Analysis 3. Ergänzungen zur Lebesgue-Theorie. Vorlesungsausarbeitung zum WS 2001/02. von Prof. Dr. Klaus Fritzsche. Inhaltsverzeichnis

Transkript

1 Bergische Universität Gesmthochschule Wuppertl Fchbereich Mthemtik Anlysis 3 Kpitel 1 Ergänzungen zur Lebesgue-Theorie Vorlesungsusrbeitung zum WS 21/2 von Prof Dr Klus Fritzsche Inhltsverzeichnis 1 Steilkurs zum Lebesgue-Integrl 2 2 Die Trnsformtionsformel 7 3 Integrlberechnungen 16 3 Der Stz von Srd 22 Diese Ausrbeitung drf nur für den privten Gebruch kopiert oder gedruckt werden Jede unuthorisierte kommerzielle Nutzung wird strfrechtlich verfolgt!

2 2 Kpitel 1 Ergänzungen zur Lebesgue-Theorie 1 Steilkurs zum Lebesgue-Integrl In diesem Prgrphen gebe ich eine kurze Einführung in den Lebesgueschen Integrlbegriff Der Aufbu unterscheidet sich etws von dem in Anlysis 2, ber die Ergebnisse stimmen ntürlich überein D ich hier uf lle Beweise verzichte, knn ich uch viele technische Detils weglssen und erhlte so eine sehr übersichtliche Drstellung Unter einem Quder im R n versteht mn eine Menge der Gestlt Q I 1 I n, wobei die I ν beliebige beschränkte Intervlle sind Wir lssen uch entrtete Intervlle zu, die leer sind oder nur us einem Punkt bestehen Sind ν b ν die beiden Endpunkte des Intervlls I ν, so heißt die Zhl l(i ν ) : b ν ν die Länge von I ν, und die Zhl v n (Q) : l(i 1 ) l(i n ) heißt ds (n-dimensionle) Volumen von Q Unter einer Qudersumme verstehen wir eine endliche Vereinigung von Qudern Jede Qudersumme S knn in disjunkte Teilquder zerlegt werden Mn definiert dnn ds Volumen v n (S) ls Summe der Volumin ller Teilquder Die Whl der Zerlegung spielt dbei keine Rolle Ist G R n offen, so setzt mn v n (G) : sup{v n (S) : S Qudersumme mit S G} Diese Zhl drf uch den Wert + nnehmen Ist G beschränkt, so ist v n (G) < Ist K R n kompkt, so setzt mn v n (K) : inf{v n (S) : S Qudersumme mit K S} Ds Volumen einer kompkten Menge ist stets endlich Ist nun M R n eine beliebige beschränkte Menge, so definiert mn ds innere Mß µ (M) und ds äußere Mß µ (M) durch µ (M) : sup{v n (K) : K kompkt und K M} und µ (M) : inf{v n (G) : G offen und M G} Mn sieht sofort, dß die hier gegebene Definition des äußeren Mßes mit der us Anlysis 2 übereinstimmt: µ (M) inf{ v n (Q ν ) : Q ν Quder mit M ν1 Q ν } ν1

3 1 Steilkurs zum Lebesgue-Integrl 3 Definition Eine beschränkte Menge M R n heißt (Lebesgue-)meßbr, flls µ (M) µ (M) ist Der gemeinsme Wert µ n (M) wird ds (Lebesguesche) Mß von M gennnt Im llgemeinen ist stets µ (M) µ (M) Kompkte und beschränkte offene Mengen, sowie Qudersummen sind immer meßbr, und ihr Mß stimmt mit ihrem Volumen überein 11 Stz Eine beschränkte Menge M R n ist genu dnn meßbr, wenn es zu jedem ε > eine kompkte Menge K und eine offene Menge G gibt, so dß gilt: 1 K M G 2 v n (G \ K) < ε Ist R >, so setzen wir Q R : {x R n : x ν < R für ν 1,, n} Definition Eine beliebige Teilmenge M R n heißt meßbr, flls M Q R für jedes R > meßbr ist Der Grenzwert µ n (M) : lim R µ n(m Q R ) wird ls Lebesguesches Mß von M bezeichnet Ist µ n (M) <, so nennen wir M endlich-meßbr Ist µ n (M), so heißt M eine Nullmenge Ein System M von Teilmengen von R n heißt eine σ-algebr, flls gilt: 1 M 2 Ist A M, so ist uch ds Komplement X \ A M 3 Ist (A ν ) ν N eine bzählbre Fmilie in M, so ist uch A ν M Mn knn zeigen, dß die meßbren Mengen eine σ-algebr bilden, und dß ds Lebesgue-Mß σ-dditiv ist: Sind die Mengen A ν meßbr und prweise disjunkt, so ist uch ihre Vereinigung A meßbr, und es gilt: ν1 µ n ( A ν ) ν1 µ n (A ν ) ν1 Die kleinste σ-algebr, die lle offenen (und lle bgeschlossenen) Teilmengen des R n enthält, nennt mn die Borellgebr B Ihre Elemente heißen Borelmengen Abzählbre Vereinigungen von kompkten Mengen und bzählbre Durchschnitte von offenen Mengen sind spezielle Borelmengen

