Einführung Vektoralgebra VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen. October 6, 2007

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1 Hochschule Esslingen October 6, 2007

2 Overview Einführung 1 Einführung 2

3 Was sind Vektoren? Vektoren werden geometrisch definiert als Pfeilklassen: Strecken mit gleichem Betrag, gleicher Richtung und Orientierung.

4 Was sind Vektoren? Vektoren werden geometrisch definiert als Pfeilklassen: Strecken mit gleichem Betrag, gleicher Richtung und Orientierung. Physikalische Interpretation als Kräfte, Geschwindigkeiten etc. (Mechanik, Festigkeitslehre, Elektrotechnik..)

5 Was sind Vektoren? Vektoren werden geometrisch definiert als Pfeilklassen: Strecken mit gleichem Betrag, gleicher Richtung und Orientierung. Physikalische Interpretation als Kräfte, Geschwindigkeiten etc. (Mechanik, Festigkeitslehre, Elektrotechnik..) Vektoren werden algebraisch definiert als geordnete Zahlenpaare oder Zahlentripel.

6 Was sind Vektoren? In der Physik unterscheiden wir zwei Typen von Größen: Skalare Größen, die durch die Angabe einer Zahl beschrieben werden können: Zeit, Masse, Volumen etc.

7 Was sind Vektoren? In der Physik unterscheiden wir zwei Typen von Größen: Skalare Größen, die durch die Angabe einer Zahl beschrieben werden können: Zeit, Masse, Volumen etc. Vektorielle Größen, die durch mehrere Zahlenangaben bestimmt werden, z.b. Kraft: nicht nur Größe (Betrag) sondern auch Richtung und Orientierung sind wichtig - analog Geschwindigkeit etc.

8 Was sind Vektoren? In der Physik unterscheiden wir zwei Typen von Größen: Skalare Größen, die durch die Angabe einer Zahl beschrieben werden können: Zeit, Masse, Volumen etc. Vektorielle Größen, die durch mehrere Zahlenangaben bestimmt werden, z.b. Kraft: nicht nur Größe (Betrag) sondern auch Richtung und Orientierung sind wichtig - analog Geschwindigkeit etc. Nach dem physikalischen Vorbild des Kraftbegriffs definieren wir: Definition: Ein Vektor ist eine gerichtete, orientierte Strecke im Raum. Dabei werden diejenigen Pfeile als gleich angesehen, die durch Parallelverschiebung ineinander übergehen.

9 Was sind Vektoren? Bezeichnung: a Vektoren besitzen Länge (Betrag), Richtung und Orientierung. Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie in Betrag, Richtung und Orientierung übereinstimmen.der Vektor mit dem Betrag Null heisst Nullvektor o. a

10 Was sind Vektoren? Definiert werden hier sogenannte freie Vektoren; der Anfangspunkt des Pfeils ist beliebig. In den Anwendungen sind noch gebräuchlich: linienflüchtige Vektoren: der Anfangspunkt des Pfeils kann auf einer Geraden gewählt werden. ortsfeste Vektoren mit wohlbestimmtem Anfangspunkt

11 Addition von Vektoren Definition: Zwei Vektoren werden addiert, indem man den Anfangspunkt des einen Vektors im Endpunkt des anderen Vektors anhängt. b a + b a a b a b

12 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Definition: Unter s a mit s > 0 verstehen wir einen Vektor, dessen Richtung und Orientierung mit a übereinstimmt, aber mit der s-fachen Länge von a.istsnegativ,sodrehtsichnoch zusätzlich die Orientierung um. 3 a a

13 Rechenregeln Einführung a + b = b + a s( a + b ) = s a + s b (s + t) a = s a + t a

14 Punkte und Vektoren Einführung Zwei Punkte P 1 (x 1 y 1 z 1 ) und P 2 (x 2 y 2 z 2 ) definieren den Vektor x 2 x 1 P 1 P 2 = y 2 y 1 z 2 z 1

15 Algebraisierung der Vektorrechnung Der geometrische Vektorbegriff soll zahlenmäßig erfasst werden. Dazu wählen wir drei Vektoren der Länge 1 aus, die paarweise aufeinander orthogonal stehen. Weiter legen wir die Reihenfolge (gegenseitige Orientierung) mit der Rechtsschrauben-Regel fest.

