Musteraufgabe Austauschverfahren: Invertieren einer (3,3)-Matrix
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- Curt Egger
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1 Musteraufgabe 1 ATV: Invertieren einer reg (3,3)-Matrix Seite 1 von 14 Musteraufgabe Austauschverfahren: Invertieren einer (3,3)-Matrix Aufgabe: Zu berechne man die Inverse - falls diese existiert! Vorab: Matrix ins Tableau T0 schreiben, mit sinnvoller (= problemangepasster) Beschriftung Hier gewählt: sj für Spalte j, zi für Zeile i T0 s1 s2 s3 z z z Tausch T0 T1 in 5 Schritten: Schritt 0: Pivot-Element aussuchen aus noch nicht getauschten Zeilen und Spalten 0 ist verboten 1 und -1 sind schön, weil keine (vielleicht überflüssigen) Brüche entstehen Nullen in Pivot-Zeile bzw. Pivot -Spalte ersparen Rechenarbeit (Die Pivots müssen nicht auf der Hauptdiagonalen stehen!) Hier gewählt: z3-s1 T0 s1 s2 s3 z z z Alle neu berechneten Werte werden in Tableau T1 eingetragen.
2 Musteraufgabe 1 ATV: Invertieren einer reg (3,3)-Matrix Seite 2 von 14 T0 s1 s2 s3 z z z Alle neu berechneten Werte werden in Tableau T1 eingetragen. Schritt 0 (weiter): Beschriftung des neuen Tableaus Entsprechend der Pivotwahl wird eine Zeilennummer gegen eine Spaltennummer getauscht, alles übrige bleibt wie im alten Tableau. Hier also: In T1 z3 s1 z z1 z z2 z s1 GRUNDREGEL für alle Neuberechnungen: Nach unseren Rechenformeln wird nur mit den Zahlen aus dem alten Tableau gerechnet (inklusive der Kellerzeile); die neuen Werte werden ins neue Tableau eingetragen, aber erst später verwendet.
3 Musteraufgabe 1 ATV: Invertieren einer reg (3,3)-Matrix Seite 3 von 14 z z1 z z2 z s1 GRUNDREGEL für alle Neuberechnungen: Nach unseren Rechenformeln wird nur mit den Zahlen aus dem alten Tableau gerechnet (inklusive der Kellerzeile); die neuen Werte werden ins neue Tableau eingetragen, aber erst später verwendet. Schritt 1: Neuberechnung Pivot-Element PE, also aus PE-alt berechnen PE-neu PE-neu =1/PE-alt (Kehrwert bilden) Rechnung hier: 1/1 = 1 z z1 z z2 z s1 1
4 Musteraufgabe 1 ATV: Invertieren einer reg (3,3)-Matrix Seite 4 von 14 z z1 z z2 z s1 1 Schritt 2: Neuberechnung Pivot-Zeilen-Elemente PZ, also aus PZi-alt berechnen PZi-neu PZi-neu = PZi-alt/PE-alt (durchs PE-alt teilen, Vorzeichen ändern; Merkhilfe: Zeile = = = Minuszeichen Die neuen Werte werden gleich ins neue Tableau und in die Kellerzeile K unter dem alten Tableau eingetragen; unter dem Pivot wird ein Stern Q eingetragen Rechnungen hier: PZ2-neu = PZ2-alt/PE-alt = 1/1 = 1 PZ3-neu = PZ3-alt/PE-alt = 0/1 = 0 = 0 z z1 z z2
5 Musteraufgabe 1 ATV: Invertieren einer reg (3,3)-Matrix Seite 5 von 14 z z1 z z2 Schritt 3: Neuberechnung Pivot-Spalten-Elemente PS, also aus PSi-alt berechnen PSi-neu PSi-neu = + PSi-alt/PE-alt (durchs PE-alt teilen, Vorzeichen nicht ändern; Merkhilfe: Spalte nach Zeile = erst dann = + = Pluszeichen Rechnungen hier: PS1-neu = + PS1-alt/PE-alt = +1/1 = 1 PS2-neu = + PS2-alt/PE-alt = +2/1 = 2 z z1 1 z z2 2
