Regelstrecken. 2.1 Definition. 2.2 Analyse des Verhaltens von Regelstecken

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1 Regelstrecken Definition I Nach DIN IEC ist die Regelstrecke diejenige Funktionseinheit, die entsprechend der Regelungsaufgabe beeinflusst wird (vgl. Abb i. V. m. Tab. 1.1). Zur Regelstrecke gehört das Stellglied. I Das Stellglied ist eine zur Strecke gehörende, am Eingang der Strecke angeordnete Funktionseinheit, die durch die Stellgröße beeinflusst wird und den Massenstrom oder Energiefluss beeinflusst. Gerätetechnisch betrachtet ist die Regelstrecke der Anlagenteil zwischen Stellort, Einwirkung der Störgröße und Messort. Dabei soll der Verlauf der Stellgröße den Einwirkungen der Störgröße entgegenwirken. 2.2 Analyse des Verhaltens von Regelstecken Die Regelstrecke ist in der Regel fest vorgegeben und lässt sich bei der Inbetriebnahme in Hinblick auf ein optimales Regelverhalten nur geringfügig verändern. Bei der Analyse von Regelstrecken unterscheidet man zwei grundsätzliche Arten: Stellverhalten x D f.y;t/ Störverhalten x D f.z;t/. Das Stellverhalten der Regelstrecke lässt sich über den Handbetrieb testen. Bei den im Maschinen- und Anlagenbau häufigsten Strecken verwendet man als Testfunktion einen Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017 W. Schneider, B. Heinrich, Praktische Regelungstechnik, DOI / _2 55

2 56 2 Regelstrecken Abb. 2.1 Stellverhalten einer Regelstrecke Eingangssprung. Man stellt dazu das Stellglied auf Handbetrieb so ein, dass die Regelgröße im Bereich eines vorher festgelegten Arbeitspunktes liegt und wartet den Beharrungszustand ab. Dann verändert man die Stellgröße per Hand sprunghaft um einen definierten Wert, z. B. y 10 %, und beobachtet den Zeitverlauf der Regelgröße (Abb. 2.1). Jeder Regelstreckentyp zeigt dann ein spezielles Verhalten. Vom Charakter her können zwei verschiedene Kennwerteigenschaften unterschieden werden: statische Kennwerte für t!1, z. B. Proportionalbeiwert, Kennlinie,... dynamische Kennwerte, z. B. Zeitkonstanten, Totzeit,... Das Störverhalten wird meist vom Nutzerverhalten geprägt. Deren Eingriffsgrößen können nur selten gemessen werden. Deshalb ist aus dem Regelgrößenverlauf rückwärts auf die Störgröße zu schließen. Dies geschieht, indem man die Auswirkung einer möglichst konstanten Störgröße durch eine gegengeschaltete Stellgröße kompensiert (Abb. 2.2). Abb. 2.2 Wasserstands-Regelstrecke als Beispiel für den realen Eingriff von Stell- und Störgröße. Pm Zufluss oder Abfluss eines Wasserspeichers; h Wasserstand

3 2.3 Klassen von Regelstrecken Klassen von Regelstrecken In der Regelstreckenübersicht von Abb. 2.3 sind typische Sprungantworten dargestellt. Die erweiterte Regelstrecke besitzt folgende klassifikatorische Merkmale: Strecke mit Ausgleich (P-Verhalten, beschrieben durch den Kennwert K PS ) Strecke ohne Ausgleich (I-Verhalten, beschrieben durch den Kennwert K IS ) schwingend oder nicht schwingend. Zur Schwingung ist mindestens ein schwingungsfähiges System (z. B. Feder-Masse- Dämpfung) in der Regelstrecke notwendig. Das Schwingungsverhalten wird durch die Kennwerte Dämpfungsgrad D und die Schwingungsperiode beschrieben, aus denen sich die Kennzeitkonstanten T 0 und T 1 ermitteln lassen. mit oder ohne Totzeit. Die Totzeit ist die Dauer des Zeitintervalls, um das die Ausgangsgröße gegen die Eingangsgröße verschoben wird. verzögerungsarm oder verzögerungsbehaftet bei P-Strecken verzögerungsarm ohne Zeitkennwerte bei P-Strecken mit Verzögerung 1. Ordnung beschrieben durch die Zeitkonstante T Abb. 2.3 Übersicht über das Zeitverhalten von Regelstrecken

