Seminar über Galoistheorie und Anwendungen SEPARABILITÄT

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1 Seminar über Galoistheorie und Anwendungen SEPARABILITÄT Christine Anthamatten und Alexandra Valle May 5, 2009 Contents 1 Einfache und mehrfache Nullstellen 2 2 Separabilität 7 3 Der Satz vom primitiven Element 8 4 Beispiele 11 5 Literaturverzeichnis 13 1

2 1 Einfache und mehrfache Nullstellen Vielfachheit von Nullstellen und formale Ableitung Sei f k[x] und K k ein Zerfällungskörper. Ist n = deg(f), so ist f = a(x x 1 )... (X x n ) K[X] Die Nullstellen x 1,..., x n Nullstellen geben. K müssen keineswegs verschieden sein, es kann "mehrfache" Denition 1.1. Sei x K. Die Vielfachheit von x bzgl. f ist deniert als µ(f; x) := max{r N : (X x) r teilt f in K[X]} Bemerkung 1.1. In K[X] gilt f = (X x) µ(f;x) g mit g(x) 0. Andernfalls könnte man die Vielfachheit µ(f; x) vergrössern Bemerkung 1.2. Es gilt f(x) = 0 µ(f; x) 1 Beweis von Bemerkung 1.2: f(x) = 0 dann is x Nullstelle von f d.h. f = (X x) s g mit s N und s 1 und g(x) 0 und g K[X]. µ(f; x) 1 dann x ist Nullstelle von f d.h. f(x) = 0. Denition 1.2. x K heisst einfache Nullstelle von f µ(f; x) = 1. x K heisst mehrfache Nullstelle von f µ(f; x) 2. Denition 1.3. Für ein Polynom f = a n X n a 1 X + a 0 Ableitung erklärt durch k[x] ist die formale f := n a n X n a 1 k[x]. Bemerkung 1.3. Die Ableitung von einem Polynom f k[x] hat diese Form nur falls char(k) = 0. In diesem Fall gilt deg(f ) = deg(f) 1. Da n N \ {0} und a n k \ {0} mit k Körper, wissen wir, dass der Koezient n a n ein Element von k ist. Ist char(k) = 0 dann gilt n a n 0. Ist jetzt char(k) = p mit p Primzahl in Z und p Teiler von n, dann wird n a n = 0 sein. 2

3 Beweis von Bemerkung 1.3: Falls char(k) = 0 dann ist die Abbildung ψ : Z k, n n 1 k ; injektiv, d.h. es gilt a b 0 a k \ {0}, b Z \ {0} denn: Wäre a b = 0 dann ist a (b 1 k ) = 0 d.h. a ψ(b) = 0. Da k Körper (also k Integer) gilt a = 0 oder ψ(b) = 0. Da a 0 muss ψ(b) = 0 gelten, also b ker(ψ). Da ψ injektiv gilt ker(ψ) = {0} also muss gelten b = 0 (Wiedersrpuch) Falls char(k) = p, p Z Primzahl, dann gilt p a = 0 a k da p a = p (1 k a) = (p 1 k ) a = ψ(p) a = 0 k a = 0 k. Rechenregel 1.1. Für die formale Ableitung k[x] k[x], f f, gilt für alle f, g k[x] und a k. (af + g) = af + g und (f g) = f g + f g Beweis von Rechnenregel 1.1: Seien f := b 0 + b 1 X b n X n und g := c 0 + c 1 X c m X m Polynome k[x] Fall 1: m n Es gilt (af + g) = (a(b 0 + b 1 X b n X n ) + c 0 + c 1 X c m X m ) = = ((ab 0 + c 0 ) + (ab 1 + c 1 )X (ab n + c n )X n + c n+1 X n c m X m ) = = (ab 1 + c 1 ) + 2(ab 2 + c 2 )X n(ab n + c n )X n 1 + (n + 1)c n+1 X n mc m X m 1 = = ab 1 + 2ab 2 X nab n X n 1 + c 1 + 2c 2 X nc n X n mc m X m 1 = = a(b 1 + 2b 2 X nb n X n 1 ) + c 1 + 2c 2 X nc n X n mc m X m 1 = = af + g Dann: (af + g) = af + g Fall 2: m < n analog. Jetzt genügt es, die zweite Regel für Paare X m, X n von Basisvektoren zu beweisen: (X m X n ) = (X m+n ) = (m + n)x m+n 1 = mx m+n 1 + nx m+n 1 = (X m ) X n + X m (X n ). Notation 1.1. Man kann die Ableitung r-mal wiederholen, dafür schreibt man f (r). 3