4 4 Kpitel 1 Ergänzungen zur Lebesgue-Theorie 12 Stz Eine Menge M R n ist genu dnn meßbr, wenn sie Vereinigung einer Borelmenge und einer Nullmenge ist Borelmengen sind vergleichsweise schön Die Kompliktionen kommen bei den meßbren Mengen über die Nullmengen herein D diese ber ds Mß Null hben, knn mn sie oft ignorieren Mn sgt, eine Eigenschft sei fst überll erfüllt, wenn sie es ußerhlb einer Nullmenge ist Teilmengen und bzählbre Vereinigungen von Nullmengen sind wieder Nullmengen Definition Eine Funktion ϕ : R n R heißt einfch, flls gilt: 1 ϕ nimmt nur endlich viele Werte n 2 Ist c, so ist ϕ 1 (c) endlich-meßbr Die einfchen Funktionen stellen eine Verllgemeinerung der Treppenfunktionen dr Sie sind endliche Linerkombintionen von chrkteristischen Funktionen prweise disjunkter endlich-meßbrer Mengen Ist ϕ c 1 χ M1 + + c q χ Mq eine einfche Funktion (mit prweise disjunkten endlich-meßbren Mengen M ν ), so setzt mn ϕ dµ n : q c ν µ n (M ν ) ν1 Ds Integrl hängt nicht von der Drstellung von ϕ b Definition Eine Funktion f : R n R heißt meßbr, flls für jedes c R die Menge {x R n : f(x) c} meßbr ist Es sind dnn uch die Mengen {f < c}, {f > c} und {f c} meßbr 13 Stz Ist f eine meßbre Funktion, so gibt es eine monoton wchsende Folge (ϕ ν ) von einfchen Funktionen, die punktweise gegen f konvergiert Der Wert f dµ n : sup{ ϕ ν dµ n : ν N} R hängt nicht von der speziellen Folge (ϕ ν ) b Definition Sei f eine meßbre Funktion uf dem R n Ist f dµ n <, so heißt f integrierbr Bemerkung In Anlysis 2 hben wir die Integrierbrkeit definiert, ohne den Begriff der Meßbrkeit zu verwenden Allerdings hben wir später bewiesen, dß jede integrierbre Funktion meßbr ist, und dß eine meßbre Funktion genu dnn integrierbr ist, wenn f dµ n < ist

5 1 Steilkurs zum Lebesgue-Integrl 5 14 Stz Ist f eine beschränkte meßbre Funktion mit kompktem Träger (lso f ußerhlb einer kompkten Menge), so ist f integrierbr Ist f sogr fst überll stetig, so ist f im Riemnnschen Sinne integrierbr Ist f : R n R beliebig, so setzen wir f + : mx(f, ) und f : min(f, ) Dnn ist f f + f Die Funktion f heißt integrierbr, flls f meßbr ist und f + und f integrierbr sind, und dnn setzt mn f dµ n : f + dµ n f dµ n 15 Stz von B Levi (von der monotonen Konvergenz) Sei (f ν ) eine Folge nicht-negtiver meßbrer Funktionen Dnn ist ( ) f ν dµ ν1 ν1 f ν dµ Sind lle f ν integrierbr und ist die rechte Seite der Gleichung endlich, so konvergiert ν1 f ν fst überll gegen eine integrierbre Funktion 16 Lebesguescher Stz von der dominierten Konvergenz Sei (f ν ) eine Folge von meßbren Funktionen, die fst überll punktweise gegen eine Grenzfunktion f konvergiert Außerdem gebe es eine integrierbre Funktion g, so dß f ν (x) g(x) für lle ν und fst lle x ist Dnn sind die f ν und f integrierbr, und es gilt: f dµ n lim f ν dµ n ν Meßbre (bzw integrierbre) Funktionen können uf einer Nullmenge bgeändert werden, ohne dß sich etws n der Meßbrkeit (bzw Integrierbrkeit) ändert 17 Stz von Cvlieri Sei M R n+m meßbr (bzw eine Nullmenge) Dnn ist der Schnitt M y : {x R n : (x, y) M} für fst lle y R m meßbr (bzw eine Nullmenge) Weiter ist die Funktion { µn (M f M (y) : y ) flls M y meßbr, + sonst meßbr, und es gilt: µ n+m (M) f M (y) dµ m (y) R m Ist sogr µ n+m (M) <, so ist f M integrierbr

6 6 Kpitel 1 Ergänzungen zur Lebesgue-Theorie 18 Stz von Fubini Sei f : R n+m R integrierbr Dnn gibt es eine Nullmenge N R m, so dß gilt: 1 Für lle y R m \ N ist die Funktion x f(x, y) über R n integrierbr 2 Ist F : R m R definiert durch { f(x, y) dµ F (y) : R n n (x) für y R m \ N sonst, so ist F (über R m ) integrierbr, und es gilt: F (y) dµ m (y) f(x, y) dµ n+m R m R n+m Ist f : R n R eine nicht-negtive Funktion, so ist die Ordintenmenge von f gegeben durch M f : {(x, t) R n+1 : t < f(x)} 19 Stz Sei f meßbr (bzw integrierbr) Dnn ist M f meßbr (bzw endlichmeßbr) und µ n+1 (M f ) f dµ n

7 2 Die Trnsformtionsformel 7 2 Die Trnsformtionsformel 21 Stz Sei B R n offen, A B eine Nullmenge und f : B R n stetig differenzierbr Dnn ist uch f(a) eine Nullmenge Beweis: Aus der stetigen Differenzierbrkeit von f und dem Schrnkenstz folgt, dß f lokl Lipschitz-stetig ist D es reicht, für jeden Quder Q zu zeigen, dß f(a Q) eine Nullmenge ist, können wir nehmen, dß es eine Konstnte C > gibt, so dß gilt: f(x) f(y) C x y für x, y B Sei nun ε > vorgegeben Es gibt eine Folge (W k ) von Würfeln mit A k1 W k und µ n (W k ) < ε k1 Dnn gibt es Würfel W k mit µ n(w k ) Cn µ n (W k ) und f(a) k W k Also ist µ n (f(a)) C n ε Ds bedeutet, dß f(a) eine Nullmenge ist Ziel dieses Abschnittes ist es, den folgenden Stz zu beweisen: 22 Die Trnsformtionsformel Sei U R n offen, ϕ : U V ein C 1 - Diffeomorphismus uf eine offene Menge V R n 1 Eine Funktion f : V R ist genu dnn integrierbr, wenn integrierbr ist 2 Ist f : V R integrierbr, so ist f(y) dy V (f ϕ) det Dϕ : U R U f ϕ(x) det Dϕ(x) dx Zunächst betrchten wir die 23 Spezielle Trnsformtionsformel Wie oben sei ϕ : U V ein C 1 - Diffeomorphismus Ist A U meßbr mit endlichem Mß, so ist uch ϕ(a) meßbr, und es gilt: µ n (ϕ(a)) det Dϕ(x) dx A Bemerkung D ϕ : U V ein Homöomorphisms ist, induziert ϕ eine Bijektion zwischen den Borel-Algebren B(U) und B(V ) D ϕ ls C 1 -Abbildung ußerdem