4 58 2 Regelstrecken bei P-Strecken mit Verzögerung höherer Ordnung (ab 2. Ordnung) beschrieben durch die Verzugszeit T u und die Ausgleichszeit T g ; daraus lassen sich die Ordnung n der Regelstrecke und gleich große Zeitkonstanten T i ermitteln bei I-Strecken verzögerungsarm ohne Zeitkennwert bei I-Strecken mit Verzögerung höherer Ordnung (ab 1. Ordnung) beschrieben durch die Zeitkonstantensumme P T i. 2.4 Strecken mit oder ohne Rückwirkung Das statische Verhalten von Regelstrecken kann nur für solche Systeme angegeben werden, die mehrere Beharrungswerte der Regelgröße innerhalb des Messbereichs der Regelgröße haben, also für Strecken mit proportionalem Verhalten (P-Verhalten). Unter messtechnischen Gesichtspunkten werden alle übrigen Strecken zu integrierenden Systemen gezählt, auch wenn sie von der Struktur her proportionales Verhalten zeigen. Dies soll an einem Wasserspeicher in unterschiedlicher Ausführung erläutert werden (Abb. 2.4). Bei dem Wasserspeicher in Abb. 2.4a bleibt der Abfluss durch eine Kreiselpumpe mit konstantem Durchsatz Pm ab konstant. Ein Unterschied zwischen Zufluss und Abfluss Pm D Pm zu Pm ab führt zu einem zeitlich konstanten Anstieg oder Abfall des Wasserstandes, bis der Behälter leer läuft oder überfließt. Dieser Speicher zeigt integrierendes Verhalten (I-Verhalten). Bei dem Wasserspeicher in Abb. 2.4b hängt der Abfluss Pm ab vom Wasserstand ab. Ein Anstieg des Wasserstandes durch Zunahme des Zuflusses führt zu einer Vergrößerung des Abflusses. Bei kleinen Differenzen zwischen Zu- und Ablauf kommt es durch diese Rückwirkung zu einem neuen Beharrungszustand im Behälter. Dieser Speicher zeigt Proportionalverhalten (P-Verhalten). Im Prinzip zeigt der Wasserspeicher in Abb. 2.4c das gleiche Verhalten wie Speicher b. Nur stellt sich der Beharrungszustand theoretisch außerhalb der Behälterhöhe ein. Da dieser Speicher sich zwar proportional verhält, innerhalb der Behälterhöhe jedoch einen nahezu linearen Anstieg zeigt (Rückwirkung vernachlässigbar klein), spricht man hier von partiellem I-Verhalten. Abb. 2.4 Beispiele von Wasserspeichern mit gleichem Volumen. a I-Verhalten, b P-Verhalten, c partielles I-Verhalten

