12. STAMMFUNKTIONEN UND DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL

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1 98 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und im Verluf der Vorlesung MAT 82 vollständig durchrbeiten. Für Ihre eigenen Bedürfnisse in dieser Vorlesung MAT 82 dürfen Sie dieses PDF-Dokument bspeichern und beliebig ändern. Für eine weitergehende Verwendung usserhlb der Vorlesung MAT 82 kontktiere mn bitte vorgängig den Dozenten Christoph Luchsinger, Universität Zürich. Ds Copyright ist bei Birkhäuser! 2. STAMMFUNKTIONEN UND DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL (2.) Überblick Mit dem Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung führt mn (.4) die Berechnung von bestimmten Integrlen uf ds Auffinden von Stmmfunktionen zurück. Für eine Stmmfunktion von f(x) schreibt mn uch f(x) dx und nennt diesen Ausdruck ein unbestimmtes Integrl. (2.7) In diesem Kpitel werden die technischen Grundlgen zum Integrieren (2.4), (2.5) geliefert und n Beispielen illustriert. (2.6) (2.2) Rekpitultion Wir wiederholen die wichtigsten Ergebnisse von Kpitel. Dbei bezeichnet I weiterhin ein beliebiges Intervll. Die Funktion F heisst eine Stmmfunktion von f : I R, wenn F (x) = f(x) ist, für lle x I. Zwei Stmmfunktionen von f : I R unterscheiden sich nur um eine dditive Konstnte. Es gilt der Huptstz: Wenn F eine Stmmfunktion von f ist, dnn ist f(x) dx = F (b) F ().

2 2.3 Diskussion einiger Stmmfunktionen 99 (2.3) Diskussion einiger Stmmfunktionen Der einfchste Weg, Stmmfunktionen zu erhlten, besteht offenbr drin, eine Liste der bgeleiteten Funktionen in der umgekehrten Richtung zu lesen. Wir illustrieren diesen Schverhlt nhnd eines Auszugs us der Tbelle (5.3): Funktion Ableitung Stmmfunktion Funktion x x 2 2x x r rx r (r R) e x e x ln x /x sin x tn x cos x + tn 2 x Erste elementre Bemerkungen:

3 00 2. Stmmfunktionen und ds unbestimmte Integrl Wie ist ds jetzt mit dem Logrithmus, ruf und runter?

4 2.5 Integrtionsregeln 0 (2.4) Eine erste Liste von Stmmfunktionen Aufgrund der verschiedenen in (2.3) gemchten Bemerkungen können wir die oben ufgestellte Tbelle für den prktischen Gebruch verbessern: Funktion f(x) x r (r ) x e x sin x Eine Stmmfunktion F (x) x x r+ r + ln x e x cos x cos x sin x x 2 rcsin x + x 2 rctn x Wichtig ist die Ttsche, dss eine Stmmfunktion nur bis uf eine dditive Konstnte bestimmt ist. Mn schreibt deshlb zur Verdeutlichung oft F (x) + C, lso z.b. ln x + C usw. In der obigen Tbelle wurde druf verzichtet. In mnchen Anwendungen drf diese sogennnte Integrtionskonstnte keinesflls vergessen werden, z.b. bei Differentilgleichungen (Kpitel 6), in ndern ist sie nicht nötig, z.b. bei der Anwendung des Huptstzes (.4), d dort F eine beliebige Stmmfunktion sein knn. (2.5) Integrtionsregeln Die Tbelle in (2.4) ist durch Umkehrung der Ableitungsformeln (5.3) zustnde gekommen. Auch die Ableitungsregeln von (5.2) liefern nders interpretiert Integrtionsregeln. D die Ableitung einer Summe gleich der Summe der Ableitungen ist, ist die Stmmfunktion einer Summe gleich der Summe der Stmmfunktionen. Im einzelnen erhlten wir uf diese Weise:

5 02 2. Stmmfunktionen und ds unbestimmte Integrl Es seien F (x) bzw. G(x) Stmmfunktionen von f(x) bzw. von g(x). Dnn gilt () F (x) + G(x) ist eine Stmmfunktion von f(x) + g(x). (2) F (x) G(x) ist eine Stmmfunktion von f(x) g(x). (3) cf (x) ist eine Stmmfunktion von cf(x). Wendet mn diese Regeln uf die Berechnung von Integrlen mittels des Huptstzes n, so erhält mn die schon in (0.8) erwähnten Formeln cf(x) dx = c f(x) dx ( ) b f(x) ± g(x) dx = f(x) dx ± g(x) dx. Als Wrnung sei noch erwähnt, dss es keine entsprechende Formel für ds Produkt gibt. f(x)g(x) dx (2.6) Beispiele, vriiert vom Storrer Gesucht ist 2 (3x 4 + 3x 2 2) dx.

6 2.6 Beispiele, vriiert vom Storrer 03 Berechne 2 ( t + 2 t 4 ) dt. Gesucht ist der Inhlt der Fläche unter der durch y = im Intervll [, 2] gegebenen x Kurve. Ws pssiert, wenn wir [, 2] durch [ 2, ] ersetzen (Formel und Bild)?

7 04 2. Stmmfunktionen und ds unbestimmte Integrl Beispiel us der Physik: Ausdehnungsrbeit eines Gses

8 2.8 Integrtion ls Umkehrung der Differentition 05 (2.8) Integrtion ls Umkehrung der Differentition Ist der Integrnd schon selbst ls Ableitung einer Funktion gegeben, so lässt sich ds bestimmte Integrl mit Hilfe des Huptstzes sofort ngeben, denn f(x) ist sicher eine Stmmfunktion von f (x): f (x) dx = f(b) f(). Beispiel Dmit ist Kpitel 2 us Storrer I fertig besprochen. Lesen Sie jetzt Kpitel 2 im Storrer I selber durch; dnch lösen Sie die Aufgben us (2, ) Aufgben, vergleichen mit den Lösungen m Schluss des Buches und dnn lösen Sie ds Übungsbltt dzu und gehen in die Übungsstunde.

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