8 8 Kpitel 1 Ergänzungen zur Lebesgue-Theorie Nullmengen uf Nullmengen bbildet, ist ds Bild einer meßbren Menge unter ϕ wieder meßbr 24 Stz Sei ϕ ein fester C 1 -Diffeomorphismus Die Trnsformtionsformel gilt genu dnn für jede integrierbre Funktion f : V R, wenn die spezielle Trnsformtionsformel für jede meßbre Menge A U mit endlichem Mß gilt Beweis: Gilt die llgemeine Trnsformtionsformel, so ergibt sich die spezielle, indem mn f χ ϕ(a) setzt Sei umgekehrt die spezielle Trnsformtionsformel bewiesen D in der llgemeinen Formel beide Seiten liner in f sind, folgt sie sofort für einfche Funktionen Ist f : V R eine nicht-negtive integrierbre Funktion, so gibt es eine monoton wchsende Folge von einfchen Funktionen τ ν, die punktweise gegen f konvergiert, und dnn ist f(y) dy lim τ ν (y) dy V ν V Dbei ist τ ν (y) dy τ ν ϕ(x) det Dϕ(x) dx, und die Folge der integrierbren V U Funktionen g ν : (τ ν ϕ) det Dϕ konvergiert monoton wchsend gegen (f ϕ) det Dϕ D die Folge der Integrle beschränkt bleibt, folgt us dem Stz von der monotonen Konvergenz (B Levi), dß (f ϕ) det Dϕ über U integrierbr ist, und die Integrle g ν (x) dx konvergieren gegen f ϕ(x) det Dϕ(x) dx U Ist f f + f eine beliebige integrierbre Funktion, so folgt die Behuptung wieder us der Linerität beider Seiten Und dß us der Integrierbrkeit der Funktion (f ϕ) det Dϕ uch die Integrierbrkeit von f folgt, erhält mn us den obigen Betrchtungen, indem mn ϕ durch ϕ 1 ersetzt U 25 Stz Gilt die spezielle Trnsformtionsformel für jeden Quder Q mit Q U, so gilt sie uch für jede meßbre Menge A U (mit endlichem Mß) Beweis: Wir zeigen den Stz in mehreren Schritten Dbei verwenden wir die folgende Abkürzung: 1) Ist A E(A) bedeutet: Die spezielle Trnsformtionsformel ist whr für A A i eine disjunkte Vereinigung von meßbren Mengen (und selbst von i1 endlichem Mß) und gilt E(A i ) für jedes i, so gilt uch E(A) Diese Aussge folgt us der Bijektivität von ϕ und der σ-additivität des Lebesgue- Mßes

9 2 Die Trnsformtionsformel 9 2) Ist A 1 A 2 A 3 eine bsteigende Folge endlich-meßbrer Mengen und gilt E(A i ) für jedes i, so gilt uch E ( ) A i i1 Ds folgt us dem Stz von der monotonen Konvergenz (B Levi) Die Konvergenz ist hier bsteigend, und die Folge der Integrle ist nch unten durch Null beschränkt 3) Jede offene Menge M U ist disjunkte Vereinigung von Qudern Q mit Q M Aus der Vorussetzung und (1) folgt lso E(M) für jede offene Menge M Wegen (2) gilt dnn uch E(G) für jede G δ -Menge (bzählbrer Durchschnitt von offenen Mengen) mit endlichem Mß 4) Jede meßbre Menge A mit endlichem Mß knn in der Form A G N geschrieben werden, wobei G eine G δ -Menge mit µ(g) <, N eine Nullmenge und G N ist D E(G) und E(N) gelten, erhlten wir schließlich E(A) Bemerkung Ist Q ein beliebiger Quder, so ist N : Q \ Q eine Nullmenge und dher µ(ϕ(q)) µ(ϕ(q)), sowie det Dϕ(x) dx det Dϕ(x) dx + det Dϕ(x) dx det Dϕ(x) dx Q Q Es reicht deshlb, E(Q) für jeden bgeschlossenen Quder Q U zu zeigen N Q 26 Stz Die llgemeine Trnsformtionsformel gilt im Flle n 1 Beweis: Es reicht, die spezielle Trnsformtionsformel für jedes bgeschlossene Intervll I [, b] zu beweisen Dzu sei ϕ(i) [c, d] D ϕ ein Diffeomorphismus ist, ist ϕ (t) für lle t Also ist entweder ϕ, ϕ() c und ϕ(b) d, oder ϕ, ϕ() d und ϕ(b) c Im ersten Fll ist µ 1 (ϕ(i)) ϕ(b) ϕ() b ϕ (t) dt b Dmit ist lles gezeigt ϕ (t) dt (denn ϕ (t) ) Im zweiten Fll ist µ 1 (ϕ(i)) ϕ() ϕ(b) b ϕ (t) dt b ϕ (t) dt 27 Stz Ist ϕ eine Permuttion der Koordinten, so gilt die spezielle (und dmit uch die llgemeine) Trnsformtionsformel Beweis: Sei σ S n eine Permuttion und ϕ(x 1,, x n ) (x σ(1),, x σ(n) ), so gelten für einen Quder Q [ 1, b 1 ] [ n, b n ] die folgenden Gleichungen:

10 1 Kpitel 1 Ergänzungen zur Lebesgue-Theorie µ n (ϕ(q)) (b σ(1) σ(1) ) (b σ(n) σ(n) ) und det Dϕ(x) dx (b 1 1 ) (b n n ), denn es ist det Dϕ(x) 1 Q 28 Stz Gilt die spezielle Trnsformtionsformel für ϕ : U V und für ψ : V W, so gilt sie uch für ψ ϕ : U W Beweis: Es wurde schon gezeigt, dß us der speziellen uch die llgemeine Trnsformtionsformel folgt Sei nun A U meßbr Dnn ist uch ϕ(a) meßbr, und es gilt: µ n (ψ(ϕ(a))) det Dψ(y) dy Weiter ist ϕ(a) det Dψ(y) dy A ϕ(a) det Dψ(ϕ(x)) det Dϕ(x) dx Aus der Kettenregel und dem Determinnten-Produktstz folgt die Behuptung Als letztes Hilfsmittel bruchen wir die folgende Aussge: 29 Stz Jeder Punkt x U besitze eine offene Umgebung W U, so dß die spezielle Trnsformtionsformel für ϕ W : W ϕ(w ) gilt Dnn gilt die spezielle Trnsformtionsformel uch für ϕ : U V Beweis: Ds System W ller offenen Kugeln in U mit rtionlem Mittelpunkt und rtionlem Rdius ist bzählbr, und jede offene Teilmenge W U ist Vereinigung solcher Kugeln Nun sei W {W j : j N} ds Teilsystem derjenigen Kugeln us W, die in einer offenen Menge W enthlten sind, so dß die Trnsformtionsformel für ϕ W : W ϕ(w ) gilt Dnn ist W eine offene Überdeckung von U, und die Formel gilt uch für lle Einschränkungen ϕ Wj, j N Sei A U meßbr Wir setzen A 1 : A W 1 und A j+1 : (A W j+1 )\(A 1 A j ) Dnn sind lle Mengen A j meßbr, und A ist disjunkte Vereinigung der A j Weil A j in W j liegt, gilt E(A j ) für jedes j, und dmit gilt uch E(A) Jetzt kommen wir zum Beweis der Trnsformtionsformel: Sei x U Es genügt zu zeigen, dß es eine offene Umgebung U von x in U gibt, so dß die spezielle Formel für ϕ U gilt Wir führen Induktion nch n Der Induktionsnfng wurde bereits durchgeführt (mit U U)

11 2 Die Trnsformtionsformel 11 Wir nehmen n, dß die Behuptung für n 1 schon bewiesen ist, n 2 Weil Dϕ(x ) ist und eine Permuttion der Koordinten nichts usmcht, können wir nnehmen, dß ϕ 1 x 1 (x ) ist Wir setzen dnn ψ(x 1,, x n ) : (ϕ 1 (x 1,, x n ), x 2,, x n ) Weil det J ψ (x ) ist, ist ψ lokl invertierbr Nch Übergng zu geeigneten kleineren Umgebungen setzen wir ϱ(y) : ϕ ψ 1 (y) und erhlten folgendes kommuttive Digrmm: U ϕ V ψ ϱ ϕ ψ 1 W Weil einerseits ϱ ψ(x 1,, x n ) ϕ(x 1,, x n ) (ϕ 1 (x),, ϕ n (x)) und ndererseits ϱ ψ(x 1,, x n ) ϱ(ϕ 1 (x), x 2,, x n ) ist, folgt: ϱ(y 1,, y n ) (y 1, ϱ 2 (y),, ϱ n (y)) ϕ ϱ ψ setzt sich lso us Abbildungen zusmmen, von denen jede mindestens eine Komponente festläßt Nch einer Permuttion der Koordinten können wir deshlb nnehmen, dß ϕ(x 1,, x n ) (x 1, ϕ 2 (x),, ϕ n (x)) ist Wir schreiben: ϕ(t, z) (t, ϕ t (z)), wobei ϕ t eine Abbildung von U t : {z : (t, z) U} nch R n 1 ist Für die Funktionlmtrix von ϕ gilt dnn: 1 J ϕ (t, z) J ϕt(z) Also ist det J ϕ (t, z) det J ϕt (z) und (ϕa) t {y : (t, y) ϕ(a)} {y : z mit (t, z) A und ϕ(t, z) (t, y)} {y : z A t mit ϕ t (z) y} ϕ t (A t )

12 12 Kpitel 1 Ergänzungen zur Lebesgue-Theorie Dmit ist µ n (ϕ(a)) µ n 1 ((ϕa) t ) dt (Cvlieri) R µ n 1 (ϕ t (A t )) dt R ( ) det Dϕ t (z) dz dt (Induktionsnnhme) R A t ( ) χ At det Dϕ(t, z) dµ n 1 dt R R n 1 χ A det Dϕ dµ n (Fubini) R n det Dϕ dµ n A Beispiele 1 Sei Q R n ein bgeschlossener Quder, A GL n (R) eine invertierbre Mtrix und L L A die zugehörige (bijektive) linere Trnsformtion Dnn ist µ n (L(Q)) det A µ n (Q) Ds ergibt sich sofort us der speziellen Trnsformtionsformel und der Ttsche, dß J L (x) A für lle x ist Sind 1,, n liner unbhängige Vektoren im R n, so nennt mn P ( 1,, n ) : {λ λ n n λ i 1 für i 1,, n} ds von den Vektoren ufgespnnte Prllelotop Es hndelt sich um ds Bild des Einheitsquders unter der Trnsformtion L A Im Flle n 2 ergibt sich ein Prllelogrmm, im Flle n 3 spricht mn von einem Spt Nun gilt: µ n (P ( 1,, n )) det( 1,, n ) Diese Aussge liefert eine geometrische Deutung der Determinnte Die Reihenfolge der Vektoren 1,, n bestimmt eine Orientierung des R n Also knn mn det( 1,, n ) ls orientiertes Volumen von P ( 1,, n ) uffssen 2 Ist A eine orthogonle Mtrix und x ein fester Vektor, so nennt mn die Abbildung F (x) : x + x A t eine euklidische Bewegung Im 2-dimensionlen Fll setzt sich jede Bewegung us Trnsltionen, Spiegelungen und Drehungen zusmmen

