Integralrechnung 29. f(x) dx = F (x) + C

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1 Integrlrechnung 9 5 Integrlrechnung 5. Ds unbestimmte Integrl Wird eine Funktion f bgeleitet, so erhält mn die Ableitungsfunktion f. Nun knn mn sich frgen, ob es einen Weg zurück gibt, d.h. ob mn us der Ableitungsfunktion f die Originlfunktion f gewinnen knn. Wir probieren dies n einem konkreten Beispiel us: Gegeben ist eine gnz rtionle Funktion durch die Gleichung: f: y = f( = f : y = f ( = Beim Ableiten wurde die Potenzregel verwendet: y = n führt zu y = n n. Diese Regel könnte mn j umkehren, d.h. den Eponenten um erhöhen und die neue Potenz durch den neuen Eponenten dividieren. Dss bei der Umkehrung konstnte Fktoren erhlten bleiben und dss Summen bzw. Differenzen gliedweise behndelt werden, knn mn us den llgemeinen Ableitungsregeln herleiten. Den Umkehrvorgng nennen wir Integrieren. Wir bilden lso ds unbestimmte Integrl. y = f( = f ( d = ( d = C Der Summnd C m Schluss wurde eingeführt, weil die Originlfunktion f noch einen konstnten Summnden ufweist. dieser knn offenbr nicht mehr us der Ableitung durch Integrieren rekonstruiert werden. Möchte mn lso us der. Ableitung die Originlfunktion vollständig rekonstruieren, muss mn für die Bestimmung der sogennnten Integrtionskonstnten eine Bedingung ufstellen, mit der ds C berechnet werden knn. Im oben drgestellten Beispiel könnte die Bedingung ussgen, dss die Originlkurve z.b. durch den Punkt P (/ gehen soll. Setzt mn lso in der letzen Gleichung für = und für y = ein, wird C den Wert erhlten und die Originlfunktion ist wieder hergestellt. Ds unbestimmte Integrl ist die Umkehrung der. Ableitung einer Funktion, die uch Stmmfunktion gennnt wird. Der Ausdruck Stmmfunktion kommt dher, dss lle Funktionen, die sich mit dem Prmeter C ergeben, dieselbe. Ableitung hben. Üblicherweise schreibt mn für die Stmmfunktionenschr F ( + C und für die Integrndfunktion f(. Mit diesen Bezeichnungen knn mn schreiben: f( d = F ( + C wobei gilt: F ( = f( In gleicher Weise wie beim oben usgeführten Beispiel mit einer gnz rtionlen Funktion knn mn bei nderen Funktionen uch die Ableitungsregeln umkehren und erhält Regeln für ds Integrieren. Die Integrtionskonstnte C ist in jedem Fll ls Summnd beim Berechnen des unbestimmten Integrls ufzuführen. Im folgenden werden die sogennnten Grund- oder Stmmintegrle zusmmengestellt. Diese Integrle finden sich uch in einschlägigen Formelsmmlungen. 5.. Allgemeine Regeln Konstnte Funktion Konstnter Fktor d = + C f( d = f( d Summe und Differenz (f( + g( d = f( d + g( d. September Mthemtik für Architektinnen und Architekten H. Knoll, HTW Chur

2 5. Ds unbestimmte Integrl Produkte, Quotienten, verkettete Funktionen Für Produkte, Quotienten und verkettete Funktionen gibt es keine einfche und llgemeingültige Integrtionsregel. Es gibt Integrtionsverfhren wie Integrtion durch Substitution, prtielle Integrtion oder Integrtion nch einer Prtilbruchzerlegung. Diese Verfhren sind für spezielle Situtionen geeignet und müssen in jedem Einzelfll überprüft werden. Ds Integrieren von beliebigen Funktionen ist Erfhrungssche und knn uch in verschiedenen Fällen erfolglos bleiben. Formelsmmlungen enthlten häufig umfngreiche Integrltfeln, n denen mn sich bei Integrtionsproblemen orientieren knn. Heute können uch verschiedene Tschenrechner und Computerprogrmme (z.b. Computerlgebrsysteme CAS Integrle nicht nur numerisch sondern uch forml lösen. 5.. Grund- oder Stmmintegrle Die Grund- oder Stmmintegrle sind unmittelbr us den Ableitungsregeln hergeleitet. Integrtionsverfhren wie Integrtion durch Substitution oder nch Prtilbruchzerlegung sowie die prtielle Integrtion hben zum Ziel, ds gegebene Integrl in ein Grund- oder Stmmintegrl zu trnsformieren. Potenzregel n d = n+ n+ + C für n Achtung: d = d = ln + C Eponentilfunktion e d = e + C d = ln + C Trigonometrische Funktionen sin d = cos + C cos d = sin + C d = tn + C cos sin d = cot + C Zyklometrische Funktionen d = rcsin + C = rccos + C + d = rctn + C = rccot + C Hyperbel- und Arefunktionen sinh d = cosh + C cosh d = sinh + C d = tnh + C cosh d = coth + C sinh d = rsinh + C = ln C d = rcosh + C = ln + + C für > d = { rtnh + C = + ln + C für < rcoth + C = + ln + C für >. September Mthemtik für Architektinnen und Architekten H. Knoll, HTW Chur

