Komplexe Funktionen für Studierende der Ingenieurwissenschaften

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1 Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg SoSe 24 Prof. Dr. R. Lauterbach Dr. K. Rothe Komplexe Funktionen für Studierende der Ingenieurwissenschaften Lösungen zu Blatt 6 Aufgabe 2: Für die folgenden Funktionen a fz z 4 + z 2, b fz sin z, bestimme man: c fz z sin z z 2, d fz coth z Lage und Art der endlichen Singularitäten, die zugehörigen Residuen und die ersten drei nichtverschwindenden Summanden der Laurentreihe um z, die für große z konvergiert. Lösung: a Die Singularitäten von fz z 4 + z 2 z 2 z 2 + z 2 z 2 + sind gegeben durch die Nennernullstellen, die keine Zählernullstellen sind: z i und z 2 i sind Pole. Ordnung und z 3 ist Pol 2. Ordnung. Res f; z z 4 + z 2 zi 4z 3 + 2z zi 4i 3 + 2i i 2 Res f; z 2 z + i z 4 + z 2 z i z 2 z i z i i 2 2i i 2 Res f; z 3 z 2! z 4 + z z 2 z 2 + z 2z z z Die Laurent-Entwicklung im Außengebiet z > ergibt sich durch: fz z 4 + z 2 z 4 + /z z 2 z + z z 4 z + 6 z 8

2 Komplexe Funktionen, R. Lauterbach/K. Rothe, SoSe 24, Blatt 6 2 b fz sin z n 2n +! z 2n+ z 3!z + 3 5!z + 5 n } {{ } :a n Die einzige Singularität z ist wesentlich mit Res f; z a. c fz z sin z z 3 z 2 z 2 3! z5 5! + z7 7! + Die einzige Singularität z ist hebbar mit Res f; z a. d Die Singularitäten von fz coth z cosh z sinh z z3! z3 5! + z5 7! + ergeben sich aus: sinh z e z e z e x+iy e x iy 2 2 e x cos y + i sin y e x cos y i sin y 2 cos y sinh x + i sin y cosh x. Die Lösungen sind gegeben durch y kπ, k Z und x. Die Nennernullstellen z k ikπ sind einfach und auch keine Zählernullstellen, denn sinh z zikπ cosh ikπ cos kπ. Also sind z k Pole. Ordnung und man erhält cosh z cosh z Res f; z k. sinh z zz k cosh z zz k Es gibt kein Außengebiet ohne Singularitäten.

3 Komplexe Funktionen, R. Lauterbach/K. Rothe, SoSe 24, Blatt 6 3 Aufgabe 22: Gegeben sei die Funktion fz z 4 + 4z 3 + 8z 2 + 6z + 6. a Man bestimme mit Hilfe von Laurent-Reihenentwicklungen die Partialbruchzerlegung von f. b Man berechne mit Hilfe des Residuensatzes das Integral fz dz für den Kreis c : z + 2 2i 3. c Lösung: a Aus der Faktorisierung z 4 + 4z 3 + 8z 2 + 6z + 6 z 2 + 4z z + 2iz 2iz ergeben sich die Nennernullstellen z 2i, z 2i, z 2 2. Damit sind z und z Pole. Ordnung und z 2 ist Pol 2. Ordnung. Der Hauptteil der Laurententwicklung in z k, k, besitzt damit die Form hz, z k a,k z z k, wobei a,k Resfz; z k gilt. Für z 2i ergibt sich Resfz; 2i z 2iz z 2i 4i 8i 4i 2i Zum gleichen Ergebnis führt die Taylor-Reihenentwicklung des holomorphen Anteils von f : fz z + 2i z 2iz }{{} g z, holom. z + 2i g 2i + g 2iz + 2i + mit g 2i Resfz; 2i. Insgesamt erhält man also

