = s(i, j) = 0. Korollar Für die Stirling-Matrizen A und B gilt A = B 1. Surjetive Abbildungen Satz Die Anzahl der surjetiven Abbildungen von n auf ist gleich! S(n, ). Beweis. Jede -Partition P = {P 1,...,P } von n definiert eine surjetive Abbildung f P : n mit f P (x) = i : x P i.

17 11.3 Zahlpartitionen 113 Die Komposition von f P mit einer Permutation π vom Grad liefert nach Satz 6.6 eine surjetive Abbildung πf P : n. Seien P und Q -Partitionen von n und π und σ Permutationen vom Grad. Aus πf P = σf Q folgt P = Q und π = σ. Also gibt es nach dem Multipliationsprinzip! S(n, ) surjetive Abbildungen der Form πf P von n auf. Sei f : n eine surjetive Abbildung. Die Menge ihrer Urbilder, P = {f 1 (i) i }, ist eine -Partition von n mit f = f P. Satz Die Anzahl der surjetiven Abbildungen von n auf ist gegeben durch ( ) ( 1) i ( i) n. (11.12) i i=0 Beweis. Sei A die Menge aller Abbildungen von n nach. Sei A i die Menge derjeniger Abbildungen von n nach, in deren Wertebereich das Element i n nicht enthalten ist. Die Menge aller surjetiven Abbildungen von n auf ist dann gleich A \ ( i=1 A i). Sei I eine Teilmenge von. Die Menge aller Abbildungen f von n nach mit f(n) I = ist j I A j. Diese Menge entspricht der Menge aller Abbildungen von n in eine ( I )-elementige Menge. Letztere Menge hat nach Satz die Mächigeit ( I ) n. Diese Zahl hängt nur von der Mächtigeit von I ab. Also ist die spezialisierte Siebformel 9.12 anwendbar, so dass für die Anzahl der surjetiven Abbildungen von n auf gilt A \ ( A i ) = n + i=1 ( ) ( 1) i ( i) n = i i=1 ( ( 1) i i i=0 ) ( i) n. Die Stirling-Zahlen zweiter Art sind vermöge der Sätze und diret berechenbar. Korollar Für alle natürlichen Zahlen n und mit 1 n gilt S(n, ) = 1! ( ) ( 1) i ( i) n. (11.13) i i= Zahlpartitionen Geordnete Zahlpartitionen Ein Wort x 1 x 2...x der Länge über N heißt eine geordnete -Zahlpartition von n, wenn x 1 +x x = n. Die Anzahl der geordneten -Zahlpartitionen von n wird mit p(n, ) bezeichnet. Es gilt p(n, ) = 0, falls > n.

18 Partitionen Beispiel Die geordneten -Zahlpartitionen von 5 lauten geord. -Zahlpartitionen von , 41, 23, , 131, 311, 122, 212, , 1121, 1211, Satz Für jede natürliche Zahl n gilt p(n, 1) = 1 und p(n, n) = 1. (11.14) Für alle natürlichen Zahlen n und mit 1 < < n gilt ( ) n 1 p(n, ) =. (11.15) 1 Beweis. Die einzige geordnete 1-Zahlpartition von n ist n und die einzige geordnete n-zahlpartition von n ist Sei x = x 1 x 2...x eine geordnete -Zahlpartition von n. Wir ordnen x ein Wort y = y 1 y 2... y 1 zu, wobei y i = x x i, 1 i 1. Das Wort y ist eine ( 1)-Kombination von n 1, denn 1 x 1 < x 1 + x 2 <... < x 1 + x x 1 = n x n 1. Umgeehrt sei y = y 1 y 2...y 1 eine ( 1)-Kombination von n 1. Wir weisen y ein Wort x = x 1 x 2... x zu, wobei x 1 = y 1, x i = y i y i 1, für 2 i 1, und x = n y 1. Dieses Wort x ist per definitionem eine geordnete -Zahlpartition von n. Diese Zuordnungen sind invers zueinander. Sie liefern eine Bijetion zwischen der Menge aller geordneten -Zahlpartition von n auf die Menge aller ( 1)- Kombination von n 1. Mit dem Gleichheitsprinzip ergibt sich die Behauptung. Beispiel Die im Beweis des Satzes definierte Bijetion verdeutlicht die folgende Tabelle geord. 3-Zahlpartition von 5 2-Kombination von Die Zahl p(n, ) beschreibt die Anzahl der Möglicheiten, n ununterscheidbare Kugeln auf unterscheidbare Behälter so zu verteilen, dass jeder Behälter mindestens eine Kugel enthält.