13 2 Die Trnsformtionsformel 13 Weil J F A und im Flle einer orthogonlen Mtrix det A 1 ist, läßt jede Bewegung ds Volumen invrint, und drüber hinus ist F (A) f(x) dx A f F (y) dy, für meßbre Mengen A und integrierbre Funktionen f Ds ist die Bewegungsinvrinz des Lebesgue-Integrls 3 Ebene Polrkoordinten Sei U : {(r, ϕ) R 2 r > und < ϕ < 2π} Jeder Punkt (x, y) R 2 \ {(, )}, der nicht uf der positiven x-achse liegt, knn durch Polrkoordinten (r, ϕ) U beschrieben werden: Beknntlich ist det J F (r, ϕ) r (x, y) F (r, ϕ) : (r cos ϕ, r sin ϕ) Ist etw K : {(r, ϕ) R 2 r b und α ϕ β}, mit < < b und < α < β < 2π, und f stetig uf F (K), so ist F (K) f(x, y) d(x, y) f(f (r, ϕ))r d(r, ϕ) K β b α f(r cos ϕ, r sin ϕ)r dr dϕ Wir können ntürlich uch über Mengen integrieren, die die positive x-achse treffen, denn diese Achse ist eine Nullmenge 4 Zylinderkoordinten Hier sei U {(r, ϕ, z) R 3 r >, < ϕ < 2π und z beliebig} und F (r, ϕ, z) : (r cos ϕ, r sin ϕ, z) Für die Funktionldeterminnte ergibt sich wieder det J F (r, ϕ, z) r Ist etw T {(x, y, z) R 3 x, y, x 2 + y 2 1 und z 1}, so ist T F (Q), mit Q : {(r, ϕ, z) r 1, ϕ π 2 und z 1} Also ist zb

14 14 Kpitel 1 Ergänzungen zur Lebesgue-Theorie T x 2 y d(x, y, z) 1 5 (r cos ϕ) 2 (r sin ϕ) r d(r, ϕ, z) Q π/2 1 1 π/ Räumliche Polrkoordinten π/2 cos(π/2) cos() r 4 cos 2 ϕ sin ϕ dz dr dϕ r 4 cos 2 ϕ sin ϕ dr dϕ cos 2 ϕ sin ϕ dϕ t 2 dt t Sei U {(r, ϕ, θ) r >, < ϕ < 2π und π < θ < π }, und 2 2 F (r, ϕ, θ) : (r cos ϕ cos θ, r sin ϕ cos θ, r sin θ) z x ϕ r θ y

15 2 Die Trnsformtionsformel 15 Hier ist ϕ der Winkel gegenüber der positiven x-achse (in der x-y-ebene gemessen) und θ der Winkel gegen die x-y-ebene Mn bechte, dß die Kugelkoordinten in der Litertur nicht einheitlich definiert werden! Als Funktionldeterminnte erhält mn jetzt det J F (r, ϕ, θ) det cos ϕ cos θ r sin ϕ cos θ r cos ϕ sin θ sin ϕ cos θ r cos ϕ cos θ r sin ϕ sin θ sin θ r cos θ sin θ r 2 (sin 2 ϕ sin θ cos θ + cos 2 ϕ sin θ cos θ) + r cos θ r(cos 2 ϕ cos 2 θ + sin 2 ϕ cos 2 θ) r 2 sin θ cos θ + r 2 cos 3 θ r 2 cos θ Offensichtlich ist det J F (r, ϕ, θ) > in gnz U Für ds Volumen der (3-dimensionlen) Einheitskugel ergibt sich jetzt: µ 3 (B 1 ()) 2π 4π 1 dµ 3 B 1 () 1 π/2 1 π/2 1 π/2 2π π/2 r 2 cos θ dθ dr r 2 dr 4 3 π 6 Auch bei der Berechnung des Integrls nützlich: Es gilt nämlich: ( 2 e dt) t2 Also ist e t2 dt π r 2 cos θ dϕ dθ dr e t2 dt sind die Polrkoordinten ( ) ( ) e x2 dx e y2 dy e (x2 +y2) dx dy R 2 2π π π( e r2 ) e r2 r dϕ dr 2re r2 dr π

16 16 Kpitel 1 Ergänzungen zur Lebesgue-Theorie 3 Integrlberechnungen Wir hben in 1 schon n die Ordintenmengen erinnert: M f {(x, t) R n+1 : t < f(x)} Ist f integrierbr, so ist M f endlich-meßbr und µ n+1 (M f ) f dµ n Diese Ttsche knn mn noch etws verllgemeinern Definition Ein Normlbereich über dem R n ist eine Menge der Gestlt N(A; ϕ, ψ) : {(x, t) R n+1 : x A und ϕ(x) t ψ(x)} Dbei soll A R n eine meßbre Menge sein, und ϕ, ψ : A R integrierbre Funktionen mit ϕ(x) ψ(x) für x A Ein Normlbereich ist endlich-meßbr, und für eine integrierbre Funktion f uf N(A; ϕ, ψ) folgt mit dem Stz von Fubini sofort: N(A;ϕ,ψ) f(x, t) dµ n+1 A ( ψ(x) ϕ(x) ) f(x, t) dt dµ n Angewndt wird diese Formel meist in dem Fll, wo A kompkt ist und ϕ und ψ stetige Funktionen sind Beispiele 1 Sei B derjenige Teil einer Ellipsenfläche um den Nullpunkt (mit den Hlbchsen und b), der im rechten oberen Qudrnten liegt Es soll ds Integrl xy dµ 2 berechnet werden Hier ist lso f(x, y) xy B Der Rnd von B ist durch die Gleichungen x 2 + y2 1, x und y 2 b2 gegeben Offensichtlich ist B ein Normlbereich bezüglich der x-achse: b y b 1 (x 2 / 2 ) y