16 Algebraisierung der Vektorrechnung Alle Vektoren im Raum können als Linearkombination der Einheitsvektoren i, j, k dargestellt werden, die wir uns in den Achsen eines kartesischen Koordinatensystems denken. a 1 a = a1 i + a2 j + a3 k = a 2 a 3

17 Algebraisierung der Vektorrechnung Die Grundrechenoperationen übertragen sich damit auf die Komponenten: Gleichheit von Vektoren a 1 a 2 = a 3 b 1 b 2 b 3 Addition und Subtraktion S-Multiplikation a 1 b 1 a 2 ± b 2 = a 3 b 3 a 1 s a 2 = a 3 a 1 = b 1 a 2 = b 2 a 3 = b 3 a 1 ± b 1 a 2 ± b 2 a 3 ± b 3 s a 1 s a 2 s a 3

18 Länge (Betrag) eines Vektors x 3 a 3 a x a 2 a 1 a x 2

19 Länge (Betrag) eines Vektors a = a = a1 2 + a2 2 a 2 + a 23 = a1 2 + a2 2 + a2 3

20 Anwendung: Normierung eines Vektors Normierung eines Vektors a auf die Länge 1. Einsvektor e a. e a = a a Vektor der Länge 1 mit Richtung und Orientierung wie a.

21 Die Richtung eines 2D Vektors α =Winkel zwischen x 1 -Achse und a : x 2 ( ) a1 a = a 2 α x 1 { arctan a 2 α = 1, a 1 > 0 arctan a 2 a 1 + π, a 1 < 0

22 Die Richtung eines 3D Vektors. Richtungscosinusse α k =Winkel zwischen x k -Achse und a ; cosα k = a k a. x 3 a 1 a = a 2 a 3 α 3 α 2 x 2 α 1 x 1

23 Die Richtung eines 3D Vektors. Richtungscosinusse Für einen Vektor a und seine Richtungscosinusse cos α k gilt: cos 2 α 1 +cos 2 α 2 +cos 2 α 3 =1 sowie cos α 1 e a = cos α 2 und cos α 3 a = a e a

24 Das Skalarprodukt Einführung Das physikalische Experiment: Arbeit, die längs einer Strecke s von der Kraft F geleistet wird. Nur der Anteil der Kraft längs des Weges ist relevant. A = F s cos ϕ F ϕ F cos ϕ s

25 Das Skalarprodukt Einführung Definition: Unter dem Skalarprodukt der Vektoren a und b versteht man das Produkt aus den Beträgen der beiden Vektoren a und b multipliziert mit dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels. a b = a b cos ϕ Daraus ergibt sich für den Winkel ϕ : a b > 0 0 ϕ< π 2 a b < 0 π 2 <ϕ π a b = 0 ϕ = π 2

26 Eigenschaften des Skalarproduktes a b = b a a ( b + c ) = a b + a c s ( a b ) = (s a ) b = a (s b ) a ( b c ) ( a b ) c a b = 0 a = o b = o a b

27 Eigenschaften des Skalarproduktes Es gibt keine Umkehrung des Skalarproduktes, d.h. die Beziehung a x = b lässt sich nicht nach x auflösen. x Alle x besitzen dieselbe Projektion auf a. Die Spitzen aller Vektoren mit a x = b liegen in einer Ebene. a

28 Skalarprodukt in Koordinatendarstellung a b = (a1 i + a2 j + a3 k ) (b1 i + b2 j + b3 k ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 a 1 b 1 a 2 b 2 = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 a 3 b 3 Sind die Koordinaten zweier Vektoren bekannt, so kann mit Hilfe des Skalarprodukts der Winkel zwischen den beiden Vektoren bestimmt werden. a b = a b cos ϕ cos ϕ = = a b a b a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 a1 2 + a2 2 + a2 3 b1 2 + b2 2 + b2 3

