5.5.3 Welle im Messingstab ****** 1 Motivation. 2 Experiment. Welle im Messingstab

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1 5.5.3 ****** Motivation Ein Messingstab wird horizontal bzw. vertikal angeschlagen. Die Geschwindigkeit der dabei jeweils ausgelösten longitudinalen bzw. vertikalen Schallwelle wird gemessen. 2 Experiment Abbildung : Versuchsaufbau. Oberes Bild: Übersicht. Bild links unten: Schläger und Sensor für das Startsignal. Bild rechts unten: Sensor für das Stoppsignal. Ein Messingstab mit quadratischem Querschnitt ist horizontal gelagert (siehe Abb. ). Durch einen horizontalen Schlag auf die quadratische Endfläche wird eine longitudinale Schallwelle der Geschwindigkeit v l ausgelöst. Die Nadeln zweier Tonabnehmer nahe an den jeweiligen Enden des Stabs registrieren die durch die Schallwelle verursachte kleine longitudinale Verschiebung. Die dadurch erzeugten elektrischen Impulse werden in einem Oszilloskop gemessen. Aus der Zeitdifferenz t l = t 2 t und dem Abstand l = 2 m zwischen den beiden Sensoren folgt die Schallgeschwindigkeit: v l = l () t l Die longitudinale Schallgeschwindigkeit ist andererseits gegeben durch E v l = ρ, (2)

2 t l t t Abbildung 2: Start- und Stoppsignale. Linkes Bild: Longitudinale Schallwelle. Rechtes Bild: Transversale Schallwelle. wobei E den Elastizitätsmodul und ρ die Dichte des Materials bedeuten. Durch das Schlagen auf die obere Fläche wird dagegen eine transversale Schallwelle ausgelöst. In diesem Fall registrieren die beiden Sensornadeln eine vertikale Verschiebung, die wiederum zwei Signale liefert, anhand derer man die transversale Geschwindigkeit v t bestimmt. v t = l t t (3) Auch in diesem Fall hängt die Schallgeschwindigkeit von mechanischen Materialgrössen ab: G c t = (4) ρ mit dem Schubmodul G. Aus der Beziehung G = und mit der Poissonzahl ν > 0 folgt, dass stets gilt! Für Messing ergeben sich damit Werte von E 2 ( + ν) v l > v t (5) v l 3400 m/s (6) v t 2050 m/s (7) 2

3 df t df df n da Abbildung 3: Normalkomponente df n und Tangentialkomponente df t einer am Festkörper angreifenden Kraft F. 3 Theorie 3. Grundlagen der Festigkeitslehre 3.. Verformungen: Elastizität und Plastizität Wir denken uns ein Bauelement an einer beliebigen Stelle aufgeschnitten und greifen an der Schnittstelle das (unendlich klein gedachte) Flächenelement da heraus. Auf dieses Flächenelement wirkt dann bei Belastung eine Kraft df, die wir in eine Normalkomponente df n und eine Tangentialkomponente df t zerlegen (siehe Abb. 3): Wir definieren nun als Normalspannung σ, bzw. als Schubspannung τ: σ := df n da τ := df t da (8) Je nach Vorzeichen von σ bezeichnet man die Normalspannung auch als Zug- oder Druckspannung. Unter der Wirkung dieser Spannungen treten Deformationen des festen Körpers auf, die wir im Folgenden besprechen werden. Wählen wir ein kleines Zylinderchen (oder Quaderchen) mit der Länge l und üben eine Zugspannung σ aus (siehe Abb. 4), so finden wir in der Regel eine Verlängerung von l um die Strecke l. Für die relative Verlängerung ε l := l l findet man im Experiment das folgende Verhalten (siehe Abb. 5): (9) Wir stellen das Flächenelement als Normalenvektor da dar. Dieser ist also senkrecht zur Oberfläche, sein Betrag ist da = da. 3