4 Bemerkung 1.4. Ist char(k) = 0, so folgt Beweis von Bemerkung 1.4: Ist f = (X x) µ g mit g(x) 0, so gilt µ(f; x) = max{r N : f(x) =... = f (r 1) (x) = 0} f (r) = ((X x) µ g) (r) = (µ(x x) µ 1 g) (r 1) + ((X x) µ g ) (r 1) = = (µ(µ 1)(X x) µ 2 g) (r 2) + (µ(x x) µ 1 g + µ(x x) µ 1 g + (X x) µ g ) (r 2) = =... = µ(µ 1)... (µ r + 1) (X x) µ r g + (X x) h }{{} r 0 da char(k)=0 wobei h r k[x]. Falls r < µ dann gilt f (r) (x) = 0. Falls r = µ dann gilt f (r) (x) 0. Daraus folgt die Behauptung von Bemerkung 1.4. Lemma 1.1. Sei k ein beliebiger Körper, f k[x] und f(x) = 0 für ein x K k. Dann gilt: µ(f; x) = 1 d.h. x ist einfache Nullstelle von f f (x) 0 und µ(f; x) 2 d.h. x ist mehrfache Nullstelle von f f (x) = 0 Beweis von Lemma 1.1: Da f(x) = 0 ist (Bemerkung 1.2.) µ(f; x) 1 und f = (X x) g mit g K[X]. Dierentiation ergibt: f = g + (X x)g {}}{ daraus folgt f (x) = g(x) + (x x) g (x) d.h. f (x) = g(x). =0 Da µ(f; x) 2 g(x) = 0 folgt, dass µ(f; x) 2 f (x) = 0 und damit folgen die beiden Behauptungen. Satz 1.1. Sei k ein Körper und f k[x] mit deg(f) 1. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: i)f hat in einem Erweiterungskörper K k mindestens eine mehrfache Nullstelle. ii) f und f haben in k[x] einen gemeinsamen Teiler g mit deg(g) 1. 4

5 Beweis von Satz 1.1: i) ii): Ist x K mehrfache Nullstelle von f, d.h. µ(f; x) 2, so gilt nach Lemma 1.1. f(x) = f (x) = 0. Also ist das Minimalpolynom f x k[x] von x gemeinsamer Teiler von f und f, denn betrachte ev x : k[x] K, f f(x) die Auswertungsabbildung, dann gilt: ker(ev x ) = f x da x K algebraisch über k ist (Algebra I). Es gilt f(x) = f (x) = 0 d.h. f und f liegen im ker(ev x ) d.h. sie sind Vielfache von f x. ii) i): Sei g k[x] mit deg(g) 1 gemeinsamer Teiler von f und f. Nach Satz von Kronecker, kann man einen Erweiterungskörper K k nden in dem g eine Nullstelle x K hat. Daher gilt f = g h und f = g p mit h, p k[x] f(x) = g(x) h(x) und }{{} =0 f (x) = g(x) p(x) f(x) = f (x) = 0 }{{} =0 Nach Lemma 1.1. ist also x K mehrfache Nullstelle von f. Bemerkung 1.5. Für zwei Polynome f, g k[x] kann man den normierten grössten gemeinsamen Teiler d := ggt (f, g) k[x] mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus berechnen. Mit Hilfe eines Zerfällungskörper K k von f g (d.h. in K[X] zerfallen f und g in Linearfaktoren) kann man d auch etwas anders beschreiben (siehe Korollar 1.1.). Lemma 1.2. Gegeben seien Polynome f, g k[x] und eine Körpererweiterung k k. Es seien d = ggt (f, g) in k[x] und t = ggt (f, g) in k [X] normierte grösste gemeinsame Teiler. Dann gilt d = t, insbesondere t k[x]. Beweis von Lemma 1.2: Da d auch in k [X] gemeinsamer Teiler von f und g ist, folgt d t. Andererseits gilt d = ggt (f, g) in k[x], also gibt es nach der Relation von Bézout (siehe S. 56 im Buch von Fischer) Polynome p, q k[x] s.d. d = pf + qg Diese Relation hat man auch in k [X], dort gilt t f und t g, also t d. Da d und t normiert sind, folgt d = t. 5

6 Korollar 1.1. Seien f, g k[x] normierte Polynome, sei K k Zerfällungskörper von f g. Betrachte die paarweise verschiedenen gemeinsamen Nullstellen x 1,..., x m K von f und g (falls f und g keine gemeinsame Nullstelle haben, dann gilt ggt (f, g) = 1) und deniere µ i := min{µ(f; x i ), µ(g; x i )} 1, t := (X x 1 ) µ1... (X x m ) µm K[X]. In K[X] ist dann f = t s und g = t q und s, q K[X] haben keine gemeinsamen Nullstellen mehr. Somit haben s und q auch keine weitere gemeinsamen Teiler mehr also ist t ein normierter grösster gemeinsamer Teiler von f und g in K[X]. Wir behaupten nun d = t, wobei d = ggt (f, g) in k[x], insbesondere t k[x]. Beweis von Korollar 1.1: Lemma

