Der Eulersche Polyedersatz

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1 Der Eulersche Polyedersatz Def Die Anzahl der k Seiten eines konvexen Polytops P bezeichnen wir mit f k (P) oder kurz mit f k. Das n Tupel (f 0,f 1,...,f n 1 ) Z n heißt dann der f Vektor des (n dimensionalen) Polytops P. Beispiel für einen f-vektor: Wenn P ein n Simplex ist, also eine konvexe Hülle von n + 1 affin unabhängigen Punkten, dann entsprechen die k Seiten von P genau den (k + 1) elementigen ( ) Teilmengen der n+1 Eckenmenge von P, daher ist f k (P) = = (n+1)! k +1 (k+1)!(n k)!. Zum Beispiel sieht der f Vektor eines 5 Simplex also so aus: (6, 15, 20, 15, 6). Die naheliegende Frage, welche d Tupel natürlicher Zahlen als f Vektoren konvexer Polytope auftreten, ist sehr schwierig und bis heute (zumindest in dieser allgemeinen Form) ungelöst. Im Folgenden wird eine notwendige Bedingung besprochen, welche die f Vektoren konvexer Polytope erfüllen müssen, nämlich der Eulersche Polyedersatz.

2 Eulerscher Polyedersatz für beliebige Dimension Satz (Beweis nur in Dim. 3) (Eulerscher Polyedersatz) Sei (f 0,f 1,...,f n 1 ) der f Vektor eines n Polytops. Dann gilt: n 1 ( 1) k f k = 1 ( 1) n. k=0 Setzt man f n := 1, so kann man diese Formel auch so schreiben: n ( 1) k f k = 1. k=0 Beweis vom Satz in dim n können Sie, (wenn sie wollen freiwillig) im Skript von Johann Linhart finden. Wir werden den Satz nur für n = 3 beweisen: in diesem Fall lautet der Satz: f 0 f 1 +f 2 = 2, oder in traditionelle Form geschrieben: E }{{} #Ecken K }{{} #Kanten + }{{} F = 2. #Facetten

3 Beispiel: Würfel Am einfachen Beispiel des Würfels sieht man, dass es Polyeder gibt, bei denen in jeder Ecke gleich viele Kanten zusammenlaufen (nämlich 3), und jede Fläche von gleich vielen Kanten berandet wird (nämlich 4). Es gilt also für jeden Würfel: E = 8 F = 6 K = 12 Wir sehen hier auch, dass die Polyederformel gilt: = 2.

4 Satz (Eulerscher Polyedersatz für Dimension 3) Sei P = conv(x 1,...,x k ) ein 3-dimensionales Polytop, d.h., dim(aff(x 1,...,x k )) = 3. Dann gilt: E }{{} #Ecken K }{{} #Kanten + }{{} F = 2. #Facetten Bemerkung. 19 verschiedene Beweise von dem Satz kann man auf eppstein/junkyard/euler/ finden.

5 Beweis Wir vereinfachen die Situation, indem wir das Polyeder in die Ebene projezieren. Dazu benutzen wir die Zentralprojektion: wir plazieren den Punkt O und die Ebene E wie auf dem niedrig-dimensionalen Bild: O Wichtig ist, dass der Punkt O außerhalb des Polytops nah genug zu einem inneren Punkt (z.b. Schwerpunkt) einer ausgewählten E (Grau auf dem Bild) Facette liegt. abei wird diese ausgewählte Facette entfernt und das ntstehende Gebilde flach in die Ebene ausgebreitet. enn der Punkt O nah genug zum Polytop ist, werden lle anderen Facetten bijektiv auf die Ebene abgebildet. as Bild jeder Facette ist ein Polygon (2-dimensionales olytop). Die Anzahl der Ecken, Kanten und Facetten leibt gleich, weil die entfernte Facette der äußeren, uasi unendlichen Fläche zugeordnet wird. Das Bild ieser Projektion wird Polyedernetz genannt. Hier eine Skizze für den Würfel:

6 Wir können nun den Polyedersatz von Euler mit Induktion über die Anzahl der Kanten K beweisen: nduktionsanfang: K = 1 Es gibt nur 2 verschiedene etze die dies erfüllen (auch wenn wir krumme Kanten ulassen, was bei uns nicht der Fall ist:) Für beide gilt die Beziehung. Im ersten Fall ist E = 2, F = 1 und K = 1. Im zweiten Fall ist E = 1, F = 2 und K = 1. Induktionsschritt von K auf K +1: Sei a ein Netz mit K +1 Kanten, E Ecken und F Flächen. zu zeigen ist also: E +F = K +2. Wir unterscheiden 3 Fälle. 1. Fall: Die neue Kante ist eine sogenannte Schlinge (wie im zweiten Fall bei der Skizze oben), das heisst die Anzahl der Flächen erhöht sich um eins ( F = F +1 ) und die Anzahl der Ecken bleibt gleich. (E = E). Dann gilt: E +F = E +(F +1)? = (K +1)+2 E +F = K +2 gilt nach Induktionsvoraussetzung. 2. Fall: Die neue Kante verbindet zwei vorhandene Ecken, dadurch wird eine vorhandene Fläche in zwei Flächen zerlegt. Das heisst F = F +1 und E = E. Wie im Fall 1 gilt wieder die Polyederformel.