3 5. Ds bestimmte Integrl 5. Ds bestimmte Integrl 5.. Von der Änderungsrte zur Änderung Die. Ableitung einer Funktion wurde ls momentne Änderungsrte des Funktionswertes eingeführt. Sie gibt lso n, wie strk sich der Funktionswert verändert, wenn ein winzig kleiner (die Mthemtik spricht vom Grenzwert nch Null Schritt in -Richtung gemcht wird. Betrchten wir lso ein = d, so verändert sich der y-wert n der Tngente um dy = f ( d. Dieses Ergebnis knn ber in einem Koordintensystem, in dem die f (-Werte ufgetrgen sind, ls Fläche eines Rechtecks mit der Höhe f ( und der Breite d interpretiert werden. Und wenn mn kontinuierlich luter solche Rechtecke neinnder reiht, erhält mn die Fläche zwischen der f (-Kurve und der -Achse. Wir wechseln nun die Bezeichnungen: Sttt f schreiben wir f und sttt f schreiben wir F. Dnn können wir die Fläche zwischen der Kurve y = f( und der -Achse ls unendliche Summe von unendlich schmlen Rechtecken ufschreiben: =b f( i i = f( d i= = Abbildung 7: Bestimmtes Integrl und Fläche Diese Summe wird uch ls bestimmtes Integrl der Funktion f in den Grenzen von = bis = b bezeichnet. Wir können lso ds bestimmte Integrl ls unendliche Summe von unendlich schmlen Rechtecken interpretieren. 5.. Bestimmtes Integrl und Stmmfunktion Wir wissen, dss Integrieren ds Aufsuchen der Stmmfunktion bedeutet. Nun hben wir noch gesehen, dss ds bestimmte Integrl in den Grenzen von = bis = b eine feste Fläche ergibt. Ds unbestimmte Integrl f( d = F ( + C ist die Stmmfunktion F der Integrndfunktion f. Diese Stmmfunktion F knn mn für verschiedene uswerten. So soll z.b. die Werte = und = b nnehmen und wir erhlten: F ( + C bzw. F (b + C. Die Differenz dieser Auswertungen ist F (b + C (F ( + C = F (b F (. Sie ist konstnt, lso ein fester Wert, und dieser Wert ist gleich der Fläche zwischen Kurve und -Achse in den Grenzen von = bis = b. Wenn mn den Wert eines bestimmten Integrls berechnen will, geht mn folgendermssen vor:. Berechnen der Stmmfunktion: [F (] b. Einsetzen der Grenzen: obere Grenze untere Grenze : F (b F ( Beim unbestimmten Integrl wird uch die Integrtionskonstnte C ufgeschrieben. Bei der Berechnung des bestimmten Integrls wird uch die Stmmfunktion ermittelt. Dbei knn mn die Integrtionskonstnte weglssen, d sie bei der Differenzbildung ohnehin wegfällt. Beispiel: [ ] [ ] d = = = [ 7 ] = 6. September Mthemtik für Architektinnen und Architekten H. Knoll, HTW Chur

4 5. Anwendungsbeispiele 5.. Rechenregeln für bestimmte Integrle f( d = f( d = b b f( d = c b f( d f( d + b c f( d 5. Anwendungsbeispiele Die Berechnung von unbestimmten und bestimmten Integrlen findet in der Technik eine breite Anwendung. Differentilgleichungen geben den Zusmmenhng zwischen einer Grösse und ihren Ableitungen n. Die Lösung einer gewöhnlichen Differentilgleichung wird häufig durch Berechnen von unbestimmten Integrlen gewonnen. Für Flächen- und Volumsberechnungen werden bestimmte Integrle verwendet. Mit sogennnten Doppel- oder Dreifchintegrlen können z.b. Volumin von Körpern mit verschieden definierten Begrenzungsflächen, ber uch Flächenmomente, Trägheitsmomente und der Schwerpunkt eines Körpers ermittelt werden. In diesem Kurs bschränken wir uns uf die Berechnung von Flächen und Rottionskörpern. 5.. Flächenberechnung Mit dem bestimmten Integrl knn mn die Fläche zwischen einer Kurve und der -Achse in den gegebenen Grenzen direkt berechnen. Dnn ist es ber uch nicht schwierig, die von zwei Kurven eingeschlossene Fläche zu ermitteln. 5.. Fläche zwischen zwei Kurven Gegeben sind die Kurven mit den Gleichungen y = 4 und y = ( (. Gesucht ist die von diesen beiden Kurven eingeschlossene Fläche. Um die gesuchte Fläche zu erkennen, werden die Kurven in ein Digrmm gezeichnet. Die erste Kurve ist eine Prbel. Ordnung mit den Nullstellen,,, die zweite Kurve ist ebenflls eine Prbel. Ordnung, ht ber die Nullstellen,,. Abbildung 8: eingeschlossene Fläche Aus der Zeichnung geht hervor, dss in den Grenzen von = bis = eine Fläche von den beiden Kurven eingeschlossen wird. Wenn die Schnittpunkte der Kurven nicht so offensichtlich wie in diesem Fll sind, muss mn sie durch Lösen des entsprechenden Gleichungssystems berechnen. Zu bedenken ist, dss der Wert eines bestimmten Integrls negtiv ist, wenn die Kurve unterhlb der -Achse liegt, die Funktionswerte. September Mthemtik für Architektinnen und Architekten H. Knoll, HTW Chur

