Kapitel 3 Kräfte und Drehmomente

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1 Kapitel 3 Käfte und Dehmomente

2 Käfte Messung und physikalische Bedeutung eine Kaft : Messung von Masse m Messung von Beschleunigung a (Rückgiff auf Längen- und Zeitmessung) Aus de Messung von Masse und Beschleunigung wid geschlossen : Auf den Köpe wikt eine Kaft : F m a m Konsequenzen : a F d.h. ein feies Teilchen ändet seinen Bewegungszustand nicht. und : Kaft ist Vekto, kann auch aus Summe von Käften esultieen (da auch gilt : Beschleunigung ist Vekto) F ges F i i

3 Kaft und Impuls 3 zunächst : Usache de Käfte ist hie jetzt (noch) nicht egündet wenn gilt : F ges F i i Definition des Impulses : d dt p dann ist de Köpe käftefei mv p mv mv mv mv ma oft gilt : m d.h. Massenehaltung p ma allgemein (auch ohne Massenehaltung) gilt : F p

4 Messung von Käften Messung von Käften übe Beschleunigungen ist i.d.r. unpaktisch Statische Methoden meist einfache anwendba z.b. Vefomung von (geeichten) Feden duch zu bestimmende Kaft Beobachtung : Dehnung de Fede ist (in este Näheung) popotional zu Kaft F x D x x Hook sches Gesetz stationäe Zustand ist D x x eeicht, sobald gilt : ext F x Anwendung zu Messung de Gewichtskaft : Anheben de Masse m duch Fede, bis die Kaft in de Dehnung de Fede die Gewichtskaft kompensiet : D x x mg D x g x m F G mg x 4

5 Gundgleichungen de Mechanik : Newton sche Axiome 5 Jede Köpe vehat im Zustand de Ruhe ode de gleichfömigen geadlinigen Bewegung, solange keine Kaft auf ihn wikt. De Impuls eines käftefeien Teilchens p mv 1. Newton sches Axiom ist zeitlich konstant Eine auf ein Teilchen wikende Kaft füht zu Ändeung seines Impulses F p. Newton sches Axiom Einheit de Kaft : 1 kg m/s = 1 Newton Zwei Köpe, die miteinande wechselwiken, üben aufeinande gleich goße, abe entgegengesetzt geichtete Käfte aus (actio = eactio) 3. Newton sches Axiom

6 Beispiel : Bewegung eine Rakete Pinzip : Duch Ausstoßen von Masse (Gas, Teibstoff, ) entsteht ein Impuls des Gases nach hinten. Wegen actio = eactio efäht de Köpe de Rakete eine Kaft nach vone. Das funktioniet umso besse, je schwee die ausgestoßene Masse ist Wasse als Teibstoff funktioniet viel besse als Gas beachte : Bei de Rakete gilt keine Massenehaltung Kaft duch Teilchenausstoß : F p mv mv Annahme : konstante Ausstöm- Geschwindigkeit Beschleunigung de Rakete : F m v a Rakete t m t m t vt 6

7 Täge Masse & schwee Masse (Gewicht) Eigenschaft eines Köpes de Masse m ohne Kafteinwikung im Bewegungszustand zu vehaen Tägheit täge Masse m T Gewicht eine Masse duch F = mg (Gavitation) schwee Masse m S Anmekung : Messungen, die auf möglichen Unteschied von Tägheit und Gewicht abzielen, zeigen : (m T - m S )/m T < 1-1 Einstein postuliete m T m S da beide Gößen ununtescheidba sind In einem geschlossenen Fahstuhl kann man nicht entscheiden, ob de Fahstuhl in einem homogenen Gavitationsfeld uht (Abb. a) ode ob e sich mit de Beschleunigung a= g in einem gavitationsfeien Raum bewegt (Abb. b). Im letzten Fall wid man mit de Beschleunigung g nach unten gedückt genau wie im Schweefeld). Alle Expeimente innehalb des Fahstuhls fühen in beiden Fällen zu gleichen Resultaten. 7

8 Anmekung : zum Begiff des Behaungsvemögen/de Massetägheit Gedankenexpeiment : Betachte eine Masse M an eine Fede; die Masse dehnt die Fede duch die Gewichtskaft F 1 = Mg. (links) Wenn man seh schnell mit Kaft F zieht, dann muss zunächst die Masse M beschleunigt weden, est danach kann die Dehnung bzw. F 1 duch die zusätzliche Beschleunigung zunehmen. (echts) Wenn man langsam zieht, dann wikt die Kaft quasi diekt auf die Fede und ehöht Dehnung bzw. F 1 ohne Vezögeung duch Beschleunigung de Masse M. Die Übelegung zeigt, dass bei de schnellen Bewegung de Effekt auf die Fede quasi vezöget eintitt, da est die Masse beschleunigt weden muss; die Masse eagiet also täge 8 schnell ziehen langsam ziehen

9 Beispiel : Otsabhängige Kaft : Bewegung im Schweefeld bishe angenommen : Konstante Wikung de Gavitation, d.h. Gewichtskaft mg soll nicht vaiieen mit dem Abstand vom Edmittelpunkt Gilt nu fü kleine Entfenungsändeungen Allgemeine gilt fü die Gavitationskaft : F G m M ( ) G ˆ mit : Masse m des Köpes; Edmasse M; Gavitationskonstante G d.h. Kaft ist otsabhängig : F = F() gesucht : Lösung de Bewegungsgleichung FG a( ) G m M 9

10 Lösung de Diffeential-Gleichung : G M beachte : = (t) geschickte Umfomung : dv dv d dv dv M v v G dt d dt d d M v dv G d Tennung de Vaiablen Integation möglich 1 v dv GM d v GM C 1 mit de Integationskonstanten C 1 aus den Anfangs-/Randbedingungen liefet einen Zusammenhang zwischen v und. beachte : v = v() Anm.: Allgemeinste Lösung (z.b. auch feie Fall, senkechte Wuf, etc.) 1

