Gewinnung und Test großer Primzahlen

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1 16. Mai 2007

2 1 Einführung 2 Primzahlgewinnung 3 Primzahlentest 4 Aktuelles 5 Appendix

3 1 Einführung Anwendung Notation und Grundlagen Ordnung Eulersche φ-funktion Kleiner Satz von Fermat

4 Anwendung Verwendung großer Primzahlen Faktorisierung wird erschwert, praktisch unmöglich mit > 1000 Binärstellen Verschlüsselungsverfahren z.b. RSA Zufallsgenerator z.b. BBS (Blum-Blum-Shub)

5 Notation und Grundlagen Ordnung Die Ordnung von a mod r ist die kleinste natürliche Zahl k, so dass a k 1(mod r). ord r (a) = k Eulersche φ-funktion Die Eulersche φ-funktion gibt für jede natürliche Zahl n an, wie viele natürliche Zahlen zwischen 1 und n zu ihr teilerfremd sind. φ(n) := {a ggt (a, n) = 1, a {1,..., n 1}}

6 Notation und Grundlagen Kleiner Satz von Fermat Für alle Primzahlen p und alle natürlichen Zahlen n, die kein Vielfaches von p sind, gilt: n (p 1) 1 ist teilbar durch p bzw. n p 1 1(mod p)

7 2 Primzahlgewinnung Sieb des Eratosthenes Formeln zur Generierung von Primzahlen Ulam-Spirale

8 Sieb des Eratosthenes Sieb des Eratosthenes griechischer Mathematiker Eratosthenes ca v.chr. in Kyrene (heutiges Libyen) geboren Algorithmus 1 Zusammenhängende Liste von natürlichen Zahlen 2... n 2 Erste Primzahl p = 2 3 Streichen aller Vielfachen von p, beginnend bei p 2 4 Wiederhole Schritt 3 mit der nächsten freien Zahl p < n 5 Alle beim sieben übrig gebliebenen Zahlen sind Primzahlen

9 Sieb des Eratosthenes Sieb des Eratosthenes - Beispiel n = 100

10 Sieb des Eratosthenes Sieb des Eratosthenes - Beispiel n = 100

11 Sieb des Eratosthenes Sieb des Eratosthenes - Beispiel n = 100

12 Sieb des Eratosthenes Sieb des Eratosthenes - Beispiel n = 100

13 Sieb des Eratosthenes Sieb des Eratosthenes - Beispiel n = 100

14 Sieb des Eratosthenes Sieb des Eratosthenes - Beispiel n = 100

15 Formeln zur Generierung von Primzahlen Primzahlenformeln Satz von Euklid n = 1 + k i=1 p i n ist neue Primzahl oder zusammengesetzte Zahl, aus Primzahlen die nicht am Produkt beteiligt sind Euler n 2 + n + 17 für 0 < n < 16 n 2 n + 41 für 0 < n < 41 n 2 89n für 0 < n < 80

16 Ulam-Spirale Ulam-Spirale polnischer Mathematiker Stanislaw Marcin Ulam weitere Formeln der Form f (n) = an 2 + bn + c mit a, b, c, b Z Ulam-Spirale - 7 7

17 Ulam-Spirale Ulam-Spirale

18 3 Primzahlentest Einfaches Durchtesten Fermatsche Primzahltest Algorithmus Fermatsche Pseudoprimzahl Carmichael-Zahl Miller-Rabin-Test AKS-Primzahltest Lucas-Lehmer-Test

19 Einfaches Durchtesten Einfaches Durchtesten(Brute Force) n - zu testende Zahl Division durch alle Primzahlen p < n Vorteil: führt theoretisch immer zu einer eindeutigen Lösung Nachteil: bei großen Zahlen praktisch nicht anwendbar hoher Zeit- und Ressourcenaufwand Optimierung: nur Zahlen der Form 6k 1 oder 6k + 1 prüfen, ab n > 3 mit k N

20 Fermatsche Primzahltest Fermatsche Primzahltest Anwendung des kleinen Fermat b = a n 1 (mod n) n - zu testende Zahl a - Primzahlbasis { 2 a < n, a N 1 Primzahlkandidat b = sonst keine Primzahl Beispiel: a = 2, 3, 5; n = (mod 11) (mod 11) (mod 11)

21 Fermatsche Primzahltest Fermatsche Pseudoprimzahl mehr Primzahlen als Pseudoprimzahlen Beispiel: Kleinste Pseudoprimzahlen zu einer Basis 2 341, 561, 645, 949, , 121, 286, 671, , 85, 91, 341, , 217, 561, 781, , 185, 217, 301, , 325, 561, 703,... Beispiel: Kleinste Pseudoprimzahl durch mehrere Basen 2, , 3, , 3, 5, 7, , 3, 5, 7, 11,

22 Fermatsche Primzahltest Carmichael-Zahl a n 1 1(mod n) für alle a mit ggt(a, n) = 1 ist Produkt aus mindestens 3 Primzahlen Beispiel: Kleinste Carmichael-Zahl n = = wird von a {3, 11, 17, 33, 51, 187} geteilt, d.h (mod 561) (mod 561) (mod 561)...