6 Musteraufgabe 1 ATV: Invertieren einer reg (3,3)-Matrix Seite 6 von 14 z z1 1 z z2 2 Schritt 4: Neuberechnung der restlichen Elemente, REst nach REchteck-REgel Formel: Rij-neu = PSi-alt*Kj + Rij-alt Dies ist anschaulich leicht zu merken und nachzuvollziehen. Durch die Wahl eines Elementes des Restes entsteht mit Blick auf den Stern in der Kellerzeile im Tableau ein Rechteck, bei dem drei Ecken mit Zahlen besetzt sind. Hier für R13=3: z z1 1 z z2 2 z z1 1 z z2 2 Hiervon braucht man außer dem gewählten Element die zwei anderen Ecken : z z1 1 z z2 2 Die anderen Ecken liegen in der Pivotspalte (in derselben Zeile wie das gewählte Restelement) und in der Kellerzeile (in derselben Spalte wie das gewählte Restelement). Diese beiden Werte werden multipliziert und das Ergebnis zum alten Wert addiert. Rechnung hier: R13-neu = PS1-alt *K3 + R13-alt = 1*0 + 3 = = 3 z z1 1 3 z z2 2
7 Musteraufgabe 1 ATV: Invertieren einer reg (3,3)-Matrix Seite 7 von 14 z z1 1 3 z z2 2 (Wdh.: Rechnung hier: R13-neu = PS1-alt *K3 + R13-alt = 1*0 + 3 = = 3) Für die übrigen Reste geht es entsprechend weiter: z z1 1 3 z z2 2 4 Rechnung hier: R23-neu = PS2-alt *K3 + R23-alt = 2*0 + 4 = = 4 z z1 1 3 z z Rechnung hier: R22-neu = PS2-alt *K2 + R22-alt = 2*(-1) + 3 = = 1 z z z z Rechnung hier: R12-neu = PS1-alt *K2 + R12-alt = 1*(-1) + 2 = = 1 Nützliche Beobachtung: Die Null in der Kellerzeile (K2=0) hat die Elemente der zugehörigen Spalte unverändert gelassen. In der Kellerzeile stehen die neuberechneten Pivot-Zeilen-Elemente. Ein solches ist genau dann gleich Null, wenn schon das alte Pivot-Zeilen-Element gleich Null ist. Entsprechendes nur ohne Umweg - gilt für Nullen in der Pivot-Spalte. Merke also: Nullen in Pivot-Zeile bzw. Pivot -Spalte ersparen Rechenarbeit, denn sie lassen die ganze zugehörige Spalte bzw. Zeile unverändert (beim Neuberechnen fürs nächste Tableau). Der erste komplette Tausch ist fertig! Jetzt geht es mit Schritt 0 bis 4 weiter, bis alle Zeilen gegen alle Spalten vertauscht sind.
8 Musteraufgabe 1 ATV: Invertieren einer reg (3,3)-Matrix Seite 8 von Tausch T1 T2 wieder in 5 Schritten: z z z z Schritt 0: Pivot-Element aussuchen aus noch nicht getauschten Zeilen und Spalten 0 ist verboten 1 und -1 sind schön, weil keine (vielleicht überflüssigen) Brüche entstehen Nullen in Pivot-Zeile bzw. Pivot -Spalte ersparen Rechenarbeit (Die Pivots müssen nicht auf der Hauptdiagonalen stehen!) z z z z Hier gewählt: z1-s2 (Die 0 lässt sich nicht gut nutzen) z z z z Schritt 0 (weiter): Beschriftung des neuen Tableaus Entsprechend der Pivotwahl wird eine Zeilennummer gegen eine Spaltennummer getauscht, alles übrige bleibt wie im alten Tableau. Hier also: In T2 z1 s2 T2 z3 z1 s3 z z s2 z z z2 s1