5 5. Anwendungsbeispiele lso dort negtiv sind. Ds kommt uns in diesem Fll gelegen. Wenn wir die Differenz der Funktionsterme zwischen oberer und unterer Kurve integrieren, erhlten wir die Summe der Flächenteile. ( ( ( ( 4 ( d = ( d = 5 + d = [ ] [] = 4 + = = 6.7 [ 5 Generell knn mn die von zwei Kurven mit den Gleichungen y = f( und y = g( eingeschlossene Fläche folgendermssen berechnen: Fläche A = 5.. Volumen von Rottionskörpern b (f( g( d Gegeben ist eine Kurve mit der Gleichung y = f(. Diese Kurve soll in den Grenzen von = bis = b um die -Achse rotieren, wobei sie einen Rottionskörper umhüllt. Gesucht ist ds Volumen dieses Körpers. Ds bestimmte Integrl bietet eine gute Lösung für ds Problem. Bei der Flächenberechnung sind wir von schmlen Rechtecken usgegngen und hben die Summe von unendlich vielen, unendlich schmlen Rechtecken gebildet. Den Rottionskörper knn mn in gnz schmle Scheiben schneiden. ] + = Abbildung 9: Rottionskörper Abbildung : Rottionskörper: Schnitt Die Scheiben sind Zylinder mit dem Rdius f( und der Höhe. Ds Volumen eines solchen Zylinders ist: V Zyl = (f( i π i Und die unendliche Summe ergibt dnn: V Rottionskrper = lim n i= n (f( i π i = (f( π d = π y d. September Mthemtik für Architektinnen und Architekten H. Knoll, HTW Chur

6 5.4 Aufgben Aufgben ( d b ( d c ( ( 5 + d d d ( e d b ( sin + cos d c ( cos ( 6 sin d d d ( +4 4 d b ( d c ( d d ( d ( ( d b 4 d c π (sin d b 4 6 (e d b π 4 π 4 ( d c cos ( + d c ( ( + 4 d d + ( + sin d d ( d d π π + e ( e d (cos d 7 Berechnen Sie die Fläche zwischen Kurve und -Achse zwischen den beiden Nullstellen: y = + 4 b y = 4 8 Die Kurven mit den Gleichungen schliessen eine Fläche ein, deren Grösse zu berechnen ist: y = ( ( + ( und y = ( ( 9 Berechnen Sie die von Sinus- und Cosinuskurve zwischen zwei benchbrten Schnittpunkteneingeschlossene Fläche! Wird eine Schrubenfeder durch eine Krft F verlängert, nimmt sie Energie uf (Spnnungsenergie. Für die Krft gilt ds Hooke sche Gesetz: F = k, wobei k die Federkonstnte ist. Welche Energie nimmt die Feder mit der Federkonstnten k =. N/m bei einer Verlängerung von = m uf =. m uf? Durch die Gleichung + 4y = 4 ist eine Ellipse in der -Ebene gegeben. Welches Volumen ht der Rottionskörper, der durch Rottion dieser Ellipse um die -Achse entsteht? Die Sinuskurve rotiert in einem Abschnitt zwischen zwei benchbrten Nullstellen um die -Achse. Chrkterisieren Sie den dbei entstehenden Rottionskörper und berechnen Sie ds Volumen. d. September Mthemtik für Architektinnen und Architekten H. Knoll, HTW Chur

7 5.5 Lösungen Lösungen / 6 4/5 5 + /4 4 / 5/ + b / + c 5/ + ln ( d 5/ /5 e ln ( b cos ( + sin ( c tn + 6 cot d 9/5 5/ + ln ( b 4/ c / d rsinh ( 4, b 8, c 4, d e 5, b 4, c.46, d 6.78, b 8.89, c.75, d , b J 8 π π. September Mthemtik für Architektinnen und Architekten H. Knoll, HTW Chur