7 3. Fall: Die neue Kante verbindet eine neue und eine vorhandene Ecke. Das heisst E = E +1 und die Anzahl der Flächen bleibt gleich ( F = F ) E +F = (E +1)+F? = (K +1)+2 E +F = K +2 gilt nach Induktionsvoraussetzung,

8 Reguläre Polyeder Def. Ein reguläres Polyeder ist ein konvexes Polyeder mit folgenden zusätzlichen Eigenschaften: (a) Jede Fläche eines regulären Polyeders ist ein reguläres n-eck. Das heißt alle Seitenlängen/alle Winkel des n-ecks sind gleich. ( n 3 ). (b) An jeder Ecke eines regulären Polyeders treffen genau m Kanten zusammen. ( m 3 )

9 Beispiele von regulären Polyedern: Platonische Körper Benannt sind die Platonischen Körper nach dem griechischen Philosophen Platon ( ca v. Chr.). Für ihn war die Tatsache, dass es nur fünf dieser Körper geben kann, so bedeutend, dass er sie in seiner Lehre den vier antiken Elementen bzw. dem Kosmos zuordnete: Tetraeder - Feuer, Würfel - Erde, Oktaeder - Luft, Ikosaeder - Wasser, Dodekaeder - Kosmos.

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11 Satz über platonische Körper. Die fünf platonischen Körper sind die einzigen regulären Polyeder (bis auf Isometrie oder Ähnlichkeitstransformation) Beweis: Wir gehen nun von einem allgemeinen regulären Polyeder RP mit E Ecken, F Facetten und K Kanten aus. n und m seien wie in der Definition des regulären Polyeders: Jede Fläche ist ein reguläres n-eck, und an jeder Ecke treffen genau m Kanten zusammen. Mit Hilfe von n und m lassen sich folgende Beziehungen herstellen: Da an jeder Ecke von RK genau m Kanten angrenzen, zählt Em alle Kanten, aber jede genau zweimal, da sie ja genau zwei Ecken hat. Desweiteren hat jede Fläche F genau n Begrenzungskanten. Daher ist F n die Anzahl aller Kanten, wieder wird jede Kante doppelt gezählt. Jede Kante begrenzt genau zwei Flächen. Also ergibt sich: K = E m 2 (1) F = 2 K n (2)

12 K = E m 2 F = 2 K n Da die Eulersche Polyederformel für alle konvexen Polyeder gilt, insbesondere auch für das reguläre Polyeder RP. Wir setzen also in die Formel ein und erhalten folgende Gleichung: 2 = E E m K n. Wir bringen die rechte Seite auf den gemeinsamen Nenner 2 n. 2 = 2nE nme+4 K 2n. Wir ersetzen das verbleibende K noch einmal durch E m 2 aus (1): 2 = 2nE nme+2e m 2n. Vereinfacht ergibt sich: 2 = E 2n (2n mn+2m). Wir betrachten nun den Ausdruck im Inneren der Klammer näher: 2n mn+2m. Betrachten wir dazu den Ausdruck (n 2) (m 2) : (n 2) (m 2) = nm 2m 2n+4.Man sieht, dass 3 Produkte mit negativem Vorzeichen aus Klammerausdruck darin vorkommen. Das heißt, man kann den Klammer Ausdruck 2n mn+2m umformen auf 4 (n 2) (m 2) und erhält die neue Gleichung: 2 = E 2n( 4 (n 2) (m 2) ) = 4n E = ( 4 (n 2) (m 2) ). (1) (2)

13 = 4n E = ( 4 (n 2) (m 2) ). Da die Zahl 4n E offensichtlich positiv ist, muß auch die rechte Seite der Gleichung positiv sein und es ergibt sich folgende Ungleichung: 4 > (n 2) (m 2). Desweiteren wissen wir aus der Definition, dass n,m 3 gelten muss. Wenn man nun für n 2 = a und für m 2 = b setzt, sieht man, dass a 1 und b 1 gelten muss. Also: Für welche a,b N ist a b < 4 erfüllt? Für (a,b) gibt es, wie man leicht sieht, nur die folgenden Möglichkeiten: (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1) Daraus ergeben sich für n und m folgende Möglichkeiten für die (n,m) - Paare: (3,3),(3,4),(3,5),(4,3),(5,3): das sind genau 5 platonischen Körper. 6 20