9 Musteraufgabe 1 ATV: Invertieren einer reg (3,3)-Matrix Seite 9 von 14 T2 z3 z1 s3 z z s2 z z z2 s1 Schritt 1: Neuberechnung Pivot-Element PE, also aus PE-alt berechnen PE-neu PE-neu =1/PE-alt (Kehrwert bilden) Rechnung hier: 1/1 = 1 T2 z3 z1 s3 z z s2 1 z z z2 s1 Schritt 2: Neuberechnung Pivot-Zeilen-Elemente PZ, also aus PZi-alt berechnen PZi-neu PZi-neu = PZi-alt/PE-alt (durchs PE-alt teilen, Vorzeichen ändern; Merkhilfe: Zeile = = = Minuszeichen Die neuen Werte werden gleich ins neue Tableau und in die Kellerzeile K unter dem alten Tableau eingetragen; unter dem Pivot wird ein Stern Q eingetragen Rechnungen hier: PZ1-neu = PZ1-alt/PE-alt = 1/1 = 1 PZ3-neu = PZ3-alt/PE-alt = 3/1 = 3 T2 z3 z1 s3 z z z2 s1 K 1 Q 3 Schritt 3: Neuberechnung Pivot-Spalten-Elemente PS, also aus PSi-alt berechnen PSi-neu PSi-neu = + PSi-alt/PE-alt (durchs PE-alt teilen, Vorzeichen nicht ändern; Merkhilfe: Spalte nach Zeile = erst dann = + = Pluszeichen Rechnungen hier: PS2-neu = + PS2-alt/PE-alt = +1/1 = 1 PS3-neu = + PS3-alt/PE-alt = +(-1)/1 = -1 T2 z3 z1 s3 z z z2 1 s1-1 K 1 Q 3
10 Musteraufgabe 1 ATV: Invertieren einer reg (3,3)-Matrix Seite 10 von 14 T2 z3 z1 s3 z z z2 1 s1-1 K 1 Q 3 Schritt 4: Neuberechnung der restlichen Elemente, REst nach REchteck-REgel Formel: Rij-neu = PSi-alt*Kj + Rij-alt T2 z3 z1 s3 z z z2 1 1 s1-1 K 1 Q 3 Rechnung hier: R21-neu = PS2-alt *K1 + R21-alt = 1*(-1) + 2 = = 1 T2 z3 z1 s3 z z z2 1 1 s1 2-1 K 1 Q 3 Rechnung hier: R31-neu = PS3-alt *K1 + R31-alt = (-1)*(-1) + 1 = = 2 T2 z3 z1 s3 z z z s1 2-1 K 1 Q 3 Rechnung hier: R31-neu = PS2-alt *K3 + R23-alt = 1*(-3) + 4 = = 1 T2 z3 z1 s3 z z z s K 1 Q 3 Rechnung hier: R33-neu = PS3-alt *K3 + R33-alt = (-1)*(-3) + 0 = = 3 Der zweite komplette Tausch ist fertig!
11 Musteraufgabe 1 ATV: Invertieren einer reg (3,3)-Matrix Seite 11 von Tausch T2 T3 wieder in 5 Schritten: T2 z3 z1 s3 z z z s K 1 Q 3 Schritt 0: Pivot-Element aussuchen aus noch nicht getauschten Zeilen und Spalten 0 ist verboten 1 und -1 sind schön, weil keine (vielleicht überflüssigen) Brüche entstehen Nullen in Pivot-Zeile bzw. Pivot -Spalte ersparen Rechenarbeit (Die Pivots müssen nicht auf der Hauptdiagonalen stehen!) Hier kann man nicht mehr wählen: z2-s3 ist der letzte Pivot-Kandidat T2 z3 z1 s3 z z z s K 1 Q 3 Schritt 0 (weiter): Beschriftung des neuen Tableaus Entsprechend der Pivotwahl wird eine Zeilennummer gegen eine Spaltennummer getauscht, alles übrige bleibt wie im alten Tableau. Hier also: In T3 z2 s3 T2 z3 z1 s3 T3 z3 z1 z2 s2 z z z s3 s s1 K 1 Q 3