5 2.5 Statisches Verhalten von Regelstrecken Statisches Verhalten von Regelstrecken Grundlagen Das statische Verhalten von Regelkreiskomponenten wird durch Kennlinien und den dort ablesbaren Proportionalwerten beschrieben. Der Proportionalwert wird berechnet aus der Änderung der Ausgangsgröße v(t) und der Eingangsgrößenänderung u(t) im Beharrungszustand. Im Beharrungszustand verschwinden alle zeitlichen Ableitungen von u und v in der Fundamentaltgleichung der Regelungstechnik. Pv D 0I Rv D 0I :::I Pu D 0I Ru D 0I :::! v B D K P u B Das statische Verhalten wird grafisch dargestellt durch die Kennlinie. Bei der Ermittlung der Kennlinie ist der Zeitverlauf von einem Beharrungszustand zum nächsten ohne Bedeutung. Wichtig ist nur der jeweilige Beharrungspunkt selbst. Dazu hält man die Eingangsgröße U konstant und wartet ab, bis sich auch die Ausgangsgröße V nach hinreichend langer Zeit nicht mehr ändert. Bei proportionalem Verhalten bedeutet dies, dass die Ausgangsgröße einen definierten Wert annimmt. Die Kennlinie ist eine Aneinanderfügung vieler Beharrungszustände, sie kann also nicht durchfahren werden. Vereinbarungsgemäß wird die Ausgangsgröße V über der konstanten Eingangsgröße U aufgetragen (Abb. 2.5). Geht man vom Beharrungswert der Sprungantwort einer Regelstrecke mit sog. P-T 1 -Verhalten aus, so ergeben sich messtechnisch zwei Beharrungszustände, der Betriebspunkt 0 vor dem Sprung und der Beharrungswert 1, nachdem sich durch die Wirkung des Eingangssprungs y ein neuer Beharrungswert x B eingestellt hat (Abb. 2.6). Der Proportionalwert K P kann aus den Differenzen der Kennlinie zwischen Betriebspunkt 0 und Betriebspunkt 1 berechnet werden nach K P D x B y Die Kennlinie eines linearen Systems ist eine Gerade. Da jedoch lineare Kennlinien selten sind, hilft man sich, indem man eine nichtlineare Kennlinie in einem Betriebspunkt durch eine Gerade angleicht. Diesen Vorgang nennt man Linearisierung (Abb. 2.7). Der mit der Linearisierung verbundene Fehler ist bei kleinen Änderungen der Eingangsgröße meist Abb. 2.5 Kennlinien eines Regelsystems

6 60 2 Regelstrecken Abb. 2.6 Zeitverhalten und Kennlinie (Ausschnitt) einer P-T 1 -Strecke vernachlässigbar. Im Bedarfsfall wird bei messtechnischer Analyse eine abschnittsweise Linearisierung durchgeführt. Ist die Kennlinie in grafischer Form gegeben, so wird eine Tangente in einem Betriebspunkt BP gezeichnet. Die Tangente gibt die Steigung der Kennlinie im Betriebspunkt an, entspricht also der ersten Ableitung der Ausgangsgröße nach der Eingangsgröße. K P ˇ oder K P D v u Die lineare Näherung wird damit: V D V 0 C K P u ˇSekante Abb. 2.7 Linearisierung einer nichtlinearen Kennlinie (BP D Betriebspunkt)

7 2.5 Statisches Verhalten von Regelstrecken 61 Abb. 2.8 Anhängigkeit der Proportionalwerte eines Regelsystems von der Eingangsgröße U Geht die linearisierte Kennlinie durch den Nullpunkt, dann gilt V 0 D 0. Liegt die Kennlinie in Tabellenform vor, z. B. durch eine Reihe von Messwerten, wird für die Linearisierung die Sekante benutzt. Dies ist grafisch in Abb. 2.7 dargestellt. Die Steigung berechnet sich nach K P D V 1 V 0 D v U 1 U 0 u Legt man an verschiedene Punkte einer nichtlinearen Kennlinie je eine Tangente an (Abb. 2.8), ermittelt daraus die zugehörigen Proportionalwerte und trägt diese über der Eingangsgröße U auf, dann kann man die Abhängigkeit der Proportionalwerte vom aktuellen Betriebspunkt ablesen. Bei linearisiertem Proportionalwert ergibt sich eine horizontale Gerade. K P;lin D K P1 C K P2 C K P3 D konst: 3 Sind mehrere Eingangsgrößen vorhanden, z. B. in Abb. 2.9 eine Störgröße und eine Stellgröße, so müssen auch mehrere Proportionalbeiwerte durch partielle Differentiation der Funktion nach den Eingangsgrößen bestimmt werden. K P1 1 ˇBP K P2 2 Für jede Eingangsgröße wird eine eigene Kennlinie benötigt. Die einzelnen Proportionalbeiwerte können unterschiedliche Dimensionen haben, wenn auch die Eingangsgrößen U i physikalisch unterschiedlich sind. ˇBP