23 Miller-Rabin-Test Miller-Rabin-Test Weiterentwicklung des Fermatschen Primzahltest stochastische Wahl mehrerer Basen Monte-Carlo-Algorithmus zusätzlicher Belastungszeuge (witness) x für n x 2 1(mod n) mit x 1 und x 1 erkennt auch Carmichael-Zahlen nur Primzahlen und starke Pseudoprimzahlen

24 Miller-Rabin-Test Algorithmus n - zu testende Zahl und a - die Basis t = max(2 s (n 1)), s N u = (n 1) t 2 n ist Primzahlkanditat wenn a u 1( mod )n oder s {0,..., t 1} mit a (2s )u 1( mod n)

25 Miller-Rabin-Test Beispiel: n = 561 n 1 = = Verschiebung um t = 4 u = = = Fermattest mit a u mod n und anschließen (t 1) mal quadrieren. a = ( ) (mod 561) n ist keine Primzahl

26 Miller-Rabin-Test Beispiel: n = 73 n 1 = 73 1 = Verschiebung um t = 3 u = = = Fermattest mit a u mod n und anschließen (t 1) mal quadrieren. a = ( ) (mod 73) n ist Primzahl(kandidat)

27 Miller-Rabin-Test Fehlerrate in {1,..., n 1} existieren höchstens n 1 4 Zahlen die keine Zeugen sind d.h. p(a) = 1 4 = 25% mit a beliebig p(a 1 ) p(a 2 ) p(a 3 ) p(a 4 ) = 0, 39% p(a i ) 10 = 0, 0001%

28 AKS-Primzahltest AKS-Primzahltest Agrawal-Kayal-Saxena-Primzahltest August 2002: PRIMES in P Grundidee(1999) n ist Primzahl gdw. (x + a) n x n + a( mod n) für ein a Z mit ggt (a, n) = 1. Erweiterung(2001/2002) (x + a) n x n + a( mod x r 1, n) mit kleinstem r für das gilt ord r (n) > log 2 n N und ggt (r, n) = 1

29 AKS-Primzahltest Algorithmus Eingabe: n N, n 2 1 If n = a b für a, b > 1 N, return COMPOSITE 2 Finde das kleinste r, so dass ord r (n) > log 2 n 3 If 1 < ggt (a, n) < n für ein a r, return COMPOSITE 4 If n r, return PRIME φ(r)logn 5 For a = 1 to do If (x + a) n x n + a(mod x r 1, n) return COMPOSITE 6 Return PRIME

30 Lucas-Lehmer-Test Lucas-Lehmer-Test Mersenne-Zahlen M p = 2 p 1 Algorithmus S(1) = 4 S(k + 1) = S(k) 2 2( mod M p ) S(p 1) = 0 M p ist prim

31 Lucas-Lehmer-Test Beispiel: M 19 = S(1) = 4 S(2) = (4 2 2) mod = 14 S(3) = (14 2 2) mod = 194 S(4) = ( ) mod = S(5) = ( ) mod = S(6) = ( ) mod = S(7) = ( ) mod = S(14) = ( ) mod = S(15) = ( ) mod = S(16) = ( ) mod = S(17) = ( ) mod = S(18) = ( ) mod = 0

32 4 Aktuelles Top Primzahlen

33 Top Primzahlen 44. und größte Mersenne-Zahl September Dezimalstellen Größte Zwillingsprimzahl Januar ± Dezimalstellen Größte Palindromprimzahl Oktober Dezimalstellen Größte Nicht-Mersenne-Zahl (Platz 7) 10. Mai Dezimalstellen

34 5 Appendix Quellen Abbildungsverzeichnis Download

35 Quellen Artikel Carmichael-Zahl. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Artikel Kleiner fermatscher Satz. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. fermatscher Satz&oldid= Artikel Mersenne-Primzahl. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Primzahl&oldid= Artikel Primzahl. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Artikel Primzahltest. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Artikel Ulam-Spirale. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie.

36 Quellen rabin.pdf ziegler/proseminar/bayer/primzahltests.pdf graebe/mcat/mcat6/graebe-folien.pdf ruppert/ws0607/seminar/claus/der AKS- Primzahltest.pdf mb41/proseminar/2006/primzahltest.pdf Die fermatsche Pseudoprimzahl im allgemeinen&oldid=175241

37 Abbildungsverzeichnis Ulam-Spirale Ulam-Spirale Ulam-Spirale 200

38 Download Download der Präsentation und der Ausarbeitung in Textform unter:

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