Die Thetafunktion. Björn Walker und ϑ(τ, z) ist in z sowie in τ eine analytische Funktion, denn:

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1 Die Thetafunktion Björn Walker und Definition der Thetafunktion Folgende Reihe wird als Thetafunktion bezeichnet: ϑ(τ, z) : e πi(n τ+nz) ϑ(τ, z) ist in z sowie in τ eine analytische Funktion, denn: Im(τ) > 0, z C Sei τ : u + iv (v > 0), z x + iy. Dann gilt e πi(nτ+nz) e Re(πi(nτ+nz)) e π(nv+ny). Ist nun τ fest und z aus einem beliebigem Kompaktum, so ist (n v + ny) n v für fast alle n Z. Somit ist q n mit q : e π v < eine konvergente Majorante als Teilreihe einer geometrischen Reihe. Die Thetareihe konvergiert also lokal gleichmäßig und ist deshalb holomorph in z. Ist nun z fest und τ aus einem beliebigen Kompaktum der oberen Halbebene, dann gibt es eine Konstante K > 0 mit (n v + ny) n K für fast alle n. Man erhält eine lokale Majorante wie oben mit q e π K, also ist Theta auch in τ holomorph. Außerdem ist die Thetafunktion gerade in z, also ϑ(τ, z) ϑ(τ, z), wie man leicht der Reihendarstellung entnimmt: ϑ(τ, z) e πi(n τ+n( z)) e πi(( n) τ+( n)z) ϑ(τ, z) () Mit der Thetafunktion lässt sich nun die Existenzaussage des Satzes von Abel beweisen. Satz von Abel Eine elliptische Funktion f zu gegebenen Gitter L und Nullstellen a,..., a n und Polstellen b,..., b n existiert genau dann, wenn gilt: n a i i n b i mod L i

2 Es reicht, die Existenz einer ganzen Funktion σ : C C zu zeigen mit I σ(z + w) e az+b σ(z); w L; a, b C, wobei a und b nur von w, nicht jedoch von z abhängen dürfen. II σ hat genau eine einfache Nullstelle z 0 mod L. Nehmen wir nun noch o.b.d.a an, daß a j b j, so ist die gesuchte Funktion gefunden: n σ(z 0 + z a j ) f(z) : σ(z 0 + z b j ) j Denn offenbar hat f das gewünschte Null- und Polstellenverhalten. Außerdem gilt für w L: f(z + w) n j n j f(z) σ(z 0 + z a j + w) σ(z 0 + z b j + w) e a(z 0+z a j )+b σ(z 0 + z a j ) e a(z 0+z b j )+b σ(z 0 + z b j ) P ea( bj P a j ) f(z) Mithilfe der Thetafunktion kann ein solches σ für bestimmte Gitter konstruiert werden. Hierzu werden wir ϑ(τ, z) nur als Funktion im zweiten Argument auffassen, weshalb ich die Notation ϑ τ (z) : ϑ(τ, z) verwende. Betrachte nun Gitter der Form L Z + τz, Im(τ) > 0. Damit ϑ τ (z + ) ϑ τ (z) da e πin und ϑ τ (z + τ) e iπ(n τ+n(z+τ)) e iπ((n+) τ τ+(n+)z z) e πi(τ+z) e iπ((n+) τ+(n+)z) e πi(τ+z) ϑ τ (z) ( ) Somit ergibt sich als allgemeines Transformationsverhalten gegenüber den Gitterpunkten (wobei k, l Z): ϑ τ (z + kτ + l) ϑ τ (z + kτ) ϑ τ (z + (k )τ)e πi(τ+(z+(k )τ)) ϑ τ (z + (k )τ)e πi((k )τ+z)) ϑ τ (z)e πi(k τ+kz) wie sich induktiv ergibt (wegen n k k n ). Die Thetafunktion erfüllt die Eigenschaft I.

3 Die Thetafunktion hat mod L genau eine einfache Nullstelle. Um das zu zeigen, wählen wir eine um p C verschobene Grundmasche F p, auf deren Rand F p sich keine Nullstelle von Theta befindet (man beachte, dass die Nullstellenmenge von Theta diskret ist in C, da ansonsten Theta nach dem Identitätssatz identisch verschwinden würde, was offenbar nicht der Fall ist). Damit ist es vernünftig, das folgende Nullstellenzählende Integral zu betrachten: Z.z.: πi F p ϑ τ (z) ϑ τ (z) dz Dies liefert die gewünschte Aussage über die Nullstelle, da Theta als holomorphe Funktion keine Pole besitzt. Sei hierzu g(z) : ϑ τ (z) ϑ τ (z). Dann ist g(z + τ) g(z) πi, wegen g(z + τ) g(z) ϑ τ (z + τ) ϑ τ (z + τ) ϑ τ (z) ϑ τ (z) πiϑ τ (z + τ) + e πi(τ+z) ϑ τ (z) ϑ τ (z + τ) πi, wie sich aus der Transformationsformel ( ) ergibt. Weiter folgt für das Integral über g(z): e πi(τ+z) ϑ τ (z) ϑ τ (z + τ) F p g(z) dz p p g(z) dz + p+τ p+τ+ g(z) dz g(z) g(z + τ) dz πi p+ τ p+ τ + F p Man beachte: p+τ+ g(z) dz + p p+τ wegen g(z) g(z + ). g(z) dz 0 p 3