17 3 Integrlberechnungen 17 Dnn ist B xy dµ 2 b2 2 2 b 2 8 ( b 1 (x 2 / 2 ) xy dy ( xy 2 yb 2 y ) x (1 2 b2 x2 dx ( 2 ) x 2 2 x4 x 4 2 x 1 (x 2 / 2 ) ) ) dx dx 2 Sei ϕ(x) : x 2 und ψ(x) : x2 Dnn ist ϕ( 2) ψ( 2) 4 und ϕ(2) ψ(2) 4, und für x 2 ist x 2 4, lso ψ(x) ϕ(x) x2 Dher ist B : {(x, y) R 2 2 x 2 und ϕ(x) y ψ(x)} ein Normlbereich über der x-achse: 2 2 Der Flächeninhlt von B ist gegeben durch 2 χ B (x) dx (x 2 /2) x 2 (2 x2 2 ) dx dy dx (2x x3 6 ) 2 2 (4 8 6 ) ( ) 16 3

18 18 Kpitel 1 Ergänzungen zur Lebesgue-Theorie 31 Stz Sei M R n endlich-meßbr und r > eine reelle Zhl Dnn ist uch r M : {r x : x M} endlich-meßbr, und es gilt: µ n (r M) r n µ n (M) Beweis: Die Abbildung H r : R n R n mit H r (x) : r x ist ein Diffeomorphismus mit det J Hr (x) r n Deshlb folgt der Stz sofort us der Trnsformtionsformel Jetzt können wir ds Prinzip von Cvlieri zur Volumenmessung benutzen Beispiele 1 Sei B R n 1 eine meßbre Menge mit endlichem Mß und h > Dnn nennt mn die Menge C : {((1 λ)x, λh) : x B und λ 1} den Kegel über B mit der Spitze in (, h) C h }{{} R n 1 B R Für t R ist C t {x R n 1 (x, t) C} {x R 2 1 λ [, 1] mit x B, λh t} { 1 λ flls t [, h] (1 t ) B für t [, h] h Nch Cvlieri ist dnn

19 3 Integrlberechnungen 19 µ n (C) h h µ n 1 (C t ) dt µ n 1 (B) µ n 1 ((1 t ) B) dt h h µ n 1 (B) h µ n 1 (B) h n (1 t h )n 1 dt 1 (1 u) n 1 du 2 Ds Volumen einer Hyperkugel mit Rdius r im R n ist µ n (B r ()) r n µ n (B 1 ()) Wir müssen lso nur ds Volumen der Einheits-Hyperkugel bestimmen Sei K n die Einheits-Hyperkugel im R n und τ n : µ n (K n ) Wir wissen bereits, dß τ 1 2, τ 2 π und τ 3 4 π ist Allgemein können wir eine Rekursionsformel 3 entwickeln Es gilt: { (K n ) t flls t > 1 K n 1 flls t 1, wobei lso 2 + t 2 1, t 1 1 t 2 ist Setzen wir c n : 1 Also ist τ n (1 t 2 ) (n 1)/2 dt τ n 1 π/2 µ n 1 ( 1 t 2 K n 1 ) dt (1 t 2 ) (n 1)/2 µ n 1 (K n 1 ) dt 1 1 (1 t 2 ) (n 1)/2 dt ( 1 sin 2 x ) π n 1 cos x dx (sin x) n dx, 1 π/2

20 2 Kpitel 1 Ergänzungen zur Lebesgue-Theorie so ist τ n τ n 1 c n Prtielle Integrtion ergibt: π (sin x) n dx (sin x) n 1 cos x (n 1) π π +(n 1) π (sinx) n 2 dx (n 1) (sin x) n 2 cos 2 (x) dx π (sin x) n dx, lso c n n 1 c n 2 n Mit c 1 2 und c 2 π/2 ergibt sich eine Rekursionsformel für τ n 3 Leicht läßt sich nun uch ds Volumen von Rottionskörpern bestimmen: Es seien zwei stetige Funktionen f, g uf [, b] gegeben, mit g f Dnn ist R : {(x, y, z) R 3 g(z) x 2 + y 2 f(z), z [, b]} der Rottionskörper, der entsteht, wenn mn den durch g und f bestimmten Normlbereich um die z Achse rotieren läßt Behuptung: µ 3 (R) π b (f(z) 2 g(z) 2 ) dz Zum Beweis genügt es, den Fll g(z) zu betrchten Dnn ist ber µ 3 (R) b b b µ 2 (R t ) dt µ 2 (B f(t) ()) dt f(t) 2 π dt 32 Stz (Integrtion rottionssymmetrischer Funktionen) Sei < b und K,b : {x R n : < x < b} Ist f : (, b) R stückweise stetig und existiert b f(r) r n 1 dr, so ist f(x) : f( x ) über K,b integrierbr und K,b f( x ) dx n τ n b f(r)r n 1 dr Dbei bezeichnet τ n ds Volumen der n-dimensionlen Einheitskugel Beweis: 1) Der Rnd der n-dimensionlen Einheitskugel ist eine Nullmenge im R n, d er lokl ein Grph ist