29 Projektionen Einführung Projektion des Vektors a auf die Richtung von b : skalar: b a = a b vektoriell: b a b = a b b 2 b

30 Vektorprodukt(Kreuzprodukt) Das physikalische Experiment: Bewegt sich eine elektrische Ladung im Magnetfeld, so wirkt auf diese eine Kraft. Diese Kraft wirkt senkrecht auf die Bewegungsrichtung und senkrecht auf die Richtung des Magnetfelds. Dabei ist nur der Anteil des Magnetfelds relevant, der senkrecht zur Bewegungsrichtung ist. Das Drehmoment in der Mechanik wird ebenfalls als Vektorprodukt definiert. B B sin ϕ ϕ v

31 Vektorprodukt(Kreuzprodukt) Definition: Das mit a b bezeichnete Vektorprodukt steht senkrecht auf den Vektoren a und b, bildet in der Reihenfolge a, b, a b ein Rechtssystem und hat den Betrag a b = a b sin ϕ, ϕ = ( a, b ) a b b a

32 Vektorprodukt(Kreuzprodukt) b ϕ b sin ϕ a Der Betrag a b kann als die von den Vektoren a, b aufgespannten Parallelogrammfläche gedeutet werden.

33 Eigenschaften des Vektorproduktes a b = b a a ( b + c ) = a b + a c s ( a b ) = (s a ) b = a (s b ) a ( b c ) ( a b ) c a b = o a = o b = o a b

34 Eigenschaften des Vektorproduktes Es gibt keine Umkehrung des Vektorprodukts, d.h. die Beziehung a x = b lässt sich nicht nach x auflösen. x a Die Spitzen aller Vektoren mit a x = b liegen auf einer Geraden parallel zu a und senkrecht zu b.

35 Vektorprodukt in Koordinatendarstellung a b = (a1 i + a2 j + a3 k ) (b1 i + b2 j + b3 k ). a b =(a2 b 3 a 3 b 2 ) i +(a 3 b 1 a 1 b 3 ) j +(a 1 b 2 a 2 b 1 ) k. oder a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 = b 3 a 2 b 3 a 3 b 2 a 3 b 1 a 1 b 3. a 1 b 2 a 2 b 1

36 Vektorprodukt in Koordinatendarstellung Merkregel mit Determinantenschema : a b = i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = i a 2 a 3 b 2 b 3 }{{} a 2 b 3 a 3 b 2 j a 1 a 3 b 1 b 3 }{{} a 1 b 3 a 3 b 1 + k a 1 a 2 b 1 b 2 }{{} a 1 b 2 a 2 b 1

37 Spatprodukt Einführung Definition: Wird ein Vektor a mit dem Vektorpodukt von zwei Vektoren b c skalar multipliziert, so nennt man diese Kombination Spatprodukt. Schreibweise: [ a, b, c ] = a ( b c )

38 Spatprodukt Einführung Das Spatprodukt lässt sich als (orientiertes) Volumen des von den drei Vektoren aufgespannten Spats interpretieren. a ( b c ) = a b c }{{} A P cos ϕ mit ϕ = ( a, b c )

39 Spatprodukt Einführung b c a h c A p b

40 Spatprodukt in Koordinatendarstellung a 1 b 2 c 3 b 3 c 2 a ( b c )= a 2 b 3 c 1 b 1 c 3 a 3 b 1 c 2 b 2 c 1 = a 1 (b 2 c 3 b 3 c 2 ) + a 2 (b 3 c 1 b 1 c 3 ) + a 3 (b 1 c 2 b 2 c 1 ) [ a, b, c ]= a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3

41 Eigenschaften des Spatprodukts Aus der Eigenschaft [ a, b, c ] = 0 folgt, dass alle Vektoren in einer Ebene liegen. Wird beim Spatprodukt die Reihenfolge der Vektoren verändert, so kann sich höchstens das Vorzeichen ändern. Speziell gilt: Werden zwei Vektoren vertauscht (dritter Vektor bleibt auf seiner Position), so ändert sich das Vorzeichen. Bei zyklischer Vertauschung bleibt das Vorzeichen erhalten.

42 Hochschule Esslingen October 6, 2007