4 σ σ l l Abbildung 4: Verlängerung eines massiven Zylinders durch die Zugspannung σ. Falls σ > σ B, wobei σ B die Bruchspannung ist, bricht oder reisst das Material. Bei zähen Materialien verformt sich das Werkstück (dauernd, plastisch), falls σ > σ F, wobei σ F die Fliessspannung ist. Im elastischen Bereich finden wir meist bei nicht allzu grossen Verformungen einen linearen Zusammenhang zwischen ɛ l und σ: ɛ l = l l = σ E Hookesches Gesetz (0) Die Proportionalitätskonstante E wird als Elastizitätsmodul bezeichnet. Im SI-System haben σ, τ, σ B, σ F, E alle die Einheit Pa = N/m 2 ; häufig wird in der Festigkeitslehre aber auch noch mit dem techn. Masssystem gerechnet (Spannungen etc. in kp/m 2 oder kp/cm 2 ). Typische Werte für diese Grössen sind in der nachstehenden Tabelle angeben: Tabelle : Mechanische Eigenschaften verschiedener Stoffe (typische Werte). Material Dichte Bruch oder Fliess Elastizitätmodul Poissonzahl [kg/m 3 ] Spannung [MN/m 2 ] [GN/m 2 ] µ Aluminium ,345 Weicheisen ,293 Stahl ,283 Messing (70/30) ,350 Fichtenholz Quarz ,70 2 Der longitudinale Elastizitätsmodul beträgt etwa E L = 0 6 GN/m 2, der radiale E R = 0, 4 0, 9 GN/m 2 und der tangentiale E T = 0, 4 0, 6 GN/m 2. 4

5 ε l Sprödes Material ε l Zähes Material ε 6 ε 5 ε 4 ε 3 ε 2 ε σ ε 2 ε σ σ σ 2 σ B σ σ 2 Abbildung Abbildung 5: Plastische 6.: Plastische und elastische und elastische Verformung Verformung unter demunter Einfluss demeiner Einfluss Zugspannung einer σ. Sprödes Zugspannung Material bricht σ. Sprödes bei der Bruchspannung Material bricht σ B bei. der Bruchspannung σ b 3..2 Querkontraktion Bei einem Zug tritt zusätzlich zur Längenänderung l 0 eine Querkontraktion b 0 auf. Bei einer Druckspannung verkürzt sich die Länge, und die Querdimension b 0 nimmt zu. Es gilt: ɛ b := b 0 b 0 = ν l 0 l 0 = ν σ E () ν ist die sog. Poissonzahl (ν 0,3 für Stahl). b 0 b 0 σ σ l l Abbildung 6: Querkontraktion b 0 bei der Verlängerung eines massiven Zylinders des Durchmessers b 0 durch die Zugspannung σ. 5

6 τ γ τ τ τ Abbildung 7: Durch die Schubspannung τ verursachter Scherungswinkel γ Schubspannung Eine reine Schubspannung τ erzeugt gemäss Abb. 7 einen Scherungswinkel γ = τ G. (2) Dieses Gesetz ist formal ähnlich wie das Hookesche Gesetz. Für den Schubmodul G gilt (ohne Beweis): E G = (3) 2 ( + ν) 3.2 Longitudinale elastische Welle im Festkörper Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der longitudinalen elastischen Wellen in einem Festkörper folgt aus dem Hookeschen Gesetz (Gl. 0). Wir betrachten dazu einen Ausschnitt aus einem Stab am Ort z und am Ort z + dz (siehe Abb. 8). Die Verformung am Ort z sei ξ. Dann ist die Verformung am Ort z + dz gleich: ξ + dξ = ξ + ξ dz (4) z Durch die Schwingung ändert sich die Dicke dz des Volumenelementes dv = A dz um die Differenz der beiden Auslenkungen: ( ξ + ξ ) z dz ξ = ξ dz (5) z Diese Ausdehnung bewirkt die rücktreibende Kraft F = σa (6) 6

7 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS 2008 z dz σ σ + dσ ξ ξ + dξ Abbildung 6.: 8: Zur Herleitung der Wellengleichung in einem einem Stab. Stab. Die dabei auftretende Zugspannung σ ist nach dem Hookeschen Gesetz gleich: σ = E ξ z Am rechten Ende des Volumenelementes bei z + dz ist die Zugspannung gleich (7) Damit wirkt die resultierende Kraft σ + dσ = σ + σ z dz = σ + 2 ξ dz (8) z2 df = A {(σ + dσ) σ} = A dσ (9) = A σ z dz = AE 2 ξ dz (20) z2 auf das Volumenelement. Durch diese Kraft wird das Massenelement dm = ρ dv beschleunigt: df = dm 2 ξ t 2 = ξ ρa 2 dz (2) t2 Der Vergleich von Gl. (20) mit Gl. (2) ergibt wieder die Wellengleichung; 2 ξ t 2 = E 2 ξ (22) ρ z 2 Damit folgt für die longitudinale Schallgeschwindigkeit im Festkörper: v = E ρ (23) 7