8 62 2 Regelstrecken Abb. 2.9 Vereinfachtes Gerätefließbild und Wirkungsplan einer P-T1-Strecke Abb Kennlinienschar einer P-T1-Strecke mit Stellverhalten und Störverhalten Bei zwei wirkenden Eingangsgrößen in einer Regelstrecke, hier Zufluss- und Abflussventil für einen Behälter, entsteht eine Kennlinienschar (Abb. 2.10). Für jede einzelne Kennlinie der Kennlinienschar ergibt sich ein Proportionalwert: K Py D x By y ˇ ˇzi K Pz D x Bz z Wenn Stellventil und Störventil gleich groß sind, dann können diese Proportionalwerte durch Mittelwertbildung zu einem linearisierten Proportionalwert zusammengefasst werden. ˇ ˇyi Kennlinien von Regelstreckenkomponenten Besteht ein Regelsystem aus mehreren Bauteilen, so kann für jede einzelne Systemkomponente mindestens eine Einzelkennlinie gezeichnet werden. Dazu müssen jedoch die Zwischengrößen messtechnisch verfügbar sein. Nehmen wir z. B. ein System aus Komponenten, so ergeben sich daraus Kennlinien mit Proportionalwerten. Übersichtlich lassen

9 2.5 Statisches Verhalten von Regelstrecken 63 Abb Schematische Darstellung von Kennlinien mit Hilfe der Vier-Quadranten-Methode sich die Kennlinien mehrerer Komponenten mit Hilfe der Vier-Quadranten-Methode darstellen (Abb. 2.11). Im 1. Quadranten des rechtwinkligen Koordinatensystems wird die Kennlinie des Gesamtsystems eingetragen, gefolgt von den Einzelkennlinien der Komponenten im Uhrzeigersinn. Treten mehr als 3 Teilkennlinien auf, so können bis zu 4 Kennlinien auch in den Achsen aufgetragen werden, wobei die Eingangsgröße links auf einer Achse, die Ausgangsgröße rechts aufgetragen wird. Der Betriebspunkt eines Systems mit seinen Teilwerten liegt auf Ordnern (gestrichelte Linien in Abb. 2.11), die senkrecht auf den Achsen stehen. Aus der Steigung der jeweiligen Kennlinie lässt sich der zugehörige Proportionalwert ermitteln. K P1 D x 1 u K P2 D x 2 x 1 K P3 D v x 2 Der K P -Wert des Gesamtsystems K PS ergibt sich durch Multiplikation der einzelnen K P - Werte: K PS D K P1 K P2 K P3 D x 1 u x 2 v x 1 x D v 2 u

10 64 2 Regelstrecken Abb Gerätefließbild eines Druckluftspeichers. (1) Stellventil, Nennhub 20 mm, (2) pneumatischer Stellantrieb, (3) Stellungsregler, (4) Druckluftbehälter, (5) Abflussventil, (6) Störventil, (7) Durchflussmesser, Angabe in l=s Luft, (8) Druckmessstelle im Behälter in bar, (9) Messumformer Tab. 2.1 Messwerte von Einzelkennlinien der Anlage in Abb Nr. y H PV p 1 x mm l=s hpa % ,0 1, , ,5 1, , ,5 1, , ,3 1, , ,7 1, , ,5 0, , ,7 0, ,0 Beispiel 2.1 (Kennlinien einer Druckregelstrecke) Ein Druckluft-Pufferspeicher wird aus einem konstanten Netz mit p 0 D 9 bar gespeist (Abb. 2.12). Der Druckluftzufluss wird über ein lineares Stellventil (1) mit pneumatischem Stellantrieb (2) und Stellungsregler (3) dosiert und strömt in den Druckluftbehälter (4). Das Abflussventil (5) ist so eingestellt, dass der Druck im Behälter je nach Stellung des Stellventils 0 bis 9 bar beträgt. Über das Störventil (6) können Druckluftverbraucher simuliert werden. a) Ermitteln Sie die Kennlinien des Stellgerätes Ausgehend von diesem Betriebspunkt wird die Stellgröße y verstellt. Im Beharrungszustand ergeben sich die Messwerte nach Tab Mit Hilfe der Vier-Quadranten-Methode werden die Einzelkennlinien und die Kennlinie der erweiterten Regelstrecke eingetragen (Abb. 2.13). Folgende Kennlinien sind in Abb eingetragen: a) erweiterte Regelstrecke x D f.y/ b) Stellantrieb H D f.y/

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