4 Komplexe Funktionen, R. Lauterbach/K. Rothe, SoSe 24, Blatt 6 4 Für z 2i ergibt sich entsprechend fz z 2i fz + g } z {{ + 2i 2i + }{{}} Nebenteil hz, 2i z + 2iz }{{} g 2 z, holom. z 2i g 22i + g 22iz 2i + mit g 2 2i Resfz; 2i. Insgesamt erhält man also fz + g } z {{ 2i 22i + }{{}} Nebenteil hz, 2i Für den Pol 2. Ordnung z 2 2 erhält man den Hauptteil der Laurent-Reihe um z 2 über die Taylor-Reihenentwicklung des holomorphen Anteils von f : fz z z } z 2 {{ + 4 } g 3 z, holom. Nach kurzer Rechnung erhält man g 3 2 4, fz g g 3 2z g 3 2z g Resfz; 2 4 z g 2 z /2 + }{{}}{{} Nebenteil hz, 2 Die komplexe Partialbruchzerlegung lautet deshalb: fz hz, 2i + hz, 2i + hz, 2 z + 2i z 2i + 4 z z + 2. Als reelle Partialbruchzerlegung ergibt sich: b Von den Singularitäten von f fz 2z z z z + 2. z 2i, z 2i, z 2 2. liegt nur z und z 2 innerhalb von c. Damit ergibt sich nach dem Residuensatz dz 2πi Resf; 2i + Resf; 2 2πi z 4 + 4z 3 + 8z 2 + 6z + 6 c

5 Komplexe Funktionen, R. Lauterbach/K. Rothe, SoSe 24, Blatt 6 5 Aufgabe 23: Klausuren SoSe8 und WiSe8/9 Man berechne unter Verwendung des Residuenkalküls die folgenden Integrale a b c d 2π, x 5/2 + 3x 3/2 + 36x/2 2 + cos x, x 4 + x 2 + 9, cos3x x 2 6x +. Lösung: a b c x 5/2 + 3x 3/2 + 36x/2 x /2 x 2 + 3x + 36 x /2 x + 4x + 9 2πi Res e 2πi/2 x /2 x + 4x + 9 ; 4 + Res x /2 x + 4x + 9 ; 9 πi + π π 3 3 2π 2 + cos x dz 2 + z + /z/2 iz 2 dz i z 2 + 4z + z z i z + 2 3z dz 3 z }{{} fz 2πi 2 i Res f; π π 3

6 Komplexe Funktionen, R. Lauterbach/K. Rothe, SoSe 24, Blatt 6 6 d x 4 + x x + ix ix + 3ix 3i }{{} x 2 + x fx 2πi i + ii i 2 + 3i + 3i cos3x x 2 6x + e 3ix Re x Re e 3ix x 3 + ix 3 i }{{} fx Re 2πi Resf; 3 + i Re Re πe 3+9i πe 3 cos 9 2πi Resf; i + Resf; 3i π e 3i3+i 2πi 3 + i 3 i π 2

7 Komplexe Funktionen, R. Lauterbach/K. Rothe, SoSe 24, Blatt 6 7 Aufgabe 24: Klausur SoSe6 Gegeben sei die durch fz z + 3 z 3 z 2 7z + 5 definierte Funktion. a Man bestimme den Typ aller Singularitäten von f. b Man berechne die Residuen aller Singularitäten. c Man gebe die komplexe Partialbruchzerlegung von f an mit Hilfe von Laurent- Reihenanteilen. d Man skizziere die Konvergenzbereiche der verschiedenen Reihenentwicklungen um z. e Man berechne die Laurent-Reihe um z, die im Punkt z 5 konvergiert. f Man berechne fz dz. z 2+2i 2 g Man berechne fx. Lösung: a fz Damit besitzt f : in z 3 eine hebbare Singularität und z + 3 z 3 z 2 7z + 5 z + 3 z + 3z 2 4z + 5 z + 3 z + 3z 2 iz 2 + i in z 2 2 i und z i jeweils einen Pol. Ordnung. z + 3 b Res f; 3 z 2 iz 2 + i, z 3 Res f; 2 i z 2 + i z2 i 2i i, 2 Res f; 2 + i z 2 i z2+i 2i i 2 c fz Resf; 2 i hz; 2 i + hz, 2 + i z 2 i i 2z 2 i i 2z 2 + i + Resf; 2 + i z 2 + i

8 Komplexe Funktionen, R. Lauterbach/K. Rothe, SoSe 24, Blatt 6 8 d Skizze: Da z 2 z 2 i 5 z 3 z gibt es nur zwei Konvergenzgebiete, die Kreisscheibe z < 5 und das Außengebiet 5 < z. e Gesucht ist die Laurent-Reihe im Außengebiet, denn f g z z 5 5 > 5 i fz 2z 2 i i 2z 2 + i i 2 z 2 i z 2 + i i 2z 2 i/z 2 + i/z i 2 i k 2 + i k 2z z k z k k k i 2 i k 2 + i k 2 z. k+ z 2+2i 2 k fz dz 2πi Resf; 2 i 2πi i 2 π fx 2πi Resf; 2 + i 2πi i 2 π Abgabetermin: zu Beginn der Übung