21 3 Integrlberechnungen 21,b 2) Zunächst sei f(r) c eine konstnte Funktion Dnn ist uch f konstnt und ntürlich über K,b integrierbr Es gilt: K f(x) dx c χ K,b dµ n c µ n (K,b ) c (µ n (B b ()) µ n (B ())) c τ n (b n n ) c τ n n n τ n b b r n 1 dr f(r)r n 1 dr 3) Nun sei sogr < < b Ist f eine Treppenfunktion uf [, b], so folgt die Behuptung für f gnz leicht us (2) Ist f eine Regelfunktion uf [, b], so gibt es eine Folge (ϕ k ) von Treppenfunktionen uf [, b], die dort gleichmäßig gegen f konvergiert Dnn konvergiert uch ( ϕ k ) uf K,b gleichmäßig gegen f, und f ist bis uf eine bzählbre Vereinigung von Kugelrändern (lso fst überll) stetig und dmit integrierbr Mit Hilfe des Konvergenzstzes von Lebesgue knn mn drus schließen, dß die Integrle über ϕ k gegen ds Integrl über f konvergieren Ds ergibt uch in diesem Flle die Behuptung 4) Ist f nur über (, b) stückweise stetig, so schreibt mn (, b) ls ufsteigende Vereinigung von bgeschlossenen Intervllen, über denen f j eine Regelfunktion ist Mit dem Stz von der monotonen Konvergenz kommt mn dnn zum Ziel Beispiel Sei f(r) : 1 1 r uf (, 1) Ds Integrl r n 1 α dr existiert genu dnn, wenn n α < 1 ist, lso α < n Drus folgt: 1 dx existiert genu dnn, wenn α < n ist x α B 1 () Im R 2 ist lso 1 x bei integrierbr, nicht jedoch 1 x 2 Im R 3 sind beide Funktionen bei integrierbr

22 22 Kpitel 1 Ergänzungen zur Lebesgue-Theorie 4 Der Stz von Srd 41 Stz vom Rng Sei G R n offen, f : G R m (k-ml) stetig differenzierbr Ist r : rg Df(x) unbhängig von x G, so gibt es zu jedem Punkt G eine offene Umgebung U von in G, eine offene Umgebung V von b : f() im R m, sowie offene Quder Q R n und P R m und (C k -)Diffeomorphismen ϕ : Q U und ψ : P V, so dß gilt: ψ 1 f ϕ(x 1,, x n ) (x 1,, x r,,, ) Beweis: OBdA sei und b, sowie Df()(v 1,, v n ) (v 1,, v r,,, ) Nun sei g : G R n definiert durch g(x) : (f 1 (x),, f r (x), x r+1,, x n ) Dnn ist J g () die Einheits-Mtrix E n Also gibt es eine offene Umgebung U U() G und einen Quder Q R n, so dß g U : U Q ein Diffeomorphismus ist Sei ϕ : (g U ) 1 : Q U Ist y g(x) (f 1 (x),, f r (x), x r+1,, x n ), so ist f ϕ(y) f (g U ) 1 g(x) f(x) (f 1 (x),, f r (x), ) für y g(u) Q, lso f ϕ(y) (y 1,, y r, u r+1 (y),, u m (y)), mit geeigneten Funktionen u r+1,, u m D ϕ ein Diffeomorphismus ist, ist rg D(f ϕ)(y) rg Df(ϕ(y)) r, lso u i / y j (y) für i, j > r Ds bedeutet, dß die u i unbhängig von y r+1,, y n sind (für i > r) Wir schreiben jetzt Q Q r Q n r R r R n r und definieren durch h : Q r R m r Q r R m r h(y, z r+1,, z m ) : (y, z r+1 u r+1 (y ),, z m u m (y )) Offensichtlich ist h ein Diffeomorphismus, und h f ϕ(y, y r+1,, y n ) h(y, u r+1 (y ),, u m (y )) (y,,, ) Nun sei ein Quder P Q r R m r so gewählt, dß h f ϕ(q) P ist, und es sei V : h 1 (P ) Mit ψ : h 1 : P V ist dnn ψ 1 f ϕ(y 1,, y n ) (y 1,, y r,,, )

23 4 Der Stz von Srd 23 Sei jetzt U R n offen und f : U R m eine C -Abbildung, m 1 Für x U sei rg x f : rg(df(x)) dim(im Df(x)) Der Punkt x heißt ein kritischer Punkt von f, flls rg x f < m ist, flls lso Df(x) : R n R m nicht surjektiv ist Der Punkt y : f(x) heißt in diesem Fll ein kritischer Wert Ist n < m, so ist jeder Punkt us U ein kritischer Punkt und jeder Punkt us f(u) ein kritischer Wert 42 Stz von Srd Die Menge der kritischen Werte ist eine Nullmenge in R m Beweis: Wir führen Induktion nch n Ist n, so ist f(u) ein Punkt und die Aussge trivil Sei jetzt n > und die Behuptung für n 1 bewiesen Es sei die Menge der kritischen Punkte, und C {x U : rg Df(x) < m} C i : {x U : D α f(x) für 1 α i} Dnn ist C i bgeschlossen in U, und es gilt: Wir zeigen nun: A) f(c \ C 1 ) ist eine Nullmenge B) f(c i \ C i+1 ) ist eine Nullmenge C C 1 C 2 C i C) f(c i ) ist für genügend großes i eine Nullmenge Insgesmt ist dnn f(c) eine Nullmenge, und ds ist die Behuptung Beweis von (A): Ist m 1, so ist C C 1 {x U : Df(x) } und C \ C 1 Wir bruchen lso nur den Fll m 2 zu betrchten Ist p C \ C 1, so können nicht lle Ableitungen von f in p gleichzeitig verschwinden OBdA sei f 1 x 1 (p) Wir definieren h : U R n durch h(x) : (f 1 (x), x 2,, x n ) Dnn ist klr, dß h in p regulär ist Es gibt lso offene Umgebungen V V (p) U und W W (f(p))