12 Musteraufgabe 1 ATV: Invertieren einer reg (3,3)-Matrix Seite 12 von 14 T2 z3 z1 s3 T3 z3 z1 z2 s2 z z z s3 s s1 K 1 Q 3 Schritt 1: Neuberechnung Pivot-Element PE, also aus PE-alt berechnen PE-neu PE-neu =1/PE-alt (Kehrwert bilden) Rechnung hier: 1/1 = 1 T2 z3 z1 s3 T3 z3 z1 z2 s2 z z z s3 1 s s1 K 1 Q 3 Schritt 2: Neuberechnung Pivot-Zeilen-Elemente PZ, also aus PZi-alt berechnen PZi-neu PZi-neu = PZi-alt/PE-alt (durchs PE-alt teilen, Vorzeichen ändern; Merkhilfe: Zeile = = = Minuszeichen Die neuen Werte werden gleich ins neue Tableau und in die Kellerzeile K unter dem alten Tableau eingetragen; unter dem Pivot wird ein Stern Q eingetragen Rechnungen hier: PZ1-neu = PZ1-alt/PE-alt = 1/1 = 1 PZ2-neu = PZ2-alt/PE-alt = 1/1 = 1 T2 z3 z1 s3 T3 z3 z1 z2 s2 z z z s s s1 K 1 Q 3 K 1 1 Q Schritt 3: Neuberechnung Pivot-Spalten-Elemente PS, also aus PSi-alt berechnen PSi-neu PSi-neu = + PSi-alt/PE-alt (durchs PE-alt teilen, Vorzeichen nicht ändern; Merkhilfe: Spalte nach Zeile = erst dann = + = Pluszeichen Rechnungen hier: PS1-neu = + PS1-alt/PE-alt = +(-3)/1 = -3 PS3-neu = + PS3-alt/PE-alt = +3/1 = 3 T2 z3 z1 s3 T3 z3 z1 z2 s2-3 z z z s s s1 3 K 1 Q 3 K 1 1 Q
13 Musteraufgabe 1 ATV: Invertieren einer reg (3,3)-Matrix Seite 13 von 14 T2 z3 z1 s3 T3 z3 z1 z2 s2-3 z z z s s s1 3 K 1 Q 3 K 1 1 Q Schritt 4: Neuberechnung der restlichen Elemente, REst nach REchteck-REgel Formel: Rij-neu = PSi-alt*Kj + Rij-alt T2 z3 z1 s3 T3 z3 z1 z2 s2 2-3 z z z s s s1 3 K 1 Q 3 K 1 1 Q Rechnung hier: R11-neu = PS1-alt *K1 + R11-alt = (-3)*(-1) + (-1) = +3-1 = 2 T2 z3 z1 s3 T3 z3 z1 z2 s2 2-3 z z z s s s1-1 3 K 1 Q 3 K 1 1 Q Rechnung hier: R31-neu = PS3-alt *K1 + R31-alt = 3*(-1) + 2 = = -1 T2 z3 z1 s3 T3 z3 z1 z2 s z z z s s s1-1 3 K 1 Q 3 K 1 1 Q Rechnung hier: R12-neu = PS1-alt *K2 + R12-alt = (-3)*(-1) + 1 = = 4 T2 z3 z1 s3 T3 z3 z1 z2 s z z z s s s K 1 Q 3 K 1 1 Q Rechnung hier: R32-neu = PS3-alt *K2 + R32-alt = 3*(-1) + (-1) = -3-1 = 4 Der dritte komplette Tausch ist fertig! Weitere Tauschschritte sind nicht möglich, da alle Spalten gegen alle Zeilen getauscht wurden; sofort erkennbar ist dies an der Nummer des Tableaus: für eine (3,3)-Matrix können nicht mehr als 3 Tauschschritte erfolgen; an der Beschriftung des letzten Tableaus: oben stehen nur Zeilennamen, keine Spaltennamen mehr.
14 Musteraufgabe 1 ATV: Invertieren einer reg (3,3)-Matrix Seite 14 von 14 Damit in Tableau T3 die Inverse steht, müssen Zeilen und Spalten noch sortiert werden. Im Prinzip genügt dafür ein Sortierschritt; mehr Schreibarbeit, aber weniger Konzentration erfordert (und weniger Fehlermöglichkeiten bietet) das Sortieren in zwei Schritten: Erst die Spalten in sortierter Reihenfolge abschreiben, dann die Zeilen (oder umgekehrt). Spalten sortieren: T2 z3 z1 s3 T3 z3 z1 z2 T3 z1 z2 z3 z z s s s z z z s s s s s K -1 Q -3 K -1-1 Q Zeilen sortieren: T0 s1 s2 s3 T3 z3 z1 z2 T3 z1 z2 z3 T3 z1 z2 z3 z s s s z s s s z s s s (Die sortierten Tableaus sollten nicht mit geändert Nummer beschriftet werden; möglich ist eine Kennzeichnung als Variante des letzten Tableaus.) Endergebnis: Zu erhält man
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