Repetitionsaufgaben: Einführung des Begriffes Funktion

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1 Kantonale Fachschaft Mathematik Repetitionsaufgaben: Einführung des Begriffes Funktion Zusammengestellt von Jörg Donth, KSR Lernziele: - Sie kennen die Begriffe Funktion, Funktionswert, Argument der Funktion, Definitions- und Wertebereich der Funktion. - Sie können Funktionswerte oder Funktionsargumente mit Hilfe der Funktionsgleichung berechnen. - Sie können Funktionen durch den Funktionsgraphen beschreiben. Repetitionsaufgaben: Einführung Funktionsbegriff

2 Beispiel Eine Bergtour führt über einen Rundkurs von km. Die untenstehende Abbildung zeigt das Höhenprofil der Strecke. Jedem Entfernungskilometer vom Start wird eine Höhenangabe zugeordnet. Eine solche Zuordnung heisst Funktion. Eine Funktion f ist eine eindeutige Zuordnung, die jedem Element x der Definitionsmenge D f genau ein Element y der Wertemenge W f zuordnet. Schreibweise f: x y oder y = f(x). Es entstehen geordnete Paare [x;y] oder [x;f(x)], sogenannte Wertepaare. Die Werte x sind die Argumente der Funktion, die zugeordneten Werte y die Funktionswerte. Aufgaben. Gegeben ist die Funktion, die durch das Höhenprofil (Beispiel ) dargestellt wird. (a) Geben Sie in Worten die Definitionsmenge und die Wertemenge an! (b) Ergänzen Sie Argument oder Funktionswert (d... Distanz in km, h... Höhe in m)! [,5;...], [...; 50], f(8,5) =... ; f(0) =.... Veranschaulichen Sie folgende Zuordnungen und beschreiben Sie diese durch Angabe der Menge der geordneten Paare! Welche Zuordnung ist eine Funktion? (a) X = Menge der Garderobenmarken mit den Nummern bis 5 Y = Menge der Garderobenhaken mit den Nummern bis 5 Repetitionsaufgaben: Einführung Funktionsbegriff

3 (b) X = Menge der Schlüssel S, S, und S3 Y = Menge der Räume R, R,, R5 Mit S kann man R und R5 öffnen, mit S R und R4, mit S3 R3. (c) Zuordnung, die jeder ganzen Zahl x 3 ihre Quadratzahl zuordnet. Beispiel Gegeben ist eine Funktion f: x y durch die Wertepaare [;], [4;], [6;3], [8;4]. ;4;6;8 W ;;3;4. Der Definitionsbereich von f ist D, ihr Wertebereich Die Funktion ordnet jedem x-wert aus D f einen y- Wert zu, der Die Zuordnung kann mit der Gleichung f y x beschrieben werden. x f entspricht. Die Zuordnungsvorschrift f: x y kann durch eine Gleichung y = f(x) beschrieben werden, die Funktionsgleichung. Durch Einsetzen in die Funktionsgleichung kann zu jedem x- Wert (Argument) aus dem Definitionsbreich D f der zugehörige y- Wert (Funktionswert) berechnet werden. Aufgaben 3. Eine Funktion f ordnet jeder Zahl (a) x N x 0 ihre Quadratzahl zu, (b) x N x 0 ihren Nachfolger zu, (c) x R x 0 ihr Reziprokes zu, (d) x R ihr Doppeltes vermindert um drei zu. Stellen Sie f durch geordnete Paare, die Wertetabelle, eine Funktionsgleichung dar. Geben Sie Definitions- und Wertebereich an! 4. Ist die Zuordnung eine Funktion? Falls eine Funktion vorliegt, so geben Sie eine mögliche Funktionsgleichung an! (a) x y (b) x y (c) x y Gegeben sind Wertepaare einer Funktion. Geben Sie eine mögliche Funktionsgleichung an! Ergänzen sie die Wertetabelle! x y Repetitionsaufgaben: Einführung Funktionsbegriff 3