7 2 Separabilität Denition 2.1. Sei f k[x]. f heisst separabel, wenn jeder irreduzible Faktor g k[x] \ {0} von f in seinem Zerfällungskörper nur einfache Nullstellen hat, d.h. g (x) 0 für jede Nullstelle x von g. Falls f schon irreduzibel ist, dann gilt f = g. Falls f konstant ist, existieren keine irreduziblen Faktoren von f, also ist f separabel. Bemerkung 2.1. Wir denieren das Nullpolynom als nicht separabel. Lemma 2.1. Ist k ein Körper und f k[x] irreduzibel, so gilt: f separabel f 0. Beweis von Lemma 2.1: Ist f = 0, so ist auch f (x) = 0 für jede Nullstelle x von f, also hat f nach Lemma 1.1. eine mehrfache Nullstelle, daraus folgt, dass f nicht separabel ist. Wäre f 0 und f nicht separabel, so gäbe es einen gemeinsamen Teiler g von f und f mit deg(g) 1 (Satz 1.1.). Es gilt: deg(f ) < deg(f) und weil g ein gemeinsamer Teiler von f und f ist gilt: deg(g) deg(f ) < deg(f), dies ist aber ein Widerspruch zu f irreduzibel. Bemerkung 2.2. Die Voraussetzung "irreduzibel" im Lemma ist wichtig, sonst gibt es Gegenbeispiele wie z.b.: Beispiel 2.1. Sei f = X p F p [X]. Dann ist f = px p 1. Es gilt: char(f p ) = p, also ist f = px p 1 = 0. Aber X ist der einzigste irreduzibler Faktor von f und X hat eine einfache Nullstelle, nämlich 0. Also folgt dass f separabel ist. Beispiel 2.2. Sei f = gh mit g, h irreduzibel, und g = 0 und f 0. Dann ist g nicht separabel da g wegen Lemma 1.1. mehrfache Nullstellen besitzt. Daraus folgt, dass f auch nicht separabel ist. Korollar 2.1. Ist char(k) = 0, so ist jedes f k[x] \ {0} separabel. Beweis von Korollar 2.1: Sei g ein irreduzibler Faktor von f. Da deg(g) 1 (weil, wäre deg(g) = 0 dann wäre g = c mit c k konstant, d.h. g ist eine Einheit oder das Nullpolynom, d.h. g ist reduzibel, dies ist aber ein Widerspruch), ist deg(g ) = deg(g) 1 0, also ist g 0 (da gilt g = 0 deg(g ) = und dies wäre ein Widerspruch). Aus g 0 folgt wegen Lemma 1.1. dass g in seinem Zerfällungskörper nur eine einfache Nullstelle hat. Also ist f separabel. Bemerkung 2.3. Im Fall char(k) = 0 ist also der Begri der Separabilität überüssig. Anders falls char(k) = p. Ist z.b: f = X p a k[x] Aus Algebra I (Eisenstein Kriterium) wissen wir dass f irreduzibel ist, falls a = q mit q k Primzahl. Jedoch gilt f = px p 1 = 0 f ist also nach Lemma 2.1. nicht separabel, also hat f mehrfache Nullstellen. 7

8 3 Der Satz vom primitiven Element Vorbemerkung 3.1. Charakterisierung von Zerfällungskörpern Für eine endliche Körpererweiterung K k sind folgende Bedingungen äquivalent: i) K ist Zerfällungskörper eines Polynom f k[x] ii) Ist K K eine Körpererweiterung und ϕ : K K ein Morphismus mit ϕ k = id k, so folgt ϕ(k) K iii) Ist g k[x] irreduzibel und hat g eine Nullstelle y K, so zerfällt g in K[X] in Linearfaktoren. Vorbemerkung 3.2. Ist a K k transzendent über k, so gilt: i) [k(a) : k] = ii) a 2 K ist transzendent über k und k(a 2 ) k(a) Insbesondere folgt aus ii), dass es eine echt absteigende unendliche Kette k(a) k(a 2 ) k(a 4 )... k von Zwischenkörpern gibt, falls a transzendent über k ist. Denition 3.1. Eine Körpererweiterung K k heisst, einfach wenn es ein a K gibt mit K = k(a). In diesem Fall heisst a K ein primitives Element. Satz 3.1 (Satz vom primitiven Element). Sei k ein Körper mit char(k) = 0 und K k eine endliche (und damit algebraische) Erweiterung. Dann gibt es in K ein primitives Element. Beweis vom primitiven Element: Aus dem 2.Vortag (Algebraische Körpererweiterung II) wissen wir, dass es über k algebraische Elemente a 1,..., a n K gibt, so dass K = k(a 1,..., a n ). Zuerst behandeln wir den Fall n = 2 und schreiben K = k(a, b). Gesucht ist ein Element c K mit K = k(c). Wir betrachten die Minimalpolynome f und g k[x] von a und b. Über einem Zerfällungskörper K k von f g ist und f = (X a)(x a 2 )... (X a r ) K [X] g = (X b)(x b 2 )... (X b s ) K [X]. Um ein geeignetes c zu nden, machen wir den Ansatz Damit erhalten wir die Körperkette c λ := a + λb mit λ k. k L λ := k(c λ ) k(a, b) = K K. 8

