Analysis I. 2. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching

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1 Analysis I. Übungsstunde Steven Battilana battilana.uk/teaching March 5, 07

2 Erinnerung (Euler Formel). e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ. Die Polarform von z = x + iy C sei Euler Formel z = re iϕ, z = r(cos ϕ + i sin ϕ), mit r = z, x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. arctan( y ), x > 0 x arctan( y ) + π, x < 0 y 0 x arctan( y ϕ = ) π, x < 0 y < 0 x π, x = 0 y > 0 π, x = 0 y < 0 undefiniert, x = 0 y = 0 Konvergenz und Divergenz einer Folge (Grenzwert einer Folge I) Eine Folge (a n ) n N konvergiert mit Grenzwert (Limes) a (konvergiert gegen a R), falls für jedes ε > 0 ein Index N(ε) gibt, so dass Notation: lim a n = a. a n a < ε n > N(ε). (Grenzwert einer Folge II) Eine Folge (a n ) n N konvergiert gegen a R falls für jedes ε > 0, die Menge der Indizen n für die a n / (a ε, a + ε) endlich ist.

3 Eine Folge heisst konvergent, falls sie ein Limes besitzt, andernfalls heisst sie divergent. Beispiel : (i) lim n = ± n ± (ii) lim ( ) n = divergiert Beispiel : Zu Zeigen: Beweise mit der Definition, dass das folgende gilt: lim n = 0 Beweis: Wir wählen ein beliebig kleines ε > 0 (z.b. ε = 0 5 oderε = 0 0 ). Gemäss Definition, müssen wir zeigen, dass ein N = N(ε) N existiert, so dass für alle n N folgendes gilt: a n a = n 0 = n < ε. Wie macht man das? Wir lösen nach n uaf a n a =! n < ε n>0 n > ε. Wir wählen demzufolge N := ε, wobei die Aufrundungsfunktion ist (Gaussklammer) (z.b. 3. = ). Für n N gilt somit (nach Konsturktion): n 0 < ε. Das entspricht genau der Definition von lim n = 0. Satz. Wenn es ein Limes gibt, so ist dieser eindeutig. 3 Rechnen mit Grenzwerten Bemerkung. (Dominanzen) Es gelten die folgende Dominanzen: (i) Für x : (ii) Für x 0 : log(x) x n x n log(x) x x n (für n > 0) n x (für n > ) x! x x Satz. (Rechenregeln für Grenzwerte) Sind (a n ) n N und (b n ) n N konvergent mit Grenzwerten a bzw. b, dann folgt: (i) lim (a n + b n ) = a + b (ii) lim a n b n = a b (iii) Falls b n, b 0, so gilt: a lim n bn = a b 3

4 (iv) Falls a n b n, n N, so gilt: (v) lim an bn = a b (vi) lim f(a n ) = f(a), f stetig. a b Beispiel 3: Untersuche das Konvergenzverhalten von a n = ( n + n ) n 990. Lösung: Da der Nenner und der Zähler nicht konvergieren, ist die dritte Regel (iii) nicht direkt anwendbar. Wir müssen die Terme wie folgt umformen, um das Problem zu umgehen. Wegen n 3 0 und n 990 ( + n n ) 995 = (n ( + )) 995 n 3 + n n 990 = n990 ( n 3 + ) 995 n 990 ( n ) = ( n 3 + ) 995 n , erhalten wir ( + ) 995 n lim 3 + n 990 = (0 + ) = 995 =. Satz. (Sandwich-Theorem) Es seien die drei Folgen a n b n c n gegeben. Falls a n und c n konvergieren mit lim a n = lim c n = L mit L R, so konvergiert auch b n und es gilt lim b n = L. Beispiel : n Berechne lim. n Lösung: Für n gilt n, somit erhalten wir: Für n gilt n n, somit erhalten wir: n n n. n n n n = n. Damit erhalten wir für n also die folgenden Abschätzungen: n n n n

5 Die rechte und linke Seite konvergieren gegen 0: lim = lim n n = 0 Sandwich-Thm n = lim = 0. n Monotonie und Konvergenz Eine Folge (a n ) n N heisst monoton steigend, wenn für alle n N gilt: a n+ a n. Eine Folge (a n ) n N heisst streng monoton steigend, wenn für alle n N gilt: a n+ > a n. Eine Folge (a n ) n N heisst monoton fallend, wenn für alle n N gilt: a n+ a n. Eine Folge (a n ) n N heisst monoton fallend, wenn für alle n N gilt: a n+ < a n. Bemerkung. Um die Monotonie zu zeigen, kann man wie folgt vorgehen: Ersetzte n durch die kontinuierliche Variable x und berechne die Ableitung nach x. Gilt a (x) 0 respektive a (x) 0, so ist die Folge monoton wachsend respektive monoton fallend. Bemerkung. Eine andere Variante ist, man zeigt direkt a n+ a n > oder a n+ a n > 0, analog für die anderen Fälle. Definition (a n ) n N heisst nach oben (unten) beschränkt, falls gilt b R, n N : a n b (bzw. b a n ); das heisst, falls die Menge A = {a n n N} nach oben (unten) beschränkt ist. Satz Falls (a n ) n N konvergent ist, dann ist (a n ) n N beschränkt. 5

6 Bemerkung. Beschränktheit ist also notwendig, jedoch nicht hinreichend für Konvergenz, wie das Beispiel der Folge a n = ( ) n, n N, zeigt. ABER: a n konvergent a n beschränkt a n konvergent a n beschränkt Satz (Satz über monotone Konvergenz) Sei (a n ) n N nach oben beschränkt und monoton wachsend, das heisst, mit einer Zahl, b R gilt n N : a... a n a n+... b. Dann ist (a n ) n N konvergent, und lim a n = sup a n = b. n N Analog, falls (a n ) n N nach unten beschränkt und monoton fallend. Bemerkung. Die Merkregel ist: Beschränkheit + Monotonie = Konvergenz. Beispiel 5: Betrachte die rekursiv definierte Folge a 0 = 0, a n+ = ( an ) + Zeige, dass die Folge a n konvergiert. Was ist der Grenzwert? Lösung: Wir berechnen einige Terme, um ein Gefühl zu bekommen wie sich die Folge verhält a 0 = 0, a =, a = 5 =.5, a 3 = 89 6 Die Zahlen suggerieren, dass die Folge monoton wachsend ist. =.39,... Monotonie: Anstatt a n+ a n direkt zu zeigen, zeigen wir die dazu äquivalente Aussage a n+ a n 0. Es gilt a n+ a n = a n + a n = a n a n + = (a n ) 0 Beschränkheit: Wir zeigen mittels vollständiger Induktion, dass a n n N gilt. (Angenommen es existiert ein Grenzwert, dann könnt ihr mit dem letzten Schritt den berechnen, aber dann müsst ihr immer noch die Beschränkheit zeigen.) Induktionsverankerung (n = 0): a 0 = 0 6

7 Induktoinsschritt (n n + ): Wir nehmen an, dass a n für ein fixes aber beliebtes n N gilt (Induktionsannahme, IA). Es folgt a n+ = a n + IA + =. Nun können wir den Satz über monotone Konvergenz anwenden. Daraus folgt, dass a n konvergiert, d.h. es gilt lim a n = a. Jetzt berechnen wir den Grenzwert a. a n+ = a n+ a ( an ) a n a + = a = a + (a ) = 0 (a ) = 0 a =. 7

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