Automaten, Spiele, und Logik

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1 Automten, Spiele, und Logik Woche April 2014

2 Inhlt der gnzen Vorlesung Automten uf endlichen Wörtern uf undendlichen Wörtern uf endlichen Bäumen Spiele Erreichrkeitsspiele Ehrenfeucht-Frïssé Spiele Pritätsspiele Logik Erststufige Logik Presurger-Arithmetik Zweitstufige Logik

3 Inhlt der gnzen Vorlesung Kpitel 1 is 13 Kpitel 4, 8, 10 und 11 ls Seminr möglich

4 Progrmmierufgen c. lle 3 Wochen eine neue Aufge ei einem Seminr wird nur die Hälfte gefrgt circ 2.5 Stunde pro Woche Progrmmiersprchen Es wird Templtes in Jv und Python geen. (Andere Sprchen sind uch möglich) Mon (

5 Inhlt der heutigen Vorlesung 1. nichtdeterministische Automten 2. Aschlusseigenschften 3. deterministische Automten 4. Determinisierung, Minimierung

6 Endliche Wörter Σ = {,,... }: ein Alphet (endliche Menge von Zeichen) w = 1... n : ein Wort (endliche Folge von Zeichen) w = n: die Länge des Wortes w.v: die Konktention von zwei Wörter ɛ: ds leere Wort Σ : die Menge ller Wörter üer Σ

7 Homomorphismus jedes Zeichen wird durch ein Wort ersetzt h : Σ 1 Σ 2 : ein Homomorphismus z.b.: h() =, h() =, h(c) =, die Anwendung von h uf w = n ist ds Wort z.b.: h(c) =. h( 1 ).h( 2 )... h( n )

8 Üungen 1. Ist die Interntionlisierung des deutschen Alphets ein Homomorphismus? z.b. Süßigkeit Suessigkeit 2. ist die Frnzösisierung des deutschen Alphets ein Homomorphismus? z.b komisch komig 3. definieren Sie h : Σ {0, 1}, so dss für lle ungleichen w 1,w 2, h(w 1 ) h(w 2 ).

9 Sprchen Eine Sprche ist eine Menge von Wörtern z.b., {ɛ}, {}, Σ,... Mengentheoretische Opertionen: L 1 L 2, L 1 L 2, L 1 \ L 2,...

10 Sprchen Eine Sprche ist eine Menge von Wörtern z.b., {ɛ}, {}, Σ,... Mengentheoretische Opertionen: L 1 L 2, L 1 L 2, L 1 \ L 2,... die Konktention: L 1.L 2 = {w 1.w 2 : w 1 L 1, w 2 L 2 } Üung: Vergleichen Sie L.L und {w.w : w L}.

11 Sprchen Eine Sprche ist eine Menge von Wörtern z.b., {ɛ}, {}, Σ,... Mengentheoretische Opertionen: L 1 L 2, L 1 L 2, L 1 \ L 2,... die Konktention: L 1.L 2 = {w 1.w 2 : w 1 L 1, w 2 L 2 } Üung: Vergleichen Sie L.L und {w.w : w L}. der Kleene-Aschluss: L = {w 1... w n : n 0, w 1 L,..., w n L} der Homomorphismus: h(l) = {h(w) : w L}

12 Nichtdeterministische, endliche Automten ein NFA: ein Tupel (Q, Σ, q I, δ, F ), woei Q ist eine endliche Zustndsmenge, Σ ist ds Eingelphet, q I Q ist der Anfngzustnd, δ : Q Σ 2 Q ist die Trnsitionsfunktion, F Q ist die Endzustndsmenge. Üung: geen Sie δ n., δ 1 2 3

13 Nichtdeterministische, endliche Automten ein NFA: ein Tupel (Q, Σ, q I, δ, F ), woei Q ist eine endliche Zustndsmenge, Σ ist ds Eingelphet, q I Q ist der Anfngzustnd, δ : Q Σ 2 Q ist die Trnsitionsfunktion, F Q ist die Endzustndsmenge. Üung: geen Sie δ n., δ 1 {1, 2} {2} 2 {3} 3 {2} {3}

14 Sprche eines Automten ein Luf : q I = q q1... n qn ein kzeptierender Luf: q n F die Sprche von A L(A) = {w : es git mindestens einen kzeptierenden Luf uf w} Üung: Ws ist die von A erknnte Sprche? 1 2 3

15 Sprche eines Automten ein Luf : q I = q q1... n qn ein kzeptierender Luf: q n F die Sprche von A L(A) = {w : es git mindestens einen kzeptierenden Luf uf w} Üung: Ws ist die von A erknnte Sprche? L(A) ist die Menge von Wörtern die mit eginnen und enden.

16 Aschlusseigenschften L ist erkennr wenn es einen NFA A git, mit L(A) = L. Stz: Wenn L, L 1, L 2 erkennr sind, dnn sind uch 1. die Vereinigung L 1 L 2 2. der Schnitt L 1 L 2 3. ds Komplement Σ \ L 4. die Konktention L 1.L 2 5. der Kleene-Aschluss L erkennr Üung: Beweisen Sie (1),(2),(4),(5).

17 Deterministische endliche Automten ein DFA: ein Tupel (Q, Σ, q I, δ, F ), woei jetzt δ : Q Σ Q L(A) = {w : der Luf uf w ist kzeptierend} Üung: geen Sie einen DFA A n, so dss L(A) die Menge von Wörtern ist, die mit nfngen und enden.

18 Die Potenzmengenkonstruktion {1} {1,2} {3} {2}, Üung: wnn {q 1,..., q n } {q 1,..., q m}? wnn ist {q 1,..., q n } kzeptierend?

19 Üung: Beweis des Komplementschlusses Wie knn ein NFA A us einem NFA A konstruiert werden, so dss L(A ) = Σ \ L(A)?

20 Der Homomorphismusschluss Stz: Sei h ein Homomorphismus und A ein NFA. Es git einen NFA A, so dss L(A ) = h(l(a)) Üung: geen Sie einen Automten n, der h(l(a)) erkennt, woei h() =, h() = ɛ, und A =, 1 2 3

21 Die Nerode-Äquivlenz Zwei Zustände q, q von einem DFA sind äquivlent, wenn für lle w Σ, δ (q, w) F genu dnn, wenn δ (q, w) F. Üung: welche Zustände sind äquivlent? ,

22 Minimierung Stz:A/ ist der kleinste DFA, der L(A) erkennt ( 2) 5,

23 Progrmmierüungen Age m fällig Schreien Sie die folgenden Funktionen: 1. ccepts(word,df) 2. ccepts(word,nf ) 3. complement(df); 4. determined(nf); 5. seminr (optionl) minimized(df) google: Hopcroft s lgoritmus, und ndere Algoritmen

24 Puzzle: der linde Kellner Strt: Bo stellt lle Biergläser elieig mit der Öffnung nch unten oder oen uf ds Tlet. Jede Runde: 1. Der Kellner dreht 1 is 4 Biergläser um 2. Bo dreht ds Tlet 0 o, 90 o, 180 o, oder 270 o. Ziel: der Kellner soll Bier servieren. Alice hilft ihm ein isschen, und sgt, wnn es sicher für ihn ist.

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