8 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS 2008 V kz = !t - kz = / !t - kz = !t - kz =3 / !t - = cos (kz!t) Abbildung Abbildung 9: Zeitabhängigkeit 6.: Zeitabhängigkeit der transversalen der transversalen Welle für 4 verschiedene Welle für 4Orte verschiedene im abgestuften Abstand Orte vonimjeweils abgestuften z = λ/4. Abstand von jeweils z = / Transversale Wellen Bei den transversalen Wellen ist die Auslenkung ξ stets senkrecht zur Fortpflanzungsrichtung. Beispiele sind transversale Seilwellen, transversale Schwingungen einer Kette von Massenpunkten, welche durch Federn miteinander verbunden sind, transversale Festkörperwellen oder die elektromagnetischen Wellen. Wir betrachten als Beispiel eine Auslenkung ξ um x in x-richtung mit einer Ausbreitung in z-richtung: ξ = x ˆx (24) Die Wellenausbreitung hat dann die folgende Form: ξ(z, t) = {Af(z vt)} ˆx (25) ξ(z, t) = Af(z vt) (26) 8

9 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS 2008 V050503!t = kz -!t = / kz -!t = kz -!t =3 / kz - = cos (kz!t) Abbildung Abbildung 0: Ortsabhängigkeit 6.: Ortsabhängigkeit der transversalen der transversalen Welle für 4 verschiedene Welle für 4Zeitpunkte verschiedene im abgestuftenzeitpunkte Abstand von imjeweils abgestuften t = T/4. Abstand von jeweils t = T/4. Eine harmonische Welle als Spezialfall davon lautet damit: Üblicherweise gibt es zwei Arten, eine Welle darzustellen: ξ(z, t) = A cos (kz ωt) ˆx (27) a) Man betrachtet die Amplitude am festvorgegeben Ort in Funktion der Zeit. Abb. 9 zeigt entsprechende Zeitverteilungen für vier Orte im abgestuften Abstand von je λ/4. b) Im Gegensatz dazu kann man auch die räumliche Verteilung der Welle zu einem fest vorgegeben Zeitpunkt betrachten. Abb. 0 zeigt entsprechende Ortsverteilungen für vier Zeitpunkte im abgestuften Abstand von je T/4. 9

10 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS Auftreffende Welle v A ξ A (x, t) x/λ A Reflektierte Welle v A ξ R (x, t) x/λ A Transmittierte Welle A ξ T (x, t) v x/λ A Abbildung : Transmission und Reflexion an der Grenzfläche zweier Medien und 2 mit α = 2. Abbildung 6.: Transmission und Reflexion an der Grenzfläche zweier Medien 3.5 Reflexion und 2 mit und α = Transmission 2. Wir wollen nun noch untersuchen, was beim Auftreffen einer Welle auf eine Grenzfläche geschieht, die zwei verschiedene Medien voneinander trennt. Eine Welle laufe in einem Medium mit Kreisfrequenz ω und Wellenzahl k nach rechts. An der Grenzfläche (x = 0) treffe sie auf ein 2. Medium mit anderen Materialkonstanten. Im allgemeinen wird dann ein Teil der Welle im anderen Medium weiterlaufen (Transmission) und ein anderer Teil wird reflektiert und nach links zurück laufen (Reflexion) (siehe Abb. ). Die Kreisfrequenz, als Taktgeberin der Welle, wird sich dabei nicht ändern; sie ist also identisch für auftreffende, transmittierte und reflektierte Welle. Was sich aber im allgemeinen ändern wird, sind die Wellengeschwindigkeit v und damit auch die Wellenzahl k bzw. die Wellenlänge λ. 0