11 v GM C 1 Anfangsbedingung zu Bestimmung de Integations-Konstanten C 1 : Auf de Höhe h = bzw. = Ed-Radius R sei die Anfangs-Geschwindigkeit v(r ) = v (z.b. beim senkechten Wuf) : v GM R C 1 C 1 v GM R Außedem kennen wi die Edbeschleunigung am Edboden a(r ) = g aus : F G m M R R G mg egibt sich : GM gr Einsetzen liefet dann : v gr v gr beachte : v = v() 11

12 v gr v gr Wenn wi einen Köpe mit v hochwefen, dann gilt am höchsten Punkt v( max ) = gr v gr max 1 R v R wi sehen : max vaiiet mit v Je nähe v / an R g, umso göße wid max g max kin Enegie pot. Enegie fü : v R g km s wid max =. Kosmische Geschwindigkeit d.h. de Köpe kann das Schweefeld de Ede velassen und in s All vostoßen (ohne auf die Ede zuückzufallen) elevant fü Raketen 1

13 Reibung Reibung basiet auf Käften bei de elativen Bewegung zweie Köpe, deen Obeflächen sich beühen Mikostuktu (Rauigkeit) de Obefläche deteminiet Reibungskäfte Obefläche, abgebildet mit Mikoskop Hafteibung duch Vezahnung eine Obefläche mit Miko-Rauigkeiten Vehakungs-Modell fü die Wechselwikung von Obeflächen (Vostellung: zwei Büsten) 13

14 Hafteibung : Es wid eine bestimmte Mindest-Kaft benötigt wid, um einen auf eine Obefläche uhenden Köpe in Bewegung zu setzen. Bei geingee Kaft bleibt de Köpe auf de Obefläche haften (s.o. Vehakungsmodell) Gleiteibung : Es wid eine Kaft benötigt wid, um einen bewegten Köpe bei konstante Geschwindigkeit zu halten. Ohne zusätzliche Kaft kommt ein gleichfömig bewegte Köpe aufgund Enegie-Velusten duch Gleiteibung igendwann zu Ruhe exp. Beobachtung : Hafteibungskaft ist popotional zu Kaft (z.b. Gewicht), mit de de Köpe auf die Obefläche dückt (d.h. in Richtung de Nomalen zu Obefläche) F µ H H F N mit de Nomalkaft F N auf die Obefläche und dem Hafteibungskoeffizienten µ H äquivalent gilt fü die Gleiteibungskaft : F µ G G F N mit dem Gleiteibungskoeffizienten µ G 14

15 Anmekung : Gleiteibung ist stets schwäche als Hafteibung Ekläung : Wenn zwei Obeflächen elativ zueinande uhen, vezahnen sich die Spitzen und Täle de Obeflächen so ineinande, dass ein elatives Minimum des mittleen Abstands beide Genzflächen auftitt, weil dies einem elativen Minimum de Enegie entspicht. Bei de Gleitbewegung gleiten die Flächen so aneinande vobei, dass dieses Minimum nicht eingenommen wid. Beim Gleitvogang wid vo allem von den Spitzen des Rauigkeitsgebiges Mateial abgetagen. Rolleibung : Die Rolleibung ist wesentlich kleine als die Gleiteibung, weil beim Abollen die Unebenheiten im Rauigkeitsgebige teilweise übespungen weden. Kugellage zu möglichst eibungsfeien Bewegung 15

16 Dehimpuls Definition : L p m v veknüpft Ot mit Geschwindigkeit; bescheibt die Stäke de Dynamik bei de Bewegung auf eine Bahn p eˆ x x p x eˆ y y p y eˆ p z z z yp z zp y, zp x xp z, xp y yp x Anmekung : Späte weden wi sehen, dass de Dehimpuls eine seh sinnvolle (und äußest wichtige) physikalische Göße ist. 16

17 Beispiel : Gadlinige Bewegung Bahn des Objektes Objekt mit Masse m v t b = Stoßpaamete ( Abstand Bahn Uspung) Bezugszentum (Uspung) L m v L L m vsin mvb Falls v = const. ist de Dehimpuls konstant (unabhängig vom Ot auf de Bahn) Bei de unbeschleunigten, gadlinigen Bewegung ist de Dehimpuls-Betag eine Ehaltungsgöße 17

18 Beispiel : Gleichfömige Keisbewegung v t t Geschwindigkeit ist stets tangential an de Bahn bei de Keisbewegung stehen Otsvekto und Geschwindigkeit v stets senkecht Dehimpuls L steht senkecht auf de Ebene de Keisbewegung, d.h. L m v L L m v mit : v L m const. Vekto-Scheibweise : L m 18

19 Dehimpuls und Dehmoment Wi betachten die zeitliche Veändeung des Dehimpulses : L d p p p dt v p p p F Kaft mal Hebelam Dehmoment Definition : D D L F Die zeitliche Ändeung des Dehimpulses ist gleich dem wikenden Dehmoment vegleiche : Die zeitliche Ändeung des Impulses ist gleich de wikenden Kaft 19

20 Beispiel : Zental-Felde F( ) f ( ) ˆ Dehmoment : D F Kaft-Vekto ist paallel (anti-paallel) zum Otsvekto Dehimpulsändeung : L D In Zentalfelden ist de Dehimpuls eine Ehaltungsgöße t v t v t t z.b. Bewegung de Ede im Gavitationsfeld de Sonne (links : Keisbahn als Näheung; echts : Ellipsenbahn. In beiden Fällen ist de Dehimpuls eine Ehaltungsgöße)