Institut für Allgemeine Mechanik der RWTH Aachen

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1 Insiu für Allgemeine Mecanik der RWTH Aacen Prof. Dr.-Ing. D. Weicer 7.Übung Mecanik II SS Abgabeermin 7.Übung:.6.7 4: Ur. Aufgabe Zwei fläcengleice Querscnie a) und b) werden wie dargesell belase. Das Verälnis wiscen den in -Ricung wirkenden Einelkräfen und den in -Ricung wirkenden Einelkräfen is. Geg.: a,, σ Y = 7 a Ges.: Besimmen Sie für beide Querscnie den Werebereic für den Vorfakor > so, dass elasisces Maerialveralen vorlieg. Verwenden Sie ieru das ließkrierium nac v.mises. im Punk mi der maximal aufreenden Normalspannung.. in den Punken mi den maximal aufreenden Scubspannungen. Sellen Sie für den Querscni b) die Verläufe der Scubspannungen grafisc dar. x a a a a ) b ) a/ a/ a 8 a a/ a a a

2 Insiu für Allgemeine Mecanik der RWTH Aacen. Aufgabe Ein dünnwandiger, einseiig eingespanner Doppel-T-Träger wird mi einer Kraf so belase, dass keine Torsion aufri. Geg.: = N b = 6 mm, b = 4 mm = mm, = mm Ges.:. Besimmen und skiieren Sie den Scubspannungsverlauf.. Ermieln Sie die Lage des Scubmielpunkes. Aufgabe Drei einseiig eingespanne Balken werden jeweils mi einer Kraf im Scubmielpunk belase. Die Querscnisfläce des ersen Balkens is ein alber Ring, die des weien Balkens ein gesclier Ring und die des drien Balkens ein gesclossener Ring. Geg.: Ges.:, R, ( R). Besimmen und skiieren Sie die Scubspannungsverläufe.. Ermieln Sie die Lage der Scubmielpunke.

3 Insiu für Allgemeine Mecanik der RWTH Aacen Beispielaufgabe Ein dünnwandiger, einseiig eingespanner Balken mi dem dargesellen Profil wird mi einer Kraf im Scubmielpunk belase. Geg.: Ges.:,, b, ( b,), sin =,5. Besimmen und skiieren Sie den Scubspannungsverlauf.. Ermieln Sie die Lage des Scubmielpunkes.

4 Beispielaufgabe:. Scubspannungsverlauf: ür dünnwandige Srukuren läss sic die Scubspannung infolge der Querkrafbelasung Q (x) als unkion einer bereicsweise u definierenden Laufkoordinae s wie folg besimmen: τ(x, s) = Q (x) S (s) I (s) Aufgrund der Dünnwandigkei kann diese Scubspannung über die Dicke als konsan angenommen werden. In diesem all is die Querkraf Q (x) = konsan über x und die Baueildicke im gesamen Baueil konsan über s: τ(s) = Q S (s) I Das läcenmomen.grades I kann wie folg berecne werden: b s sin = sin = s da b sin s Besimmung von I : I, = da mi: da = ds (A) s I, = = b sin + s sin mi: sin = = ( b + s ) ( ) (s b ) ds = b 4 (s s s b + b + + b ) ds

5 I, = [ ] s b 4 s s b + bs + s + b s = b 4 I, = ( ) b + b + I, = I, (aufgrund der Smmerie) I = I, + I, = b ( ) b + b + + Saisces Momen: Als näcses muss das saisce Momen S als unkion der Laufkoordinae s besimm werden. Die Laufkoordinaen s, s, s sind ensprecend der obigen Skie definier. S = da (A) Das saisce Momen wird bereicsweise berecne: s b : S, (s ) = da = s (ŝ b ) dŝ (A) S, (s ) = ( ) s ( + b) s s : S, (s ) = S, (s = b) + da ; mi = ŝ S, (s ) = S, (s = b) + S, (s ) = b (A) s ( b ) + ( ŝ ) ds s ) s s b : S, (s ) = S, (s = b s )

6 Alernaiv kann das saisce Momen auc uner Benuung des läcenscwerpunkes besimm werden: s b : S, (s ) = s, A mi s, = + b ) + s 4 b A s sin s s b sin S, (s ) = s ( + b) s s s s : S, (s ) = S, (s = b) + s, A mi s, = + s S, (s ) = b ( b ) + + s s S, (s ) = b ( b ) + s ) s A s b : S, (s ) = S, (s = b s ) Die Scubspannungen für die Bereice sind dami: s b : τ (s ) = ) s ( + b) s ( ( ) b b + b + + ) > ( s ) s + b ( b )) s : τ (s ) = ( ( ) b b + b + + ) > s b : τ (s ) = ( (b s ) b(b s ) + )) (b s ) ) + ) ( b b + b + >

7 Da alle Scubspannungen posiive Were aben, eigen sie in Ricung der anfangs gewälen Laufkoordinaen. + max + +. Scubmielpunk b b T Q Scub mielpunk a "" T T T cos T "" T = T Die aus den Scubspannungen resulierenden Kräfe T, T, T berecnen sic wie folg: T = T = τ (s ) ds T = I T = T = s (b + ) s I ) ds [ ] s b 6 s (b + ) = b I τ (s ) ds ( + b ) ( s ) s + b ( b )) ds I

8 T = I T = T = [ ] b + b + 6 τ (s ) ds T = b I (b s ) (b + ) (b s ) ( + b ) = T I ) ds Tasäclic is bereis aus der Smmerie des Profils auc one Recnung klar, dass T = T gelen muss, sodass nur eine von beiden durc Inegraion besimm werden muss. Ausserdem brauc bei gescicker Wal des Punkes, um den die Momenenäquivalen aufgesell wird, auc die Kraf T nic besimm u werden. Querkraf und Scub sollen die selbe Wirkung aben. Also gil eine Gleicei wiscen dem Momen der im Scubmielpunk angreifenden Querkraf und dem Momen aus den von den Scubspannungen ereugen Kräfen (Äquivalen wiscen Scubspannungen und Querkraf). Q a = T cos + T cos Q a = b I ( + b ) b mi Q = wird: a = 4 I mi cos = ( + b )

9 Insiu für Allgemeine Mecanik der RWTH Aacen Lösungsilfen für 7. Übung Mecanik II 7 : Aufgabe : Receckprofil: maxσ = a ( + 8 ), maxτ x = 4 a, maxτ x = 4 a σ < 6 τ < 5, 9 Doppel-T-Profil: maxσ = a (, 5 +, 5 ) σ <, 95 σ =, 5 a τ = a (, 57 +, 5 ) τ <, 75 σ = a τ =, 57 a Aufgabe :.) τ (s ) = ( + ) I s > τ (s ) = ( + ) I s > τ (s ) = [s s ( + ) (b + b )] I > ( + ) τ 4 (s 4 ) = s 4 < I ( + ) τ 5 (s 5 ) = s 5 < I.) a = 8, 77 mm Aufgabe : I).) τ() = cos π r II) III).) τ() = ( cos) π r.) τ() = cos π r : ; π π.) a = 4 π r : π.) a = r π 5π.) a =