4 6. Gegeben ist die Funktion f: x y durch die Funktionsgleichung y = 3x +. Eine andere äquivalente Schreibweise lautet: y = f(x) = 3x +. Ergänzen Sie die geordneten Paare, die zu f gehören! (a) [0; ], [-; ], [ ], [ ; 7], [ ;-4], [ ;0] (b) f(5) = ; f(-0) = ; f(0,5) = ; f( ) = 5; f( ) = ; f( ) = Für eine Funktion f gilt: (a) f() = ; f() = 3; f(3) = 5; f(4) = 7 (b) f() = ; f() = ; f(3) = 4,5; f(4) = 8 Geben Sie die Funktionsgleichung y = f(x) an! Berechnen Sie f(5)! Bestimmen Sie das Argument x so, dass f(x) = 0 ist! Beispiel 3 Die Funktion f(x) = x ordnet jedem x- Wert sein Quadrat zu, D f R, W f R 0. Trägt man die Punkte P(x/x ) im Koordinatensystem ein, erhält man den Graphen der Funktion f. Zur Berechnung einiger Wertepaare der Funktion kann man eine Wertetabelle verwenden. x ,5 0 0,5 y = x 4 0,5 0 0,5 4 4 y x - Eine sehr anschauliche Darstellung einer Funktion ist der Graph, der in einem Koordinatensystem gezeichnet wird. Die Elemente aus D f werden auf der x- Achse (Abszisse) und die Elemente aus W f auf der y- Achse (Ordinate) erfasst; jedem Wertepaar [x;y] kann ein Punkt P(x;y) in der x-y- Ebene des Koordinatensystems zugeordnet werden. Aufgaben 8. Zeichnen Sie mit Hilfe einer Wertetabelle den Graphen der Funktion f in ein Koordinatensystem. (a) f(x) = x + (b) f(x) = - 3x + (c) f(x) = (x-) für - 5 x 5, x R für - x, x R für - x 5, x R Repetitionsaufgaben: Einführung Funktionsbegriff 4

5 9. Welcher Graph gehört zu welcher Funktion? f(x) = x - f(x) = x - f(x) = -x - 7 y x Repetitionsaufgaben: Einführung Funktionsbegriff 5

6 Lösungen A (a) D f = Menge aller Distanzen zwischen 0 und km W f = Menge aller Höhenmeter zwischen 800 und 390 m (b) [,5;50], [3,5; 50], f(8,5) = 5; f(0) = 850 (nur genäherte Angaben) A (a) Zuordnung ist Funktion (eineindeutig) (b) Zuordnung ist keine Funktion (einem Element aus X werden mehrere Elemente aus Y zugeordnet) (c) Zuordnung ist Funktion (eindeutig) Repetitionsaufgaben: Einführung Funktionsbegriff 6

7 A3 (a) [;],[;4],[3;9],...,[0;00] x 3 0 y y = x (b) [;],[;3],[3;4],... x 3 4 y y = x + (c), ; ; 3 x - 0,5 -,5 y - 8-0,4 y x (d) [-;-7],[-;-5],[;] x y y = x ; ;0,0 00 ;... A4 (a) ist Funktion, y = x 3 (b) keine Funktion (c) ist Funktion y x (Betragsfunktion) Repetitionsaufgaben: Einführung Funktionsbegriff 7

8 A5 y = x + x y A6 (a) [0; ], [-; - ], [ ; 3], [ ; 7], [-5;-4], [ ;0] 3 3 (b) f(5) = 6 ; f(-0) = -9 ; f(0,5) =,5 ; f(8) = 5; f( 0 ) = ; f(-3) = -8 A7 (a) y = x - f(5) = 9 0 = x - x = 0,5 (b) y = 0,5 x f(5) =,5 0 = 0,5 x x = 0 A 8 Repetitionsaufgaben: Einführung Funktionsbegriff 8

9 A9 Repetitionsaufgaben: Einführung Funktionsbegriff 9