19 11.3 Zahlpartitionen 115 Ungeordnete Zahlpartitionen Ein Wort x 1 x 2...x der Länge über N heißt eine ungeordnete -Zahlpartition von n, wenn x 1 x 2... x und x 1 + x x = n. Die Anzahl der ungeordneten -Zahlpartitionen von n wird mit P(n, ) bezeichnet. Es gilt P(n, ) = 0, falls > n. Beispiel Die ungeordneten -Zahlpartitionen von 5 lauten ungeord. -Zahlpartitionen von , , Satz Für jede natürliche Zahl n gilt P(n, 1) = 1 und P(n, n) = 1. (11.16) Für alle natürlichen Zahlen n und mit 1 < < n gilt P(n, ) = P(n, ) + P(n 1, 1). (11.17) Beweis. Die einzige ungeordnete n-zahlpartition von n ist und die einzige ungeordnete 1-Zahlpartition von n ist n. Die Menge aller ungeordneten -Zahlpartitionen von n wird in zwei Teilmengen zerlegt. Sei A die Menge aller ungeordneten -Zahlpartitionen von n, die nur Zahlen 2 enthalten, und sei B die Menge der übrigen ungeordneten -Zahlpartitionen von n. Mit dem Additionsprinzip folgt P(n, ) = A + B. Ein Wort x 1 x 2... x A wird zu einer ungeordneten -Zahlpartition y 1 y 2...y von n, wenn von jedem x i Eins subtrahiert wird, also y i = x i 1. Diese Zuordnung liefert eine Bijetion von A auf die Menge aller ungeordneten -Zahlpartitionen von n. Mit dem Gleichheitsprinzip ergibt sich A = P(n, ). Ein Wort x 1 x 2...x B beginnt definitionsgemäß mit x 1 = 1 und wird zu einer ungeordneten ( 1)-Zahlpartition x 2...x von n 1, wenn x 1 weggelassen wird. Diese Zuordnung definiert eine bijetive Abbildung von B auf die Menge aller ungeordneten ( 1)-Zahlpartitionen von n 1. Mit dem Gleichheitsprinzip folgt B = P(n 1, 1). Die Zahl P(n, ) spezifiziert die Anzahl der Möglicheiten, n ununterscheidbare Kugeln auf ununterscheidbare Behälter so zu verteilen, dass jeder Behälter wenigstens eine Kugel aufnimmt. Ferner läßt sich P(n, ) als die Anzahl aller Möglicheiten interpretieren, die Zahl n als Summe von positiven ganzen Zahlen darzustellen.

20 Partitionen Beispiel Die Zahl 10 ann auf P(10, 3) = 8 Arten als Summe von drei positiven ganzen Zahlen geschrieben werden 10 = = = = = = = = Die Zähloeffizienten P(n, ) sind unter den behandelten Zähloeffizienten die einzigen, für die eine explizite Berechnungsvorschrift beannt ist. Selbsttestaufgaben Beweise den Satz Gegeben seien n Kugeln und r Fächer. Die Kugeln werden in die Fächer anhand einer Abbildung f : n r platziert. Einerseits ann nach den Abbildungstypen lassifiziert werden, je nachdem, ob f injetiv, surjetiv oder bijetiv ist oder eine dieser Eigenschaften hat. Die Injetivität besagt, dass in jedes Fach höchstens eine Kugel ommt, die Surjetivität, dass mindestens eine Kugel in jedes Fach gelegt wird, und die Bijetivität, dass jedes Fach genau eine Kugel aufnimmt. Zum anderen ann danach lassifiziert werden, ob die Kugeln oder Fächer unterscheidbar oder ununterscheidbar sind. Diese Fragestellung führt auf insgesamt sechzehn Fälle, die in folgender Tabelle zusammengefasst sind: Kugeln gefärbt Fächer gefärbt Kugeln gefärbt Fächer einfarbig Kugeln einfarbig Fächer gefärbt Kugeln einfarbig Fächer einfarbig Trage die entsprechenden Anzahlen ein. f beliebig f injetiv f surjetiv f bijetiv