4. Wirbelsätze. ω= v. Er beschreibt die Drehung einer Strömung. Aus der für jedes Vektorfeld w gültigen Beziehung. ω=0

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1 Wirbelvektor: Der Wirbelvektor ist definiert durch ω= v Er beschreibt die Drehung einer Strömung. Aus der für jedes Vektorfeld w gültigen Beziehung ( w )=0 folgt: ω=0 Wirbellinien sind Kurven, deren Tangente in jedem Punkt parallel zum Wirbelvektor ist. Prof. Dr. Wandinger 3. Grundlagen der Aerodynamik Aeroelastik 3.4-1

2 Die Wirbellinien, die zu einem bestimmten Zeitpunkt durch eine Kurve gehen, bilden eine Wirbelfläche. ω Prof. Dr. Wandinger 3. Grundlagen der Aerodynamik Aeroelastik 3.4-2

3 Zirkulation Die Zirkulation ist definiert als Linienintegral der Geschwindigkeit längs einer geschlossenen Kurve: Γ= v d s C Der Integralsatz von Stokes verknüpft die Zirkulation mit dem Wirbelvektor: S ω n ds= S ω S v d s=γ n S Prof. Dr. Wandinger 3. Grundlagen der Aerodynamik Aeroelastik 3.4-3

4 Wirbelsätze von Helmholtz: Wegen ( ϕ)=0 für alle skalaren Felder ϕ folgt durch Bilden der Rotation aus der Impulsgleichung: v t Damit gilt für den Wirbelvektor: (v ( v ) )=0 ω t = (v ω ) Ist der Wirbelvektor in einem Gebiet null, so bleibt er dort für alle Zeiten null. Prof. Dr. Wandinger 3. Grundlagen der Aerodynamik Aeroelastik 3.4-4

5 Mit (v ω )=v( ω) ω ( v)+(ω )v (v )ω folgt wegen ω=0 und v=0 : ω +(v )ω=(ω )v t Integration über ein mitschwimmendes Volumen ergibt: d dt V (t ) ω dv = (ω )v dv V (t ) Ist der Wirbelvektor in einem mitschwimmenden Volumen null, so bleibt er für alle Zeiten null. Prof. Dr. Wandinger 3. Grundlagen der Aerodynamik Aeroelastik 3.4-5

6 Wirbelsatz von Kelvin: Aus dem Transport-Theorem für Kurvenintegrale folgt für die zeitliche Änderung der Zirkulation über eine mitschwimmende geschlossene Kurve: d Γ dt Mit der Impulsgleichung folgt: = d dt C (t ) v d s= C (t ) ( v t +(v )v ) d s ( v C (t ) t +(v )v ) d s= ρ 1 0 C (t ) p d s=0 Damit ist gezeigt: d Γ dt =0 Prof. Dr. Wandinger 3. Grundlagen der Aerodynamik Aeroelastik 3.4-6

7 Die Zirkulation über eine mitschwimmende geschlossene Kurve ist zeitlich konstant. Wirbelröhre: Wirbellinien, die zu einem bestimmten Zeitpunkt durch eine geschlossene Kurve gehen, bilden eine Wirbelröhre. n n n S 3 S 2 S 1 Prof. Dr. Wandinger 3. Grundlagen der Aerodynamik Aeroelastik 3.4-7

8 Für ein Volumen V, das durch eine Fläche S 3 auf einer Wirbelröhre und zwei Flächen S 1 und S 2, die die Wirbelröhre schneiden, begrenzt wird, gilt: 0= V ω dv = ω n ds + ω n ds + ω n ds S 1 S 2 S 3 Das Integral über S 3 ist null, da dort der Wirbelvektor senkrecht zum Normalenvektor ist. Mit n 1 = -n auf S 1 und n 2 = n auf S 2 folgt: S 1 ω n 1 ds= S 2 ω n 2 ds Prof. Dr. Wandinger 3. Grundlagen der Aerodynamik Aeroelastik 3.4-8

9 Der Wirbelfluss durch jede Querschnittsfläche einer Wirbelröhre hat den gleichen Wert. Daraus folgt, dass Wirbelröhren im Inneren der Strömung weder beginnen noch enden können. Wirbelröhren bilden daher entweder geschlossene Kurven, oder sie sind unendlich lang. Ist C eine beliebige geschlossene Kurve auf der Wirbelröhre, die die Wirbelröhre umfasst, dann gilt: Γ= C v d s= S ω n ds, C = S Die Zirkulation über jede Kurve, die die Wirbelröhre umfasst, hat daher den gleichen Wert. Prof. Dr. Wandinger 3. Grundlagen der Aerodynamik Aeroelastik 3.4-9

10 Wirbelfäden: Wird eine Wirbelröhre auf eine Linie zusammengezogen, wobei der Betrag des Wirbelvektors gegen Unendlich geht, so dass die Zirkulation konstant bleibt, entsteht ein Wirbelfaden. Die Zirkulation gibt die Wirbelstärke des Wirbelfadens an. ds s O x - s x C v P Prof. Dr. Wandinger 3. Grundlagen der Aerodynamik Aeroelastik

11 Für die Geschwindigkeit, die ein Wirbelfaden im Punkt P induziert, gilt das Gesetz von Biot und Savart (siehe z. B. Karamcheti, Kap. 18.7): v(x)= Γ 4 π C ( x s ) d s x s 3 Für eine positive Zirkulation ergibt sich das Vorzeichen des Beitrags eines infinitesimalen Streckenelements zur Geschwindigkeit nach der Rechthandregel. Prof. Dr. Wandinger 3. Grundlagen der Aerodynamik Aeroelastik