9 Wir wollen zeigen, dass L λ = K für alle bis auf endlich viele λ k, d.h. es gibt nur endlich viele λ's so dass die Gleichung nicht besteht. Das führt zum Ziel, da k wegen der char(k) = 0 unendlich ist (da endliche Körper Primzahlcharakteristik haben). Denn es gilt: k unendlich k unendlich. Die endliche Menge {λ k k(c λ ) K} ist in k enthalten, also existiert ein λ k mit k(c λ ) = K. Es genügt zu zeigen, dass b L λ, denn dann ist auch a = c λ λb L λ. Der klassische Trick dazu ist die Denition des Polynoms h λ := f(c λ λx) L λ [X]. h λ hat mit g die gemeinsame Nullstelle b, denn h λ (b) = f(a) = 0. Wir möchten verhindern dass, h λ und g weitere gemeinsamen Nullstellen haben, denn dann gilt: ggt (g, h λ ) = (X b) K [X]. da b als Nullstelle eines irreduziblen Polynoms einfach ist (hier wurde char(k) = 0 verwendet, denn ist char(k) = 0, dann folgt aus dem Korollar 2.1., dass jedes Polynom in k[x] \ {0} separabel ist, d.h. jedes Polynom hat nur einfache Nullstellen). Aus Lemma 1.2 folgt (X b) L λ [X], also b L λ. Gäbe es jedoch weitere Nullstellen würde z.b. gelten: ggt (g, h λ ) = (X b)(x b i ) mit i {1,..., s}, Daraus würde jedoch nicht folgen b L λ. Um also zu verhindern, dass h λ und g weiteren gemeinsamen Nullstellen haben, muss wegen h λ (b j ) = f(c λ λb j ) die Bedingung c λ λb j a j, d.h. λ a j a b b j K (da c λ = a + λb) für i = 2,..., r und j = 2,..., s (1) erfüllt sein. Man beachte, dass b b j 0, denn g besitzt als irreduzibles Polynom nur einfache Nullstellen. Damit ist der Fall n = 2 erledigt, der allgemeine Fall folgt durch Induktion. Bemerkung 3.1. Wie der Beweis zeigt, gibt es ein primitives Element c k(a 1,..., a n ) von der Form c = a 1 + λ 2 a λ n a n mit λ 2,..., λ n k. Korollar 3.1. Sei char(k) = 0 und K k Zerfällungskörper eines beliebigen Polynoms f k[x]. Dann ist K k auch Zerfällungskörper eines irreduziblen Polynoms g k[x]. Beweis von Korollar 3.1: Die Erweiterung K k ist endlich (da Polynome nur endlich viele Nullstellen besitzen, werden also nur endliche viele Nullstellen adjungiert), also gibt es ein primitives Element a K, d.h. K = k(a) (Satz vom primitiven Element). Aus der Charakterisierung von Zerfällungskörpern (Vorbemerkung 3.1.) ist K auch Zerfällungskörper des Minimalpolynoms g k[x] von a über k. 9