4 Die Nullstelle ist übrigens +τ, denn nach ( ) gilt ϑ τ ( + τ ) ϑ τ ( τ () ϑ τ ( + τ ϑ τ ( + τ ). + τ) Die Thetafunktion genügt also der Eigenschaft II. {}}{ e πi(τ+ τ) ϑ τ ( τ ) ϑ τ ( + τ + ) Somit haben wir nun für jedes Gitter der Form Z+τZ eine Funktion σ gefunden, wie sie für die Existenzaussage des Satzes von Abel benötigt wird, nämlich gerade die zugehörige Thetareihe. Glücklicherweise lassen sich alle anderen Gitter auf diesen Fall zurückführen. Sei ein beliebiges Gitter L Z + w Z gegeben, sowie eine Nullstellenmenge a,..., a n und Polstellenmenge b,..., b n mit a i b i mod L. Da für jede echt komplexe Zahl z gilt Im(z) > 0 oder Im(z ) > 0 nehmen wir o.b.d.a. an, dass für τ : w gilt Im(τ) > 0 (wäre τ R, dann wären und w abhängig über R, da τ w ). Wir betrachten das zugehörige Gitter L : Z+τZ. Für dieses gilt nun die Kongruenz a i b i wie man sofort sieht. Nach unserem bisherigem Ergebnis existiert also eine elliptische Funktion g(z) zu L mit Nullstellen a,..., a n Polstellen b,..., b n w. Dann ist aber f(z) : g( z ) elliptisch zu L, denn: ) und f(z + ) g( z + ) g( z + ) g( z ) f(z) f(z + w ) g( z + w ) g( z ± τ) g( z ) f(z) Offenbar hat f auch das gewünschte Null- und Polstellenverhalten, wegen f(a i ) g( a i ) und f(b i ) g( b i ). Weitere Anwendung der Thetafunktion Betrachte folgende Thetareihen als holomorphe Funktionen auf der oberen Halbebene (sprich Im(z) > 0): ϑ(z) ϑ(z) ϑ(z) e πin z ( ) n e πin z e πi(n+ ) z 4

5 Diese sind wohldefiniert, wie aus der Jacobischen Thetatransformationsformel (JTF) folgt, welche hier nicht weiter erläutert wird (vergleiche Vortrag von Johannes Jaerisch). z i e πi(n+w)z e πin z +πinw z, w C; Im(z) > 0 Natürlich ließe sich die Konvergenz auch wie bei der anfänglichen Thetareihe zeigen. Weiterhin genügen die Reihen selber den folgenden Transformationsformeln: a)ϑ(z + ) ϑ(z) d)ϑ( z ) z i ϑ(z) b) ϑ(z + ) ϑ(z) e) ϑ( z z ) ϑ(z) i c) ϑ(z + ) e π i z 4 ϑ(z) f) ϑ( z ) i ϑ(z) Unten stehende Rechnungen belegen dies. a) ϑ(z + ) c) ϑ(z + ) d) ϑ( z ) e) ϑ( z ) ( ) n {}}{ e πin e πinz ϑ(z) e πi(n+ ) e πi(n+ ) z b) analog {}}{ e πi(n +n) e π i 4 e πi(n+ )z e π i 4 ϑ(z) e πin ( z ) (JT F mit w0) e πin e πin ( z ) (JT F mit w ) z i ϑ(z) z ϑ i f) folgt nach e) mittels Ersetzen von z durch z. Mit diesem Wissen folgt nun für die Funktion f(z) : ( ϑ(z) ϑ(z) ϑ(z) ) 8, dass sie das gleiche Transformationsverhalten aufweist wie die Diskriminante, also f(z + ) f(z) und f( z ) z f(z). 5

6 Wie in einem anderem Vortrag gezeigt wurde, unterscheidet sich f somit nur um einen Konstanten Faktor von der Diskrimanten. Somit lässt sich also die Diskriminante mithilfe obiger Thetareihen darstellen. Es gilt: (z) (π) 8 ( ϑ(z) ϑ(z) ϑ(z) ) 8. 6

7 Quellen E. Freitag,R. Busam: Funktionentheorie, Springer, 3. Auflage 000 David Munford: Tata lectures on Theta, Birkhäuser, 983 7