Kurs Grundlagen der Linearen Algebra und Analysis

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1 Aufgabe B0513 Lineare Optimierung Ein Unternehmen stellt drei Endprodukte P 1,P und P 3 her. Die jeweils zur Produktion einer Mengeneinheit des jeweiligen Endproduktes benötigten Mengeneinheiten des Zwischenproduktes sind in dem folgenden Gozintographen dargestellt. P 1 P P Z 1 Z Z 3 Z R 1 R R 3 R 4 R 5 a) Stellen Sie die Matrizen der benötigten RohstoffeR,1...,R 5 zur Herstellung jeweils 1 ME der ZwischenprodukteZ 1,...,Z 4 sowie der benötigten Zwischenprodukte zur Herstellung jeweils 1 ME der EndprodukteP 1,P,P 3 auf. b) Wie viele ME der Rohstoffe werden jeweils zur Herstellung einer ME der EndprodukteP 1,P,P 3 benötigt? c) Wie viele ME der Rohstoffe werden zur Herstellung von ME von P 1, ME vonp und ME vonp 3 benötigt? d) Die Rohstoffe kosten je ME für R 1 1,e, für R 3,00e, für R 3,75e, für R 4 0,eund für R 5 1,5e. Weiterhin fallen variable Stückkosten für die Zwischenprodukte an: Z 1 =,00e, Z = 3,75e, Z 3 = 4,0eund Z 4 = 5,00e. Die fixen Kosten betragen e. Es sollen ME von P 1, ME von P und ME vonp 3 hergestellt werden. Wie hoch sind die Gesamtkosten? e) Berechnen Sie den Gewinn mit den angegebenen Kosten aus Teilaufgabe c), wenn P 1 für e P für 75e und P 3 für 51e verkauft werden. f) Stellen Sie das zugehörige Gleichungssystem zu dem oben dargestellten Gozintographen auf und berechnen Sie die Gesamtbedarfe x i für i = 1,...,1, wenn ME vonp 1, ME von P und ME vonp 3 hergestellt werden. 1

2 Die zu ermittelnden Gesamtbedarfe werden wie folgt bezeichnet: x 1 : Gesamtbedarf in ME an P 1 x : Gesamtbedarf in ME an P x 3 : Gesamtbedarf in ME an P 3 x 4 : Gesamtbedarf in ME an Z 1 x 5 : Gesamtbedarf in ME an Z x 6 : Gesamtbedarf in ME an Z 3 x 7 : Gesamtbedarf in ME an Z 4 x 8 : Gesamtbedarf in ME an R 1 x 9 : Gesamtbedarf in ME an R x 10 : Gesamtbedarf in ME an R 3 x 11 : Gesamtbedarf in ME an R 4 x 1 : Gesamtbedarf in ME an R 5 Aufgabe B051 (Lösungshinweise) a) Um die entsprechenden Matrizen aufzustellen, werden die Informationen aus dem Gozintographen zunächst in eine Tabelle übertragen. Z 1 Z Z 3 Z 4 R R R R R A = P 1 P P 3 Z 1 0 Z Z 3 Z B = b) Zur Berechnung der benötigten Rohstoffe zur Herstellung von jeweils einer ME der Endprodukte P 1,P,P 3 werden die in Teilaufgaben a) aufgestellten Matrizen A und

3 B multipliziert. C = A B = = Zur Herstellung einer ME werden von P 1 : 4 ME vonr 1, 1 ME vonr, 0 ME von R 3, 8 ME von R 4, 4 ME von R 5 P : 0 ME vonr 1, 15 ME vonr, 3 ME von R 3, ME von R 4, 1 ME von R 5 P 3 : 4 ME vonr 1, 0 ME vonr, 15 ME von R 3, 6 ME von R 4, 0 ME von R 5 benötigt. c) Um die benötigte Anzahl an Rohstoffen für die Herstellung vonp 1 =, P = und P 3 = zu bestimmen, wird die MatrixC aus Teilaufgabe b) mit der herzustellenden Menge vonp 1,P,P 3 multipliziert D = C = = Es werden von R ME, von R 4 9 ME, von R ME, von R ME und von R 5 6 ME benötigt. d) Für die Berechnung der Rohstoffkosten wird der Vektor D aus Aufgabenteil c) mit den entsprechenden Kosten fürr 1,...,R 5 multipliziert: (1,, 3,00,,75, 0,5, 1,5) 10 = 1487, 1600 Die benötigte Anzahl an Zwischenprodukten Z 1,...,Z 4 berechnet sich durch die Mulitplikation von MatrixB mit der herzustellenden Menge vonp 1,P,P 3. 3

4 0 300 F = B = = Der Vektor F wird mit den Stückkosten der jeweiligen Zwischenprodukte multipliziert. 300 (,00, 3,75, 4,0, 5,00) 7 6 = 689, 1 Im letzten Schritt werden die oben berechneten Kosten mit den Fixkosten i.h.v e addiert. 1487,+689,+100 = 43380e Die Gesamtkosten belaufen sich auf e. e) Der Gewinn berechnet sich durch Erlös minus Kosten G = E K G = ( ), 175, 51 G = G = Der Gewinn beträgt e f) P 1 : x 1 = P : x = P 3 : x 3 = Z 1 : x 4 = x 1 +x 3 Z : x 5 = 3x Z 3 : x 6 = 4x 1 +x Z 4 : x 7 = 3x 3 R 1 : x 8 = x 4 R : x 9 = 4x 5 +3x

5 R 3 : x 10 = x 5 +5x 7 R 4 : x 11 = x 6 +x 7 R 5 : x 1 = x 6 x 1 = x = x 3 = x 4 = + = 300 x 5 = 3 = 7 x 6 = 4 + = 6 x 7 = 3 = 1 x 8 = 300 = 600 x 9 = = 49 x 10 = = 10 x 11 = 6+ 1 = 1600 x 1 = 6 Wie zu erkennen ist, handelt es sich bei x 1,x,x 3 um die herzustellenden Mengen von P 1,P,P 3. Die Werte von x 4 bis x 7 enthält der Vektor F und die von x 8 bis x 1 der VektorD. 5