24 24 Kpitel 1 Ergänzungen zur Lebesgue-Theorie R n, so dß h : V W ein Diffeomorphismus ist Sei g : f h 1 : W R m Dnn ist g(y 1,, y n ) (y 1, g 2 (y),, g m (y)), denn es ist g(f 1 (x), x 2,, x n ) g h(x) f(x) (f 1 (x),, f m (x)) Es reicht, die Behuptung für g zu zeigen, denn es ist f(c V ) g(c g W ), wenn wir mit C g die kritische Menge von g in W bezeichnen Wir betrchten lso g und schreiben fortn C n Stelle von C g Es sei W t : {z R n 1 : (t, z) W }, und g t : W t R n 1 sei definiert durch g(t, z) (t, g t (z)) Dnn ist J g (t, z) 1 J gt (z) Also ist (t, z) genu dnn ein kritischer Punkt von g, wenn z ein kritischer Punkt von g t ist Sei C t die Menge der kritischen Punkte von g t in W t Nch Induktionsvorussetzung ist die Menge g t (C t ) der kritischen Werte von g t eine Nullmenge Weil (g(c)) t {y R m 1 : (t, y) g(c)} g t (C t ) stets eine Nullmenge ist, folgt mit dem Stz von Tonelli (ngewndt uf die meßbre Funktion χ g(c) ), dß µ m (g(c)) ist D die bzählbre Vereinigung von Nullmengen wieder eine Nullmenge ist, folgt (A) Beweis von (B): Die Menge C i \ C i+1 wird ähnlich behndelt Ist p (p 1, p ) C i \ C i+1, so können wir obda nnehmen, dß es ein α mit α i gibt, so dß gilt: ( x 1 D α f 1 ) (p) Dnn setzen wir h(x 1,, x n ) : (D α f 1 (x), x 2,, x n ) Offensichtlich ist h(c i ) {} R n 1 und det J h (p) Es gibt dher eine offene Umgebung V V (p) U mit V C i+1 und eine offene Umgebung W W ((, p )) R n, so dß h : V W ein Diffeomorphismus ist Es sei g : f h 1 uf W, und g(, z) g (z) Nch Induktionsvorussetzung ist die Menge der kritischen Werte von g eine Nullmenge Weil lle Punkte von C i kritisch für f sind, und weil f(x 1, x ) g h(x 1, x ) g(, x ) g (x ) und Df(x 1, x ) Dg(, x ) Dh(x 1, x ) für (x 1, x ) C i ist, sind lle Punkte x mit (, x ) h(c i V ) kritisch für g Also ist f(c i V ) eine Nullmenge Beweis von (C): Es reicht, für jeden bgeschlossenen Würfel Q U zu zeigen, dß f(q C i ) eine Nullmenge ist

25 4 Der Stz von Srd 25 Sei δ die Seitenlänge von Q In einem Punkt p Q C i betrchten wir die Tylorentwicklung von f der Ordnung i: f(p + h) f(p) + R(p, h), mit R(p, h) k h i+1 Dbei ist die Konstnte k nur bhängig von f und Q, sofern p + h in Q bleibt Wir unterteilen jetzt Q in r n Teilwürfel der Seitenlänge δ/r Dbei sei r eine beliebige (große) ntürliche Zhl Sei Q einer der Teilwürfel, p C i Q und q p+h Q Dnn ist h (δ n)/r (Länge der Digonle von Q ), lso ( δ n ) i+1 f(q) f(p) k r Ds bedeutet, dß f(q ) in einem Würfel mit Zentrum f(p) und Seitenlänge ε/r i+1 enthlten ist, wobei ε : 2k(δ n) i+1 ist Also wird f(c i Q) durch (höchstens) r n Würfel überdeckt, deren Gesmtmß höchstens r n ( ε r i+1 ) m εm r n m(i+1) beträgt Wird i sehr groß, so wird n m(i + 1) negtiv, und für r strebt ε m r n m(i+1) gegen Null Ds bedeutet, dß µ m (f(c i Q)) ist Bemerkung Sei U R n offen, f : U R m stetig differenzierbr und c (c 1,, c m ) ein regulärer Wert von f, lso kein kritischer Wert Dbei ist zugelssen, dß c f(u) liegt Sei M : f 1 (c) U Ist M, so gilt für jeden Punkt M: Df() : R n R m ist surjektiv Ds bedeutet, dß M eine Untermnnigfltigkeit der Dimension n m ist Ds knn ntürlich nur uftreten, wenn n m ist Ist n < m, so ist jeder Wert utomtisch uch ein kritischer Wert und dher f(u) eine Nullmenge im R m Der Stz von Srd besgt, dß für fst lle c R m die Niveumenge f 1 (c) leer oder eine Untermnnigfltigkeit ist Sei n > m und f : U R m in x regulär Dnn gibt es eine m-reihige Untermtrix J (x) von J f (x) mit det J (x ) Weil f stetig differenzierbr ist, gibt es eine Umgebung V V (x ) U, so dß det J f (x) für x V ist Nch dem Stz vom Rng ht f dnn (bis uf Diffeomorphie) die Gestlt f(x 1,, x n ) (x 1,, x m ), sieht lso us wie eine Produktprojektion In der Nähe von x ist V gefsert in Untermnnigfltigkeiten der Dimension n m Weil eine Menge vom Mß Null keine offene Teilmenge enthlten knn, gilt insbesondere: Die Menge der regulären Werte von f ist dicht im R n