11 Bei der Seilwelle zum Beispiel ist v = S/ρ, so dass sowohl eine andere Dichte als auch eine andere Seilspannung die Geschwindigkeit ändern. Bei der Schallwelle im Festkörper ist v = E/ρ. In diesem Fall bewirken ein anderer Elastizitätsmodul oder eine andere Dichte eine veränderte Geschwindigkeit. Es gibt demnach drei verschiedene Wellenfunktionen: ξ A = Ae i(+k x ωt) ξ R = Re i( k x ωt+δ R ) ξ T = T e i(+k 2x ωt+δ T ) A > 0 Auftreffend (28) R 0 Reflektiert (29) T 0 Transmittiert (30) Die Phase der auftreffenden Welle haben wir ohne Einschränkung der Allgemeinheit gleich null gesetzt. Es müssen die folgenden beiden Randbedingungen erfüllt sein: a) Stetigkeit der Amplitude: lim (ξ A + ξ R ) = lim ξ T (3) x 0 x 0 + b) Beispiel Seilwelle: Die vertikalen Kräfte links sind gleich den vertikalen Kräften rechts. ξ A S ξ R x + S ξ T x=0 x = S 2 x=0 x (32) x=0 Aus Gl. (3) folgt: A + Re iδ R = T e iδ T (33) Das sind zwei Gleichungen, eine für den Real- und eine für den Imaginärteil. Die Gleichung für den Imaginärteil ergibt: da A reell ist. Aus Gl. (32) folgt: Wir formen zunächst das Produkt (S j k j ), j =, 2 um: T sin δ T = R sin δ R, (34) AS k = T S 2 k 2 e iδ T + RS k e iδ R (35) 0 = T S 2 k 2 sin δ T + RS k sin δ R (36) 0 = T S 2 k 2 sin δ T + T S k sin δ T (37) k j = ω ρj = ω (38) v j S j k j S j = ω S j ρ j (39)

12 Mit der Definition α := k 2S 2 S2 ρ 2 = (40) k S S ρ liefert Gl. (3) schliesslich die folgende Bedingung: T sin δ T (α + ) = 0 (4) Da α + >, kann diese Gleichung nur für sin δ T = 0 (42) erfüllt werden. Als mögliche Lösungen kommen zunächst δ T = 0 oder δ T = π in Frage. Die 2. Lösung erfüllt aber nicht die Bedingung, dass gelten muss, sondern liefert vielmehr Aus δ T = 0 folgt wiederum lim ξ A := ξ T (43) v v 2 lim v v 2 ξ A = ξ T (44) sin δ R = 0 (45) Für die reflektierte Welle gibt es keine weitere Bedingung, so dass sowohl δ R = 0 als auch δ R = π mögliche Lösungen sind. Wir setzen diese erhaltenen Phasen in die beiden Randbedingungen ein und erhalten aus Gl. (33) A = T R (46) und aus Gl. (35) A = αt ± R (47) Mithilfe dieser beiden Gleichungen können wir die Amplitude sowohl für die Transmission als auch für die Reflexion berechnen: R = ± α 2A A und T = + α + α (48) 2

13 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS 2008 ξ(x, t) v t = 0 x ξ(x, t) t = t x v Abbildung6.: 2: Reflexion eines Wellenbergs am amfesten Ende. Spezialfälle: a) α = Da hierfür S ρ = S 2 ρ 2 erforderlich ist, kann man auch mit unterschiedlichen Materalien diese Bedingung erfüllen! R = 0 und T = A (49) b) α > Da R R und R 0, gilt in diesem Fall das negative Vorzeichen und deshalb auch δ R = π R = α 2A A und T = α + α + (50) Das feste Ende am Seil entspricht lim R(α) = A T 0 (5) α Bei diesem Grenzübergang wird die Welle vollständig reflektiert, und es findet ein Phasensprung um 80 statt (siehe Abb. 2)! 3

14 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS 2008 ξ(x, t) v t = 0 x ξ(x, t) v t = t x Abbildung6.: 3: Reflexion eines Wellenbergs am amlosen Ende. c) α <. Da R R und R 0, gilt in diesem Fall das positive Vorzeichen und deshalb auch δ R = 0 R = α 2A A und T = + α + α (52) Das lose Ende am Seil entspricht lim R(α) = A (53) α 0 Der Grenzfall α = 0 lässt sich nur realisieren, indem man das Medium an Vakuum angrenzen lässt. Dann ist es aber nicht mehr sinnvoll, von einer Transmission (T = 2A) zu reden, da keine mechanische Welle ins Vakuum übertreten kann. Beim Grenzübergang wird die Welle ebenfalls vollständig reflektiert, aber es findet kein Phasensprung statt (siehe Abb. 3)! Die Amplituden für Transmission und Reflexion sind als Funktion des Parameters α in Abb. 4 aufgetragen. 4

15 2 f(α) T (α) A = 2 + α R(α) A = α + α α Abbildung Abbildung 4: Auf 6.: dieauf auftreffende die auftreffende Amplitude Amplitude A normierte A normierte Amplituden Amplituden R(α) für Reflexion R(α) und T (α) für Reflexion Transmission undalst Funktion (α) für Transmission des Parameters alsα. Funktion des Parameters α. 5