10 Satz 3.2. Sei char(k) = 0. Für eine Körpererweiterung K k sind folgende Bedingungen gleichwertig: i) K k ist einfach und algebraisch. ii) In K k gibt es nur endlich viele verschiedene Zwischenkörper. Bemerkung 3.2. Der obige Satz gilt auch für char(k) 0. Beweis von Satz 3.2: i) ii): Seien k K eine Körpererweiterung, x K algebraisch über k und K = k(x). Sei f k[x] das Minimalpolynom von x über k. a) Sei g K[X] normiert so, dass f g K[X]. m N, a 0,..., a m 1 K : g = m 1 i=0 a ix i + X m Sei M g := k(a 0,..., a m 1 ). k M g K ist ein Zwischenkörper. b) Für g K[X] normiert gilt f g K[X] genau dann, wenn g ein Teiler von f in K[X] ist. Weil K[X] faktoriell ist, gibt es also nur endlich viele normierte g K[X] mit f g K[X]. Also genügt es zu zeigen: ( ) Ist k M K ein Zwischenkörper, so gibt es ein normiertes g K[X] mit f g K[X] so, dass M = M g. c) Sei k M K ein Zwischenkörper. M(x) = K. Sei g das Minimalpolynom von x über M. [K : M] = deg(g) und f g K[X], sowie M g M. Weiter gelten M g (x) = K und g(x) = 0, d.h. g M g [X] g f x,mg deg(f x,mg ) deg(g) also [K : M g ] deg(g). Also gilt k M g M K mit [K : M g ] [K : M] Gradsatz [K : M] [M : M g ] [K : M] [K : M g ] = [K : M] M = M g ( ) Behauptung. ii) i): Annahme: K k sei eine unendliche Körpererweiterung, d.h [K : k] = Fall 1: K k ist eine algebraische Körpererweiterung. Da [K : k] = a 0 K mit a 0 algebraisch über k und a 0 / k k k(a 0 ) Weiter gilt: a 1 K \ k(a 0 ) (da sonst wäre K = k(a 0 ) [K : k(a 0 )] }{{} =1 da K=k(a 0 ) [k(a 0 ) : k] = [K : k] und das wäre ein Widerspruch) mit }{{} < k k(a 0 ) k(a 1 ) Durch Iteration nde ich eine echt aufsteigende unendliche Kette von Zwischenkörpern: k k(a 0 ) k(a 0, a 1 )... k(a 0,..., a n )... K. Mit a 0,..., a n algebraisch über k. Also gilt [k(a 0,..., a n ) : k] <. Fall 2: K k ist eine transzendente Körpererweiterung 10

11 Dann nde ich nach Vorbemerkung 3.2. eine echt absteigende unendliche Kette von Zwischenkörpern: k(a) k(a 2 ) k(a 4 )... k. Mit a 2i K transzendent über k, i {1,..., n}. D.h. a 2i / k, i {1,..., n}, da sie transzendent über k sind. Gibt es in K k nur endlich viele Zwischenkörper so ist K k eine endliche (und damit algebraische) Erweiterung. Nun kann ich den Satz vom primitven Element anwenden und ich nde dass K k eine einfache Erweiterung ist. 1). 4 Beispiele Beispiel 4.1. Die Körpererweiterung Q( 2, 3) Q besitzt das primitive Element c = mit dem Minimalpolynom X 4 10X Andere primitive Elemente erhält man durch Also kann λ Q beliebig geählt werden. c λ = 2 + λ 3 mit λ = 3 / Q Beispiel 4.2. Wir bestimmen die primitiven Elemente für die Erweiterung K := Q(a, ζ) Q mit a = 3 2 R und ζ = exp( 2π 3 ) C. Die Minimalpolynome von b und ζ sind f = X 3 2 = (X a)(x aζ)(x aζ 2 ) und g = X 2 + X + 1 = (X ζ)(x ζ 2 ). Im Ansatz c λ = a + λζ ergeben sich für die Ausnahmen aζ a ζ ζ 2 = a ζ und aζ2 a ζ ζ 2 = a (1 + ζ.) Beide sind nicht reell, also liefert jedes λ Q ein primitives Element c λ. Für λ = 1 erhalten wir das primitive Element c := a + ζ Um das Minimalpolynom von c zu bestimmen, benutzen wir 2 = a 3 = (c ζ) 3 und ζ 2 + ζ + 1 = 0 11

12 Daraus folgt ζ = α β mit α = c3 3c 3 und β = 3c 2 + c, also 0 = α 2 + αβ + β 2 = c 6 + 3c 5 + 6c 4 + 3c 3 + 9c + 9. Daher ist f := X 6 + 3X 5 + 6X 4 + 3X 3 + 9X + 9 Q[X] das Minimalpolynom über Q des primitiven Elements a+ζ. Ein primitives Element von etwas anderer Form ist a aζ mit dem Minimalpolynom X

13 5 Literaturverzeichnis G. Fischer: Lehrbuch der Algebra vieweg Verlag, S. Huang, Z. Wang: Galoistheorie FS09 Algebraische Körpererweiterungen II, Skript aus Seminar über Hilfreiche Tipps von Fred Rohrer S. Bosch: Algebra Springer Verlag,