Analyse von Zeitreihen
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- Timo Kneller
- vor 6 Jahren
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1 Aalse vo Zeireihe Besiug er Saisokooee bei sseaisch saisoale Verläufe Eizelveräerug vo Zeiabschi zu Zeiabschi Durchschiliche Veräerug über ie Zeiabschie eier Zeireihe Bibliografie Prof. Dr. Kück; Saisik, Vorlesugsskri, Abschi 0.3 u 0.4 Bleüller/Gehler; Saisische Forel, Tabelle u Prograe. Verlag Vahle
2 Gruoelle er Kooeeverküfug Aiive Überlagerug: YT+S+R, Mulilikaive Überlagerug: YT S R Zei Zei Aiive Überlagerug gele a, we ie Ausschläge i Zeiverlauf ewa absolu gleich si. Mulilikaive Überlagerug gele a, we sich ie Ausschläge i Zeiverlauf absolu veräer, jeoch relaiv aäher kosa si. 3 Ausschalug er Trekooee YT+S+R SY - T Aiive Überlagerug, R sei i Miel Null YT S R SY / T Mulilikaive Überlagerug, R sei i Miel Eis 4
3 Besiug er Saisokooee. Darsellug er Ursrugwere i arizieller Tabellefor als (i k,,..., ) u j,,..., ). Grafik er Ursrugwere für ie Beureilug er Kooeeüberlagerug (aiive oer ulilikaive) 3. Erilug er Trefukio 4. Ausschalug er Trekooee. Besiug er Saisofigur (s, s,..., s k ) als absolu kosae bei uerseller aiiver Überlagerug, als relaiv kosae bei uerseller ulilikaiver Überlagerug oer als Saisoaeile bzw. Saisoiizes, we ie Zeireihe keie Trekooee aufweis Beisiel: Besiug er Saisokooee Gegebe sei as Bruosozialrouk (BSP) eies Laes i Mr. EURO je Quaral (4) für vier aufeiaerfolgee Jahre (4). Aus iese Agabe solle ie sseaische Kooee, also er Tre er Ewicklug sowie ie erioische Schwakuge, besi were.. Darsellug er Zeireihe i arizieller For Y (BSP) Quaral Jahr 3,, 0,0,0,90,0,0 3,0,0,,4 0, ( ) i k,,..., j,,..., u 4,9,,3, 3
4 Beisiel: Grafische Darsellug er Zeireihe Y (BSP) i Mr. Euro Quaral Jahr 3,,,0,90,0 3,0,0,40 BSP i Mr. EURO,00 0,00,00 0,00,00 Ewicklug es BSP eies Laes 0,0,0,0 0,0 0, ,9,,3,0 Zei (i Quarale) Erkeis araus: Seigee Teez Perioische Schwakuge i 4 Aiive Überlagerug (Y T+S+R) Beisiel: Treeliiierug T,4+0,,,..., Y (BSP) Jahr T Jahr Quaral 3,,0,0,0 Quaral,03 0,4 3,9,3,,90 3,0,40,90,34 4,, 0,0,0,0 0,0,,0,4 9,0 4,9,,3,0 9, 3,0,0 9,94 S Y -T Bei aiiver Überlagerug S Y -T Quaral Jahr -3,4-0,4,4-3, 0,, -, -0,9,0-4, -0,,4,33 3,9,, 4
5 Beisiel: Erilug er Trekooee Ewicklug es BSP eies Laes,00 BSP i Mr. EURO 0,00,00 0,00,00 BSP Tre 0, Zei (i Quarale) b ( ) T,+0, b b 9 Beisiel: Besiug er Saisofigur S Y -T Jahr Gesa S k Quaral -3,4-3, -, -4, -,0-4, -0,4,4 0,, -0,9,0-0,,4 -,99,0-0,0,,33 3,9,,,93,9 Gesa, 3,33-3,9 -,9 0,00 S s k j i s T 0
6 Beisiel: Schäzug er Zeireihewere T Mr. Quaral Jahr,03,90, 9, 0,4,34,0 3,0 3,9 4,,4,0,3, 9,0 9,94 Quaral S k -4, -0,0,,9 Y T + S + R Y -Dach Mr. Jahr ŷ T + S k Quaral,,40 0,, 0,4 3,9 9, 4,,4 3,,3 0,,0,04 9,4,93 Beisiel: Grafische Darsellug er Schäzug er Zeireihe Y (BSP) Quaral Jahr 3,, 0,0 4,9,0,90,0,,0 3,0,0,3,0,40 0,0,0 Y -Dach Quaral Jahr,,40 0,,0, 0,4 3,9,04 9, 4,,4 9,4 3,,3 0,,93 Ewicklug es BSP eies Laes,00 0,00,00 0,00,00 0, BSP i Mr. EURO BSP Schäzug Eirische Were Theoreische Were Zei (i Quarale)
7 Beisiel: Besiug er Reskooee Y (BSP) Jahr Y -Dach Jahr Quaral 3,,0,0,0 Quaral,, 9, 3,,,90 3,0,40,40 0,4 4,,3 0,0,0,0 0,0 0, 3,9,4 0, 4,9,,3,0,0,04 9,4,93 Y T + S + R ŷ T + S R Quaral Jahr 0,0-0, -0,0,3 R Y 0, -0,9,0-0,4,0-0, 0, -,3 (T -0,4-0,33-0,3 -,3 + S ) Y R k j Ŷ 0 3 Beisiel: Grafische Darsellug er Reskooee R Quaral R Jahr 0,0 0, -0,9-0,4-0,,0-0,4-0,33-0,0,0-0, -0,3,3 0, -,3 -,3 Y Yˆ Reskooee 3,00,00,00 0,00 -, ,00-3,00 Zei (i Quarale) Saisisches Krieriu zur Beureilug er Aassugsgüe a ( ˆ ),9 0,99 4
8 Beisiel: Saisobereiigug eier Zeireihe Y Quaral Jahr 3,,0,0,0 Quaral S k -4,,,90 3,0,40-0,0 0,0,0,0 0,0, 4,9,,3,0,9 Y + T + S R Y S T + R Y -s k Jahr Ewicklug es BSP eies Laes Quaral,3,,3,9,0,40 3, 3,,9 4,30 4,93,3,9,90,3, BSP i Mr. EURO,00 0,00,00 0,00,00 0,00 4 BSP Bereiige ZR 0 3 Zei (i Quarale) Nacheile er Saisofigur bei aiiver Überlagerug Die Saisofigur bei er ageoee aiive Überlagerug er Kooee er Zeireihe wir i er Diesio er Ursrugswere ausgewiese. Das wir für vergleichee Berachuge u laerische Escheiuge uerschielicher wirschaflicher Größe of als Nacheil efue. Eie ageoee ulilikaive Überlagerug er Zeireihekooee liefer agege Aussage über ie relaive Abweichuge er Quaralswere, sie is iesioslos.
9 Berechug er Saisoorale z Zur Berechug er erioische Schwakuge bei ulilikaiver Überlagerug er Zeireihekooee si aselle er Differeze ie Quoiee (z ) aus Ursrugs- u Trewere zu bile. Die ich-oriere Saisoorale (z k ) für as k-e Phase (k,,... ) ergebe sich ach er Beziehug: i z k j z (k,,... ) T Beisiel: Berechug er Saisoorale Y (BSP) Jahr T,4+0,,,..., Quaral 3,, 0,0 4,9,0,90,0,,0 3,0,0,3,0,40 0,0,0 T Quaral Jahr,03,90, 0,4,34,0 3,9 4,,4,3, 9,0 9, 3,0,0 9,94 Z Y /T Mulilikaive Überlagerug Z Y /T Quaral Jahr 0, 0,9,0, 0,,0,3, 0,3 0,93,0, 0,3 0,9,0,0 Z k 0,3 0,9,4, z k z j 9
10 Beisiel: Schäzug er Zeireihewere T Mr. Quaral Jahr,03,90, 9, 0,4,34,0 3,0 3,9 4,,4,0,3, 9,0 9,94 Quaral Z k 0,3 0,9,4, Y T S R Y -Dach Mr. Jahr ŷ T Z k Quaral 4,4,9 0,0,0, 0,9 3,9,3, 4,0,9 0,3 0,9,,3 4,93 9 Beisiel: Grafische Darsellug er Schäzug er Zeireihe ŷ + T s ŷ T z k k Y -Dach Jahr Y -Dach Jahr Quaral,,40, 0,4 9, 4, 3,,3 Quaral 4,4,9, 0,9, 4,0 0,9, 0, 3,9,4 0, 0,0 3,9,9,3,0,04 9,4,93,0,3 0,3 4,93 Ewicklug es BSP eies Laes Ewicklug es BSP eies Laes BSP i Mr. EURO,00 0,00,00 0,00,00 0, Zei (i Quarale) a BSP Schäzug 0,99 BSP i Mr. EURO,00 0,00,00 0,00,00 0, Zei (i Quarale) a BSP Schäzug,0 0 0
11 Milere Saisoaeile Die Berechug ilerer Saisoaeile (q k ) erfolg i er Verhäliszahl: q k j k j I Zähler seh ie Sue er jeweilige Saisowere (Moa, Quaral) u i Neer ie Gesasue aller Beobachuge. Die ilere Saisoaeile si sehr eifach zu eriel, sie solle aber ur a bereche were, we ie Zeireihe keie ausgeräge Ewicklugseez aufweis. Die Aufschlüsselug er Jahresläe i Uerehe wir auf iese Weise vorgeoe. Es gil: k q k Beisiel: Milere Saisoaeile (q k ) Y jk Quaral Jahr 3,,0,0, Gesa 9,0 q k 0,4,,90 3,0,4 3, 0,3 Gesa 0,0 4,9 3,,0, 0,4,0,3, 0,,, 4, 49,9,3 0,90 0,39,0000 q 9,0,3 0,4 q 49,9,3 4 q 0,39 4,,3 3 q 0,90 3,,3 k,, 3, 4 0,3 q k j k j
12 Saisoiizes Aselle er Saisoaeile köe für ie Agabe er Saisokooee auch Iizes (si k ) bereche were: si k j k j Die Saisoiexzahl beschreib as Verhälis es ilere Saisoweres für ie k-e Phase (z.b. Quaral) zu Gesaiel aller Beobachuge. Der Saisoiex ha e - fache Wer es Saisoaeils. Der Saisoiex soll verwee were, we ie Zeireihe keie Treeifluss aufweis. Es gil: si u k q k k si k 3 Beisiel: Saisoiizes (si k ) Y jk Jahr Gesa Durchschi si k Quaral 3,,0,0, 9,0,940 0,90,,90 3,0,4 3,, 0,933 0,0,0,0 0, 4,,,30 4,9,,3, 49,9,,3 Gesa 3, 0,4,,,3 3,494 4,0000 si k j k j 9,0,94 si 4,3 3,494 3,, si 4,3 3,494 0,90 0,933 4,, si 4,3 3, ,9, si 4,3 3,494 4,30,3 4
13 Veräeruge vo Zeireihe Zeireihe ( ) (,,..., ) Eizelveräeruge Durchschiliche Veräeruge Absolue (,,..., -) Ariheisches Miel aus e absolue Eizelveräeruge Relaive + + / (,,..., -) Geoerisches Miel aus e relaive Eizelveräeruge Forel für ie absolue Veräerug vo Zeireihe Absolue Eizelveräerug + Veräerug > 0 Zuahe + +,,..., - 0 < 0 Sagaio Abahe Durchschiliche absolue Veräerug + ( + ) Ariheisches Miel er Eizelveräeruge 3
14 Beisiel: Berechug er absolue Veräerug für Gebure i MV Jahr Y Ariheisches Miel ,3,,..., ,3 Ierreaio: Die Azahl er Lebegeboree is vo 994 bis 000 u 43 gesiege, i Durchschi ware es ro Jahr ewa 3 (30,3) Lebegeboree ehr. Y: Azahl er Lebegeboree i MV Forel für ie relaive Veräerug vo Zeireihe Relaive Eizelveräerug + +,,..., - P + > < Veräerug Zuahe Sagaio Abahe Durchschiliche relaive Veräerug Geoerisches Miel L L 4
15 Beisiel: Berechug er relaive Veräerug Jahr Y Geoerisches Miel 339 +,0,,04,0,00,00,0 auf 0, %, % 0,4 % 0, % 0,0 % 0,0 % 0, % Y: Azahl er Lebegeboree i MV L L,,..., 9 L,0 Ierreaio:Die Azahl er Lebegeboree is vo 994 bis 000 i Durchschi jährlich auf 0, Proze gesiege. 9 Veräerugsrae r ,,..., - Die Veräerugsrae (r) is eie iesioslose Zahl, i welcher ie relaive Veräerug es Merkals Y u as r - fache es jeweilige Basisweres ausgewiese wir. Es soll bei er Agabe eier Iexzahl sehr gu uerschiee were, ob ie Veräerug auf ei besies Niveau (relaive Veräerug) oer u ei besies Niveau (Veräerugsrae) ausgerück wir: Durchschiliche Veräerugsrae: r ( ) + r + 30
16 Beisiel: Berechug er Veräerugsrae Jahr Y Geoerisches Miel +,0,,04,0,00,00,0 r + 0,0 0, 0,04 0,0 0,00 0,00 0,0 Y: Azahl er Lebegeboree i MV u 0, %, %,4 %, %,0 %,0 %, % r r ( ) + r r,0-0,0 934,,..., Ierreaio: Die Azahl er Lebegeboree is vo 994 bis 000 i Durchschi jährlich u, Proze gesiege. 3 Progosefukioe eier Zeireihe + + ˆ + + ˆ i ˆ + ˆ + +,, ˆ + ˆ i ˆ + ˆ +,,... 3
17 Beisiel:Progosewere er Zeireihe für Lebegeboree (Aweug vo -quer) Jahr 994 Y 934 Y-ach 934 ˆ ˆ + + +,,... 30, Lebegeboree Ew icklug er Lebegeboree i MV Zeireihe Progose () + Afags- u Ewer 33 Beisiel:Progosewere er Zeireihe für Lebegeboree (Aweug vo -quer) Jahr 994 Y 934 Y-ach 934 ˆ ˆ +,,..., Lebegeboree Ew icklug er Lebegeboree i MV Zeireihe Progose () + Afags- u Ewer 34
18 Beisiel: Lebegeboree i MV i erse Jahrzeh (99 000) Jahr Y Ariheisches Miel Lebegeboree Ew icklug er Lebegeboree i MV Vorsich! Die Zeireihe weis keie eieuige lieare Teez auf. Es ha aher keie Si, ie urchschiliche Veräeruge für ie Progosefukio zu verwee. 3 Negaives Beisiel: absolue Veräerug u Progosefukio Jahr Y Ariheisches Miel , Y: Azahl er Lebegeboree i MV Lebegeboree Ew icklug er Lebegeboree i MV Y Progose () 3, ˆ + +,,... ˆ + Realer Verlauf wir ich ai abgebile 3
19 Beisiel : Aweug er urchschiliche Veräerug Die Mieralöliore eies Iusrielaes habe sich i e leze Jahre veroel. Dieser Veroelug esrich ei jährliches urchschiliches Wachsu u 4,3 % bzw. auf 04,3 %. Y: Mieralöliore eies Laes ( ) r + ( + r ) 0, 043 +,043 r 3 Beisiel : Aweug er urchschiliche Veräerug Bei eier Kaielalage vo ieses.000 EURO über füf Jahre wir Ihe ei Zissaz vo 4,3 %. a. ageboe. Vergleiche Sie ieses Agebo i e eies aere Kreiisiues, wo Ihe für füf Jahre ie Zisree i 3, % i erse, 4 % i zweie, 4, % i rie, 4, % i viere u % i füfe Jahr ageboe wir. r r + ( + ) (,03,04,04,04,0),043-0,043 Beie Ageboe si ieisch!!! 3 9
20 Beisiel 3: Aweug er urchschiliche Veräerug Das oaliche Durchschiseikoe er Arbeieher eier besie Brache is i ach Jahre u 00 EURO agesiege. Das beeue eie urchschiliche jährliche Zuahe u,0 EURO. Der absolue Zuahe u 00 EURO esrich eie relaive Zuahe (ei relaives Wachsu) auf % bzw. u %. Die urchschiliche relaive Zuahe beräg, %. a. oer eie Eikoesasieg auf jährlich 0, %. 39 Beisiel 3: Aweug er urchschiliche Veräerug ,0 ariheisches Miel 9, 9 +,,0 geoerisches Miel aus Veräerugsrae r 9 + ( ) + r,,0-0,0 40 0
Analyse von Zeitreihen
Aalyse vo Zeireihe Begriffe der Zeireihe Kompoee eier Zeireihe - Tred - Periodische Schwakuge - Resschwakuge Besimmug der Tredkompoee - Mehode der kleise Quadrae (MKQ) - Mehode der gleiede Durchschie Expoeielle
= T. 1.1. Jährliche Ratentilgung. 1.1. Jährliche Ratentilgung. Ausgangspunkt: Beispiel:
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Messug 3 MESSUNG EINES AUS OTTO MOTOR UND ELEKTRISCHEN GENERATOR BESTEHENDEN MASCHINENAGGREGATES Ziel der Meßübug: Besimmug des Bresoffverbrauchs, des spezifische Bresoffverbrauchs, Aggregawirkugsgrades,
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